专题01 动点与角度计算10大题型（专项训练）数学冀教版2024七年级上册

专题01 动点与角度计算10大题型（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、单动点运动问题 1 题型二、多动点运动问题 2 题型三、与中点有关的运动问题 3 题型四、动点中的定值问题 5 题型五、三角板中的角度计算问题 6 题型六、几何图形中的角度计算问题 8 题型七、实际问题中角度计算问题 8 题型八、角平分线的有关计算问题 8 题型九、动角计算问题 9 题型十、角度计算综合 11 B综合攻坚・能力跃升 题型一、单动点运动问题 1．如图，，C为线段上一动点，点D在线段上且满足． (1)当C为线段的中点时，求的长． (2)若E为线段的中点，当E时，求的长． 【答案】(1)2 (2)6 【分析】本题考查了两点间的距离，解题的关键是正确的识别图形． （1）根据线段中点的性质计算即可； （2）根据线段中点的性质和给出的数据，结合图形计算． 【详解】（1）解：∵点C为中点， ∴， ∵ ∴； （2）解：如图， ∵E为中点， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．已知点C为线段上一动点，点D，E分别是线段和的中点． (1)如图，若线段 ，求线段的长； (2)若线段的长为，则线段的长为 （用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了线段的和差，线段中点的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握线段中点的性质． （1）利用线段的和差表示出相关的线段，再利用线段中点的性质求解即可； （2）假设线段的长为，线段的长为，则线段的长为，利用线段中点的性质即可表示出线段的长． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵点D，E分别是线段和的中点， ∴， ； （2）解：假设线段的长为，线段的长为，则线段的长为， ∵点D，E分别是线段和的中点， ∴， ， 故答案为：． 3．已知a、b满足，，且有理数a、b、c在数轴上对应的点分别为A、B、C． (1)则　　，　　，　　； (2)点D是数轴上A点右侧一动点，点E、点F分别为中点，当点D运动时，线段的长度是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变，请求出其值． 【答案】(1)2，， (2)不变， 【分析】此题考查了数轴及两点间的距离，解题的关键是利用数轴的特点能求出两点间的距离． （1）根据非负数的性质求得a、b、c的值即可； （2）根据中点的定义得到，，再根据即可求解． 【详解】（1）解：∵a、b满足， ． 解得． ． 故答案为：2，，； （2）解：如图，当点D运动时，线段的长度不发生变化，理由如下： ∵点E、点F分别为中点， ∴，， ， ， ∴当点D运动时，线段的长度不发生变化，其值为． 4．如图，B是线段上一动点，以的速度沿往返运动1次，C是线段的中点，，设点B运动的时间为． (1)当时，求线段的长； (2)当时，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了线段中点的有关计算，线段的和差计算，解题关键是数形结合，熟练掌握中点的定义． （1）根据点B运动的速度进行计算即可； （2）先求出，然后根据中点定义进行计算即可． 【详解】（1）解：∵点B是线段上一动点，以的速度沿往返运动1次， ∴当时，线段的长为：； （2）解：当时，点B运动的路程为：， ∵， ∴此时， ∴， ∵C是线段的中点， ∴． 题型二、多动点运动问题 5．如图，数轴上的点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，b是最大的负整数，且a，c满足． (1)________，________，________． (2)点P为数轴上一动点，则的最小值为________，此时点P表示的数为________． (3)若点A，B，C开始在数轴上运动，点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和每秒3个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒．若点A与点B之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为，则________，________．（用含t的代数式表示） (4)的值是否随着t的变化而变化？若变化，请说明理由：若不变，请求其值． 【答案】(1)；； (2)8； (3)； (4)的值不变，且 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，绝对值的非负性，有理数的分类： （1）最多的负整数为，则，再由绝对值的非负性得到，则； （2）设点P表示的数为x，由（1）可知点A、B、C表示的数分别为；；，则，根据表示的是点P到点A和点P到点C的距离之和，得到当点P在点A和点C之间时（包括端点）有最小值，最小值为的长，即为，再由当点P与点B重合时，有最小值，则当时，和能同时取得最小值，故当时，有最小值，最小值为； （3）由题意得，运动t秒后，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为，再根据数轴上两点距离计算公式求解即可； （4）根据（3）所求计算出的结果即可得到答案． 【详解】（1）解：∵是最大的负整数， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：；；； （2）解：设点P表示的数为x， 由（1）可知点A、B、C表示的数分别为；；， ∴， ∴， ∵表示的是点P到点A和点P到点C的距离之和， ∴当点P在点A和点C之间时（包括端点）有最小值，最小值为的长，即为， 又∵当点P与点B重合时，有最小值， ∴当时，有最小值， ∴当时，和能同时取得最小值， ∴当时，有最小值，最小值为， 故答案为：8；； （3）解：由题意得，运动t秒后，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为， ∴，， 故答案为：；； （4）∵，， ∴ ， ∴的值不变，且． 6．定义：在同一直线上有三点，若点到两点的距离呈2倍关系，即或，则称点是线段的“倍距点”． (1)线段的中点 该线段的“倍距点”；（填“是”或者“不是”） (2)已知，点是线段的“倍距点”，直接写出 ． (3)如图1，在数轴上，点表示的数为2，点表示的数为20，点为线段中点． ①现有一动点从原点O出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向右匀速运动．设运动时间为秒，求当为何值时，点为的“倍距点”？ ②现有一长度为2的线段（如图2，点起始位置在原点），从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿数轴向右匀速运动．当点为的“倍距点”时，请直接写出的值． 【答案】(1)不是 (2)3或6或9或18 (3)或4或10；②或8或10或13 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，线段的中点，线段的和差， （1）根据中点的意义可得，不满足“倍距点”定义，即可作答； （2）分情况讨论当点C在线段上时，当点C在线段延长线上时，当点C在线段延长线上时，再根据“倍距点”的定义求解即可； （3）①由题意得，，表示出，根据点为的“倍距点”，可得或，得出或，解绝对值方程求解即可；②由题意得点M表示的数为t，点N表示的数为，表示出，根据点为的“倍距点”，可得或，进而得出或，解绝对值方程求解即可； 熟练掌握知识点，准确理解新定义是解题的关键． 【详解】（1）假设点P是线段的中点， ∴， ∴线段的中点不是该线段的“倍距点”， 故答案为：不是； （2）当点C在线段上时，， 若，则， 若，则； 当点C在线段延长线上时，，则，则 当点C在线段延长线上时，，则； 故答案为：3或6或9或18； （3）∵在数轴上，点表示的数为2，点表示的数为20，点为线段中点， ∴点C表示的数为11， ①由题意得，， ∴， 若点为的“倍距点”， 则或， 即，解得或10； 或，解得（负舍）； 综上，的值为或4或10； ②由题意得点M表示的数为t，点N表示的数为， ∴， ∵点为的“倍距点”， ∴则或， 即或， 解得或8或10或13． 7．已知数轴上有两个点． (1)如图1，若，是的中点，为线段上的一点，且，则=_______，=_______，=_______（用含的代数式表示）；    (2)如图2，若三点对应的数分别为，，． ①当两点同时向左运动，同时点向右运动，已知点的速度分别为8个单位长度/秒､4个单位长度/秒､2个单位长度/秒，点M为线段的中点，点N为线段的中点，求运动3秒以后线段的长． ②现有动点都从点出发，点P以每秒1个单位长度的速度向终点移动；当点P移动到B点时，点Q才从点出发，并以每秒3个单位长度的速度向左移动，且当点P到达点时，点Q也停止移动（若设点P的运动时间为t）．当两点间的距离恰为18个单位时，则时间t的值为______． 【答案】(1) (2)①39；②18秒、36秒和54秒 【分析】本题考查了数轴上的点与实数的关系、两点的距离等知识，熟练掌握数轴与实数的特点是解题的关键． （1）根据比例关系和中点等即可计算出答案； （2）根据点的运动规律找出对应表示的数，分情况讨论由两点的距离由题意列出方程即可得出答案． 【详解】（1）解：， 设，则 即 是的中点 （2）①点的速度分别为8个单位长度/秒､4个单位长度/秒､2个单位长度/秒，当运动3秒后，点分别运动了个单位长度 三点对应的数分别为，， 当两点同时向左运动3秒后，两点对应的数分别为，点向右运动运动3秒后对应的数为 点M为线段的中点，点N为线段的中点 故M对应的数为，M对应的数为 ． ②由题意可得： 当点移动秒时，此时不动，，满足题意； 点表示的数为，点表示的数为 当点在点左侧时，由题意有 解得 当点在点右侧时，由题意有 解得 综上所述：当时， 故的取值为18秒、36秒和54秒． 8．如图，是线段上一点，，，两动点分别从点，同时出发沿射线向左运动，到达点处即停止运动． (1)若点，的速度分别是，． ①若，当动点，运动了时，求的值； ②若点到达中点时，点也刚好到达的中点，求； (2)若动点，的速度分别是，，点，在运动时，总有，求的长度． 【答案】(1)；； (2)． 【分析】（）先计算，再计算即可；利用中点的性质求解即可； （）设运动时间为，则，，得到，又由，得到，进而得到即可求解； 本题考查了线段上动点问题、求线段的长度，充分利用中点和线段的倍数关系是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得：，， ； ∵点到达中点时，点也刚好到达的中点，设运动时间为， 则：，， ； （2）解：设运动时间为，则，， ， ， ． 题型三、与中点有关的运动问题 9．如图，已知数轴上点表示的数为，点表示的数为，满足．动点从点出发以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点表示的数是_______，点表示的数是_______； (2)若点从点出发向左运动，点为的中点，在点到达点之前，求证：为定值． 【答案】(1)16， (2)证明见解析 【分析】本题考查了绝对值的非负性、数轴、线段的中点等知识，熟练掌握数轴的性质是解题关键． （1）根据绝对值的非负性可得，由此即可得； （2）先根据数轴的性质可得，点表示的数是，再求出，然后根据线段中点的定义可得，则可得，代入计算即可得证． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵数轴上点表示的数为，点表示的数为， ∴数轴上点表示的数是16，点表示的数是， 故答案为：16，． （2）证明：由（1）已得：数轴上点表示的数是16，点表示的数是， ∴， ∵动点从点出发以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，运动时间为秒， ∴点表示的数是， ∴在点到达点之前，，， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴为定值． 10．已知线段，点是线段延长线上一个动点，是线段的中点． (1)如图，若，求线段的长； (2)若的长逐渐增大，则的长的变化趋势是____________； ①变小；②变大；③先变大，后变小；④先变小，后变大． (3)若，画出所有符合条件的图形并求线段的长． 【答案】(1)线段的长为 (2)④ (3)画图见解析，的长为或 【分析】本题主要考查了线段之间的和差关系，线段中点的定义，解题的关键是正确理解题意，根据题意进行分类讨论． （1）先根据题意求出的长度，再根据中点的定义求解即可； （2）根据题意将的长度表示出来，即可进行解答； （3）分两种情况画出图形，讨论即可：当点D在上时，当点D在延长线上时． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵是的中点， ∴ ∴ ∴线段的长为； （2）解：∵随着的变长，越来越靠近点，当是点与重合，然后点离点越来越远， 故选：④； （3）解：当点在上时， ∵，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴； 当点在延长线上时， ∵，， ∴． ∵是的中点， ∴， ∴． 综上所述：的长为或． 11．如图，B是线段上一动点，沿以每秒的速度往返运动1次，C是线段的中点，，设点B的运动时间为t秒． (1)当时，______cm，______cm； (2)用含有t的代数式表示运动过程中的长； (3)在运动过程中，若的中点为E，则的长度是否发生变化？若不变，求出的长：若变化，请说明理由． 【答案】(1)6；2 (2)；； (3)不变；． 【分析】本题主要考查了线段中点的有关计算，准确分析计算是解题的关键． （1）根据即可得出结论；先求出的长，再根据C是线段的中点即可得到的长； （2）分类讨论即可； （3）直接根据中点定义即可得到结论； 【详解】（1）解：当时，， 此时，， ∵C是线段的中点， 则； 故答案为：6；2； （2）解：①∵B是线段上一动点，沿A→D→A以每秒的速度往返运动， ∴当时，， ∴； ②当时，， ∴； （3）解：不变； 因为的中点为E，C是的中点， 所以，， 所以，． 12．在数轴上，如果A点表示的数记为a，点B表示的数记为b，则、两点间的距离可以记作或．我们把数轴上两点之间的距离，用两点的大写字母表示，如：点A与点B之间的距离表示为．如图，在数轴上，点，，表示的数为，，． (1)直接写出结果， ， ． (2)设点P在数轴上对应的数为． ①若点P为线段的中点，则 ． ②若点P为线段上的一个动点，则的化简结果是 ． (3)动点M从A出发，以每秒2个单位的速度沿数轴在、之间向右运动，同时动点N从B出发，以每秒4个单位的速度沿数轴在、之间往返运动，当点M运动到B时，M和N两点停止运动．设运动时间为t秒，是否存在t值，使得？若存在，请直接写出t值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)①1，②； (3)1，，7或． 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，线段中点的定义，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，绝对值的应用，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）根据数轴上两点之间的距离的计算方法，即可得到答案； （2）①根据线段中点的定义，得到，列方程并求解，即得答案； ②若点为线段上的一个动点，则，根据两点之间的距离的计算方法，即得答案； （3）先求出点表示的数，的长，然后分和两种情况，分别求出的长，再列方程分别求解，即得答案． 【详解】（1） 解：，， 故答案为：，． （2） ①∵点P为线段的中点， ∴， ∴，解得． 故答案为：． ②∵点P为线段上的一个动点， ∴， 故答案为：． （3） 点M表示的数为，； 当时，点N表示的数为； 当时，点N表示的数为，． 当时，，解得或； 当时，，解得或． ∴存在t值，使得，，，7或． 题型四、动点中的定值问题 13．，两点在数轴上的位置如图所示，其中点对应的有理数为，且．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为秒（）． (1)直接写出当时，的长是______，此时点在数轴上对应的有理数是______； (2)请用含的代数式表示线段的长为______，此时数轴上点所对应的数表示为______； (3)在（）的条件下，点是线段的中点，点是线段的中点，求此时线段的长度． (4)为线段的中点，为线段的中点．在点从点出发沿数轴正方向运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变求出线段的长度． 【答案】(1)，； (2)，； (3)； (4)点在运动过程中，线段的长度保持不变，为，理由见解析． 【分析】（）由题意得，再根据两点间的距离可得点表示的有理数为，得到答案； （）根据题意列出代数式即可； （）由（）得，则，然后利用线段中点和线段和差即可求解； （）分两种情况：当点P在点B的左侧时，当点P在点B的右侧时，分别求出即可． 【详解】（1）解：∵点表示的有理数为，从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向运动， ∴时，，点表示的有理数为， 故答案为：，； （2）解：线段的长为，此时点在数轴上对应的有理数是， 故答案为：，； （3）解：由（）得， ∴， ∵点是线段的中点，点是线段的中点， ∴，， ∴； （4）解：点在运动过程中，线段的长度保持不变，为，理由， ∵点是线段的中点，点是线段的中点， ∴，， 当点在点的左侧时， ， 当点在点的右侧时，， 综上，点在运动过程中，线段的长度保持不变，为． 【点睛】本题考查了利用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，列代数式，线段中点和线段和差，熟练掌握以上知识点，采用分类讨论的思想是解题的关键． 14．综合与探究 问题情境 数学活动课上，老师展示了一个问题：如图，已知数轴上点O为原点，A、B两点所表示数分别为和8． 实践探究 (1)线段的长为________； (2)动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒， ①当时，线段________，线段________，点P表示的数为________；（用含t的代数式表示） ②若点M是线段的中点，点N是线段的中点，当动点P在（2）条件下运动时，线段的长度是否与点P的运动时间t有关．若有关，请求出线段的长度与t的关系式；若无关，请说明理由，并求出线段的长度． 【答案】(1)10 (2)①，，；②的长与点P的运动时间t无关，的长度为5 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离、数轴上的动点问题、与线段中点有关的计算、线段的和差，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据数轴上两点间的距离公式计算即可得解； （2）①由题意可得点表示的数为，再根据两点间的距离公式计算即可得解； ②分两种情况：当时，线段，线段；当时，线段，线段；分别求解即可得解． 【详解】（1）解：线段的长为； （2）解：①∵动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒， ∴点表示的数为， ∴当时，线段，线段； 故答案为：； ② 当时，线段，线段； ∵点M是线段的中点，点N是线段的中点， ∴，， ∴； 当时，线段，线段， ∵点M是线段的中点，点N是线段的中点， ∴，， ∴； 综上所述，的长与点P的运动时间t无关，的长度为5． 15．学科素养·分类讨论思想 如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上一点，且．动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)点B表示的数为______，点P表示的数为______（用含t的代数式表示）； (2)若M为的中点，N为的中点．点P在运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长． 【答案】(1)， (2)不发生变化．其值为7 【分析】（1）根据，点A表示的数为8，即可得出B表示的数；再根据动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，即可得出点P表示的数； （2）分①当点P在点A、B两点之间运动时，②当点P运动到点B的左侧时，利用中点的定义和线段的和差求出的长即可． 【详解】（1）解：∵点A表示的数为8，B在A点左边，， ∴点B表示的数是， ∵动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒， ∴点P表示的数是， 故答案为：，； （2）解：线段的长度不发生变化，都等于7；理由如下： ∵①当点P在点A、B两点之间运动时： ， ②当点P运动到点B的左侧时： ， ∴线段的长度不发生变化，其值为7． 16．如图，点P是线段上一点，且满足，点C，D分别在线段，上． (1)若，探究线段，的数量关系； (2)若点Q是直线上一动点，且，求的值； (3)若E是线段上的一个动点，点M，N分别是，的中点，以下两个结论： ①的值不变，②的值不变，其中只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值． 【答案】(1) (2)或 (3)①不正确；②正确， 【分析】本题考查了线段的和差，线段的中点相关计算； （1）设，，由线段的和差得，，即可求解； （2）分类讨论：当在线段的延长线上时，由线段和差得，可得 ，即可求解；当在线段上时，同理可求； （3）分类讨论：当、在在左侧时，由线段中点的定义得，，由线段的和差得，求出，，即可求解； 当、在在两侧时，同理可求；当、在在右侧时，同理可求； 能熟练利用线段的和差表示出所求线段，并能根据动点的不同位置进行分类讨论是解题的关键． 【详解】（1）解：设，， 则，， ， ， ； （2）解：当在线段的延长线上时， ， ， ， ； 当在线段上时， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 故答案：或； （3）解：当、在在左侧时， 点M，N分别是，的中点， ， ， ， ， ， 的值不确定， 的值不确定， 故①不正确； ， ， 故②正确； 当、在在两侧时， 点M，N分别是，的中点， ， ， ， 的值不确定， 故①不正确； ， ， 故②正确； 当、在在右侧时， 点M，N分别是，的中点， ， ， ， ， 的值不确定， 的值不确定， 故①不正确； ， ， 故②正确； 综上所述：①不正确；②正确，． 题型五、三角板中的角度计算问题 17．【问题发现】 如图①，将一副三角尺的直角顶点重合在点O处； （1）①与的数量关系是____________． ②与的数量关系是____________． 【问题探究】 （2）若将这副三角尺按图②摆放，三角尺的直角顶点重合在点O处； ①和有怎样的数量关系？说明理由． ②和有怎样的数量关系？说明理由． 【答案】（1）①②（2）①，理由见解析；②．理由见解析 【分析】本题考查三角板中的角度计算．掌握角的和差关系是解题的关键． （1）①根据角的和的关系进行解答；②利用周角的定义进行解答； （2）①根据同角的余角相等解答；②根据图形，表示出即可得到原关系仍然成立． 【详解】解：（1）①由题意可知． 因为，， 所以． 故答案为； ②由题意可知． 因为，， 所以． 故答案为． （2）①． 理由：由题意可知． 因为，所以； ②． 理由：由题意可知． 因为， 所以． 18．点为直线上一点，在直线上方作射线，使，直角三角板的直角顶点放在处．将直角三角板绕点转动，在转动过程中，直角边始终保持在直线上或上方． (1)如图，若三角板的直角边在射线上，则______； (2)绕点转动三角板， ①如图，当恰好平分时，试说明平分； ②在转动过程中，试探究与之间的数量关系，并给出证明． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②当在上方时，；当在下方且在上方时，；当在下方且在下方时，，证明见解析 【分析】（）根据平角的定义解答即可； （）①设，可得，即得，，即得到，即可求证；②分三种情况：当在上方时；当在下方且在上方时；当在下方且在下方时，分别画出图形，利用角的和差关系解答即可求证； 本题考查了角的和差，角平分线的定义，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 故答案为：； （2）解：①设， ∵恰好平分， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平分； ②当在上方时，． 证明：如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当在下方且在上方时，． 证明：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当在下方且在下方时，． 证明：如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 19．【综合与探究】如图①，将一副直角三角尺的直角顶点C叠放在一起． (1)若，_______；若，则 ； (2)【大胆猜想】与的大小有何特殊关系是 ； (3)【问题解决】如图②，若是两个同样的三角尺锐角的顶点A重合在一起，则与的大小有何关系？请说明理由； (4)【拓展延伸】如图③，已知（，），若把它们的顶点O重合在一起，则与的大小有何关系？用字母和表示（不需要证明直接写出答案即可）． 【答案】(1)， (2) (3)，见解析 (4) 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算． （1）先求出，进而求出；先求出，进而可得； （2）先求出，再求出，据此可得结论； （3）仿照（2）求解即可； （4）根据可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； ∵，，， ∴， ∵， ∴； 故答案为：；； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：；理由如下 由题意得，， ∴， 又∵， ∴， ∴； （4）解：，理由如下： ∵， ∴． 20．（1）探究：哪些特殊的角可以用一副三角板画出？ 在①，②，③，④中，小明同学利用一副三角板画不出来的特殊角是______．（填序号） （2）在探究过程中，爱动脑筋的小明想起了图形的运动方式有多种．如图，他先用三角板画出了直线，然后将一副三角板拼接在一起，其中角（）的顶点与角（）的顶点互相重合，且边都在直线上，固定三角板不动，将三角板绕点O按顺时针方向旋转一个角度，当边与射线第一次重合时停止． ①当平分时，求旋转角度； ②是否存在？若存在，直接写出旋转角度；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）②④；（2）①；②存在，或． 【分析】本题考查了角的计算，特殊角，角平分线的定义，正确地理解题意是解题的关键． （1）根据一副三角板中的特殊角，运用角的和与差的计算，只要是的倍数的角都可以画出来； （2）①根据已知条件得到，根据角平分线的定义得到，于是得到结论； ②分两种情况：当在的左侧时，当在的右侧时，列方程即可得到结论． 【详解】解：（1）∵，， ∴，不能写成的和或差，故画不出； 故答案为：②④； （2）①， ， 平分， ， ， ； ②当在的左侧时，如图2所示： 则，， ， ， ； 当在的右侧时，如图3所示： 则，， ， ， ， 综上所述，当或时，存在 题型六、几何图形中的角度计算问题 21．如图，点A，O，B在同一条直线上，将一直角三角尺如图1放置，使直角顶点重合于点O，是直角，平分． (1)若，求的度数．（写步骤） (2)若，则直接写出的度数为___________； (3)如图2放置，其他条件不变，直接写出和的度数之间的关系___________；如图3放置，其他条件不变，直接写出和的度数之间的关系___________． 【答案】(1)； (2)； (3)，． 【分析】本题考查了角的计算，角平分线，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键． （1）根据，可得和的度数，再根据角平分线的定义可得的度数，再根据求解即可； （2）根据，可得和的度数，再根据角平分线的定义可得的度数，再根据求解即可； （3）根据角平分线的定义可得的度数，再根据，可得，进一步计算即可，根据角平分线的定义可得的度数，再根据，可得，进一步计算即可． 【详解】（1）解：∵， ，， ∵平分， ， ； （2）解：，， ，， ∵平分， ， ， 故答案为：； （3）解：， ∵平分， ， ， ，即 故答案为： ， ， ∵平分， ， ， ，即， 故答案为：． 22．已知：，射线在内部且不与重合，． (1) ；（用α表示） (2)设． 如图1，当时， ____________； 如图2，当时， ____________； (3)求当等于多少度时，值与α无关，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)当等于60度时，值与α无关 【分析】本题考查角的有关计算，利用数形结合思想，结合代数式的推导，是解题关键． （1）根据，结合图形，得出结论； （2）根据条件中角的倍分关系，结合图中角的和差关系，通过代数式推导，可得结果； （3）先结合图中角的关系分别表示和，再观察两个式子的特点，猜想验证． 【详解】（1）解：由题意知， 故答案为：； （2）在图1中，， 在图2中，，， 故答案为：； （3）当等于60度时，值与α无关，理由如下： 当时，在图1中，，，， 在图2中，，，， 所以，当等于60度时，值始终为2，与α大小无关． 23．如图，直线与相交于点是的平分线． (1)请写出图中的所有的补角； (2)如果．求的度数． (3)在(2)的条件下，经过点O在内部作射线，使得，求的度数． 【答案】(1)都是的补角 (2) (3)或 【分析】此题主要考查了补角、垂直、以及角的计算，关键是理清图中角之间的和差关系． （1）首先根据垂直定义可得，然后再证明，根据补角定义可得都是的补角； （2）根据角平分线定义可得，再根据条件，可得的度数，然后即可算出的度数； （3）设的度数为x，则，分两种情况：①当在的上方时，如图1，②当在的下方时，如图2，根据和的关系列方程可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴都是的补角； （2）∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）设的度数为x，则， 分两种情况： ①当在的上方时，如图1， ∵， ∴， ， ∴， ②当在的下方时，如图2， ， ∴， ， ∴， 综上，的度数为或． 24．已知O为直线上的一点，，． (1)如图①，以O为观察中心，射线表示正北方向，表示正东方，若，则射线的方向是 ；若将射线、射线绕点O旋转至如图②所示的位置，另一条射线恰好平分．若，求的度数； (2)若将射线、射线绕点O旋转至如图③所示的位置，射线仍然平分，与之间存在怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】(1)北偏东；； (2)，理由见解析 【分析】本题考查与方向角有关的计算，与角平分线有关的计算，掌握方向角的定义，找准角之间的和差关系，是解题的关键： （1），得，，进而得，由此可得出答案；先求出，再根据角平分线定义得，再根据即可得出的度数； （2）设，则，，再根据角平分线定义得，进而得，由此可得出与之间的数量关系． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴射线的方向是北偏东， 故答案为：北偏东； ∵，， ∴， ∵射线恰好平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：与之间的数量关系是：， 理由如下： 设， ∵， ∴， ∴，， ∵射线仍然平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型七、实际问题中角度计算问题 25．如图1，点为直线上一点，过点作射线，，，始终在的右侧，，． (1)如图1，当，平分时，求的度数； (2)如图2，当与边重合，在的下方时，，将绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转，使射线与的角平分线形成夹角为，求此时旋转一共用了多少秒； (3)当在直线上方时，若，点在射线上，射线绕点顺时针旋转度，恰好使得，平分，，请直接写出此时的值． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题主要考查角度的和差计算，涉及角平分线的性质，分类讨论思想等，根据射线的位置不确定，进行分类讨论是解题关键． （1）由角平分线的性质可得的度数，再根据可得结论； （2）需要分两种情况进行讨论，①当点在的右侧时；②当点在的左侧时，画出图形，根据角度之间的和差关系计算即可； （3）根据题意分两种情况，当和时，画出图形，根据角度的和差运算进行计算即可． 【详解】（1）解：，平分， ， ， ； （2）解：由（1）知，，设旋转时间为， ①当点在的右侧时，， ， ； ； ②当点在的左侧时，， ， ； 综上，旋转一共用了或； （3）解：为或． 当时，如图， ， ， ， ， ， ， ， ，， 平分， ， ， 解得； 当时，如图， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， 解得； 综上，为或． 26．七年级上册《数学实验手册》中有“三角尺拼角”的问题．将一副三角尺如图这样放置，就可画出，在实验中同学们发现用一副三角尺还能画出其他特殊角． (1)请你借助三角尺完成以下操作，并在所画图形上标注所使用三角尺的相应角度； ①设计用一副三角尺画出角的画图方案，并画出相应的几何图形； ②用一副三角尺能画出的角吗？__________．（填“能”或“不能”）． (2)利用一副三角尺在图中画出的角平分线，并在所画图形上标注所使用三角尺的相应角度． (3)如图，现有角的三种模板，，，请设计一种方案，只用给出的一种模板画出的角． 小冬想出了一个方案，利用角模板画出角，动手操作：如图，M、O、N三点在一条直线上，将的顶点B与点O重合，边与射线重合，如图所示，将绕点O逆时针旋转，得，再将绕点O逆时针旋转，得，……，如此连续操作18次，再利用两个平角等于一个周角，可得的角，即：． 请从或角模板中选一个你认为能画出角的模板，设计一个方案，并说明理由． (4)对于任意一个（n为正整数）角的模板，只用此模板是否一定能画出的角？请作出判断，并说明理由． 【答案】(1)①见解析；②不能 (2)见解析 (3)选用，理由见解析 (4)不一定能，理由见解析 【分析】（1）①用一副三角尺画出角的画图方案，用含的两个角拼接即可求解; ②根据用一副三角板可以直接画出角的度数是15的倍数可解答； （2）根据题意设计一个，一边与射线重合，另一边即为角平分线， （3）根据题目所给的方案，进行设计即可求解； （4）根据角度的四则运算进行判断即可求解． 【详解】（1）解： ①用一副三角尺画出角，如图所示， ②用一副三角板可以直接画出角的度数是15的倍数， ∴用一副三角尺能不能画出的角， 故答案为：不能． （2）解：如图所示， （3）选用， 用的角旋转15次，则，与差， 再旋转16次，得到，与周角差， 再旋转16次，得到，超过始边 ∴绕点O逆时针旋转，得， 再将绕点O逆时针旋转， 得，……，如此连续操作47次， 可得的角， 即：． （4）对于任意一个（n为正整数）角的模板，只用此模板不一定能画出的角 例如，，此时无论如何旋转，都不能得到的角 【点睛】本题考查了三角板中的角度计算，角平分线的定义，角度的计算，理解题意是解题的关键． 27．如图1，大课间的广播操展让我们充分体会到了一种整体的图形之美，欢欢和乐乐想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操做得更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图2，为了方便研究，定义两手手心位置分别为，两点，两脚脚跟位置分别为，两点，定义，，，平面内为定点，将手脚运动看作绕点进行旋转： (1)填空：如图2，，，三点共线，且，则______° (2)第三节腿部运动中，如图3，欢欢发现，虽然，，三点共线，却不在水平方向上，且．她经过计算发现，的值为定值，请判断欢欢的发现是否正确，如果正确请求出这个定值，如果不正确，请说明理由； (3)第四节体侧运动中，乐乐发现，两腿左右等距张开且，开始运动前、、三点在同一水平线上，、绕点顺时针旋转，旋转速度为，旋转速度为，当旋转到与重合时，运动停止，如图4 ①运动停止时，直接写出______； ②请帮助乐乐求解运动过程中与的数量关系． 【答案】(1)90 (2)正确，代数式的值为； (3)①；②当时，；当时，． 【分析】（1）由A，O，B三点共线，可得出，再由两角相等，可得出； （2）由，设，则，分别表达和，再求比值，可得结论； （3）①算出运动停止时的时间，求出运动的角度，进而求出的度数；②由的运动过程可知，需要分类讨论，在点C，O，A共线前，和共线后两种状态，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵A，O，B三点共线， ∴， ∵， ∴． 故答案为：90； （2）∵， 设，则， ∴，， ∴． ∴欢欢的发现是正确的，代数式的值为； （3）解：∵， ∴，， 设运动时间为，则，则． ①运动停止时，即时，OA旋转的角度为， ∴， 故答案为：； ②当点C，O，A三点共线时，； ∴当时，，， ∴； 当时，， ， ∴． 综上，当时，；当时，． 【点睛】本题主要考查角的和差的相关计算，发现图形中角之间的和差关系是解题关键． 28．定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角，如图1，若，则是的内半角． （1）如图1，已知，，是的内半角，则________； （2）如图2，已知，将绕点按顺时针方向旋转一个角度得，当旋转的角度为何值时，是的内半角； （3）已知，把一块含有角的三角板如图3叠放，将三角板绕顶点以3度/秒的速度按顺时针方向旋转（如图4），问：在旋转一周的过程中，射线，，，能否构成内半角？若能，请求出旋转的时间；若不能，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）能，或或或． 【分析】（1）根据内半角的定义解答即可； （2）根据内半角的定义解答即可； （3）设按顺时针方向旋转一个角度，旋转的时间为，根据内半角的定义列方程即可得到结论． 【详解】（1）∵是的内半角，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． （2）∵， ∴， ∵是的内半角， ∴， ∴， ∴旋转的角度为时，是的内半角． （3）设按顺时针方向旋转一个角度，旋转的时间为， 如图1， ∵是的内半角，， ∴， ∴， 解得：， ∴； 如图2， ∵是的内半角，， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图3， ∵是的内半角，， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图4， ∵是的内半角，， ∴， ∴， 解得：， ∴， 综上所述，当旋转的时间为或或或时，射线，，，能构成内半角． 【点睛】本题考查了与角的有关的计算，涉及到角的和差，准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键． 题型八、角平分线的有关计算问题 29．直线，相交于点，，平分． (1)如图①，若，求和； (2)如图②，若； v①求的度数． ②直接写出与互补的角． 【答案】(1)， (2)①；②，， 【分析】本题考查邻补角，角平分线的定义，余角和补角及角的运算，求得是解题的关键． （1）根据角平分线的定义可求得的度数，再利用角的和差即可求得的度数及的度数； （2）①利用角平分线的定义及角的和差即可求得的度数；②根据补角的定义即可求得答案． 【详解】（1）解：，平分， ， ， ， ； （2）解：①平分，， ，， ， ， ； ②，，，， ， 与互补的角为：，，． 30．已知点在直线上，在直线的上方作两条射线、． (1)如图1，当时，写出图中互余的两个角______与______； (2)已知是的角平分线，是的角平分线，， ①如图2，当时，计算的度数； ②画图探究和之间的数量关系（可直接写出结果）． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了余角和补角、角平分线的定义，解决本题的关键是根据角平分线的定义进行解答． （1）根据互余的定义，结合已知以及平角来找出互余的角； （2）①先根据已知条件求出的度数，再利用角平分线的性质求出的度数，最后通过，即可求解； ②设，用含的式子表示出，再根据角平分线的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴， 又∵， ∴， ∴互余的两个角为与； 故答案为：，； （2）解：①∵，， ∴， ∵是的角平分线，是的角平分线， ∴，， ∴ ； ②如图：设， 则， ∵是的角平分线，是的角平分线， ∴， ∵， ∴． 31．点O为直线上一点，在直线同侧作射线、，使得． (1)如图1，过点O作射线，若平分，且，求的度数； (2)如图2，过点O作射线、，若平分，平分，且，求的度数； (3)过点O作射线，当恰好为的平分线时，另作射线，使得平分，当时，求的度数（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，几何图形中角度的计算． （1）先求出的度数，再根据角平分线得到，平角的定义，求出的度数，即可； （2）根据角平分线平分角推出，再根据平角的定义，求出的度数，即可； （3）分当在右侧和在左侧，两种情况进行讨论求解即可． 正确的识图，找准角度之间的关系，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键． 【详解】（1）解：，， ， 平分， ， ； （2）解：平分，平分， ，， ， ． ， ． （3）解：①如图，当在右侧时， 平分，， ． 为的平分线， ， ． ②如图，当在左侧时， 平分， ， ， 为的平分线， ， 的度数为或． 32．（1）特例感知：如图①，已知线段，，线段在线段上运动（点A不超过点M，点B不超过点N），点C和点D分别是，的中点． ①若，则　 　cm； ②线段运动时，试判断线段的长度是否发生变化？如果不变，请求出的长度，如果变化，请说明理由． （2）知识迁移：我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知在内部转动，射线和射线分别平分和． ①若，，则　 　度． ②请你猜想，和三个角有怎样的数量关系．请说明理由． 【答案】（1）①16；②不变，的长度始终等于 （2）①90；②，理由见解析 【分析】本题主要考查线段中点以及角平分线的定义，线段的和差运算，角的和差运算，熟练掌握线段中点以及角平分线的定义是解决本题的关键． （1）①先求，再根据线段中点的定义得：，，最后根据线段的和差求解即可；②设，则，再根据线段中点的定义得：，，最后根据线段的和差求解即可； （2）设，，根据角平分线的定义可得：，，，， ①由，可得，即可求解； ②设，则，结合，即可求解． 【详解】解：（1）①，，， ， 点和点分别是，的中点， ，， ， 故答案为：； ②不变，的长度始终等于， 设， ， ， 点和点分别是，的中点， ，， ； （2）设，， 射线和射线分别平分和， ，，，， ①，， ，即， ， ； 故答案为：； ②，和之间的数量关系是：，理由如下： 设， 则， ， ， ． 题型九、动角计算问题 33．数学活动课上，小聪同学摆弄着自己刚购买的一套三角板，将两块直角三角板的直角顶点C叠放在一起，然后转动三角板，在转动过程中，如图所示，请解决以下问题： (1)①________（填“＞”“＜”或“＝”）； ②当时，求的度数； (2)若为任意锐角时，猜想：与之间的数量关系．（直接写出答案，不写证明过程） 【答案】(1)①；② (2)， 【分析】本题考查的是角的和差运算，与余角补角相关的计算； （1）①由可得； ②求解，结合，利用可得答案； （2）由，，再结合角的和差运算可得答案． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∴； ②，， ， 由（1）知， ． （2）解：当为任意锐角时，， 理由如下：，， ． 34．如图，已知在内部转动，射线和射线分别平分和 (1)若，，求的度数 (2)请你猜想，和三个角有怎样的数量关系？（直接写答案） (3)如图，在内部转动，若，，，，求的度数．（用含有的式子表示计算结果） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查角平分线，角的计算，掌握角平分线的定义是正确解答的关键． （1）根据角平分线的定义以及角之间的和差关系进行计算即可； （2）由（1）的计算过程可得结论； （3）根据角的倍数关系进行计算即可． 【详解】（1）解：∵射线和射线分别平分和． ， ． （2）解：， ∵射线和射线分别平分和． ， ， 即； （3）解：， ， 又 ∵， ， ． 35．如图1，已知，，在内，在内，，．（本题中所有角均大于且小于等于） (1)从图1中的位置绕点逆时针旋转到与重合时，如图2，则____； (2)从图2中的位置绕点顺时针旋转（且，其中为正整数），直接写出所有使的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了角的计算，分情况画图讨论是解题的关键． （1）当从图1中的位置绕点逆时针旋转到与重合时，如图2，可得，再根据已知条件进行计算即可； （2）根据从图2中的位置绕点顺时针旋转（且，其中为正整数），，分两种情况画图：①当时，如图3，②当时，如图4和5，结合（2）进行角的和差计算即可． 【详解】（1）解：，， ，， 当从图1中的位置绕点逆时针旋转到与重合时，如图2， ， 故答案为：； （2）解：从图2中的位置绕点顺时针旋转（且，其中为正整数），， ①当时，如图3， ， ， ， ， ， ， ； ②当时，如图4， ， ， ， ， ， ， ； 当时，如图5， ， ， ， ，， ，， ， ， ，不合题意； 综上所述：的值为或． 36．新定义：如图1，已知射线在的内部，图中共有3个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角的度数的两倍，则称射线是的“立信线”． (1)一个角的平分线_______这个角的“立信线”；（填“是”或“不是”） (2)如图2，若，射线绕点O从位置开始．以每秒的速度逆时针旋转，当与首次成时停止旋转，设射线旋转的时间为t秒．求当t为何值时，射线是的“立信线”； (3)如图3，射线为的“立信线”，且．射线分别为、的平分线，请猜想、、会有怎样的数量关系？并说明理由； 【答案】(1)是 (2)2秒，3秒或4秒 (3)，理由见解析 【分析】本题考查了新定义，角平分线的定义，角的和差等知识，理解新定义、分类讨论是解题的关键． （1）由“立信线”含义即可作出判断； （2）分三种情况：；；；利用倍角关系及和的关系即可求解； （3）由射线分别为、的平分线，得，；由即可得出、、间的数量关系． 【详解】（1）解：由于角平分线把一个角分成相等的两部分，这两个角是原角的一半， 根据“立信线”的含义知，一个角的平分线是这个角的“立信线”； 故答案为：是； （2）解：分三种情况： 当时，则， ∴（秒）； 当时，是的平分线， 则， ∴（秒）； 当时，则， ∴（秒）； 综上，当t的值为2秒、3秒或4秒时，射线是的“立信线”； （3）解：， 理由如下： ∵射线分别为、的平分线， ∴，； ∵ ； ∴、、间的数量关系为． 题型十、角度计算综合 37．小明同学在学习了线段的中点和角的角平分线后，发现两者在方法应用方面有相似之处，于是小明进行了下面的探索研究． 【问题提出】 ①已知点在线段上，取的中点，的中点，，则是________________． ②小明在研究完之后，发现对于角的问题同样适用，如图，已知，平分，平分，则的度数为____________________． 【变式提升】 ①如图，已知点在线段上，点在点的左边，取的中点，的中点，，则的长为______________（用含的代数式表达） ②如图，已知，平分，平分，则的度数为_____________________． 【拓展延伸】 ①小明继续探究，如图，已知点在线段上，点在点的右边，取的中点，的中点，，求的长（写出求解推导的过程，用含的代数式表达） ②如图，已知，平分，平分，求的度数（写出求解推导的过程，用含的代数式表达） 【答案】[问题提出]①6；②；[变式提升]①；②；[拓展延伸]①；② 【分析】本题考查了两点间的距离，角的计算，解题的关键是∶ [问题提出]①根据线段中点的定义得出，，则可求出，即可求解； ②根据角平分线的定义得出，，则可求出，即可求解； [变式提升]①根据线段中点的定义得出，，则可求出，即可求解； ②根据角平分线的定义得出，，则可求出，即可求解； [拓展延伸]①根据线段中点的定义得出，，则可求出，即可求解； ②根据角平分线的定义得出，，则可求出，即可求解． 【详解】解：[问题提出]①∵M是的中点，N是的中点， ∴，， ∴， 又， ∴， 故答案为：6； ②∵平分，平分， ∴，， ∴， 又， ∴， 故答案为：； [变式提升]①∵M是的中点，N是的中点， ∴，， ∴， 又， ∴， 故答案为：； ②∵平分，平分， ∴，， ∴， 又， ∴， 故答案为：； [拓展延伸]①∵M是的中点，N是的中点， ∴，， ∴， 又， ∴； ②∵平分，平分， ∴，， ∴， 又， ∴． 38．在内部作射线在的右侧，且． (1)如图1，若平分平分，则 ； (2)如图2平分，探究与之间的数量关系，并证明； (3)设在的左侧，过点O作射线，使为的平分线，再作的平分线，若，画出相应的图形并求出的度数．（用含m的式子表示） 【答案】(1)105 (2) (3)画图见解析， 【分析】本题考查了角的平分线的性质、角的和差运算及几何探究问题，解题的关键是通过设未知数表示相关角的度数，结合角平分线定义和已知条件建立等量关系求解． （1）由的度数得的度数，设和的度数，结合角的和差得两角之和；利用角平分线性质表示相关角，进而通过和差计算的度数． （2）设和的度数，再设和的度数，由角的和差得关系；结合角平分线定义表示，通过和差推出与的数量关系并证明． （3）设的度数，结合角平分线定义表示和的度数；分的两种位置情况，根据建立方程，求解得的度数． 【详解】（1）解：∵，且， ∴． 设， ∵、、、顺时针顺次排列， ∴，即， ∴． ∵平分平分， ． 故答案为：． （2）解：，证明如下： 设，则． 设， ∵， ∴，即． ∵平分，且， ． ∵， ． 又， ∴， ， ∴，即． （3）解：∵为的平分线， ∴设，则． ∵为的平分线，， ． 分两种情况： ①当在与之间时，， ∵， ∴，解得， ∴． ②当在与之间时，， ∵， ∴，解得， ∴． ∵， ∴此时点A、E、D三点重合，不符合题意． 综上，． 39．已知点B、O、C在同一条直线上，． (1)如图1，若，，则_____． (2)如图2，若，，平分，求． (3)如图3，若与互余，也与互余，请在图3中画出符合条件的射线加以计算后，直接写出的度数（用含的式子表示） 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了角的有关计算，涉及了角平分线、余角的性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质，理解题意，找到角的和差关系进行求解； （1）根据角的和差关系，即可求解； （2）根据角的和差关系以及角平分线的定义，求解即可； （3）分两种情况，当在的上方时和当在的下方时，利用余角以及角的和差关系，求解即可． 【详解】（1）解：，， ， 故答案为：； （2）解：，， ， 平分， ， ； （3）解：①当在的上方时，如图， 与互余，也与互余， ，， ， ②当在的下方时，如图， 与互余，也与互余， ，， ， 综上所述，的度数为：或． 40．学校进行了创意设计大赛，请根据表格中提供的信息答题． 信息1 如图所示为小明设计的个性手表，时针，分针只在右半表盘来回转动（顺时针转至的位置再逆时针旋转至，来回旋转，转动速度与普通手表一致），左半表盘显示对应的时间．（不足一分钟的部分不显示） 信息2 学校作息时间表 第一节 8：00～8：40 第五节 13：00～13：40 第二节 8：50～9：30 第六节 13：50～14：35 大课间 9：30～10：00 第七节 14：45～15：25 第三节 10：00～10：40 第八节 15：35～16：15 第四节 10：50～11：35 体活课 16：25～16：55 (1)图1为学校大课间开始时手表盘面的示意图，此时时针和分钟所成的夹角为_____度； (2)已知某天上午第一节为数学课．请在图3中画出该节数学课下课时，时针与分针的位置．该位置与当天上课期间另一时刻时针和分针的位置都一致，这个时刻对应的时间为________； (3)若右半表面有一光线，始终保持平分．若在某一时刻射线刚好指向刻度2的位置，此时的位置记为，经过一个小时，射线的位置记为．若，请直接写出当在处时，电子表盘所显示的时间． 【答案】(1)； (2)第一节数学课下课时，时针与分针的位置如图所示； ． (3)时分或时分． 【分析】本题考查了钟面角的知识，熟悉钟表中各个指针的速度是解题关键． （1）根据时针和分针中间有三个半大格，计算即可； （2）根据题意画出图形，根据钟表读出时间即可求解； （3）根据题意，设显示的时间是时分， 当时，，计算即可； 当时，，计算即可． 【详解】（1）表盘上一大格的角度是， 图1为学校大课间开始时手表盘面的示意图，此时时间是， 时针和分针中间有三个半大格， 所成的夹角为， 故答案为：． （2）第一节数学课下课时，时针与分针的位置如图所示； 该位置与当天上课期间另一时刻时针和分针的位置都一致，结合该电子表盘可知，这个时刻对应的时间为． （3）一小时后，分针的位置不变，时针不经过拐点时会向前转动， 若要，则时针在一小时后会经过刻度或刻度并反向运动， 若时针一开始在刻度之间，与分针所成角的平分线不可能在刻度的位置， 故时针开始的位置在刻度之间． 设显示的时间是时分， 当时，， ， 当时，， ， 故具体的时间是时分或时分， 表盘上不足一分钟的时间不显示， 故当在处时，电子表盘所显示的时间是时分或时分 1．（24-25·七年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，在中，，将绕点顺时针旋转后得到（点的对应点是点，点的对应点是点，连接．若，则　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质．等腰三角形的性质，由题意可得，，，可得，根据三角形的外角等于不相邻的两个内角和，可求，即可得的度数． 【详解】将绕点顺时针旋转后得到， ，，， ， ， ， ， ， 故选：A． 2．（24-25·七年级上·河北唐山·阶段练习）如图，点A、B、C是直线l上的三个定点．点B是线段的三等分点，，若点D是直线l上的一动点，M、N分别是、的中点，则与的数量关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了两点间的距离，用特殊值法设点A为，C为，根据题意求出，设D为x，则为，为，表示出，从而得出结论． 【详解】解：设点A为，C为， 点B是线段的三等分点，， 为，， 设D为x，则为，为， ， , 故选：C． 3．（24-25·七年级上·河北保定·阶段练习）如图，线段，动点P从A出发，以的速度沿运动，M为的中点，N为的中点．以下说法正确的是（  ） ①运动后，；             ②的值随着运动时间的改变而改变； ③的值不变；                 ④当时，运动时间为．    A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④ 【答案】D 【分析】本题考查两点间的距离，动点问题，线段的和差问题，根据题意，分别用代数式表示出的长，根据线段之间和差倍关系逐一判断即可． 【详解】解：运动后，，， M为的中点， ， ，故①错误； 设运动t秒，则，， M为的中点，N为的中点， ， ， 的值随着运动时间的改变而改变，故②正确； ，， ， 的值不变，故③正确； ，， ， 解得：，故④正确； 故选：D 4．（24-25·七年级上·河北唐山·阶段练习）如图，M 为线段中点， 点B 在线段上，N为直线上的一点，若 ，，则线段的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了线段中点的有关计算；①当在的右边时，由已知得，由线段中点定义得，，由，即可求解；②当在的左边时，且在线段上，同理可求，③当在的左边时， 由判断不存在； 理解线段的定义，能用已知线段的和差表示出所求线段，根据的不同位置进行分类讨论是解题的关键． 【详解】解：①如图，当在的右边时， ， 是线段的中点， ， M 为线段中点， ， ， ； ②如图，当在的左边时，且在线段上， ， ， ， 解得：， ， M 为线段中点， ， ， ； ③如图，当在的左边时， 此种情况不存在； 综上所述：线段的长为或． 5．（24-25七年级上·河北石家庄·阶段练习）已知，将沿点逆时针旋转得到，旋转角为（不超过）；如图所示． （1）若，则 ； （2）与的数量关系是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． （1）根据题意得到，由得到答案； （2）根据即可得到答案． 【详解】解：（1）由旋转的性质可得， ； 故答案为：； （2）由旋转的性质可得， ， ． 6．（24-25七年级上·河北唐山·期末）如图①，为直线上一点，作射线，使，将一个直角三角尺如图摆放，直角顶点在点处，一条直角边在射线上．将图①中的三角尺绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转（如图②所示），在旋转一周的过程中，第秒时，所在直线恰好平分，则的值为 ． 【答案】6或42 【分析】题主要考查旋转角度计算，平分线的性质，过点O作直线平分，根据，以及平分，得出，当与重合时，所在直线恰好平分，当与重合时，所在直线恰好平分，分开计算求值即可． 【详解】解：过点O作直线平分，如图． ∵， 且， ∴，， ∵平分， ∴ ∴， 当与重合时，所在直线恰好平分． ∴（秒）， 当与重合时，所在直线恰好平分． (秒). 故答案为：6或42． 7．（24-25七年级上·河北唐山·阶段练习）如图，已知内部有两条射线 平分 平分， (1)如当时， 度． (2)当时， 度． (3)的度数分别为m，n，用含m，n的式子求出的度数． 【答案】(1)140 (2)110 (3) 【分析】本题考查了角平分线的定义，几何图形中角的和差倍分，数形结合是解题的关键． （1）根据角平分线的定义可得，进而得到，求出即可得到答案； （2）先求出，利用角平分线定义求出，即可得到答案； （3）根据角平分线的定义可得，根据已知可得，进而得出，根据即可求解． 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为140； （2）解：∵ ∴ 平分，平分， ∴ ∴， ∴， ∴， 故答案为110； （3）解：∵平分，平分， ∴ ∴， ∵，，的度数分别为，， ∴ ∴ ∴ 8．（24-25七年级上·河北·阶段练习）如图1和图2，数轴与交于公共原点O，点M，N在数轴上且表示的数分别为2和，点P在数轴上，且．初始状态下． (1)如图1，若线段中点为A，求点A在数轴上表示的数； (2)如图1，若点P在数轴上表示的数是4，将数轴绕点O旋转过程中，当数轴经过点N时，直接写出点N在数轴上表示的数为多少？ (3)如图2，将绕点O逆时针旋转得到，将绕点O逆时针旋转得到（其中）．在整个旋转过程中，当被数轴或平分时，直接写出所有符合条件的值． 【答案】(1) (2)或 (3)20或100或140 【分析】本题考查数轴，角平分线的定义，旋转的性质，掌握用数轴上的点表示数和角平分线的定义是解题的关键． （1）根据中点的计算方法解题即可； （2）根据题意可得数轴的单位长度是数轴的2倍，即可得到点N在数轴上表示的数； （3）分三种情况分别画图，然后根据角平分线的定义列方程解题即可． 【详解】（1）解：∵线段中点为A， ∴点A在数轴 上表示的数为； （2）解：∵， 点M在数轴上表示的数为，点P在数轴上表示的数是4， ∴数轴的单位长度是数轴的2倍， ∴点N在数轴上表示的数为或； （3）解：如图，则被数轴平分时， 这时，， 则，解得：； 如图，被数轴平分时， ，解得：； 如图，当被数轴平分时， 这时，解得：； 综上所述，当被数轴或平分时，值为20或100或140． 9．（24-25七年级上·河北秦皇岛·期末）按要求完成作图：    (1)如图1，点A、B、C、D在同一平面内，读下列语句，利用直尺和圆规完成下列作图： ①作线段，射线，直线； ②连结并延长至点E，使； ③通过测量、计算可以得出 °． (2)如图2，绕点O逆时针方向旋转得到，在图2中画出旋转后的． 【答案】(1)①见解析；②见解析；③180 (2)见解析 【分析】本题考查作图−−应用与设计作图、直线、射线、线段、画旋转图形，熟练掌握直线、射线、线段的定义、旋转的性质是解答本题的关键； （1）①根据线段和射线和直线的定义画图即可； ②延长，在射线上截取，则； ③通过测量得出答案； （2）将点A，B，C绕O点按逆时针方向旋转后得到对应点，顺次连接得． 【详解】（1）解：①如图，    ②如图，    ③， 故答案为； （2）解：如图，    10．（24-25七年级上·河北秦皇岛·期末）如图，已知点C为线段上一点，D、E分别是、的中点． (1)如果，，则 ； (2)小明说：的长度只与有关，和无关，他说的对吗？并说明理由． 【答案】(1) (2)小明的说法正确，理由见解析 【分析】本题考查的是线段的和差运算，线段的中点的含义； （1）先求解，结合中点的含义可得，，再结合线段的和差可得答案； （2）由中点的含义可得，，再利用的和差可得结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵D、E分别是、的中点， ∴，， ∴； （2）解： ∵D、E分别是、的中点， ∴，， ∴； ∴的长度只与有关，和无关， ∴小明的说法正确． 11．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）【定义概念】 如图，已知，在内部画射线，得到三个角，分别为，，，若这三个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线为的“幸运线”，例如：图中，射线为的一条“幸运线”．（本题中所研究的角都是大于且小于的角．） [阅读理解] （1）一个角的平分线______这个角的“幸运线”．（填“是”或“不是”） [初步应用] （2）若，射线为的“幸运线”，求的度数； 【解决问题】 （3）如图，已知，射线从出发，以每秒的速度绕点O逆时针旋转，同时，射线从出发，以每秒的速度绕点O逆时针旋转，设运动的时间为x秒（），若，，三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“幸运线”，直接写出所有t的值． 【答案】（1）是；（2）；（3）或或或 【分析】本题主要考查角平分线的计算及角的动点问题，熟练掌握角平分线的计算及角之间的和差关系是解题的关键． （1）若为的角平分线，则有，符合“幸运线”的定义； （2）根据“幸运线”的定义可得：当时，当时，当时，然后根据角的和差关系进行求解即可； （3）由题意可分①当时，在与重合之前，则有，，由是的“幸运线”可进行分类求解；②当时，在与重合之后，则有，，由是的“幸运线”可分类进行求解． 【详解】（1）若为的角平分线，则有，符合“幸运线”的定义； ∴角平分线是这个角的“幸运线”； 故答案为：是 （2）由题意得： ∵，射线为的“幸运线”， ∴①当时，则有； ②当时，则有； ③当时，则有； 综上所述：当射线为的“幸运线”时，的度数为 故答案为： （3）∵， ∴射线与重合的时间为（秒）， ∴当时，在与重合之前，如图所示： ，， 是的幸运线，则有以下三类情况： ① ② ③ 当时，在与重合之后，如图所示： 是的幸运线，则有以下三类情况： ①（不符合题意，舍去） ② ③（不符合题意，舍去） 综上：或或或． 12．（24-25七年级上·河北邯郸·期末）O为直线上一点、过点O作射线，使，一直角三角板的直角顶点放在点O处． (1)如图1，将三角板的一边与射线重合时，　　； (2)将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至如图2所示的位置，则与的数量关系是　　； (3)将图1中的三角板绕点O逆时针旋转一定角度，当恰好是的平分线时．求的度数； (4)将图①中的三角尺绕点O逆时针旋转时，在旋转的过程中，能否使？若能，直接求出n的度数；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)互余或 (3) (4)能，α的度数为°或 【分析】本题主要考查三角板中的角度计算，角平分线的概念，一元一次方程的应用，解题的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系． （1）由邻补角和余角的定义求出即可； （2）由和平角的概念求解即可； （3）由角平分线的定义可得，再根据，从而可求解； （4）分两种情况讨论：①是内；②在外，分析清楚角关系求解即可． 【详解】（1）解：，与射线重合， ， ， ； （2）∵ ∴； （3）解：由（1）得，， 是的角平分线， ， ∴ ， ； （4）解：能； ①当在内时： ，， 则， 解得：； ②当在外时： ，， 则， 解得：． 综上所述，的度数为°或． 13．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）三角板是我们常用的数学工具．如图①，先用三角板画出了直线，然后将一副三角板拼接在一起，其中角的顶点与角的顶点互相重合，且边、都在直线上． (1)以下各角中，图①不含有的角是________（填序号）； ①，②，③，④，⑤，⑥． (2)已知：射线、分别为和的角平分线，如图②，求的度数； (3)固定三角板不动，将三角板绕点按顺时针方向旋转一周，旋转角为（如图③），当射线、、三条射线中一条射线为其它两条射线组成的角（小于平角）的角平分线时，直接写出旋转角的度数． 【答案】(1)④⑥ (2) (3)或或 【分析】本题考查了角的和差、角平分线，熟练掌握与角平分线有关的计算是解题关键． （1）根据三角板可得，，，，再根据角的和差求出，，的度数，由此即可得； （2）先根据角平分线的定义可得，，再根据角的和差求解即可得； （3）分三种情况：①当射线是的角平分线时，②当射线是的角平分线时，③当射线是的角平分线时，根据角平分线的定义求解即可得． 【详解】（1）解：由题意得：，，，， ∴， ∴，， 综上，图①不含有的角是④⑥， 故答案为：④⑥． （2）解：∵射线为的角平分线，， ∴， ∵射线分别为的角平分线，， ∴， ∴． （3）解：①如图，当射线是的角平分线时， ∴， ∵， ∴旋转角； ②如图，当射线是的角平分线时， ∴， ∵， ∴旋转角； ③如图，当射线是的角平分线时， ∴， ∵， ∴旋转角； 综上，旋转角的度数为或或． 14．（24-25七年级上·河北邯郸·期末）（1）如图，点在线段上，点分别是线段的中点． ①若，求线段的长： ②若，直接写出线段的长度 （2）若在线段的延长线上，且满足分别为线段，的中点，直接写出线段的长度． 【答案】（1）①；②；（2） 【分析】（1）①根据线段中点的性质，可得、，再根据线段的和差，可得答案； ②根据线段中点的性质，可得、，再根据线段的和差，可得答案； （2）根据线段中点的性质，可得、，再根据线段的和差，可得答案． 【详解】（1）①∵点，分别是线段，的中点， ∴ ∵，， ∴，， ∴ ②同①可得   （2）， 理由如下： ∵、分别是、的中点， ∴，． 由线段的和差，得． 15．如图1，已知，点为直线上一点；在直线是上方，．一直角三角板的直角顶点放在点处，三角板一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)在图1的时刻，的度数为 ，的度数为 ； (2)如图2，当三角板绕点旋转至一边恰好平分时，的度数为 ； (3)如图3，当三角板绕点旋转至一边在的内部时，的度数为 ； (4)在三角板绕点旋转一周的过程中，与的关系为 ． 【答案】(1)，； (2)； (3)； (4)或， 【分析】本题主要考查角平分线有关的计算及角的和差关系，熟练掌握角平分线的定义及角的和差关系是解题的关键； （1）由平角的定义可求和的度数，进而可求的度数； （2）由角平分线的定义求出，再根据角的和差关系解答即可； （3）由，，可得，，然后作差即可； （4）分三种情况：当三角板绕点旋转至一边在的内部时；当三角板绕点旋转至一边不在内部时，当三角板绕点旋转至在的内部时，分别根据对顶角相等和周角的定义计算即可． 【详解】（1）解：，， ，， ； 故答案为：，； （2）解：， ， 又平分， ， ， ； 故答案为：； （3）解：，理由如下： ，， 、， ， 即； 故答案为：； （4）分两种情况： 当三角板绕点旋转至一边在的内部时， 如图，设的延长线为，则， ， ， ， ． 当三角板绕点旋转至一边不在的内部时，如图： ，， ； 当三角板绕点旋转至在的内部时，如图， ， 综上所述，与的关系为：或，； 故答案为：或，， 16．（24-25七年级上·河北秦皇岛·阶段练习）已知点在直线上，在直线的同侧，作射线，，平分．（注：，，不重合） (1)，，的位置如图1所示． ①若，，补全求的度数的过程； 解：因为，， 所以________________， ． 因为平分， 所以________， 所以________________； ②已知条件I：；条件II：，选择一个能使的条件，并说明； (2)已知，如图2所示．若和互为余角，直接写出的大小．（用含的代数式表示） 【答案】(1)①；50；；65；；15；②选条件I，理由见解析； (2)的度数为或 【分析】本题考查角的和差关系，角平分线的有关计算，掌握角平分线的定义是关键． （1）①首先根据角的和差关系求出，，然后由角平分线的概念得到，进而求解即可； ②选条件I，根据角平分线的概念求解即可； （2）根据题意分在左侧和在右侧两种情况讨论，然后根据角平分线的概念和角的和差关系求解即可； 【详解】（1）解：①因为，， 所以，． 因为平分， 所以， 所以； ②选条件I； 理由：因为平分， 所以， 所以； （2）解：如图，当在左侧时， 因为，和互为余角 所以 所以 因为平分 所以， 所以； 如图2，当在右侧时， 因为，和互为余角 所以 所以 因为平分 所以， 所以． 综上所述，的度数为或． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 动点与角度计算10大题型 目录 A题型建模・专项突破 题型一、单动点运动问题 1 题型二、多动点运动问题 2 题型三、与中点有关的运动问题 3 题型四、动点中的定值问题 5 题型五、三角板中的角度计算问题 6 题型六、几何图形中的角度计算问题 8 题型七、实际问题中角度计算问题 8 题型八、角平分线的有关计算问题 8 题型九、动角计算问题 9 题型十、角度计算综合 11 B综合攻坚・能力跃升 题型一、单动点运动问题 1．如图，，C为线段上一动点，点D在线段上且满足． (1)当C为线段的中点时，求的长． (2)若E为线段的中点，当E时，求的长． 2．已知点C为线段上一动点，点D，E分别是线段和的中点． (1)如图，若线段 ，求线段的长； (2)若线段的长为，则线段的长为 （用含的代数式表示）． 3．已知a、b满足，，且有理数a、b、c在数轴上对应的点分别为A、B、C． (1)则　　，　　，　　； (2)点D是数轴上A点右侧一动点，点E、点F分别为中点，当点D运动时，线段的长度是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变，请求出其值． 4．如图，B是线段上一动点，以的速度沿往返运动1次，C是线段的中点，，设点B运动的时间为． (1)当时，求线段的长； (2)当时，求线段的长． 题型二、多动点运动问题 5．如图，数轴上的点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，b是最大的负整数，且a，c满足． (1)________，________，________． (2)点P为数轴上一动点，则的最小值为________，此时点P表示的数为________． (3)若点A，B，C开始在数轴上运动，点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和每秒3个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒．若点A与点B之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为，则________，________．（用含t的代数式表示） (4)的值是否随着t的变化而变化？若变化，请说明理由：若不变，请求其值． 6．定义：在同一直线上有三点，若点到两点的距离呈2倍关系，即或，则称点是线段的“倍距点”． (1)线段的中点 该线段的“倍距点”；（填“是”或者“不是”） (2)已知，点是线段的“倍距点”，直接写出 ． (3)如图1，在数轴上，点表示的数为2，点表示的数为20，点为线段中点． ①现有一动点从原点O出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向右匀速运动．设运动时间为秒，求当为何值时，点为的“倍距点”？ ②现有一长度为2的线段（如图2，点起始位置在原点），从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿数轴向右匀速运动．当点为的“倍距点”时，请直接写出的值． 7．已知数轴上有两个点． (1)如图1，若，是的中点，为线段上的一点，且，则=_______，=_______，=_______（用含的代数式表示）；    (2)如图2，若三点对应的数分别为，，． ①当两点同时向左运动，同时点向右运动，已知点的速度分别为8个单位长度/秒､4个单位长度/秒､2个单位长度/秒，点M为线段的中点，点N为线段的中点，求运动3秒以后线段的长． ②现有动点都从点出发，点P以每秒1个单位长度的速度向终点移动；当点P移动到B点时，点Q才从点出发，并以每秒3个单位长度的速度向左移动，且当点P到达点时，点Q也停止移动（若设点P的运动时间为t）．当两点间的距离恰为18个单位时，则时间t的值为______． 8．如图，是线段上一点，，，两动点分别从点，同时出发沿射线向左运动，到达点处即停止运动． (1)若点，的速度分别是，． ①若，当动点，运动了时，求的值； ②若点到达中点时，点也刚好到达的中点，求； (2)若动点，的速度分别是，，点，在运动时，总有，求的长度． 题型三、与中点有关的运动问题 9．如图，已知数轴上点表示的数为，点表示的数为，满足．动点从点出发以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点表示的数是_______，点表示的数是_______； (2)若点从点出发向左运动，点为的中点，在点到达点之前，求证：为定值． 10．已知线段，点是线段延长线上一个动点，是线段的中点． (1)如图，若，求线段的长； (2)若的长逐渐增大，则的长的变化趋势是____________； ①变小；②变大；③先变大，后变小；④先变小，后变大． (3)若，画出所有符合条件的图形并求线段的长． 11．如图，B是线段上一动点，沿以每秒的速度往返运动1次，C是线段的中点，，设点B的运动时间为t秒． (1)当时，______cm，______cm； (2)用含有t的代数式表示运动过程中的长； (3)在运动过程中，若的中点为E，则的长度是否发生变化？若不变，求出的长：若变化，请说明理由． 12．在数轴上，如果A点表示的数记为a，点B表示的数记为b，则、两点间的距离可以记作或．我们把数轴上两点之间的距离，用两点的大写字母表示，如：点A与点B之间的距离表示为．如图，在数轴上，点，，表示的数为，，． (1)直接写出结果， ， ． (2)设点P在数轴上对应的数为． ①若点P为线段的中点，则 ． ②若点P为线段上的一个动点，则的化简结果是 ． (3)动点M从A出发，以每秒2个单位的速度沿数轴在、之间向右运动，同时动点N从B出发，以每秒4个单位的速度沿数轴在、之间往返运动，当点M运动到B时，M和N两点停止运动．设运动时间为t秒，是否存在t值，使得？若存在，请直接写出t值；若不存在，请说明理由． 题型四、动点中的定值问题 13．，两点在数轴上的位置如图所示，其中点对应的有理数为，且．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为秒（）． (1)直接写出当时，的长是______，此时点在数轴上对应的有理数是______； (2)请用含的代数式表示线段的长为______，此时数轴上点所对应的数表示为______； (3)在（）的条件下，点是线段的中点，点是线段的中点，求此时线段的长度． (4)为线段的中点，为线段的中点．在点从点出发沿数轴正方向运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变求出线段的长度． 14．综合与探究 问题情境 数学活动课上，老师展示了一个问题：如图，已知数轴上点O为原点，A、B两点所表示数分别为和8． 实践探究 (1)线段的长为________； (2)动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒， ①当时，线段________，线段________，点P表示的数为________；（用含t的代数式表示） ②若点M是线段的中点，点N是线段的中点，当动点P在（2）条件下运动时，线段的长度是否与点P的运动时间t有关．若有关，请求出线段的长度与t的关系式；若无关，请说明理由，并求出线段的长度． 15．学科素养·分类讨论思想 如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上一点，且．动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)点B表示的数为______，点P表示的数为______（用含t的代数式表示）； (2)若M为的中点，N为的中点．点P在运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长． 16．如图，点P是线段上一点，且满足，点C，D分别在线段，上． (1)若，探究线段，的数量关系； (2)若点Q是直线上一动点，且，求的值； (3)若E是线段上的一个动点，点M，N分别是，的中点，以下两个结论： ①的值不变，②的值不变，其中只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值． 题型五、三角板中的角度计算问题 17．【问题发现】 如图①，将一副三角尺的直角顶点重合在点O处； （1）①与的数量关系是____________． ②与的数量关系是____________． 【问题探究】 （2）若将这副三角尺按图②摆放，三角尺的直角顶点重合在点O处； ①和有怎样的数量关系？说明理由． ②和有怎样的数量关系？说明理由． 18．点为直线上一点，在直线上方作射线，使，直角三角板的直角顶点放在处．将直角三角板绕点转动，在转动过程中，直角边始终保持在直线上或上方． (1)如图，若三角板的直角边在射线上，则______； (2)绕点转动三角板， ①如图，当恰好平分时，试说明平分； ②在转动过程中，试探究与之间的数量关系，并给出证明． 19．【综合与探究】如图①，将一副直角三角尺的直角顶点C叠放在一起． (1)若，_______；若，则 ； (2)【大胆猜想】与的大小有何特殊关系是 ； (3)【问题解决】如图②，若是两个同样的三角尺锐角的顶点A重合在一起，则与的大小有何关系？请说明理由； (4)【拓展延伸】如图③，已知（，），若把它们的顶点O重合在一起，则与的大小有何关系？用字母和表示（不需要证明直接写出答案即可）． 20．（1）探究：哪些特殊的角可以用一副三角板画出？ 在①，②，③，④中，小明同学利用一副三角板画不出来的特殊角是______．（填序号） （2）在探究过程中，爱动脑筋的小明想起了图形的运动方式有多种．如图，他先用三角板画出了直线，然后将一副三角板拼接在一起，其中角（）的顶点与角（）的顶点互相重合，且边都在直线上，固定三角板不动，将三角板绕点O按顺时针方向旋转一个角度，当边与射线第一次重合时停止． ①当平分时，求旋转角度； ②是否存在？若存在，直接写出旋转角度；若不存在，请说明理由． 题型六、几何图形中的角度计算问题 21．如图，点A，O，B在同一条直线上，将一直角三角尺如图1放置，使直角顶点重合于点O，是直角，平分． (1)若，求的度数．（写步骤） (2)若，则直接写出的度数为___________； (3)如图2放置，其他条件不变，直接写出和的度数之间的关系___________；如图3放置，其他条件不变，直接写出和的度数之间的关系___________． 22．已知：，射线在内部且不与重合，． (1) ；（用α表示） (2)设． 如图1，当时， ____________； 如图2，当时， ____________； (3)求当等于多少度时，值与α无关，并说明理由． 23．如图，直线与相交于点是的平分线． (1)请写出图中的所有的补角； (2)如果．求的度数． (3)在(2)的条件下，经过点O在内部作射线，使得，求的度数． 24．已知O为直线上的一点，，． (1)如图①，以O为观察中心，射线表示正北方向，表示正东方，若，则射线的方向是 ；若将射线、射线绕点O旋转至如图②所示的位置，另一条射线恰好平分．若，求的度数； (2)若将射线、射线绕点O旋转至如图③所示的位置，射线仍然平分，与之间存在怎样的数量关系？请说明理由． 题型七、实际问题中角度计算问题 25．如图1，点为直线上一点，过点作射线，，，始终在的右侧，，． (1)如图1，当，平分时，求的度数； (2)如图2，当与边重合，在的下方时，，将绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转，使射线与的角平分线形成夹角为，求此时旋转一共用了多少秒； (3)当在直线上方时，若，点在射线上，射线绕点顺时针旋转度，恰好使得，平分，，请直接写出此时的值． 26．七年级上册《数学实验手册》中有“三角尺拼角”的问题．将一副三角尺如图这样放置，就可画出，在实验中同学们发现用一副三角尺还能画出其他特殊角． (1)请你借助三角尺完成以下操作，并在所画图形上标注所使用三角尺的相应角度； ①设计用一副三角尺画出角的画图方案，并画出相应的几何图形； ②用一副三角尺能画出的角吗？__________．（填“能”或“不能”）． (2)利用一副三角尺在图中画出的角平分线，并在所画图形上标注所使用三角尺的相应角度． (3)如图，现有角的三种模板，，，请设计一种方案，只用给出的一种模板画出的角． 小冬想出了一个方案，利用角模板画出角，动手操作：如图，M、O、N三点在一条直线上，将的顶点B与点O重合，边与射线重合，如图所示，将绕点O逆时针旋转，得，再将绕点O逆时针旋转，得，……，如此连续操作18次，再利用两个平角等于一个周角，可得的角，即：． 请从或角模板中选一个你认为能画出角的模板，设计一个方案，并说明理由． (4)对于任意一个（n为正整数）角的模板，只用此模板是否一定能画出的角？请作出判断，并说明理由． 27．如图1，大课间的广播操展让我们充分体会到了一种整体的图形之美，欢欢和乐乐想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操做得更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图2，为了方便研究，定义两手手心位置分别为，两点，两脚脚跟位置分别为，两点，定义，，，平面内为定点，将手脚运动看作绕点进行旋转： (1)填空：如图2，，，三点共线，且，则______° (2)第三节腿部运动中，如图3，欢欢发现，虽然，，三点共线，却不在水平方向上，且．她经过计算发现，的值为定值，请判断欢欢的发现是否正确，如果正确请求出这个定值，如果不正确，请说明理由； (3)第四节体侧运动中，乐乐发现，两腿左右等距张开且，开始运动前、、三点在同一水平线上，、绕点顺时针旋转，旋转速度为，旋转速度为，当旋转到与重合时，运动停止，如图4 ①运动停止时，直接写出______； ②请帮助乐乐求解运动过程中与的数量关系． 28．定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角，如图1，若，则是的内半角． （1）如图1，已知，，是的内半角，则________； （2）如图2，已知，将绕点按顺时针方向旋转一个角度得，当旋转的角度为何值时，是的内半角； （3）已知，把一块含有角的三角板如图3叠放，将三角板绕顶点以3度/秒的速度按顺时针方向旋转（如图4），问：在旋转一周的过程中，射线，，，能否构成内半角？若能，请求出旋转的时间；若不能，请说明理由． 题型八、角平分线的有关计算问题 29．直线，相交于点，，平分． (1)如图①，若，求和； (2)如图②，若； v①求的度数． ②直接写出与互补的角． 30．已知点在直线上，在直线的上方作两条射线、． (1)如图1，当时，写出图中互余的两个角______与______； (2)已知是的角平分线，是的角平分线，， ①如图2，当时，计算的度数； ②画图探究和之间的数量关系（可直接写出结果）． 31．点O为直线上一点，在直线同侧作射线、，使得． (1)如图1，过点O作射线，若平分，且，求的度数； (2)如图2，过点O作射线、，若平分，平分，且，求的度数； (3)过点O作射线，当恰好为的平分线时，另作射线，使得平分，当时，求的度数（用含的代数式表示）． 32．（1）特例感知：如图①，已知线段，，线段在线段上运动（点A不超过点M，点B不超过点N），点C和点D分别是，的中点． ①若，则　 　cm； ②线段运动时，试判断线段的长度是否发生变化？如果不变，请求出的长度，如果变化，请说明理由． （2）知识迁移：我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知在内部转动，射线和射线分别平分和． ①若，，则　 　度． ②请你猜想，和三个角有怎样的数量关系．请说明理由． 题型九、动角计算问题 33．数学活动课上，小聪同学摆弄着自己刚购买的一套三角板，将两块直角三角板的直角顶点C叠放在一起，然后转动三角板，在转动过程中，如图所示，请解决以下问题： (1)①________（填“＞”“＜”或“＝”）； ②当时，求的度数； (2)若为任意锐角时，猜想：与之间的数量关系．（直接写出答案，不写证明过程） 34．如图，已知在内部转动，射线和射线分别平分和 (1)若，，求的度数 (2)请你猜想，和三个角有怎样的数量关系？（直接写答案） (3)如图，在内部转动，若，，，，求的度数．（用含有的式子表示计算结果） 35．如图1，已知，，在内，在内，，．（本题中所有角均大于且小于等于） (1)从图1中的位置绕点逆时针旋转到与重合时，如图2，则____； (2)从图2中的位置绕点顺时针旋转（且，其中为正整数），直接写出所有使的值． 36．新定义：如图1，已知射线在的内部，图中共有3个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角的度数的两倍，则称射线是的“立信线”． (1)一个角的平分线_______这个角的“立信线”；（填“是”或“不是”） (2)如图2，若，射线绕点O从位置开始．以每秒的速度逆时针旋转，当与首次成时停止旋转，设射线旋转的时间为t秒．求当t为何值时，射线是的“立信线”； (3)如图3，射线为的“立信线”，且．射线分别为、的平分线，请猜想、、会有怎样的数量关系？并说明理由； 题型十、角度计算综合 37．小明同学在学习了线段的中点和角的角平分线后，发现两者在方法应用方面有相似之处，于是小明进行了下面的探索研究． 【问题提出】 ①已知点在线段上，取的中点，的中点，，则是________________． ②小明在研究完之后，发现对于角的问题同样适用，如图，已知，平分，平分，则的度数为____________________． 【变式提升】 ①如图，已知点在线段上，点在点的左边，取的中点，的中点，，则的长为______________（用含的代数式表达） ②如图，已知，平分，平分，则的度数为_____________________． 【拓展延伸】 ①小明继续探究，如图，已知点在线段上，点在点的右边，取的中点，的中点，，求的长（写出求解推导的过程，用含的代数式表达） ②如图，已知，平分，平分，求的度数（写出求解推导的过程，用含的代数式表达） 38．在内部作射线在的右侧，且． (1)如图1，若平分平分，则 ； (2)如图2平分，探究与之间的数量关系，并证明； (3)设在的左侧，过点O作射线，使为的平分线，再作的平分线，若，画出相应的图形并求出的度数．（用含m的式子表示） 39．已知点B、O、C在同一条直线上，． (1)如图1，若，，则_____． (2)如图2，若，，平分，求． (3)如图3，若与互余，也与互余，请在图3中画出符合条件的射线加以计算后，直接写出的度数（用含的式子表示） 40．学校进行了创意设计大赛，请根据表格中提供的信息答题． 信息1 如图所示为小明设计的个性手表，时针，分针只在右半表盘来回转动（顺时针转至的位置再逆时针旋转至，来回旋转，转动速度与普通手表一致），左半表盘显示对应的时间．（不足一分钟的部分不显示） 信息2 学校作息时间表 第一节 8：00～8：40 第五节 13：00～13：40 第二节 8：50～9：30 第六节 13：50～14：35 大课间 9：30～10：00 第七节 14：45～15：25 第三节 10：00～10：40 第八节 15：35～16：15 第四节 10：50～11：35 体活课 16：25～16：55 (1)图1为学校大课间开始时手表盘面的示意图，此时时针和分钟所成的夹角为_____度； (2)已知某天上午第一节为数学课．请在图3中画出该节数学课下课时，时针与分针的位置．该位置与当天上课期间另一时刻时针和分针的位置都一致，这个时刻对应的时间为________； (3)若右半表面有一光线，始终保持平分．若在某一时刻射线刚好指向刻度2的位置，此时的位置记为，经过一个小时，射线的位置记为．若，请直接写出当在处时，电子表盘所显示的时间． 1．（24-25·七年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，在中，，将绕点顺时针旋转后得到（点的对应点是点，点的对应点是点，连接．若，则　　） A． B． C． D． 2．（24-25·七年级上·河北唐山·阶段练习）如图，点A、B、C是直线l上的三个定点．点B是线段的三等分点，，若点D是直线l上的一动点，M、N分别是、的中点，则与的数量关系是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25·七年级上·河北保定·阶段练习）如图，线段，动点P从A出发，以的速度沿运动，M为的中点，N为的中点．以下说法正确的是（  ） ①运动后，；             ②的值随着运动时间的改变而改变； ③的值不变；                 ④当时，运动时间为．    A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④ 4．（24-25·七年级上·河北唐山·阶段练习）如图，M 为线段中点， 点B 在线段上，N为直线上的一点，若 ，，则线段的长为 ． 5．（24-25七年级上·河北石家庄·阶段练习）已知，将沿点逆时针旋转得到，旋转角为（不超过）；如图所示． （1）若，则 ； （2）与的数量关系是 ． 6．（24-25七年级上·河北唐山·期末）如图①，为直线上一点，作射线，使，将一个直角三角尺如图摆放，直角顶点在点处，一条直角边在射线上．将图①中的三角尺绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转（如图②所示），在旋转一周的过程中，第秒时，所在直线恰好平分，则的值为 ． 7．（24-25七年级上·河北唐山·阶段练习）如图，已知内部有两条射线 平分 平分， (1)如当时， 度． (2)当时， 度． (3)的度数分别为m，n，用含m，n的式子求出的度数． 8．（24-25七年级上·河北·阶段练习）如图1和图2，数轴与交于公共原点O，点M，N在数轴上且表示的数分别为2和，点P在数轴上，且．初始状态下． (1)如图1，若线段中点为A，求点A在数轴上表示的数； (2)如图1，若点P在数轴上表示的数是4，将数轴绕点O旋转过程中，当数轴经过点N时，直接写出点N在数轴上表示的数为多少？ (3)如图2，将绕点O逆时针旋转得到，将绕点O逆时针旋转得到（其中）．在整个旋转过程中，当被数轴或平分时，直接写出所有符合条件的值． 9．（24-25七年级上·河北秦皇岛·期末）按要求完成作图：    (1)如图1，点A、B、C、D在同一平面内，读下列语句，利用直尺和圆规完成下列作图： ①作线段，射线，直线； ②连结并延长至点E，使； ③通过测量、计算可以得出 °． (2)如图2，绕点O逆时针方向旋转得到，在图2中画出旋转后的． 10．（24-25七年级上·河北秦皇岛·期末）如图，已知点C为线段上一点，D、E分别是、的中点． (1)如果，，则 ； (2)小明说：的长度只与有关，和无关，他说的对吗？并说明理由． 11．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）【定义概念】 如图，已知，在内部画射线，得到三个角，分别为，，，若这三个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线为的“幸运线”，例如：图中，射线为的一条“幸运线”．（本题中所研究的角都是大于且小于的角．） [阅读理解] （1）一个角的平分线______这个角的“幸运线”．（填“是”或“不是”） [初步应用] （2）若，射线为的“幸运线”，求的度数； 【解决问题】 （3）如图，已知，射线从出发，以每秒的速度绕点O逆时针旋转，同时，射线从出发，以每秒的速度绕点O逆时针旋转，设运动的时间为x秒（），若，，三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“幸运线”，直接写出所有t的值． 12．（24-25七年级上·河北邯郸·期末）O为直线上一点、过点O作射线，使，一直角三角板的直角顶点放在点O处． (1)如图1，将三角板的一边与射线重合时，　　； (2)将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至如图2所示的位置，则与的数量关系是　　； (3)将图1中的三角板绕点O逆时针旋转一定角度，当恰好是的平分线时．求的度数； (4)将图①中的三角尺绕点O逆时针旋转时，在旋转的过程中，能否使？若能，直接求出n的度数；若不能，请说明理由． 13．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）三角板是我们常用的数学工具．如图①，先用三角板画出了直线，然后将一副三角板拼接在一起，其中角的顶点与角的顶点互相重合，且边、都在直线上． (1)以下各角中，图①不含有的角是________（填序号）； ①，②，③，④，⑤，⑥． (2)已知：射线、分别为和的角平分线，如图②，求的度数； (3)固定三角板不动，将三角板绕点按顺时针方向旋转一周，旋转角为（如图③），当射线、、三条射线中一条射线为其它两条射线组成的角（小于平角）的角平分线时，直接写出旋转角的度数． 14．（24-25七年级上·河北邯郸·期末）（1）如图，点在线段上，点分别是线段的中点． ①若，求线段的长： ②若，直接写出线段的长度 （2）若在线段的延长线上，且满足分别为线段，的中点，直接写出线段的长度． 15．如图1，已知，点为直线上一点；在直线是上方，．一直角三角板的直角顶点放在点处，三角板一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)在图1的时刻，的度数为 ，的度数为 ； (2)如图2，当三角板绕点旋转至一边恰好平分时，的度数为 ； (3)如图3，当三角板绕点旋转至一边在的内部时，的度数为 ； (4)在三角板绕点旋转一周的过程中，与的关系为 ． 16．（24-25七年级上·河北秦皇岛·阶段练习）已知点在直线上，在直线的同侧，作射线，，平分．（注：，，不重合） (1)，，的位置如图1所示． ①若，，补全求的度数的过程； 解：因为，， 所以________________， ． 因为平分， 所以________， 所以________________； ②已知条件I：；条件II：，选择一个能使的条件，并说明； (2)已知，如图2所示．若和互为余角，直接写出的大小．（用含的代数式表示） 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$