第三章 圆柱与圆锥（知识清单）数学人教版五四制2024六年级上册

第三章 圆柱与圆锥（知识清单） 一、圆柱 （一）圆柱的认识 1．生活中如彩色铅笔盒、储罐、柱子、砧板等物体，都具有圆柱的形象． 2．圆柱由上、下两个底面和一个侧面组成，两个底面是完全相同的圆面，周围的面（上、下底面除外）是曲面，称为侧面；圆柱两个底面之间的距离叫作高． 3．圆柱可由一个长方形以它的一边为轴旋转一周形成，也可由一个圆面沿与它垂直的方向平移形成． （二）圆柱的表面积 1．圆柱的表面积是其展开图各部分面积的和，沿垂直于底面的方向将圆柱展开，得到2个大小相同的圆（底面）和1个长方形（侧面），且长方形的长等于圆柱底面的周长，宽等于圆柱的高． 2．如果圆柱的底面半径是r，高是h，那么 圆柱的侧面积=底面周长×高=2πrh， 圆柱的表面积=圆柱的侧面积+两个底面的面积=2πrh+2πr2． （三）圆柱的体积 1．可以把圆柱切成一层一层的圆片，每层体积单位的个数对应圆柱底面的面积，层数对应圆柱的高，圆柱的体积=底面积×高； 也可以也可以把圆柱的底面分成许多相等的扇形，然后沿着扇形把圆柱切开，再拼起来，就能得到一个近似的长方体．近似长方体的底面积等于圆柱的底面积，高等于圆柱的高，由长方体体积公式推导出圆柱的体积底面积×高． 2．圆柱体积公式：若用V表示体积，S表示底面积，h表示高，则V=Sh；若已知底面半径r，则体积公式为V=πr2h． 二、圆锥 （一）圆锥的认识 1．生活中如斗笠、漏斗、通风孔帽、圆锥形纸杯等物体，都具有圆锥的形象． 2．圆锥的底面是一个圆面，侧面是曲面；从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高． 测量圆锥的高时，需将圆锥底面放水平，用平板水平放在顶点上方，测量平板与底面之间的垂直距离． 3．圆锥可由一个直角三角形以它的一条直角边为轴旋转一周形成． （二）圆锥的表面积 1．连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫作圆锥的母线． 2．沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到的侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥母线长l，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长2πr（r为底面半径）． 圆锥的侧面积=πrl， 圆锥的表面积=圆锥的侧面积+圆锥的底面积=πr(r+l)． （三）圆锥的体积 1．通过实验探究圆锥与圆柱体积的关系：准备等底、等高的圆柱和圆锥形容器，往空圆锥里装满沙土或水倒入空圆柱，需倒3次装满；往圆柱里装满沙土或水倒入空圆锥，需倒3次倒完，由此得出：圆锥体积等于和它等底等高的圆柱体积的三分之一． 2．圆锥体积公式：若用V表示圆锥体积，表示底面积，表示高，则 Shπr2h（为底面半径）． 易错点1：混淆圆柱的高与圆锥的高 错误： 1．认为圆柱的高是底面直径或半径，而非两个底面之间的垂直距离； 2．测量圆锥的高时，未从顶点垂直到底面圆心，而是测量顶点到底面圆周上某点的距离。 例如： 判断“圆柱的高就是底面直径，圆锥的高是顶点到底面圆周的距离”，或测量圆锥高时，直接用尺子从顶点量到底面边缘，得到的长度当作圆锥的高。 注意： 1．圆柱有无数条高，所有高的长度都相等，且必须垂直于两个底面； 2．圆锥只有1条高，测量时需用平板将圆锥底面放平，再用直尺从顶点垂直向下测量到底面圆心。 例题1： 判断：圆柱的高是底面直径，圆锥的高是顶点到底面圆周的距离（ ） 【答案】× 【解析】 解：根据圆柱和圆锥高的定义，圆柱的高是两个底面之间的垂直距离，不是底面直径；圆锥的高是从顶点到底面圆心的垂直距离，不是顶点到底面圆周的距离。因此该说法错误。 易错点2：计算圆柱表面积时忽略实际场景（多算或漏算面） 错误： 1．计算无盖圆柱（如笔筒、水桶）的表面积时，仍计算两个底面的面积； 2．计算圆柱型烟囱、通风管的表面积时，错误加入底面面积，实际只需计算侧面积。 例如： 计算一个无盖圆柱形笔筒（底面半径3cm，高10cm）的表面积时，错误使用公式“”，将两个底面面积都计入，导致结果偏大；或计算圆柱形通风管表面积时，额外加上1个或2个底面面积。 注意： 计算圆柱表面积前，需先判断物体实际有几个面： 1．完整圆柱（如圆柱模型）：2个底面面积+侧面积； 2．无盖圆柱（笔筒、水桶）：1个底面面积+侧面积； 3．通风管、烟囱：仅侧面积。 例题2： 一个无盖圆柱形水桶，底面半径2dm，高5dm，制作这个水桶至少需要多少平方分米铁皮？ 【答案】75.36dm² 【解析】 解：水桶是无盖圆柱，只需计算1个底面面积和侧面积。 底面面积：底（dm²） 侧面积：侧（dm²） 总面积：（dm²） 答：制作这个水桶至少需要75.36平方分米铁皮。 易错点3：圆柱侧面积公式与底面周长公式混淆 错误： 1．用“底面半径×高”或“底面直径×高”计算侧面积，忘记先算底面周长（或）； 2．已知底面直径时，错误用“”计算侧面积，混淆半径和直径的关系。 例如： 计算底面直径4cm、高5cm的圆柱侧面积时，错误列式为“（cm²）”（直接用直径×高），或“（cm²）”（误将直径当作半径代入“”公式）。 注意： 圆柱侧面积公式的本质是“长方形面积”（侧面展开图为长方形），长方形的长=圆柱底面周长（或），宽=圆柱的高，因此侧面积公式为： （已知半径）； （已知直径）。 例题3： 一个圆柱底面直径4cm，高6cm，求它的侧面积。 【答案】75.36cm² 【解析】 解：先根据直径算底面周长，再用周长×高算侧面积。 底面周长：（cm） 侧面积：侧（cm²） 答：它的侧面积是75.36cm²。 易错点4：圆锥体积公式漏乘 错误： 计算圆锥体积时，直接用“底面积×高”（即套用圆柱体积公式），忘记乘，导致结果偏大3倍。 例如： 计算底面积15cm²、高6cm的圆锥体积时，错误列式为“（cm³）”，未乘，正确结果应为30cm³，错误结果是正确结果的3倍。 注意： 圆锥体积是等底等高圆柱体积的，必须牢记公式： （已知底面积和高）； （已知半径和高）。 例题4: 一个圆锥底面积12cm²，高6cm，求它的体积。 【答案】24cm³ 【解析】 解：根据圆锥体积公式，需用底面积×高×。 圆锥底（cm³） 答：它的体积是24cm³。 易错点5：错误认为“圆锥体积是所有圆柱体积的” 错误： 忽略“等底等高”的前提，直接说“圆锥体积是圆柱体积的”，例如认为底面半径2cm、高3cm的圆锥，体积是底面半径1cm、高3cm圆柱体积的。 例如： 判断“一个圆锥和一个圆柱，无论底面积和高是否相同，圆锥体积都是圆柱体积的”，或计算底面半径2cm、高3cm的圆锥（体积12.56cm³）和底面半径1cm、高3cm的圆柱（体积9.42cm³）时，错误认为圆锥体积是圆柱体积的。 注意： “圆锥体积是圆柱体积的”的唯一前提是：圆锥和圆柱等底等高（底面积相等且高相等），若底面积或高不同，该关系不成立。 例题5 判断：圆锥体积一定是圆柱体积的（ ） 【答案】× 【解析】 解：只有当圆锥和圆柱等底等高时，圆锥体积才是圆柱体积的。若两者底面积或高不同，比如圆锥底面积2cm²、高3cm（体积2cm³），圆柱底面积3cm²、高3cm（体积9cm³），此时圆锥体积不是圆柱体积的。因此该说法错误。 易错点6：计算圆锥侧面积时混淆“母线”与“高” 错误： 1．用圆锥的“高”代替“母线”计算侧面积，公式错写为“”（正确应为，为母线）； 2．不知道“母线”的定义，误将底面半径当作母线。 例如： 计算底面半径3cm、高4cm、母线长5cm的圆锥侧面积时，错误用高代入公式，列式为“（cm²）”（正确应为cm²）；或误将底面半径3cm当作母线，列式为“（cm²）”。 注意： 1．圆锥母线（）是“顶点到底面圆周上任意一点的线段”，不是高（高是顶点到底面圆心的线段），母线长度大于高； 2．圆锥侧面积公式：侧（为底面半径，为母线），表面积公式：表（侧面积+1个底面面积）。 例题6： 一个圆锥底面半径3cm，母线长5cm，求它的侧面积。 【答案】47.1cm² 【解析】 解：根据圆锥侧面积公式，需用“”，其中是母线长（5cm），不是高。 侧（cm²） 答：它的侧面积是47.1cm²。 易错点7：单位不统一导致计算错误 错误： 1．题目中单位不一致时未统一，例如底面半径2dm、高5cm，直接代入公式计算，导致结果单位混乱； 2．体积单位与容积单位混淆，例如将“1cm³”等同于“1L”（正确：1L=1dm³=1000cm³）。 例如： 计算底面半径2dm（20cm）、高5cm的圆柱体积时，直接列式为“”，未统一单位，既未明确结果是“cm³”（正确应为cm³），也未换算成“dm³”（正确应为dm³）；或认为“一个容积为500cm³的杯子能装500L水”，混淆体积与容积单位。 注意： 1．计算前先统一所有数据的单位（如都换算成cm、dm或m）； 2．牢记体积/容积单位换算：1m³=1000dm³，1dm³=1000cm³，1L=1dm³，1mL=1cm³。 例题7： 一个圆柱底面直径2dm，高8cm，求它的体积（结果用“cm³”表示）。 【答案】2512cm³ 【解析】 解：先统一单位，将直径2dm换算成20cm，再计算体积。 底面半径：（cm） 体积：（cm³） 答：它的体积是2512cm³。 一、单选题 1．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，那么圆柱的高和（ ）相等． A．底面直径 B．底面周长 C．底面积 D．底面半径 【答案】B 【分析】本题考查圆柱的侧面展开图，根据圆锥的侧面展开图的两条邻边分别为底面圆的周长和圆周的高，进行判断即可． 【详解】解：圆锥的侧面展开图的两条邻边分别为底面圆的周长和圆周的高， 又因为正方形的四边相等， 所以那么圆柱的高和底面周长相等； 故选B． 2．一个圆柱和一个圆锥，圆柱与圆锥底面直径的比是，体积的比是，圆柱与圆锥高的比是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设圆柱的底面积为，则圆锥的底面积是，设圆柱的高为，圆锥的高为，根据圆柱和圆锥的体积的比是可得：，进而根据题意，进行比，然后化为最简整数比即可． 【详解】解：∵圆柱与圆锥底面直径的比是， ∴圆柱与圆锥底面面积的比是， 设圆柱的底面积为，则圆锥的底面积是，设圆柱的高为，圆锥的高为， 根据题意可知：， 则． 故选：B． 【点睛】本题考查了圆柱和圆锥的体积，解答此题用到的知识点：（1）圆柱和圆锥的体积计算方法；（2）比例基本性质的逆运算． 3．一根底面直径2分米，高10分米的圆木，如图所示，现根据需要锯成3段，则其表面积增加了（ ）    A．9.42平方分米 B．12.56平方分米 C．31.4平方分米 D．62.8平方分米 【答案】B 【分析】本题考查了求圆柱体的表面积，理解实际问题模型，找到表面积增加部分是圆柱的几个底面的面积是解题的关键．把圆木锯成3段，表面积增加了4个圆柱的底面，由此得解． 【详解】解：圆柱的底面积为：， 所以把圆木锯成3段，表面积增加了4个圆柱的底面， 增加的面积为：平方分米． 故选：B. 4．一个圆柱和一个圆锥体积相等，圆锥的底面半径是圆柱的2倍，圆锥的高是6分米，圆柱的高是（ ） A．18分米 B．8分米 C．2分米 D．4分米 【答案】B 【分析】设圆柱的底面半径为r，则圆锥的底面半径为，求出圆锥的体积即可得到圆柱的体积，然后根据圆柱的体积公式进行计算即可． 【详解】解：设圆柱的底面半径为r，则圆锥的底面半径为， ∴圆锥的体积为， ∴圆柱的体积为， ∴圆柱的高为（分米）， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆柱和圆锥的体积计算，熟练掌握圆柱和圆锥的体积公式是解题的关键． 5．走马灯，又称仙音烛，据史料记载，走马灯的历史起源于隋唐时期，盛行于宋代，是中国特色工艺品，常见于除夕、元宵、中秋等节日．2025年元宵节时，小明同学用两张A4纸制作了一个圆柱形的“走马灯”，并量得底面直径与高都为，则此走马灯的体积为（ ）． A．400 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，得圆柱底面圆的半径为，根据题意，得圆柱的体积为，解答即可． 本题考查了圆柱的体积计算，熟练掌握体积公式是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得圆柱底面圆的半径为， 根据题意，得圆柱的体积为． 故选：D． 二、填空题 6．把20厘米长的圆柱形木棒锯成三个小圆柱．表面积增加了10平方分米、原来木棉的体积是________立方分米． 【答案】5 【分析】本题考查圆柱的表面积和体积，解题的关键是熟知圆柱的体积公式． 首先要明确的是：将这根木材锯成3段小圆柱后，增加了4个底面，增加的面积已知，于是就可以求出这根木材的底面积，从而利用圆柱的体积，即可求出这根木材的体积． 【详解】解：（平方分米）， 20厘米=2分米 （立方分米）； 答：原来这根木材的体积是立方分米. 故答案为：． 7．一个圆柱形木料，底面半径是，高是，它的表面积是________，体积是________；若削成一个最大的圆锥形模具，这个模具所占的空间是________． 【答案】 【分析】本题考查圆柱的表面积，圆柱的体积，圆锥与圆柱体积的关系，解题的关键是熟练掌握相关公式． 将已知数据代入公式计算，即可得圆柱的表面积和体积，圆柱体积的即为模具所占空间． 【详解】解：圆柱的底面积：， 圆柱的底面周长：， 圆柱的侧面积： 圆柱的表面积： 圆柱的体积： 模具所占的空间： 故答案为：，，． 8．一个圆柱，半径扩大到原来的3倍，高不变，体积扩大到原来的________倍． 【答案】9 【分析】本题考查了圆柱的体积公式以及积的变化规律，根据圆柱的体积公式求解，即可判断答案． 【详解】解：圆柱体积公式为． 半径扩大3倍后，体积变为， 即扩大到原来的9倍， 故答案为：9． 9．把一个棱长为2厘米的正方体在同一平面上的四条棱的中点用线段连接起来（如图所示），然后再把正方体所有顶点上的三角锥锯掉．那么最后所得的立方体的体积是________立方厘米． 【答案】 【分析】本题考查了三棱锥的体积公式，正方体的体积公式，通过观察可知，一共锯掉8个三角锥，每个三角锥的体积相同，三角锥的体积底面积高，已知三角锥的底面积是一个底为1厘米、高为1厘米的等腰直角三角形，这个三角锥的高也是1厘米，根据三角形的面积求出一个三角锥的底面积，再求出每个三角锥的体积，然后乘8即可求出8个三角锥的体积，用正方体的体积减去三角锥的体积，即可解答，解答本题的关键是掌握三角锥体积的求解方法，要注意它的体积求法和圆锥的一样． 【详解】解：三角锥的体积为：（立方厘米） 最后所得的几何题的体积是立方厘米， 故答案为：． 10．如图，把一个高是10厘米的圆柱沿底面直径切开，表面积增加了100平方厘米，这个圆柱的底面直径是________厘米，体积是________立方厘米． 【答案】 【分析】把圆柱沿底面直径切开，增加的表面积是两个长方形的面积，长方形的长是圆柱的高，宽是圆柱的底面直径．先根据增加的表面积求出底面直径，再利用圆柱体积公式求出体积．本题主要考查了圆柱的表面积和体积相关知识，熟练掌握圆柱的切割特点以及表面积、体积公式是解题的关键． 【详解】解： 底面直径为 （厘米）． 圆柱体积 （立方厘米）． 故答案为：； ． 三、解答题 11．（圆柱体积）把一根长6分米的圆柱形钢材沿横截面截成3段，表面积增加了12.56 平方分米．原来这根钢材的体积是多少? 【答案】立方分米 【分析】本题考查了截一个几何体，圆柱的表面积与体积，明确表面积增加部分应该是圆柱体个底面积的和是解题的关键，只要求出圆柱体底面积，依据体积计算方法代入数据即可解答. 【详解】解： (立方分米)。 答：原来这根钢材的体积是立方分米. 12．一个装满水的圆锥形容器，底面积是，高是，将这些水全部倒入一个长方体水槽中，已知这个长方体水槽的长、宽、高分别是 (1)求这个长方体水槽中水的深度； (2)如果把一个底面半径是2厘米的圆柱形铁块垂直放入长方体水槽中，当它的一个底面在水中与长方体水槽的底面完全接触时，仍有的铁块露出水面，求这个圆柱形铁块的高；（取3） (3)冰雪节马上就要到了，萧红中学组织学生制作小冰灯．小明决定将（2）问长方体水槽中的圆柱形铁块移动到水槽中央，作为冰灯的支架，然后放入4个相同的彩灯，冷冻成长方体小冰灯（彩灯是由等底等高的圆柱和圆锥组合而成）．已知水结成冰后体积增加，如果彩灯的底面半径是厘米，那么能够放入的彩灯的高最大是多少厘米，才会使冻成的冰灯表面恰好不会溢出水槽？（取3） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）长方体水槽内的水的体积=装满水的圆锥内水的体积=圆锥的体积底面积×高，所以长方体水槽中水的深度=水的体积÷长方体水槽的底面积，从而求得结果； （2）圆柱形铁块的体积=长方形水槽的底面积×圆柱形铁块放入水槽后水面上升的高度，通过设出圆柱形铁块的高为，然后列出方程，从而求得结果；． （3）要使冻成的冰灯表面恰好不会溢出水槽，则圆柱形铁块在冰内的高度为，设彩灯的高最大是，根据水的体积圆柱形铁块在长方形冰灯内的体积个彩灯的体积=长方体水槽的体积，列出方程，解得彩灯的最大高度． 【详解】（1）长方体水槽内的水的体积， 长方体水槽中水的深度． ∴这个长方体水槽中水的深度是． （2）设圆柱形铁块的高为h cm，则圆柱形铁块在水下的高度为，水面上升的高度， ， ， ， 解得. ∴这个圆柱形铁块的高是． （3）设彩灯的高最大是x厘米，才会使冻成的冰灯表面恰好不会溢出水槽， 则1个彩灯的体积， 圆柱形铁块在长方体冰灯内的体积， ， 解得， ∴彩灯的高最大是． 【点睛】本题考查了圆柱与圆锥的有关计算，以及简单方程的应用，根据已知数量和所求数量找到等量关系，建立方程模型是解题的关键． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 圆柱与圆锥（知识清单） 一、圆柱 （一）圆柱的认识 1．生活中如彩色铅笔盒、储罐、柱子、砧板等物体，都具有________的形象． 2．圆柱由上、下两个________和一个________组成，两个底面是完全相同的________，周围的面（上、下底面除外）是________，称为侧面；圆柱两个底面之间的________叫作高． 3．圆柱可由一个长方形以它的一边为轴________一周形成，也可由一个圆面沿与它垂直的方向________形成． （二）圆柱的表面积 1．圆柱的表面积是其展开图各部分________的和，沿垂直于底面的方向将圆柱展开，得到________个大小相同的圆（底面）和1个________（侧面），且长方形的长等于________，宽等于圆柱的________． 2．如果圆柱的底面半径是r，高是h，那么 圆柱的侧面积=________×________=________， 圆柱的表面积=________+________=________． （三）圆柱的体积 1．可以把圆柱切成一层一层的圆片，每层体积单位的个数对应圆柱底面的________，层数对应圆柱的________，圆柱的体积=底面积×高； 也可以也可以把圆柱的底面分成许多相等的扇形，然后沿着扇形把圆柱切开，再拼起来，就能得到一个近似的长方体．近似长方体的底面积等于圆柱的________，高等于圆柱的________，由长方体体积公式推导出圆柱的体积底面积×高． 2．圆柱体积公式：若用V表示体积，S表示底面积，h表示高，则V=________；若已知底面半径r，则体积公式为V=________． 二、圆锥 （一）圆锥的认识 1．生活中如斗笠、漏斗、通风孔帽、圆锥形纸杯等物体，都具有________的形象． 2．圆锥的底面是一个________，侧面是________；从圆锥的顶点到________的距离是圆锥的高． 测量圆锥的高时，需将圆锥底面放水平，用平板水平放在顶点上方，测量平板与底面之间的垂直距离． 3．圆锥可由一个直角三角形以它的一条________边为轴旋转一周形成． （二）圆锥的表面积 1．连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫作圆锥的________． 2．沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到的侧面展开图是一个________，扇形的半径等于圆锥母线长________，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长________（r为底面半径）． 圆锥的侧面积=________， 圆锥的表面积=________+________=________． （三）圆锥的体积 1．通过实验探究圆锥与圆柱体积的关系：准备________、________的圆柱和圆锥形容器，往空圆锥里装满沙土或水倒入空圆柱，需倒________次装满；往圆柱里装满沙土或水倒入空圆锥，需倒________次倒完，由此得出：圆锥体积等于和它等底等高的圆柱体积的________． 2．圆锥体积公式：若用V表示圆锥体积，表示底面积，表示高，则 （为底面半径）． 易错点1：混淆圆柱的高与圆锥的高 错误： 1．认为圆柱的高是底面直径或半径，而非两个底面之间的垂直距离； 2．测量圆锥的高时，未从顶点垂直到底面圆心，而是测量顶点到底面圆周上某点的距离。 例如： 判断“圆柱的高就是底面直径，圆锥的高是顶点到底面圆周的距离”，或测量圆锥高时，直接用尺子从顶点量到底面边缘，得到的长度当作圆锥的高。 注意： 1．圆柱有无数条高，所有高的长度都相等，且必须垂直于两个底面； 2．圆锥只有1条高，测量时需用平板将圆锥底面放平，再用直尺从顶点垂直向下测量到底面圆心。 例题1： 判断：圆柱的高是底面直径，圆锥的高是顶点到底面圆周的距离（ ） 易错点2：计算圆柱表面积时忽略实际场景（多算或漏算面） 错误： 1．计算无盖圆柱（如笔筒、水桶）的表面积时，仍计算两个底面的面积； 2．计算圆柱型烟囱、通风管的表面积时，错误加入底面面积，实际只需计算侧面积。 例如： 计算一个无盖圆柱形笔筒（底面半径3cm，高10cm）的表面积时，错误使用公式“”，将两个底面面积都计入，导致结果偏大；或计算圆柱形通风管表面积时，额外加上1个或2个底面面积。 注意： 计算圆柱表面积前，需先判断物体实际有几个面： 1．完整圆柱（如圆柱模型）：2个底面面积+侧面积； 2．无盖圆柱（笔筒、水桶）：1个底面面积+侧面积； 3．通风管、烟囱：仅侧面积。 例题2： 一个无盖圆柱形水桶，底面半径2dm，高5dm，制作这个水桶至少需要多少平方分米铁皮？ 易错点3：圆柱侧面积公式与底面周长公式混淆 错误： 1．用“底面半径×高”或“底面直径×高”计算侧面积，忘记先算底面周长（或）； 2．已知底面直径时，错误用“”计算侧面积，混淆半径和直径的关系。 例如： 计算底面直径4cm、高5cm的圆柱侧面积时，错误列式为“（cm²）”（直接用直径×高），或“（cm²）”（误将直径当作半径代入“”公式）。 注意： 圆柱侧面积公式的本质是“长方形面积”（侧面展开图为长方形），长方形的长=圆柱底面周长（或），宽=圆柱的高，因此侧面积公式为： （已知半径）； （已知直径）。 例题3： 一个圆柱底面直径4cm，高6cm，求它的侧面积。 易错点4：圆锥体积公式漏乘 错误： 计算圆锥体积时，直接用“底面积×高”（即套用圆柱体积公式），忘记乘，导致结果偏大3倍。 例如： 计算底面积15cm²、高6cm的圆锥体积时，错误列式为“（cm³）”，未乘，正确结果应为30cm³，错误结果是正确结果的3倍。 注意： 圆锥体积是等底等高圆柱体积的，必须牢记公式： （已知底面积和高）； （已知半径和高）。 例题4: 一个圆锥底面积12cm²，高6cm，求它的体积。 易错点5：错误认为“圆锥体积是所有圆柱体积的” 错误： 忽略“等底等高”的前提，直接说“圆锥体积是圆柱体积的”，例如认为底面半径2cm、高3cm的圆锥，体积是底面半径1cm、高3cm圆柱体积的。 例如： 判断“一个圆锥和一个圆柱，无论底面积和高是否相同，圆锥体积都是圆柱体积的”，或计算底面半径2cm、高3cm的圆锥（体积12.56cm³）和底面半径1cm、高3cm的圆柱（体积9.42cm³）时，错误认为圆锥体积是圆柱体积的。 注意： “圆锥体积是圆柱体积的”的唯一前提是：圆锥和圆柱等底等高（底面积相等且高相等），若底面积或高不同，该关系不成立。 例题5 判断：圆锥体积一定是圆柱体积的（ ） 易错点6：计算圆锥侧面积时混淆“母线”与“高” 错误： 1．用圆锥的“高”代替“母线”计算侧面积，公式错写为“”（正确应为，为母线）； 2．不知道“母线”的定义，误将底面半径当作母线。 例如： 计算底面半径3cm、高4cm、母线长5cm的圆锥侧面积时，错误用高代入公式，列式为“（cm²）”（正确应为cm²）；或误将底面半径3cm当作母线，列式为“（cm²）”。 注意： 1．圆锥母线（）是“顶点到底面圆周上任意一点的线段”，不是高（高是顶点到底面圆心的线段），母线长度大于高； 2．圆锥侧面积公式：侧（为底面半径，为母线），表面积公式：表（侧面积+1个底面面积）。 例题6： 一个圆锥底面半径3cm，母线长5cm，求它的侧面积。 易错点7：单位不统一导致计算错误 错误： 1．题目中单位不一致时未统一，例如底面半径2dm、高5cm，直接代入公式计算，导致结果单位混乱； 2．体积单位与容积单位混淆，例如将“1cm³”等同于“1L”（正确：1L=1dm³=1000cm³）。 例如： 计算底面半径2dm（20cm）、高5cm的圆柱体积时，直接列式为“”，未统一单位，既未明确结果是“cm³”（正确应为cm³），也未换算成“dm³”（正确应为dm³）；或认为“一个容积为500cm³的杯子能装500L水”，混淆体积与容积单位。 注意： 1．计算前先统一所有数据的单位（如都换算成cm、dm或m）； 2．牢记体积/容积单位换算：1m³=1000dm³，1dm³=1000cm³，1L=1dm³，1mL=1cm³。 例题7： 一个圆柱底面直径2dm，高8cm，求它的体积（结果用“cm³”表示）。 一、单选题 1．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，那么圆柱的高和（ ）相等． A．底面直径 B．底面周长 C．底面积 D．底面半径 2．一个圆柱和一个圆锥，圆柱与圆锥底面直径的比是，体积的比是，圆柱与圆锥高的比是（ ） A． B． C． D． 3．一根底面直径2分米，高10分米的圆木，如图所示，现根据需要锯成3段，则其表面积增加了（ ） A．9.42平方分米 B．12.56平方分米 C．31.4平方分米 D．62.8平方分米 4．一个圆柱和一个圆锥体积相等，圆锥的底面半径是圆柱的2倍，圆锥的高是6分米，圆柱的高是（ ） A．18分米 B．8分米 C．2分米 D．4分米 5．走马灯，又称仙音烛，据史料记载，走马灯的历史起源于隋唐时期，盛行于宋代，是中国特色工艺品，常见于除夕、元宵、中秋等节日．2025年元宵节时，小明同学用两张A4纸制作了一个圆柱形的“走马灯”，并量得底面直径与高都为，则此走马灯的体积为（ ）． A．400 B． C． D． 二、填空题 6．把20厘米长的圆柱形木棒锯成三个小圆柱．表面积增加了10平方分米、原来木棉的体积是________立方分米． 7．一个圆柱形木料，底面半径是，高是，它的表面积是________，体积是________；若削成一个最大的圆锥形模具，这个模具所占的空间是________． 8．一个圆柱，半径扩大到原来的3倍，高不变，体积扩大到原来的________倍． 9．把一个棱长为2厘米的正方体在同一平面上的四条棱的中点用线段连接起来（如图所示），然后再把正方体所有顶点上的三角锥锯掉．那么最后所得的立方体的体积是________立方厘米． 10．如图，把一个高是10厘米的圆柱沿底面直径切开，表面积增加了100平方厘米，这个圆柱的底面直径是________厘米，体积是________立方厘米． 三、解答题 11．（圆柱体积）把一根长6分米的圆柱形钢材沿横截面截成3段，表面积增加了12.56 平方分米．原来这根钢材的体积是多少? 12．一个装满水的圆锥形容器，底面积是，高是，将这些水全部倒入一个长方体水槽中，已知这个长方体水槽的长、宽、高分别是 (1)求这个长方体水槽中水的深度； (2)如果把一个底面半径是2厘米的圆柱形铁块垂直放入长方体水槽中，当它的一个底面在水中与长方体水槽的底面完全接触时，仍有的铁块露出水面，求这个圆柱形铁块的高；（取3） (3)冰雪节马上就要到了，萧红中学组织学生制作小冰灯．小明决定将（2）问长方体水槽中的圆柱形铁块移动到水槽中央，作为冰灯的支架，然后放入4个相同的彩灯，冷冻成长方体小冰灯（彩灯是由等底等高的圆柱和圆锥组合而成）．已知水结成冰后体积增加，如果彩灯的底面半径是厘米，那么能够放入的彩灯的高最大是多少厘米，才会使冻成的冰灯表面恰好不会溢出水槽？（取3） 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$