第三章 圆柱与圆锥（复习讲义）数学人教版五四制2024六年级上册

第三章 圆柱与圆锥（复习讲义） 一、基础目标 1．能复述圆柱、圆锥的定义及基本组成部分，准确指出圆柱的底面、侧面、高，以及圆锥的底面、侧面、顶点、高、母线； 2．会识别生活中的圆柱与圆锥形物体，能从彩色铅笔盒、储罐、柱子、斗笠、漏斗等物体中准确区分圆柱和圆锥； 3．能描述圆柱与圆锥的形成过程，即说出圆柱可由长方形以一边为轴旋转一周或圆面沿垂直方向平移形成，圆锥可由直角三角形以一条直角边为轴旋转一周形成； 4．会测量圆锥的高，能按照“底面放水平、用平板平行于底面对准顶点、测量平板与底面距离”的方法操作； 5．能复述圆柱侧面积、表面积、体积及圆锥体积的计算公式。 二、进阶目标 1．会推导圆柱侧面积与表面积的计算逻辑，能结合圆柱展开图说明“侧面积=底面周长×高”，以及“表面积=侧面积+两个底面积”的由来； 2．会推导圆柱体积公式，能描述“将圆柱切拼成长方体，长方体底面积=圆柱底面积、长方体高=圆柱高，由长方体体积公式推导圆柱体积公式”的过程； 3．理解并应用圆柱侧面积、表面积公式解决实际问题； 4．理解并应用圆柱体积公式解决容积问题； 5．理解并应用圆锥体积公式解决实际问题； 6．会解决圆柱与圆锥的基础关联问题，如已知等底等高的圆柱与圆锥体积关系，求其中一个的体积或高；已知圆锥体积与底面积，求高等。 三、拓展目标 1．能解决圆柱与圆锥的复杂关联问题，如能计算“圆柱内浸没圆锥零件，取出后水面下降高度”，或“圆柱切拼后表面积变化”等问题； 2．能解决组合立体图形的问题，如能计算“圆柱+圆锥”组合的蒙古包所需毛毡面积，或计算带圆柱形凹洞的展示柱涂漆面积等； 3．会探索圆柱与圆锥的动态形成规律，如能计算“长方形分别以长、宽为轴旋转形成的两个圆柱的体积”，或“直角三角形分别沿三边旋转形成的三个几何体的表面积与体积”，理解旋转轴对立体图形参数的影响； 4．能运用“转化思想”解决新问题，如“圆柱切拼成长方体”的思路，分析“将不同面积的长方形卷成圆柱，体积大小差异”的规律，总结“侧面积相同的圆柱，底面半径越小（，体积越小”的结论； 5．会设计与指定圆柱体积相等的圆锥，能根据圆柱的底面积与高，推导圆锥的底面积和高。 知识点 重点归纳 常见易错点 圆柱与圆锥的认识 圆柱： 1．组成部分：由2个完全相同的圆面（底面）和1个曲面（侧面）围成，两个底面之间的距离叫作高，圆柱有无数条高； 2．形成过程：可由一个长方形以它的一边为轴旋转一周形成，也可由一个圆面沿与它垂直的方向平移形成。 圆锥： 1．组成部分：由1个圆面（底面）和1个曲面（侧面）围成，有1个顶点，从顶点到底面圆心的距离叫作高，圆锥只有1条高； 2．形成过程：由一个直角三角形以它的一条直角边为轴旋转一周形成； 3．高的测量：将圆锥底面放水平，用一块平板平行于底面靠在圆锥顶点上，测量平板与底面之间的距离即为圆锥的高。 圆柱与圆锥的高的混淆，将圆柱侧面上任意两点的距离当作高，或误将圆锥顶点到底面圆周上任意一点的距离当作高。 圆柱与圆锥的表面积 圆柱： 1．展开图特征：底面是2个大小相同的圆，侧面展开是一个长方形（特殊情况下是正方形），长方形的长等于圆柱底面的周长，宽等于圆柱的高； 2．侧面积=底面周长×高； 3．表面积=侧面积+2个底面的面积。 圆锥： 1．展开图特征：底面是1个圆，侧面展开是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线长（连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段），扇形的弧长等于圆锥底面的周长； 2．侧面积=πrl（l为母线长）； 3．表面积=侧面积+底面面积。 1．圆柱表面积计算的“少算/多算底面”，未根据实际情况调整底面数量，多算或漏算一个底面的面积。 2．圆锥侧面积公式中“母线”与“高”混淆。 3．单位换算错误。 圆柱与圆锥的体积 圆柱： 1．推导方法：将圆柱切拼成近似的长方体，拼成的长方体底面积等于圆柱的底面积，长方体的高等于圆柱的高，根据“长方体体积=底面积×高”推导圆柱体积公式； 2．体积=底面积×高。 圆锥： 1．推导方法：通过等底等高的圆柱与圆锥容器实验，发现圆锥的体积等于和它等底等高的圆柱体积的三分之一； 2．体积=×底面积×高。 1．圆锥体积公式的前提条件遗漏，直接认为“圆锥体积是圆柱体积的三分之一，忽略“等底等高”的关键前提。 2．单位换算错误。 题型一 圆柱与圆锥的识别 【例1】下列图形中，有几个圆柱体（   ） A．0 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据圆柱的特征：上下两个底面大小相等且平行即可得解．掌握圆柱的特征是解题的关键． 【详解】解：上面图形中是圆柱的有图1、图3和图5 ，共3个． 故选：B 【变式1-1】如图，图形以虚线为轴快速旋转后形成的图形是（      ） A．三角形 B．圆锥 C．圆柱 D．球体 【答案】B 【分析】根据“面动成体”可得出直角三角形绕着它的一条直角边旋转一周后所得的几何体的形状． 【详解】解：直角三角形绕着一条直角边所在的直线旋转一周所得几何体是圆锥体， 故选：B． 【点睛】本题考查了点、线、面、体之间的关系，理解“点动成线，线动成面，面动成体”是解决问题的前提． 【变式1-2】用一张长、宽的长方形纸卷成一个圆柱．按（ ）方式卷，得到的圆柱体积大． A．以作为圆柱的高 B．以作为圆柱的高 C．无法判定 【答案】B 【分析】用一张长、宽的长方形纸卷成一个圆柱，有两种方式，可以以为高，为底面周长，也可以以为高，为底面周长，分别表示出两种方式的体积，进行比较即可． 【详解】解：以为圆柱的高，， 以为圆柱的高，， ， 故选：． 【点睛】本题考查了圆柱的体积，和圆柱展开图，熟练掌握体积公式是解答本题的关键． 题型二 圆柱表面积的实际应用 【例2】一只高8分米的无盖圆柱铁桶，底面周长米，做这只桶需要 平方分米． 【答案】145.225 【分析】本题考查了圆的周长与面积计算、单位换算以及立体几何中圆柱体表面积的计算方法．解题的关键在于准确进行单位换算，利用圆的周长公式求出底面半径，进而计算底面积；同时，根据圆柱侧面积公式 计算侧面积，并最终将侧面积与底面积相加得到所需铁皮的总面积．需要铁皮的面积=圆柱侧面积一个底面积，据此列式即可． 【详解】解：米=分米， （分米）， ， ， ，（平方分米）， 故答案为：． 【变式2-1】如图，两个圆柱的高都是，底面直径分别是和．求这个物体的表面积．（取3.14） 【答案】平方厘米 【分析】本题考查圆柱的表面积，解答此题的关键是弄清楚这个物体的表面积由哪些面组成，从而利用圆柱的底面积和侧面积公式即可得解． 由图意可知：这个物体的表面积等于大圆柱的表面积加上小圆柱的侧面积，据此利用圆柱的表面积和侧面积公式即可求解． 【详解】解： （平方厘米）， 答：这个物体的表面积是平方厘米． 【变式2-2】六年级学生就快毕业了、思思买了一个小熊存钱罐想送给好朋友，这个存钱罐高是18厘米，左右长是9厘米，前后宽是8厘米．她想从如图三个带盖的纸盒中选出一个把存钱罐装入，应选哪个纸盒?你能算出做这个纸盒至少用了多少平方厘米硬纸板吗? 【答案】应选A圆柱，做这个纸盒至少用了785平方厘米硬纸板 【分析】此题主要考查圆柱表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式，已知这个存钱罐是高，左右最长是，前后宽是，首先排除B、C，因为B圆柱的底面直径是8厘米小于存钱罐左右的长9厘米，C长方体的底面边长是8厘米同样小于存钱罐左右的长9厘米，所以应该选择A圆柱，根据圆柱的=侧面积+底面积，把数据代入公式解答． 【详解】解： （平方厘米）， 答：应选A圆柱，做这个纸盒至少用了785平方厘米硬纸板． 题型三 与圆锥侧面展开图有关的问题 【例3】如图，从圆上剪下一个扇形（图中阴影部分），用它作为一个圆锥的侧面．扇形的面积是 ，圆锥的底面积应为 ．（结果可用含有的式子表示） 【答案】 【分析】题目主要考查扇形的面积及圆锥的性质，理解题意，结合图形，熟练运用圆锥的性质是解题关键． 【详解】解：根据题意得：扇形的面积为， 圆锥的底面半径为：厘米， 面积为：， 故答案为：；． 【变式3-1】已知一个圆锥形环保纸杯的侧面展开图是圆心角为的扇形，如图，母线长． (1)求该圆锥形环保纸杯的底面直径； (2)如果该圆锥形环保纸杯的高为，求该圆锥形环保纸杯的体积（结果保留）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长即可求出答案； （2）根据圆锥的体积公式计算即可， 本题考查了圆锥的计算和圆锥的体积，圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长， 【详解】（1）解：（1）根据题意，得： 解得， 答：该圆锥形环保纸杯的底面直径d为； （2） 答：该圆锥形环保纸杯的体积为． 【变式3-2】如图，沿一条母线将圆锥侧面展开，得到一个扇形，若圆锥的底面半径，扇形的圆心角，求该圆锥母线的长． 【答案】该圆锥母线的长为 【分析】本题考查求圆锥的母线长，根据圆锥的底面圆的周长等于扇形的弧长，进行计算即可． 【详解】解：； 答：该圆锥母线的长为． 题型四 与圆柱和圆锥体积有关的问题 【例4】求下面图形的体积． 【答案】图形的体积是314立方厘米 【分析】本题考查了圆柱的体积；运用体积公式底面积高进行解答即可。 【详解】 (立方厘米) 答：图形的体积是立方分厘米。 【变式4-1】如图，有一个下面是圆锥、上面是圆柱的容器，圆锥的高是，圆柱的高是，从圆锥的尖到容器里的液面高是．当将这个容器倒过来放平时，容器里的液面高是多少厘米？ 【答案】容器里的液面高是7厘米 【分析】此题考查的目的是理解掌握等底等高的圆柱和圆锥体积之间的关系及应用，因为等底等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍，所以把下面圆锥容器的水倒入圆柱容器中，这部分水在圆柱容器内的高是厘米，然后再加上原来圆柱容器内水的高度即可． 【详解】解： （厘米）， 答：容器里的液面高是7厘米． 【变式4-2】如图所示，在圆柱体水桶中装满水后倒入一个无盖的长方体玻璃鱼缸中，正好将鱼缸装满．已知圆柱体水桶内部的底面积等于长方体鱼缸内部的底面积．取3.14） (1)长方体鱼缸内部的长和高分别是多少？ (2)水桶和鱼缸的容积分别是多少立方分米？ 【答案】(1)长是62.8厘米，高是40厘米 (2)50.24立方分米 【分析】本题主要考查了圆的面积公式、长方形的面积公式的灵活运用，圆柱的容积公式、长方体的容积公式的灵活运用，关键是熟记公式． （1）根据圆的面积公式：，长方形的面积公式，那，根据圆柱的体积公式：，长方体的体积公式：，如果圆柱和长方体的体积相等，底面积也相等，那么它们的高一定相等，把数据代入公式解答． （2）根据圆柱的体积公式：，把数据代入公式解答． 【详解】（1）解：（1） （厘米） 由题意知，圆柱体水桶和长方体玻璃鱼缸的体积相同， ∵圆柱体水桶内部的底面积等于长方体鱼缸内部的底面积， ∴圆柱体水桶和长方体鱼缸的高也相等，即高是40厘米， 答：长方体鱼缸内部的长是62.8厘米，高是40厘米． （2）（2） （立方厘米） 50240立方厘米立方分米 答：水桶和鱼缸的容积都是50.24立方分米． 基础巩固通关测 一、单选题 1．做一个汽油桶需要多少铁片，就是计算出汽油桶的（     ） A．表面积 B．侧面积与一个底面面积的和 C．侧面积 D．体积 【答案】A 【分析】本题考查的是圆柱的表面积的含义，理解题意是关键． 【详解】解：做一个汽油桶需要多少铁片，就是计算出汽油桶的表面积； 故选A 2．一个圆锥的体积是12立方厘米，底面积是4平方厘米，高是（   ）厘米． A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【分析】根据圆锥的体积公式底面积高，用圆锥的体积乘3再除以底面积即可得到这个圆锥的高． 【详解】解： （厘米）； 答：这个圆锥的高是9厘米， 故选：C． 【点睛】此题考查了圆锥的体积公式，解题的关键是掌握圆锥的体积公式为底面积高． 3．一个圆锥与一个圆柱的底面积和体积相等，圆柱高，圆锥高是（   ）． A． B． C． 【答案】C 【分析】本题考查圆锥和圆柱的体积，掌握圆锥和圆柱的体积公式是解题的关键． 根据圆锥和圆柱的体积公式求解即可． 【详解】解：设圆柱的高为，圆锥的高为， ∵圆柱的体积，圆锥的体积为， ∴当圆锥和圆柱的底面积和体积分别相等时，圆锥的高是圆柱高的3倍， ∴圆锥的高 ． 故选：C． 4．沙漏又称沙钟，是我国古代一种计量时间的仪器．它是根据流沙从一个容器漏到另一个容器的时间来计时的．如图是一个沙漏(上、下两个完全相同的圆锥)的示意图（单位：厘米），这个沙漏的容积是（   ）立方厘米． A．251.2 B．502.4 C．753.6 【答案】B 【分析】本题考查了圆锥的体积公式，熟练掌握公式，利用圆锥体积公式求解即可． 【详解】解：由题意，这个沙漏的容积是（立方厘米）， 故选：B． 5．下面各图中，剪下图（    ）中的两个圆和一个长方形（或正方形）刚好可以围成一个圆柱．（接头处忽略不计）（单位：） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆柱的底面周长和平面展开图，熟练掌握圆柱的平面展开图是解题关键．求出圆的周长为，找出含有一条边长为的长方形（或正方形）即可得． 【详解】解：由图可知，一个圆的周长为， 观察四个选项可知，只有选项A中的长方形的长为， 所以剪下图A中的两个圆和一个长方形（或正方形）刚好可以围成一个圆柱， 故选：A． 二、填空题 6．用一张长为，宽为的长方形纸围成一个圆柱体，这个圆柱的侧面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求圆柱的侧面积，根据圆柱的侧面积等于展开图的长方形的面积，计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 7．一个圆柱体的侧面展开后，正好得到一个边长为厘米的正方形，圆柱体的高是 厘米． 【答案】 【分析】本题考查了几何体的展开图，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据圆柱体的高=展开后正方形的边长，即可解答． 【详解】解：圆柱体的高是正方形的边长厘米， 故答案为：． 8．圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的表面积为 （取3.14计算） 【答案】43.96 【分析】本题考查了圆锥的表面积计算，熟知圆锥的侧面积计算公式是解题的关键； 根据圆锥的表面积=侧面积+底面积求解即可. 【详解】解：圆锥的表面积 ； 故答案为：43.96. 9．为了维护校园安全，在校门口配备了圆柱形升降阻车桩，如图所示，它的体积是，高为，则底面半径是 ． 【答案】11 【分析】本题考查了圆柱体体积的计算，掌握其计算公式是关键． 根据圆柱体的体积等于底面积乘以高，代入计算即可． 【详解】解：， 解得，（负值舍去）， 故答案为： ． 10．如图，两个同样的量杯原来各盛有640毫升水．现将两个等底等高的圆柱与圆锥零件分别放入这两个量杯中，圆柱放入后量杯水面刻度如图①所示．那么图②中圆锥放入后量杯水面刻度显示应是( )毫升． 【答案】720 【分析】本题考查了圆柱和圆锥的体积，熟练掌握圆锥的体积公式是解题的关键． 根据圆柱和圆锥的体积之间的关系即可解题． 【详解】解：圆柱的体积：， ， 圆锥的体积：， ， ． 故答案为： ． 三、解答题 11．一堆圆锥体河沙，底面直径是4米，高是3米，如果每立方米沙重1.7吨，这堆河沙重约多少吨（取）？ 【答案】吨 【分析】本题考查了求圆锥的体积，先求出底面的半径，再求出圆锥的体积，最后结合每立方米沙重1.7吨，进行列式计算得这堆河沙重约吨，即可作答． 【详解】解：依题意，（米） ∴（立方米） 则（吨） 即这堆河沙重约吨． 12．如图，在一个长8分米、宽6分米、高20分米的长方体容器中倒入一定量的水，然后放入一个底面半径为2分米的圆柱形铁块，铁块全部浸没在水中（水未溢出），这时水面上升3.14分米，求这个圆柱形铁块的高是多少分米．（取3.14） 【答案】12分米 【分析】本题考查了长方体体积和圆柱的体积公式，掌握长方体和圆柱的体积公式是解题的关键． 根据增加的水的体积即为圆柱的体积，结合体积公式即可求解． 【详解】解：由题意得，圆柱形铁块的高为（分米）， 答：这个圆柱形铁块的高是12分米． 能力提升进阶练 一、单选题 1．一块棱长是的正方体橡皮泥，把它捏成高为的圆锥，则圆锥的底面积是（    ）． A．18 B．24 C．48 D．54 【答案】D 【分析】本题考查的是正方体体积和圆锥体积的计算，根据正方体体积为棱长棱长棱长，求出正方体体积，就是圆锥体积，再根据圆锥底面积圆锥体积高，即可解答 【详解】解：， 答：这个圆锥的底面积是． 故选：D． 2．圆柱的底面半径扩大为原来的2倍，高也扩大为原来的2倍，它的侧面积扩大为原来的（    ）倍． A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】本题主要考查圆柱的侧面积，熟练掌握侧面积的计算公式是解题的关键．根据圆柱侧面积的计算公式计算即可． 【详解】解：由题意可知，底面周长，故底面周长扩大倍， 侧面积，故它的侧面积扩大为原来的倍． 故选B． 3．制作一个无盖的圆柱形水桶，有下面几种铁皮可供搭配，应选择（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆柱，正确地识别图形是解题的关键． 根据题意圆柱的相关定义列式计算即可． 【详解】解：, ∵, ∴②和③可以搭配， ∵， ∴没有与④搭配的． 故选：C． 4．如图，一个酒瓶里面深，底面内直径是，瓶里酒深．把酒瓶塞紧后使其瓶口向下倒立，这时酒深，酒瓶的容积是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆柱体积公式在不规则容器容积计算中的应用，解题的关键是通过酒瓶正立和倒立两种状态，将不规则的空余部分体积转化为规则圆柱的体积进行计算． 先根据正立状态计算酒的体积，再求出倒立状态下空余部分的高度，将空余部分体积转化为圆柱体积，最后将酒的体积与空余部分体积相加得到酒瓶容积． 【详解】解：酒瓶底面半径． 正立时，酒深，酒的体积 倒立后，酒深，酒瓶总深，则空余部分高度为， ∴空余体积． ∴酒瓶容积． 故选：B． 5．一个陀螺的上端可近似地看作一个圆锥，下端可近似地看作一个圆柱，结构示意图如图所示．已知、分别是圆柱上、下底面的圆心，，底面半径为2，则该陀螺的体积为（结果保留）（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆柱、圆锥的体积，该陀螺的体积等于上面圆锥的体积与下面圆柱的体积之和，由此可解． 【详解】解： ， ， 底面半径， 该陀螺的体积为：， 故选A． 二、填空题 6．如果一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的高是圆柱底面半径的 倍． 【答案】 【分析】本题考查了圆柱的侧面展开图与圆柱的底面半径和高的关系，以及圆的周长公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．通过分析圆柱侧面展开图的性质，即可得出圆柱的高与底面半径的倍数关系． 【详解】解：设圆柱的底面半径为， 则其底面周长为：，圆柱的高也是，所以（倍）． 故答案为：． 7．把一个高1米的圆柱体木料截成三个相等的小圆柱，表面积增加了2.4平方分米．原来圆柱体木料的体积是( )立方分米． 【答案】6 【分析】本题考查了圆柱的体积计算公式，根据题意，得出增加的表面积与圆柱体的底面积关系是解题的关键； 根据题意，可得增加的表面积等于圆柱体的底面积的4倍，从而确定圆柱的底面面积，再利用圆柱的体积计算公式求解． 【详解】一个圆柱体木料截成三个相等的小圆柱，增加的表面积等于圆柱体的底面积的4倍， 因为表面积增加了2.4平方分米， 所以圆柱的底面积为平方分米， 又因为1米等于10分米， 所以原来圆柱体木料的体积是立方分米． 故答案为：6． 8．一个圆柱形包装盒，沿虚线将它的侧面包装纸剪开，展开后得到一个平行四边形(如图)．它的侧面积是 平方厘米，包装盒的体积是 立方厘米． 【答案】 【分析】本题考查的是圆柱的侧面积、体积公式的应用．依据题意结合图示可知，圆柱的底面周长是厘米，高是8厘米，利用圆柱的侧面积底面周长高，圆柱的体积底面半径底面半径高，由此解答本题即可． 【详解】解：它的侧面积是：(平方厘米) (厘米) 包装盒的体积是：(立方厘米) 答：圆柱的侧面积是平方厘米，体积是立方厘米． 故答案为：；． 9．一个直角三角形的两条直角边的长分别为和，将这个直角三角形绕着它的直角边所在直线旋转一周所形成的几何体的体积是 ． 【答案】301.44或401.92 【分析】根据题意可得旋转所形成的几何体为圆锥，分两种情况根据圆锥的体积公式求解即可． 【详解】解：根据题意可得旋转所形成的几何体为圆锥， 当直角三角形绕着8cm的直角边所在的直线旋转一周能得到一个圆锥，且圆锥的底面圆半径为6cm，高为8cm， 体积为； 当直角三角形绕着6cm的直角边所在的直线旋转一周能得到一个圆锥，且圆锥的底面圆半径为8cm，高为6cm， 体积为； 故答案为：301.44或401.92． 【点睛】此题考查了点、线、面、体中的面动成体，解题关键是：分两种情况①以直角边为8所在直线旋转一周得到一个圆锥，②以直角边为6所在直线旋转一周得到一个圆锥． 10．明、清时期是我国瓷器发展史上的极盛时期．一名工匠在制瓷时将长方体陶土块削成了一个最大的圆锥，削成的这个圆锥的体积是( )． 【答案】 【分析】本题的核心是将长方体陶土块削成最大圆锥，关键在于确定圆锥在长方体中的最佳放置方式，以此确定圆锥的底面直径和高．需要分别考虑长方体三个不同面作为圆锥底面的情况，计算出对应的圆锥体积，再进行比较，从而得出最大体积． 【详解】解：以的面为底面时， （） 以的面为底面时， （） 以的面为底面时， （）， ． 所以削成的这个圆锥的体积是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆锥体积公式的实际应用，以及在长方体中如何合理确定圆锥的底面和高以得到最大体积．熟练掌握圆锥体积公式，并且能够准确分析长方体中不同放置方式下圆锥的底面半径和高，是解题的关键． 三、解答题 11．有一张长方形的铁皮（如图），剪下图中的阴影部分，正好可以做一个底面直径为分米的圆柱形油桶． (1)原来的长方形铁皮面积是多少平方分米？ (2)做成的这个圆柱形油桶的容积是多少立方分米？ 【答案】(1)原来长方形铁皮的面积是平方分米 (2)做成的这个圆柱形油桶的容积是立方分米 【分析】本题考查了图形的应用，涉及到了圆的面积公式，长方形的面积公式，圆柱的体积公式，熟练掌握面积的运算是解题的关键． （1）分别求出长方形的长和宽即可求解； （2）根据圆柱的体积公式运算求解即可． 【详解】（1）解：（平方分米） 答：原来长方形铁皮的面积是平方分米． （2）（立方分米） 答：做成的这个圆柱形油桶的容积是立方分米． 12．如图1所示，这是一个破损的木桶（木板厚度忽略不计，π取3） (1)把木桶平放时，这个木桶最多能盛水多少立方厘米？ (2)把木桶斜放时（如图2所示），请估计此时木桶最多能盛水多少立方厘米？（直接写出答案） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了圆柱的体积计算； （1）根据公式，代入数据进行计算即可求解； （2）根据题意木桶斜放时比（1）中的体积多了，列式计算即可求解． 【详解】（1）解： 答：木桶最多能盛水 （2）解： 答：估计木桶最多能盛水． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 圆柱与圆锥（复习讲义） 一、基础目标 1．能复述圆柱、圆锥的定义及基本组成部分，准确指出圆柱的底面、侧面、高，以及圆锥的底面、侧面、顶点、高、母线； 2．会识别生活中的圆柱与圆锥形物体，能从彩色铅笔盒、储罐、柱子、斗笠、漏斗等物体中准确区分圆柱和圆锥； 3．能描述圆柱与圆锥的形成过程，即说出圆柱可由长方形以一边为轴旋转一周或圆面沿垂直方向平移形成，圆锥可由直角三角形以一条直角边为轴旋转一周形成； 4．会测量圆锥的高，能按照“底面放水平、用平板平行于底面对准顶点、测量平板与底面距离”的方法操作； 5．能复述圆柱侧面积、表面积、体积及圆锥体积的计算公式。 二、进阶目标 1．会推导圆柱侧面积与表面积的计算逻辑，能结合圆柱展开图说明“侧面积=底面周长×高”，以及“表面积=侧面积+两个底面积”的由来； 2．会推导圆柱体积公式，能描述“将圆柱切拼成长方体，长方体底面积=圆柱底面积、长方体高=圆柱高，由长方体体积公式推导圆柱体积公式”的过程； 3．理解并应用圆柱侧面积、表面积公式解决实际问题； 4．理解并应用圆柱体积公式解决容积问题； 5．理解并应用圆锥体积公式解决实际问题； 6．会解决圆柱与圆锥的基础关联问题，如已知等底等高的圆柱与圆锥体积关系，求其中一个的体积或高；已知圆锥体积与底面积，求高等。 三、拓展目标 1．能解决圆柱与圆锥的复杂关联问题，如能计算“圆柱内浸没圆锥零件，取出后水面下降高度”，或“圆柱切拼后表面积变化”等问题； 2．能解决组合立体图形的问题，如能计算“圆柱+圆锥”组合的蒙古包所需毛毡面积，或计算带圆柱形凹洞的展示柱涂漆面积等； 3．会探索圆柱与圆锥的动态形成规律，如能计算“长方形分别以长、宽为轴旋转形成的两个圆柱的体积”，或“直角三角形分别沿三边旋转形成的三个几何体的表面积与体积”，理解旋转轴对立体图形参数的影响； 4．能运用“转化思想”解决新问题，如“圆柱切拼成长方体”的思路，分析“将不同面积的长方形卷成圆柱，体积大小差异”的规律，总结“侧面积相同的圆柱，底面半径越小（，体积越小”的结论； 5．会设计与指定圆柱体积相等的圆锥，能根据圆柱的底面积与高，推导圆锥的底面积和高。 知识点 重点归纳 常见易错点 圆柱与圆锥的认识 圆柱： 1．组成部分：由2个完全相同的圆面（底面）和1个曲面（侧面）围成，两个底面之间的距离叫作高，圆柱有无数条高； 2．形成过程：可由一个长方形以它的一边为轴旋转一周形成，也可由一个圆面沿与它垂直的方向平移形成。 圆锥： 1．组成部分：由1个圆面（底面）和1个曲面（侧面）围成，有1个顶点，从顶点到底面圆心的距离叫作高，圆锥只有1条高； 2．形成过程：由一个直角三角形以它的一条直角边为轴旋转一周形成； 3．高的测量：将圆锥底面放水平，用一块平板平行于底面靠在圆锥顶点上，测量平板与底面之间的距离即为圆锥的高。 圆柱与圆锥的高的混淆，将圆柱侧面上任意两点的距离当作高，或误将圆锥顶点到底面圆周上任意一点的距离当作高。 圆柱与圆锥的表面积 圆柱： 1．展开图特征：底面是2个大小相同的圆，侧面展开是一个长方形（特殊情况下是正方形），长方形的长等于圆柱底面的周长，宽等于圆柱的高； 2．侧面积=底面周长×高； 3．表面积=侧面积+2个底面的面积。 圆锥： 1．展开图特征：底面是1个圆，侧面展开是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线长（连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段），扇形的弧长等于圆锥底面的周长； 2．侧面积=πrl（l为母线长）； 3．表面积=侧面积+底面面积。 1．圆柱表面积计算的“少算/多算底面”，未根据实际情况调整底面数量，多算或漏算一个底面的面积。 2．圆锥侧面积公式中“母线”与“高”混淆。 3．单位换算错误。 圆柱与圆锥的体积 圆柱： 1．推导方法：将圆柱切拼成近似的长方体，拼成的长方体底面积等于圆柱的底面积，长方体的高等于圆柱的高，根据“长方体体积=底面积×高”推导圆柱体积公式； 2．体积=底面积×高。 圆锥： 1．推导方法：通过等底等高的圆柱与圆锥容器实验，发现圆锥的体积等于和它等底等高的圆柱体积的三分之一； 2．体积=×底面积×高。 1．圆锥体积公式的前提条件遗漏，直接认为“圆锥体积是圆柱体积的三分之一，忽略“等底等高”的关键前提。 2．单位换算错误。 题型一 圆柱与圆锥的识别 【例1】下列图形中，有几个圆柱体（   ） A．0 B．3 C．2 D．1 【变式1-1】如图，图形以虚线为轴快速旋转后形成的图形是（      ） A．三角形 B．圆锥 C．圆柱 D．球体 【变式1-2】用一张长、宽的长方形纸卷成一个圆柱．按（ ）方式卷，得到的圆柱体积大． A．以作为圆柱的高 B．以作为圆柱的高 C．无法判定 题型二 圆柱表面积的实际应用 【例2】一只高8分米的无盖圆柱铁桶，底面周长米，做这只桶需要 平方分米． 【变式2-1】如图，两个圆柱的高都是，底面直径分别是和．求这个物体的表面积．（取3.14） 【变式2-2】六年级学生就快毕业了、思思买了一个小熊存钱罐想送给好朋友，这个存钱罐高是18厘米，左右长是9厘米，前后宽是8厘米．她想从如图三个带盖的纸盒中选出一个把存钱罐装入，应选哪个纸盒?你能算出做这个纸盒至少用了多少平方厘米硬纸板吗? 题型三 与圆锥侧面展开图有关的问题 【例3】如图，从圆上剪下一个扇形（图中阴影部分），用它作为一个圆锥的侧面．扇形的面积是 ，圆锥的底面积应为 ．（结果可用含有的式子表示） 【变式3-1】已知一个圆锥形环保纸杯的侧面展开图是圆心角为的扇形，如图，母线长． (1)求该圆锥形环保纸杯的底面直径； (2)如果该圆锥形环保纸杯的高为，求该圆锥形环保纸杯的体积（结果保留）． 【变式3-2】如图，沿一条母线将圆锥侧面展开，得到一个扇形，若圆锥的底面半径，扇形的圆心角，求该圆锥母线的长． 题型四 与圆柱和圆锥体积有关的问题 【例4】求下面图形的体积． 【变式4-1】如图，有一个下面是圆锥、上面是圆柱的容器，圆锥的高是，圆柱的高是，从圆锥的尖到容器里的液面高是．当将这个容器倒过来放平时，容器里的液面高是多少厘米？ 【变式4-2】如图所示，在圆柱体水桶中装满水后倒入一个无盖的长方体玻璃鱼缸中，正好将鱼缸装满．已知圆柱体水桶内部的底面积等于长方体鱼缸内部的底面积．取3.14） (1)长方体鱼缸内部的长和高分别是多少？ (2)水桶和鱼缸的容积分别是多少立方分米？ 基础巩固通关测 一、单选题 1．做一个汽油桶需要多少铁片，就是计算出汽油桶的（     ） A．表面积 B．侧面积与一个底面面积的和 C．侧面积 D．体积 2．一个圆锥的体积是12立方厘米，底面积是4平方厘米，高是（   ）厘米． A．3 B．6 C．9 D．12 3．一个圆锥与一个圆柱的底面积和体积相等，圆柱高，圆锥高是（   ）． A． B． C． 4．沙漏又称沙钟，是我国古代一种计量时间的仪器．它是根据流沙从一个容器漏到另一个容器的时间来计时的．如图是一个沙漏(上、下两个完全相同的圆锥)的示意图（单位：厘米），这个沙漏的容积是（   ）立方厘米． A．251.2 B．502.4 C．753.6 5．下面各图中，剪下图（    ）中的两个圆和一个长方形（或正方形）刚好可以围成一个圆柱．（接头处忽略不计）（单位：） A． B． C． D． 二、填空题 6．用一张长为，宽为的长方形纸围成一个圆柱体，这个圆柱的侧面积是 ． 7．一个圆柱体的侧面展开后，正好得到一个边长为厘米的正方形，圆柱体的高是 厘米． 8．圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的表面积为 （取3.14计算） 9．为了维护校园安全，在校门口配备了圆柱形升降阻车桩，如图所示，它的体积是，高为，则底面半径是 ． 10．如图，两个同样的量杯原来各盛有640毫升水．现将两个等底等高的圆柱与圆锥零件分别放入这两个量杯中，圆柱放入后量杯水面刻度如图①所示．那么图②中圆锥放入后量杯水面刻度显示应是( )毫升． 三、解答题 11．一堆圆锥体河沙，底面直径是4米，高是3米，如果每立方米沙重1.7吨，这堆河沙重约多少吨（取）？ 12．如图，在一个长8分米、宽6分米、高20分米的长方体容器中倒入一定量的水，然后放入一个底面半径为2分米的圆柱形铁块，铁块全部浸没在水中（水未溢出），这时水面上升3.14分米，求这个圆柱形铁块的高是多少分米．（取3.14） 能力提升进阶练 一、单选题 1．一块棱长是的正方体橡皮泥，把它捏成高为的圆锥，则圆锥的底面积是（    ）． A．18 B．24 C．48 D．54 2．圆柱的底面半径扩大为原来的2倍，高也扩大为原来的2倍，它的侧面积扩大为原来的（    ）倍． A．2 B．4 C．8 D．16 3．制作一个无盖的圆柱形水桶，有下面几种铁皮可供搭配，应选择（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 4．如图，一个酒瓶里面深，底面内直径是，瓶里酒深．把酒瓶塞紧后使其瓶口向下倒立，这时酒深，酒瓶的容积是（   ）． A． B． C． D． 5．一个陀螺的上端可近似地看作一个圆锥，下端可近似地看作一个圆柱，结构示意图如图所示．已知、分别是圆柱上、下底面的圆心，，底面半径为2，则该陀螺的体积为（结果保留）（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．如果一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的高是圆柱底面半径的 倍． 7．把一个高1米的圆柱体木料截成三个相等的小圆柱，表面积增加了2.4平方分米．原来圆柱体木料的体积是( )立方分米． 8．一个圆柱形包装盒，沿虚线将它的侧面包装纸剪开，展开后得到一个平行四边形(如图)．它的侧面积是 平方厘米，包装盒的体积是 立方厘米． 9．一个直角三角形的两条直角边的长分别为和，将这个直角三角形绕着它的直角边所在直线旋转一周所形成的几何体的体积是 ． 10．明、清时期是我国瓷器发展史上的极盛时期．一名工匠在制瓷时将长方体陶土块削成了一个最大的圆锥，削成的这个圆锥的体积是( )． 三、解答题 11．有一张长方形的铁皮（如图），剪下图中的阴影部分，正好可以做一个底面直径为分米的圆柱形油桶． (1)原来的长方形铁皮面积是多少平方分米？ (2)做成的这个圆柱形油桶的容积是多少立方分米？ 12．如图1所示，这是一个破损的木桶（木板厚度忽略不计，π取3） (1)把木桶平放时，这个木桶最多能盛水多少立方厘米？ (2)把木桶斜放时（如图2所示），请估计此时木桶最多能盛水多少立方厘米？（直接写出答案） 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$