第三、四章 代数式 整式的加减 双单元测试-2025-2026学年七年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（人教版2024新教材）

第三、四章 代数式 整式的加减 双单元测试 总分：120分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1．下列式子中，是代数式的是（   ） A． B． C． D． 2．下列关于单项式的说法中，正确的是（    ） A．系数是，次数是4 B．系数是，次数是3 C．系数是，次数是4 D．系数是，次数是3 3．多项式最高次项系数为（　　） A． B．1 C． D． 4．若与是同类项，则m、n的值分别是（   ） A． B． C． D． 5．“与的和的”用代数式可以表示为（   ） A． B． C． D． 6．已知，则的值是（   ） A． B．4 C．8 D． 7．图1是用长方形纸板做成的四巧板（已知线段长度如图所示），用它拼成图2的“T”字型图形，则“T”字型图形的周长为（   ）．（用含m，n的式子表示） A． B． C． D． 8．如图，长方形是由四块小长方形拼成的（四块小长方形放置时既不重叠，也没有空隙）．其中②④是能够完全重合的两块长方形，如果要求出①③两块长方形的周长之和，则只要知道（   ） A．长方形的周长 B．的长 C．长方形②的周长 D．的长 9．当时，代数式的值为2021，则当时，的值为（    ） A．2021 B． C． D．2019 10．如图，它们是由边长相同的小正方形组成的有规律的图案，其中第1个图中有5个小正方形涂有阴影，第2个图中有9个小正方形涂有阴影，第3个图中有13个小正方形涂有阴影……按照这样的规律，第10个图案中涂有阴影的小正方形个数是（   ） A．20 B．21 C．40 D．41 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11．请写出一个只含有字母x、y的三次多项式为 ． 12．化简： ． 13．多项式按字母的降幂排列是 ． 14．已知，且，则的值为 ． 15．规定※为一种运算，对任意两数不为，有，则 ． 16．已知、互为相反数，、互为倒数，的绝对值为2，则的值为 ． 17．已知在数轴上位置如图：则代数式的值等于 ． 18．有一串数、、、、、、、、、、、、、、、、，这串数从左起数第 个分数是． 三、解答题：本题共8小题，共66分. 19．化简： (1) (2) (3) (4) 20．先化简，再求值：，其中． 21．小明在做题时错将题目中的“”看成“”，算得结果，已知． (1)求多项式； (2)小强说正确结果的大小与的取值无关，对吗？请说明理由； (3)若，，求正确结果的代数式的值． 22．如图，一张边长为15的正方形图案，有两个一样大小的直角三角形和一个长方形．设小长方形的长和宽分别为x，y，两个小直角三角形的两条直角边长也分别为x，y． (1)用x，y表示图中空白（即两个直角三角形和一个长方形）的总面积； (2)当时，求图中阴影部分的面积． 23．某种商品进价m元/件．在销售旺季，该商品售价较进价高；销售旺季过后，又以7折的价格开展促销活动． (1)这时一件商品的售价是多少元？ (2)当进价为100元时，售价是多少？ (3)商家是亏了，还是赚了？请说明理由？ 24．计算： （1） （2） （3） 通过上面的运算结果，你一定得到了某个规律了吧！现请你接着完成以下的题目． 计算：（4） （计算结果允许保留 指数形式） （5）请问127这个数，它可以写成上面计算式子的左边形式吗？若能，请你将其式子形式写出来，若不能，请说明理由． 25．整体思想是中学数学解题中的一种重要思想，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，仿照下面的解题方法，完成后面的问题： 如果代数式的值为3，那么代数式的值是多少？ 爱动脑筋的小聪同学这样来解： 原式． 我们把看成一个整体，把式子两边乘2，得． 【方法运用】 （1）若，则的值为_________； （2）若，求的值； 【类比迁移】 （3）两地相距60千米，甲、乙两人同时从两地骑自行车出发，相向而行．甲每小时行千米，乙每小时行千米，经过3小时相遇．问甲、乙两人出发多少小时后两人相距20千米？ 26．如图1，在数轴上点M表示的数为m，点N表示的数为n，点M到点N的距离记为，即．如图2，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，a是3的相反数，b是最大的负整数，c是多项式的次数． (1) ， ， ． (2)x是数轴上任意一个有理数，则有最小值是 ，有最大值是 ，当取得最大值时相应的有理数x的取值范围是 ． (3)如图，点E，F，G是数轴上的三点，E点表示数是，F点表示数是，G点表示数是，点E，F，G同时开始在数轴上运动，若点E以每秒个单位长度的速度向左运动，点F和点G分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设t秒后，若点E与点F之间的距离表示为，点E与点G之间的距离表示为，点F与点G之间的距离表示为．若的值是一个定值，请求出m的值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三、四章 代数式 整式的加减 双单元测试 总分：120分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1．下列式子中，是代数式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了代数式的定义，解题的关键是明确“代数式是由数和表示数的字母经有限次加、减、乘、除、乘方和开方等代数运算所得的式子，或含有字母的数学表达式，不含有等号、不等号等关系符号”． 根据代数式的定义，逐一分析选项：判断每个选项是否含有等号、不等号等关系符号，不含关系符号且符合代数运算规则的即为代数式，由此筛选出正确选项． 【详解】解：根据代数式的定义（不含等号、不等号等关系符号，由数、字母及代数运算组成）： A、含有等号，是等式，不是代数式，此选项不符合题意； B、含有不等号，是不等式，不是代数式，此选项不符合题意； C、由数、字母及减法运算组成，不含关系符号，是代数式，此选项符合题意； D、含有等号，是等式，不是代数式，此选项不符合题意； 故选：C． 2．下列关于单项式的说法中，正确的是（    ） A．系数是，次数是4 B．系数是，次数是3 C．系数是，次数是4 D．系数是，次数是3 【答案】A 【分析】本题主要考查了单项式的系数，次数的概念，根据单项式系数和次数的定义，系数是数字因数（包括符号），次数是所有字母的指数之和，得出答案即可． 【详解】解：单项式可表示为，其中数字因数为，因此系数是，的指数是 1，的指数是3，次数为，故A正确． 故选：A． 3．多项式最高次项系数为（　　） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多项式的项与次数，熟练掌握多项式的项与次数的概念是解题的关键． 该多项式的最高次项为，故其系数为． 【详解】解：多项式的最高次项系数为． 故选：A． 4．若与是同类项，则m、n的值分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同类项．熟练掌握同类项定义是解题的关键．根据同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，可得出m、n的值即可． 【详解】解：与是同类项， ， 故选：C． 5．“与的和的”用代数式可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查列代数式，掌握相关知识是解决问题的关键．根据题意列出代数式即可． 【详解】解：根据题意列式为：， 故选：A． 6．已知，则的值是（   ） A． B．4 C．8 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了非负数的性质，熟练掌握几个非负数的和为时，这几个非负数都为是解题的关键．本题可根据非负数的性质求出、的值，再将其代入中计算． 【详解】解： ， ， 将，代入可得： 原式 故选：C． 7．图1是用长方形纸板做成的四巧板（已知线段长度如图所示），用它拼成图2的“T”字型图形，则“T”字型图形的周长为（   ）．（用含m，n的式子表示） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列代数式，关键是熟练掌握长方形周长公式和图形的平移．结合平移，根据长方形周长公式计算即可求解． 【详解】解：“T”字型图形的周长为． 故选：A． 8．如图，长方形是由四块小长方形拼成的（四块小长方形放置时既不重叠，也没有空隙）．其中②④是能够完全重合的两块长方形，如果要求出①③两块长方形的周长之和，则只要知道（   ） A．长方形的周长 B．的长 C．长方形②的周长 D．的长 【答案】D 【分析】本题考查长方形周长的表示方法，在于熟悉长方形的周长公式及代数式的运算是解题关键 【详解】解：设的长为y，的长为x，矩形②的长为a，宽为b，由题意可得，①③两块矩形的周长之和是： 故选：D． 9．当时，代数式的值为2021，则当时，的值为（    ） A．2021 B． C． D．2019 【答案】C 【分析】本题考查代数式求值，把代入，得到，把，代入中，进行计算求值即可． 【详解】解：把代入，得：， ∴， 把，代入，得：； 故选C． 10．如图，它们是由边长相同的小正方形组成的有规律的图案，其中第1个图中有5个小正方形涂有阴影，第2个图中有9个小正方形涂有阴影，第3个图中有13个小正方形涂有阴影……按照这样的规律，第10个图案中涂有阴影的小正方形个数是（   ） A．20 B．21 C．40 D．41 【答案】D 【分析】本题主要考查图形规律探索与代数式求值，熟练找出图案中阴影小正方形个数的变化规律并归纳出通用表达式是解题的关键．先找出图案中阴影小正方形个数的规律，得出第个图案中阴影小正方形个数的表达式，再代入计算． 【详解】解：第个图案中阴影小正方形个数：； 第个图案中阴影小正方形个数：； 第个图案中阴影小正方形个数：； …… 由此可推，第个图案中阴影小正方形个数为． 当时，阴影小正方形个数为，． 故选：D ． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11．请写出一个只含有字母x、y的三次多项式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式的项或次数，解题关键是熟练掌握多项式的有关概念． 根据多项式的次数是次数最高项的次数，写出一个符合条件的多项式即可． 【详解】解：只含有字母x、y的三次多项式为：， 故答案为：(答案不唯一)． 12．化简： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了整式的化简（含去括号和合并同类项），解题的关键是准确去括号（括号前是负号时，括号内各项要变号），再合并同类项得出最简结果． 先根据乘法分配律去括号，将分别乘括号内的a和，注意符号变化；再找出同类项，将含a的项合并，最后整理得到化简结果． 【详解】解：， 故答案为：． 13．多项式按字母的降幂排列是 ． 【答案】 【分析】本题考查了将多项式按某个字母升幂（降幂）排列，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据将多项式按某个字母升幂（降幂）排列的意义求解． 【详解】解：多项式按字母的降幂排列是， 故答案为：． 14．已知，且，则的值为 ． 【答案】或1 【分析】本题考查求一个数的绝对值及有理数除法法则，熟练掌握运算法则是关键．先根据，得到，，再根据，得到x、y同号，代入计算即可得到答案． 【详解】解：由条件可知， 由条件可知或，， 或， 故答案为：或1． 15．规定※为一种运算，对任意两数不为，有，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义运算，正确理解题意是解题的关键，根据题意将数代入中即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 16．已知、互为相反数，、互为倒数，的绝对值为2，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相反数，倒数，绝对值，求代数式的值；根据相反数，倒数，绝对值得出，，，再代入求出即可． 【详解】解：∵、互为相反数，、互为倒数，的绝对值是， ∴，，， ∴， 故答案为：． 17．已知在数轴上位置如图：则代数式的值等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查数轴、绝对值及合并同类项，熟练掌握数轴、绝对值及合并同类项是解题的关键；由数轴可知，进而问题可进行求解 【详解】解：根据数轴上点的位置得：， ， 原式； 故答案为． 18．有一串数、、、、、、、、、、、、、、、、，这串数从左起数第 个分数是． 【答案】 【分析】本题考查了数字规律，由分母为的个数为：（个）；分母为的个数为：（个）；分母为的个数为：（个）；分母为的个数为：（个）；分母为的个数为：（个）；；则分母为的个数为：（个）；然后根据规律可得前面的数的个数为（个），从而求得为第个数，读懂题意，找出规律是解题的关键． 【详解】解：分母为的个数为：（个）； 分母为的个数为：（个）； 分母为的个数为：（个）； 分母为的个数为：（个）； 分母为的个数为：（个）； ； ∴分母为的个数为：（个）； 则分母为的个数为：（个）； ∴前面的数的个数为：（个）； ∴为第个数， 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共66分. 19．化简： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了整式的加减计算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）直接合并同类项即可； （2）先去括号，再合并同类项； （3）先去括号，再合并同类项； （4）先去括号，再合并同类项． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 20．先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题考查了整式的化简求值，正确化简并代值计算是解决本题的关键． 先去括号再合并同类项化简整式，再将代入求解即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 21．小明在做题时错将题目中的“”看成“”，算得结果，已知． (1)求多项式； (2)小强说正确结果的大小与的取值无关，对吗？请说明理由； (3)若，，求正确结果的代数式的值． 【答案】(1)多项式； (2)小强的说法对； (3)正确结果的代数式的值为． 【分析】本题考查整式的加减，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）由，可得多项式； （2）计算，若结果不含，则小强说的对，若结果含，则小强说的不对； （3）将，，代入正确结果的代数式，计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可知，， ∴， ∵，， ∴， 答：多项式． （2）解：小强说法对，理由： ∵，， ∴， ∵不含， ∴正确结果的大小与的取值无关， 答：小强说法对． （3）解：∵，， ∴ 答：正确结果的代数式的值为． 22．如图，一张边长为15的正方形图案，有两个一样大小的直角三角形和一个长方形．设小长方形的长和宽分别为x，y，两个小直角三角形的两条直角边长也分别为x，y． (1)用x，y表示图中空白（即两个直角三角形和一个长方形）的总面积； (2)当时，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)129 【分析】本题考查列代数式以及代数式求值． （1）空白面积等于2个小三角形的面积加上长方形的面积，据此列代数式并化简即可； （2）阴影部分面积等于正方形的面积减去空白部分的面积． 【详解】（1）解：图中空白的总面积为：； （2）解：当时， 空白的总面积为：， 阴影部分的面积为：． 23．某种商品进价m元/件．在销售旺季，该商品售价较进价高；销售旺季过后，又以7折的价格开展促销活动． (1)这时一件商品的售价是多少元？ (2)当进价为100元时，售价是多少？ (3)商家是亏了，还是赚了？请说明理由？ 【答案】(1)元； (2)91元； (3)商家亏了． 【分析】本题考查列代数式，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． （1）先算旺季售价：进价m元，加价，即．再算促销价：旺季售价打7折，即旺季售价，结果为元； （2）直接把代入第1题结果，即元； （3）比较促销价和进价m：，售价低于进价，所以亏了． 【详解】（1）解：已知商品进价为m元/件，在销售旺季，售价较进价高，那么旺季售价为元． 销售旺季过后，又以7折的价格开展促销活动，所以这时一件商品的售价是（元）； （2）解：把代入中，可得售价为（元）； （3）解：因为进价为m元，而促销活动时的售价为元， ， 所以售价小于进价，商家亏了． 24．计算： （1） （2） （3） 通过上面的运算结果，你一定得到了某个规律了吧！现请你接着完成以下的题目． 计算：（4） （计算结果允许保留 指数形式） （5）请问127这个数，它可以写成上面计算式子的左边形式吗？若能，请你将其式子形式写出来，若不能，请说明理由． 【答案】（1）7；（2）15；（3）31；（4）；（5）能，见解析 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及有理数的混合运算，能通过计算发现等式各部分的变化规律是解题的关键． （1）根据所给算式进行计算即可； （2）根据所给算式进行计算即可； （3）根据所给算式进行计算即可； （4）根据上面计算的结果，发现规律即可解决问题； （5）结合（4）中发现的规律即可解决问题． 【详解】解：． 故答案为：7； （2）解：． 故答案为：15； （3）解：． 故答案为：31； （4）解：由上面的运算结果可知， ， 当时， ． 故答案为：； （5）解：能，理由如下： 因为， 所以． 25．整体思想是中学数学解题中的一种重要思想，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，仿照下面的解题方法，完成后面的问题： 如果代数式的值为3，那么代数式的值是多少？ 爱动脑筋的小聪同学这样来解： 原式． 我们把看成一个整体，把式子两边乘2，得． 【方法运用】 （1）若，则的值为_________； （2）若，求的值； 【类比迁移】 （3）两地相距60千米，甲、乙两人同时从两地骑自行车出发，相向而行．甲每小时行千米，乙每小时行千米，经过3小时相遇．问甲、乙两人出发多少小时后两人相距20千米？ 【答案】（1）7；（2）；（3）2或4小时 【分析】本题考查整式加减中的化简求值，求代数式的值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）将原式变形后整体代入已知数值计算即可； （2）将原式去括号，合并同类项后并整理，然后整体代入已知数值计算即可； （3）由题意易得，则，根据题意分相遇前两人相距20千米和相遇后两人相距20千米列式计算即可． 【详解】解：（1）， ， 故答案为：7； （2），， ； （3）由题意得， 则， 若相遇前两人相距20千米时， （小时）， 若相遇后两人相距20千米时， （小时）， 即甲、乙两人出发2小时或4小时后两人相距20千米． 26．如图1，在数轴上点M表示的数为m，点N表示的数为n，点M到点N的距离记为，即．如图2，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，a是3的相反数，b是最大的负整数，c是多项式的次数． (1) ， ， ． (2)x是数轴上任意一个有理数，则有最小值是 ，有最大值是 ，当取得最大值时相应的有理数x的取值范围是 ． (3)如图，点E，F，G是数轴上的三点，E点表示数是，F点表示数是，G点表示数是，点E，F，G同时开始在数轴上运动，若点E以每秒个单位长度的速度向左运动，点F和点G分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设t秒后，若点E与点F之间的距离表示为，点E与点G之间的距离表示为，点F与点G之间的距离表示为．若的值是一个定值，请求出m的值． 【答案】(1) (2)7；7； (3)或 【分析】（1）根据相反数的定义、有理数相关知识以及多项式的次数的定义，即可获得答案； （2）代数式表示点x与的距离与点x与点4距离的和，进而得到当时，最小，求解即可；代数式表示点x与的距离与点x与点4距离的差，然后分情况讨论，即可得到答案； （3）根据题意，t秒后，E点表示数是，F点表示数是，G点表示数是，首先求得当F点与G点重合时，，然后分和两种情况讨论，即可获得答案． 【详解】（1）解：a是3的相反数，b是最大的负整数，c是多项式的次数， ∴； 故答案为：； （2）代数式表示点x与的距离与点x与点4距离的和， 当时，， 此时， 当时，， 当时，， 此时， 故当时，的值最小，最小值为7； 代数式表示点x与的距离与点x与点4距离的差， 当时，， 当时，， 此时， 当时，， ∴有最大值是7，当取得最大值时相应的有理数x的取值范围是； 故答案为：7；7；； （3）根据题意，t秒后，E点表示数是，F点表示数是，G点表示数是， 当F点与G点重合时，可有 ，解得， 分两种情况讨论： ①当时，，， ∴， ∵若的值是一个定值， ∴，解得； ②当时，，， ∴， ∵若的值是一个定值， ∴，解得． 综上所述，m的值为或． 【点睛】本题主要考查了相反数、有理数分类、多项式的次数、数轴上两点间的距离、用数轴上的点表示有理数、数轴上动点问题等知识，读懂题意，灵活运用所学知识是解答本题的关键． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$