第三、四章 代数式 整式的加减（优质类型）-2025-2026学年七年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（人教版2024新教材）

第三、四章 代数式 整式的加减思维导图 【类型覆盖】 类型一、绝对值在数轴中化简 【解惑】如图所示，数轴上点A，点B，点C分别表示有理数a，b，c，O为原点，化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．已知有理数a、b、c在数轴上对应的点如图所示： 化简：的结果为（   ） A． B． C． D． 2．三个有理数a，b，c在数轴上表示的位置如图所示，则化简的结果 ． 3．有理数a、b、c在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是 ． 类型二、新定义运算 【解惑】定义：若，则称与是关于的平衡数．例如：若，则称与是关于2的平衡数．若，，那么与是关于（    ）的平衡数 A． B．2 C． D．4 【融会贯通】 1．对任意有理数x，y定义新运算“”如下：．若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 2．对于有理数a，b，定义，则化简后得 ． 3．定义△如下：①；②，则 ． 类型三、操作问题 【解惑】在5个字母中（均不为零），不改变字母的顺序，在每相邻两个字母之间都添加一个“+”或者一个“-”组成一个多项式，且从字母之间开始从左至右所添加的“+”或“-”交替依次出现，再在这个多项式中，任意添加两个括号（括号内至少有两个字母，且括号中不再含有括号），添加括号后仍只含有加减运算，然后再进行去括号运算，我们称为“添减括号操作”． 例如：． 下列说法： ①所有的“添减括号操作”共有7种不同运算结果； ②不存在两种“添减括号操作”，使它们的运算结果求和后为0； ③存在“添减括号操作”，使其运算结果与其未加括号之前的多项式相等． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【融会贯通】 1．对在整式、之间插入它们的平均数：记作第一次操作，在与之间和与之间分别插入它们各自的平均数记作第二次操作，以此类推． ①第二次操作后，从左往右第二个整式为：； ②若，经过次操作后，所有数之和为； ③经过次操作后，将得到个整式； ④第次操作后，从左往右第个整式为：      以上四个结论正确的有（    ） A． B． C． D． 2．有一列数，将这列数中的每个数求其相反数得到，再分别求与1的和的倒数，得到，令这组数为，称这为一次操作；第二次操作是将再进行上述操作，得到；第三次操作是将重复上述操作，得到；…；以此类推，则 ， ． 3．黑板上有按规律排列的20个整数：．对它们进行如下操作：划掉其中三个数，并将这三个数之和的个位数字添写在黑板上，其符号与划掉的这三个数之和的符号相同；然后连同所添写的数一起，重复上述操作，直到剩下两个数为止．如：某次划掉的数是，则添写数字．经过9次操作后剩下两个数，若一个数是，则另一个数是 ． 类型四、行列排序问题 【解惑】观察一列数：，，，，，，，将这列数排成下列形式．记为第行第列的数，如，．若，则，分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【融会贯通】 1．我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式和的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”，若“杨辉三角”中第n行的各数之和比上一行各数之和大64，则n的值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 2．将正整数1，2，3，…从小到大按下面规律排列．若第4行第2列的数为，则① ；②第行第列的数为 （用表示）． 第1列 第2列 第3列 … 第列 第1行 1 2 3 … 第2行 … 第3行 … … … … … … … 3．正整数按如下图的规律排列，请写出第6行，第6列的数字是 ；第n行，第n列的数字是 ．(用含n的代数式表示)． 类型五、数的规律 【解惑】观察下列各数：1，，，，…，按你发现的规律计算这列数的第6个数为（　　） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．以下是一组按一定规律排列的多项式：，，，，，…，则第个多项式是（    ） A． B． C． D． 2．一列有规律的数：，，，，，……这列数的第20个数为 ． 3．观察下列各式： …………① …………② …………③ …… 探索以上式子的规律： (1)写出第5个等式： ； (2)试写出第n个等式： ； (3)计算． 类型六、图形规律 【解惑】如图，它们是由边长相同的小正方形组成的有规律的图案，其中第1个图中有5个小正方形涂有阴影，第2个图中有9个小正方形涂有阴影，第3个图中有13个小正方形涂有阴影……按照这样的规律，第10个图案中涂有阴影的小正方形个数是（   ） A．20 B．21 C．40 D．41 【融会贯通】 1．我校举办了用火柴棒摆“金鱼”的活动．按照图中所示的规律，第n个图形需用火柴棒的根数为（　　） A． B． C． D． 2．如图是一组有规律的图案，第1个图案中有6个涂有阴影的小矩形，第2个图案中有10个涂有阴影的小矩形，第3个图案中有14个涂有阴影的小矩形……按此规律，第n个图案中涂有阴影的小矩形的个数为 ．（用含n的代数式表示） 3．观察图，解答下列问题． (1)图中的小圆圈被折线隔开分成六层，第一层有1个小圆圈，第二层有3个圆圈，第三层有5个圆圈，…，第六层有11个圆圈．如果要你继续画下去，那么第9层有_______个小圆圈？ (2)数图中的圆圈个数可以有多种不同的方法． 比如：前两层的圆圈个数和为或，由此得，． 同样，由前三层的圆圈个数和得：， 由前四层的圆圈个数和得：． 由前五层的圆圈个数和得：． 根据上述请你猜测，从1开始的n个连续奇数之和是______（用n的代数式表示）； (3)计算： _________； (4)计算：． 类型七、整除问题 【解惑】【探索数的奇妙规律】 小明同学在学习数学时发现了一个有趣的规律：对于任意一个四位数（定义：，如果可以被整除，那么这个四位数可以被整除．例如，数，，能被整除，则能被整除；数，，不能被整除，则不能被整除． (1)根据规律，判断：①；②；③，其中可以被整除是 （填序号）； (2)如果可以被整除，证明四位数可以被整除； (3)判断是否可以被整除，并说明理由． 【融会贯通】 1．在小学，我们知道像12，27，36，45，108，…这样的自然数能被3整除．一般地，如果一个自然数所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除．事实上，我们可以证明这个结论的正确性． 以两位数为例，若一个两位数的十位、个位上的数字分别为，则通常记这个两位数为，于是显然，能被3整除，因此，若能被3整除，那么，就能被3整除，即能被3整除． 根据上述材料，解答下列问题： (1)下列各数中，能被3整除的有___________（填序号） ①25；②225；③1025． (2)用含、、的代数式表示三位数___________（其中是百位数，是十位数，是个位数）； (3)类比上述的过程，尝试说明：如果一个三位数的所有数位之和能被9整除，那么这个三位数就能被9整除． 2．综合与探究 【问题情境】一般地，如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除． 比如：若一个两位数的十位、个位上的数字分别为a、b，则通常记这个两位数为．于是．显然能被3整除，因此，如果能被3整除，那么就能被3整除，即能被3整除． 【类比探究】已知三位数． （1）请用含a，b，c的代数式表示三位数___________； （2）“若能被3整除，则三位数就能被3整除”，请你说出其中的道理； 【类比拓展】判断一个三位整数能否被7整除，只需看去掉这个数的末位数字后，所得到的数与此末尾数字5倍的和能否被7整除，如果这个和能被7整除，则原数就能被7整除． 比如：三位数去掉末位数字得两位数，再用加上的5倍所得的和为．若是7的倍数，则能被7整除． （3）请你说明“若是7的倍数，则能被7整除”这个结论的道理． 3．我们知道能被整除的数的规律，设是一个三位数，若可以被整除，则这个数就能被整除．例如，三位数108，，可以被整除，就能被整除． 【发现】将三位数去掉末尾数字得到两位数，再用减去的倍所得的差为．若能被整除，则三位数就能被整除． 【验证】如，对于三位数，，可以被整除，就能被整除． （1）用上述方法判断能否被整除？并说明你的理由； 【探究】（2）请用含，，的代数式表示___________； （3）结合（2）论证“发现”中的结论正确． 【迁移】（4）下列结论正确的是___________（填序号） ①在三位数中，若满足是的倍数，则是的倍数； ②在三位数中，若满足是的倍数，则是的倍数； ③在四位数中，若满足是的倍数，则是的倍数； 类型八、代数式表示阴影面积 【解惑】如图，在边长都为a的正方形内分别排列着一些大小相等的圆．    (1)根据图中的规律，第4个正方形内圆的个数是________，第n个正方形内圆的个数是________． (2)如果把正方形内除去圆的部分都涂上阴影 ①第1个正方形中阴影部分的面积为________，第n个正方形中阴影部分的面积为________（用含a的代数式表示，结果保留）． ②若，请直接写出第2 024个正方形中阴影部分的面积：________（结果保留）． 【融会贯通】 1．把正整数1，2，3，4，…，排列成如图1所示的一个表，从上到下分别称为第1行、第2行、…，用图2所示的方框在图1中框住16个数，把其中没有被阴影覆盖的四个数分别记为A，B，C，D，设． (1)在图1中，2021排在第 行第 列； (2)的值是否为定值？如果是，请求出它的值；如果不是，请说明理由； (3)将图1中的奇数都改为原数的相反数，偶数不变． ①设此时图1中排在第m行第n列的数（m，n都是正整数）为w，请用含m，n的代数式表示； ②此时的值是否为定值？如果是，请求出它的值；如果不是，请说明理由； 2．如图，在矩形中，有正方形，正方形，正方形，问：知道哪个正方形的面积可以得到两个阴影部分的周长之差． 3．如图，长为a、宽为b的长方形被分割成七部分，除阴影部分P，Q外，其余五部分为形状和大小完全相同的小长方形M，其中小长方形M的宽为3． (1)小长方形M的长为_________；（用含a的代数式表示）． (2)若，你能否求出阴影图形P与阴影图形Q的周长之和？若能，请求出其值；若不能，请说明理由． 类型九、整体思想 【解惑】阅读材料：我们知道，，类似地，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： (1)把看成一个整体，合并______； (2)运用“整体思想”合并； (3)，则______． 【融会贯通】 1．阅读材料：我们知道，，类似的，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： （1）把看成一个整体，合并的结果是 ． （2）已知，求的值； 拓展探索： （3）已知，，，求的值． 2．阅读材料：我们知道，，类似的，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： (1)把看成一个整体，合并______； (2)已知，运用“整体思想”求的值； (3)若，，则______． 3．同学遇到这样一道题：“如果代数式的值为，那么代数式的值是多少？”这个问题中a和b的值不能单独求出来，于是他想到了把作为一个整体求解，得到如下的解题过程： 原式． 整体思想是中学数学解题的一种重要思想方法，请仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)已知，则＝； (2)已知，求的值； (3)已知，，求的值． 类型十、代数式的新定义应用 【解惑】定义：若一个多项式的各项系数之和为7的整数倍，则称这个多项式为“标准多项式”．例如：多项式的系数和为，所以多项式是“标准多项式”．请根据这个定义解答下列问题： (1)在下列多项式中，属于“标准多项式”的是______；（填写序号） ①；②；③． (2)若多项式是关于x，y的“标准多项式”（其中m、n均为整数），则多项式也是关于x，y的“标准多多项式”吗？若是，请说明理由；若不是，请举出反例． (3)已知，，，且（其中m，，t均为整数），请证明多项式也是关于x，y的“标准多项式”． 【融会贯通】 1．定义：若，则称a与b是关于6的实验数． (1)2与______是关于6的实验数：代数式______与是关于6的实验数． (2)若，，判断a与b是否是关于6的实验数，说明理由． (3)若c与d是关于6的实验数，且，求d的值． 2．定义：已知M，N都是关于x的多项式，若（，且k不含字母），则称M是N的“平移式”，k叫做M关于N的“平移值”．例如：，，，则称M是N的“平移式”，M关于N的“平移值”为4． (1)若，，则M是N的“平移式”吗？为什么？ (2)对于常数m，n，有，，若M是N的“平移式”，且“平移值”为3，求m，n的值； (3)若A，B，M都是关于x的多项式，且，．，且，试问：M是N的“平移式”吗？如果是，求出m，n的值及“平移值”；如果不是，请说明理由． 3．给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数，为“相伴有理数对”，记为．如：，所以数对都是“相伴有理数对”． (1)数对，中，是“相伴有理数对”的是______； (2)若是“相伴有理数对”，求的值． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三、四章 代数式 整式的加减思维导图 【类型覆盖】 类型一、绝对值在数轴中化简 【解惑】如图所示，数轴上点A，点B，点C分别表示有理数a，b，c，O为原点，化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据各点在数轴上的位置判断出a、b、c的符号及绝对值的大小，再去绝对值符号，合并同类项即可． 本题考查的是整式的加减和绝对值的化简，熟知整式的加减实质上就是合并同类项是解答此题的关键． 【详解】解：∵由图可知，， ∴， ∴ ． 故选：A 【融会贯通】 1．已知有理数a、b、c在数轴上对应的点如图所示： 化简：的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了利用数轴判断式子正负，整式的加减运算，根据数轴正确得出式子正负是解题关键．由数轴可得，，，再去绝对值符号化简即可． 【详解】解：由数轴可知，，且， ，，， ， 故选：B． 2．三个有理数a，b，c在数轴上表示的位置如图所示，则化简的结果 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴，绝对值，去括号和合并同类项有关知识，根据数轴所示得到，，再化简绝对值即可． 【详解】解：由数轴可知，， ∴ ． 故答案为：． 3．有理数a、b、c在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是 ． 【答案】0 【分析】根据有理数a、b、c在数轴上对应点的位置，判断，，的正负，去掉绝对值符号即可． 本题考查了数轴，绝对值，整式的加减，熟悉数形结合思想，根据有理数在数轴上对应点的位置结合有理数运算法则判断结果的符号是解题的关键． 【详解】解：由数轴可知，，且， ，，， ， ， 故答案为： 类型二、新定义运算 【解惑】定义：若，则称与是关于的平衡数．例如：若，则称与是关于2的平衡数．若，，那么与是关于（    ）的平衡数 A． B．2 C． D．4 【答案】D 【分析】本题考查新定义，整式的加减运算，理解新定义，掌握整加减运算法则是解题的关键． 先化简a、b，再计算出的值，即可由新定义求解． 【详解】解：∵， ， ∴， ∵若，则称a与b是关于m的平衡数． ∴a与b是关于4的平衡数 故选：D． 【融会贯通】 1．对任意有理数x，y定义新运算“”如下：．若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】此题考查了新定义运算，代数式求值， 首先根据新定义运算法则得到，求出，进而求解即可． 【详解】∵， ∴ ∴ ∴． 故选：C． 2．对于有理数a，b，定义，则化简后得 ． 【答案】 【分析】本题考查整式的加减，熟练掌握整式的加减实质上是合并同类项是解答此题的关键．根据题中所给出的式子，先计算，再计算，即可得到答案． 【详解】解：， ， 所以． 故答案为：． 3．定义△如下：①；②，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查数的周期性规律．需要根据给定的规律，逐步计算各数，并观察是否存在周期性，从而简化计算过程． 【详解】解：，，， ， ． 同理可得，，，， 从和的值可以看出，，，说明这些数每6项重复一次，即周期为6． ，， 即． 故答案为：1． 类型三、操作问题 【解惑】在5个字母中（均不为零），不改变字母的顺序，在每相邻两个字母之间都添加一个“+”或者一个“-”组成一个多项式，且从字母之间开始从左至右所添加的“+”或“-”交替依次出现，再在这个多项式中，任意添加两个括号（括号内至少有两个字母，且括号中不再含有括号），添加括号后仍只含有加减运算，然后再进行去括号运算，我们称为“添减括号操作”． 例如：． 下列说法： ①所有的“添减括号操作”共有7种不同运算结果； ②不存在两种“添减括号操作”，使它们的运算结果求和后为0； ③存在“添减括号操作”，使其运算结果与其未加括号之前的多项式相等． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查整式的加减运算、括号添等知识点，掌握整式的加减运算法则成为解题的关键． 先根据题意列举出此操作的所有结果，即可判定①；所有结果中字母a的系数恒为1，两结果相加a的系数为2，无法为零，即可判定②；通过合理添加括号可使结果与原式相同，正确． 【详解】解：①初始多项式符号交替排列，如．添加两个括号后，可能的结果包括：1． 原式：；2．添加括号如，结果为；3．添加括号如，结果为；同理，符号排列为时，类似操作产生3种结果．总共有种不同结果，故①错误． ②无论括号如何添加，所有结果中字母的系数始终为．若存在两种操作结果相加为0，则的系数需为，矛盾．故②正确． ③例如，添加括号，去括号后与原式相同．故③正确． 综上，正确的说法为②和③，共2个． 故选C． 【融会贯通】 1．对在整式、之间插入它们的平均数：记作第一次操作，在与之间和与之间分别插入它们各自的平均数记作第二次操作，以此类推． ①第二次操作后，从左往右第二个整式为：； ②若，经过次操作后，所有数之和为； ③经过次操作后，将得到个整式； ④第次操作后，从左往右第个整式为：      以上四个结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的加减，数字类规律探索，根据操作方式找出变化规律是解题的关键．①根据第一次操作后所得整式，求出第二次操作后，从左往右的第二个整式即可判断；②代入，求出经过3次操作后所得数据，求和即可判断．③根据操作方式得出操作后所得整式个数的规律，然后求出经过8次操作后所得整式个数即可判断；④根据操作方式得出每次操作后从左往右第2个整式的规律，然后求出第10次操作后，从左往右的第10个整式即可判断． 【详解】结论①：第一次操作后序列为．第二次操作时，在与之间插入，在与之间插入．新序列为．从左往右第二个整式为，结论①正确． 结论②：当时，初始值为．第一次操作后为（和为）．第二次操作后为（和为）．第三次操作后序列为，求和得，结论②正确． 结论③：每次操作后项数规律为：初始项，第次操作后项数为．第8次操作后项数为，而非，结论③错误． 结论④：第次操作后第个整式可表示为．当，时，表达式为，而题目中为，分母错误，结论④错误． 综上，正确结论为①、②，共2个， 故选：B． 2．有一列数，将这列数中的每个数求其相反数得到，再分别求与1的和的倒数，得到，令这组数为，称这为一次操作；第二次操作是将再进行上述操作，得到；第三次操作是将重复上述操作，得到；…；以此类推，则 ， ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及倒数，能根据题意得出大括号内的数字每三组循环一次是解题的关键． 根据题意，先求出和在第几组式子中，其次通过计算发现大括号内数的变化规律即可解决问题． 【详解】解：根据题意得，，，， 第二次操作得，，，， 第三次操作得，，，． 观察上述规律可知，每3次操作为一循环，一个循环内共12个数． 因为， 所以． 因为． 因为， 所以， 故答案为，． 3．黑板上有按规律排列的20个整数：．对它们进行如下操作：划掉其中三个数，并将这三个数之和的个位数字添写在黑板上，其符号与划掉的这三个数之和的符号相同；然后连同所添写的数一起，重复上述操作，直到剩下两个数为止．如：某次划掉的数是，则添写数字．经过9次操作后剩下两个数，若一个数是，则另一个数是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了有理数加减运算，数字规律探索，由这数的和的个位数为，得添写的数与之和的个位数为，求出添加的数即可． 【详解】 解： ， ∴这数的和的个位数为， ∵其它数都擦掉了，只剩和添写的数， ∴添写的数与之和的个位数为，故添写的数或， 故答案为: 或． 类型四、行列排序问题 【解惑】观察一列数：，，，，，，，将这列数排成下列形式．记为第行第列的数，如，．若，则，分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题主要考查了数字的变化规律，根据规律可知第行第一个数字是，最后一个数字是，可知是第行的最后一个数字，第是第行的第一个数字，所以是第行的第个数字． 【详解】解：第一行有个数字，， 第二行第一个数字是，最后一个数字是 第三行第一个数字是，最后一个数字是， 第四行第一个数字是，最后一个数字是， ， 第行第一个数字是，最后一个数字是， ， ， 又， 是第行的最后一个数字， 第行的第一个数字是 ， 是第行的第个数字， ，． 故选： B． 【融会贯通】 1．我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式和的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”，若“杨辉三角”中第n行的各数之和比上一行各数之和大64，则n的值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式的规律．根据图形中的规律不难发现第n行的各数之和为，据此即可求出结果． 【详解】解：第1行的各数之和为， 第2行的各数之和为， 第3行的各数之和为， 第4行的各数之和为， ……， 第n行的各数之和为， ∵第n行的各数之和比上一行各数之和大64， ∴ 解得：． 故选：B． 2．将正整数1，2，3，…从小到大按下面规律排列．若第4行第2列的数为，则① ；②第行第列的数为 （用表示）． 第1列 第2列 第3列 … 第列 第1行 1 2 3 … 第2行 … 第3行 … … … … … … … 【答案】 【分析】本题为规律探究题，通过数表，寻找数字间的规律并运用这一规律是解决问题的关键．由题意可得到每一行的倍数比行数少1，后面加列数即可． 【详解】解：根据以上分析， 故第4行第2列的数可表示为，则，解得； 第行第列的数为． 故答案为：10；． 3．正整数按如下图的规律排列，请写出第6行，第6列的数字是 ；第n行，第n列的数字是 ．(用含n的代数式表示)． 【答案】 31 【分析】本题考查数字规律探索，用代数式表示规律，代数式的值，仔细观察各行各列数规律，抓住第一列规律，与第一行规律是解题关键． 先找出第一列每一行的规律，再找出第一行每一列规律，观察然后再找出第行，第列是第 1 行，第列与第行，第 1 列两数和的一半，然后求第6行，第6列的数字即可． 【详解】解：第一列各行数为， 第一行各数为， 第 1 行，第列的数字为，第行，第 1 列的数字为， 第行，第列的数字为． ∴第6行，第6列的数字为， 故答案为：． 类型五、数的规律 【解惑】观察下列各数：1，，，，…，按你发现的规律计算这列数的第6个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数字规律的探索（分式数列的分子、分母规律推导），解题的关键是分别观察数列中每一项的分子与分母的变化规律，推导得出第 n 项的表达式，再代入 计算第 6 项的值． 先拆分数列各项的分子与分母：第1项1可写为，分子为，分母为；第2项，分子为，分母为；第3项，分子为，分母为；第4项，分子为，分母为；由此得出第n项的表达式为；再代入计算第6项，对比选项确定答案． 【详解】解：先推导数列第 n 项规律： 第 1 项：（分子，分母； 第2项：（分子，分母； 第3项：（分子，分母； 第4项：（分子，分母； 故第n项表达式为． 计算第6项：分子，分母，即第6项为． 故选：C． 【融会贯通】 1．以下是一组按一定规律排列的多项式：，，，，，…，则第个多项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查寻找规律问题，观察多项式，将每个多项式拆分为关于的项和常数项，分别分析各自的规律：符号规律：负、正交替出现，即；指数规律：的指数依次为1，2，3，4，5，…，即；从而确定规律，即可得到答案，根据已知多项式找准规律是解决问题的关键． 【详解】解： 第1个：， 第2个：， 第3个：， 第4个：， 第5个：， …， 第个：， 故选：B． 2．一列有规律的数：，，，，，……这列数的第20个数为 ． 【答案】58 【分析】本题考查了数字类规律探索，根据题意找出一般规律是解题关键．观察数列可得第个数为，即可求解． 【详解】解：由数列可知，第一个数， 第二个数， 第三个数， 第四个数， 观察发现，第个数为， 则这列数的第20个数为， 故答案为：． 3．观察下列各式： …………① …………② …………③ …… 探索以上式子的规律： (1)写出第5个等式： ； (2)试写出第n个等式： ； (3)计算． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了数字类规律探索，善于思考总结规律是解题的关键． （1）观察题目中的规律可知第五个等式为； （2）根据得出规律写出第n个等式即可； （3）将原式变为，再根据化简即可解答． 【详解】（1）解：∵……………① ……………② ……………③ …… ∴第个等式是； 故答案为： （2）解：∵……………① ……………② ……………③ …… ∴第n个等式为：； 故答案为： （3）解： ． 类型六、图形规律 【解惑】如图，它们是由边长相同的小正方形组成的有规律的图案，其中第1个图中有5个小正方形涂有阴影，第2个图中有9个小正方形涂有阴影，第3个图中有13个小正方形涂有阴影……按照这样的规律，第10个图案中涂有阴影的小正方形个数是（   ） A．20 B．21 C．40 D．41 【答案】D 【分析】本题主要考查图形规律探索与代数式求值，熟练找出图案中阴影小正方形个数的变化规律并归纳出通用表达式是解题的关键．先找出图案中阴影小正方形个数的规律，得出第个图案中阴影小正方形个数的表达式，再代入计算． 【详解】解：第个图案中阴影小正方形个数：； 第个图案中阴影小正方形个数：； 第个图案中阴影小正方形个数：； …… 由此可推，第个图案中阴影小正方形个数为． 当时，阴影小正方形个数为，． 故选：D ． 【融会贯通】 1．我校举办了用火柴棒摆“金鱼”的活动．按照图中所示的规律，第n个图形需用火柴棒的根数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了图形的规律探索，解题的关键是得出每增加一个基本图形就多6根火柴棒． 根据已知图形中火柴棒的根数，找出其中的规律即可求解． 【详解】∵第1个图形火柴棒的根数， 第2个图形火柴棒的根数， 第3个图形火柴棒的根数， 故第n个图形需要火柴棒的根数为． 故选：A． 2．如图是一组有规律的图案，第1个图案中有6个涂有阴影的小矩形，第2个图案中有10个涂有阴影的小矩形，第3个图案中有14个涂有阴影的小矩形……按此规律，第n个图案中涂有阴影的小矩形的个数为 ．（用含n的代数式表示） 【答案】/ 【分析】本题主要考查图形的变化规律，由题意可得：第1个图案中涂有阴影的小矩形的个数为：6，第2个图案中涂有阴影的小矩形的个数为：，第3个图案中涂有阴影的小矩形的个数为：，…，据此可求解． 【详解】解：∵第1个图案中涂有阴影的小矩形的个数为：6， 第2个图案中涂有阴影的小矩形的个数为：， 第3个图案中涂有阴影的小矩形的个数为：， …， ∴第n个图案中涂有阴影的小矩形的个数为：． 故答案为：． 3．观察图，解答下列问题． (1)图中的小圆圈被折线隔开分成六层，第一层有1个小圆圈，第二层有3个圆圈，第三层有5个圆圈，…，第六层有11个圆圈．如果要你继续画下去，那么第9层有_______个小圆圈？ (2)数图中的圆圈个数可以有多种不同的方法． 比如：前两层的圆圈个数和为或，由此得，． 同样，由前三层的圆圈个数和得：， 由前四层的圆圈个数和得：． 由前五层的圆圈个数和得：． 根据上述请你猜测，从1开始的n个连续奇数之和是______（用n的代数式表示）； (3)计算： _________； (4)计算：． 【答案】(1)17 (2) (3) (4) 【分析】本题考查图形类规律探究、数字类规律探究、有理数的混合运算，找到变化规律是解答的关键． （1）根据前几层的圆圈个数得到规律，进而可求解； （2）利用已知数据得出答案即可； （3）利用（2）中发现的规律得出答案即可； （4）利用（2）中发现的规律得出答案即可． 【详解】（1）解：第一层有1个小圆圈， 第二层有3个圆圈， 第三层有5个圆圈， …， 依此规律：每一层小圆圈个数是连续的奇数， 第n层有个小圆圈， ∴ ∴第9层有个小圆圈 故答案为：； （2）解：前一层的圆圈个数和得：， 前两层的圆圈个数和得：， 由前三层的圆圈个数和得：， 由前四层的圆圈个数和得：， 由前五层的圆圈个数和得：， ， 从1开始的n个连续奇数之和是， 故答案为：； （3）解：由上可得：， 故答案为：； （4）解： ． 类型七、整除问题 【解惑】【探索数的奇妙规律】 小明同学在学习数学时发现了一个有趣的规律：对于任意一个四位数（定义：，如果可以被整除，那么这个四位数可以被整除．例如，数，，能被整除，则能被整除；数，，不能被整除，则不能被整除． (1)根据规律，判断：①；②；③，其中可以被整除是 （填序号）； (2)如果可以被整除，证明四位数可以被整除； (3)判断是否可以被整除，并说明理由． 【答案】(1)①③ (2)见解析 (3)可被整除，见解析 【分析】本题考查了整式加减的应用，有理数混合运算的应用，正确掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）根据题意，逐个计算，即可得出答案； （2）根据可以被整除，设，将四位数整理得出，将代入，得出，即可证明； （3）根据题意得出，，求得，即可求解． 【详解】（1）解：①，，能被整除，则能被整除； ②，，不能被整除，则不能被整除； ③，，能被整除，则能被整除； 故可以被整除是①③． 故答案为：①③． （2）证明：∵可以被整除， 故设， 对于四位数， 则这个四位数 将代入，得， 整理得； ∵能被整除， ∴能被整除． （3）解：是， 理由：对于四位数，， 对于四位数，， 故 ； ∵能被整除， 故能被整除． 【融会贯通】 1．在小学，我们知道像12，27，36，45，108，…这样的自然数能被3整除．一般地，如果一个自然数所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除．事实上，我们可以证明这个结论的正确性． 以两位数为例，若一个两位数的十位、个位上的数字分别为，则通常记这个两位数为，于是显然，能被3整除，因此，若能被3整除，那么，就能被3整除，即能被3整除． 根据上述材料，解答下列问题： (1)下列各数中，能被3整除的有___________（填序号） ①25；②225；③1025． (2)用含、、的代数式表示三位数___________（其中是百位数，是十位数，是个位数）； (3)类比上述的过程，尝试说明：如果一个三位数的所有数位之和能被9整除，那么这个三位数就能被9整除． 【答案】(1)② (2) (3)见解析 【分析】本题考查列代数式以及数的整除，整式加减的应用．熟练掌握相关知识点是解题的关键； （1）计算各数位上的数字之和，若能被3整除，则该数就能被3整除，据此逐个判断即可； （2）根据已知条件可得； （3），根据已知条件按照材料的方法即可证明． 【详解】（1），7不能被3整除， 25不能被3整除； ，9能被3整除， 225能被3整除； ，8不能被3整除， 1025不能被3整除； 故能被3整除的有225． （2）． （3）， 能被3整除， 若能被3整除，则能被3整除，即能被3整除， 如果一个三位数的所有数位之和能被9整除，那么这个三位数就能被9整除． 2．综合与探究 【问题情境】一般地，如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除． 比如：若一个两位数的十位、个位上的数字分别为a、b，则通常记这个两位数为．于是．显然能被3整除，因此，如果能被3整除，那么就能被3整除，即能被3整除． 【类比探究】已知三位数． （1）请用含a，b，c的代数式表示三位数___________； （2）“若能被3整除，则三位数就能被3整除”，请你说出其中的道理； 【类比拓展】判断一个三位整数能否被7整除，只需看去掉这个数的末位数字后，所得到的数与此末尾数字5倍的和能否被7整除，如果这个和能被7整除，则原数就能被7整除． 比如：三位数去掉末位数字得两位数，再用加上的5倍所得的和为．若是7的倍数，则能被7整除． （3）请你说明“若是7的倍数，则能被7整除”这个结论的道理． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析． 【分析】本题主要考查了整式的加减和数的整除，熟练掌握相关知识并理解题意是解题的关键． （1）根据题意可得出三位数为百位数字十位数字个位数字，进而得解； （2）首先将三位数变形，然后分析各项与3的整除关系得，得和都能被3整除 然后根据整除性质，几个能被3整除的数相加所得的和也能被3整除，即可得出结论． （3）对三位数变形，利用已知条件替换，最后化简式子并判断整除性． 【详解】解：（1）由题意根据数的表示方法，百位上的数字a表示a个100，即；十位上的数字b表示b个10，即；个位上的数字c表示c个，即c． 那么三位数可以表示为这三个部分的和，即． 故答案为：； （2）， ∵，， ∴能被3整除，能被3整除， 又∵能被3整除， ∴就能被3整除，即就能被3整除． （3）∵， ∴ ∴能被7整除， 又∵是7的倍数， ∴，就能被7整除，即就能被7整除． 3．我们知道能被整除的数的规律，设是一个三位数，若可以被整除，则这个数就能被整除．例如，三位数108，，可以被整除，就能被整除． 【发现】将三位数去掉末尾数字得到两位数，再用减去的倍所得的差为．若能被整除，则三位数就能被整除． 【验证】如，对于三位数，，可以被整除，就能被整除． （1）用上述方法判断能否被整除？并说明你的理由； 【探究】（2）请用含，，的代数式表示___________； （3）结合（2）论证“发现”中的结论正确． 【迁移】（4）下列结论正确的是___________（填序号） ①在三位数中，若满足是的倍数，则是的倍数； ②在三位数中，若满足是的倍数，则是的倍数； ③在四位数中，若满足是的倍数，则是的倍数； 【答案】（1）能，理由见解析；（2）；（3）见解析；（4）① 【分析】本题考查了数的整除、整式加减的应用、有理数的混合运算、列代数式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先求出，结合能够被整除即可得解； （2）根据题意表示出代数式即可； （3）由（2）可得，由题意可得（为整数），推出，表示出，即可得解； （4）仿照（3）的方式逐项分析即可得解． 【详解】解：（1）能被整除，理由如下： ，能够被整除， 能被整除； （2）由题意可得：， 故答案为：； （3）由（2）可得， 能被7整除， （为整数）， ， ， 三位数能被整除； （4）①， 是的倍数， （为整数）， ， ， 是的倍数，故①正确； ②， 是的倍数， （为整数）， ， ，不一定是的倍数，故②错误； ③， 是的倍数， （为整数）， ， ，不一定是的倍数，故③错误； 综上所述，正确的是①， 故答案为：①． 类型八、代数式表示阴影面积 【解惑】如图，在边长都为a的正方形内分别排列着一些大小相等的圆．    (1)根据图中的规律，第4个正方形内圆的个数是________，第n个正方形内圆的个数是________． (2)如果把正方形内除去圆的部分都涂上阴影 ①第1个正方形中阴影部分的面积为________，第n个正方形中阴影部分的面积为________（用含a的代数式表示，结果保留）． ②若，请直接写出第2 024个正方形中阴影部分的面积：________（结果保留）． 【答案】(1)16， (2)①；② 【分析】本题考查了图形类找规律，列代数式，代数式求值，整式的加减，找到规律是解题的关键． （1）分别求出前几个图形内圆的个数，发现规律进而求得第n个正方形中圆的个数； （2）①根据正方形的面积减去圆的面积求解即可；②同理可知第n个图中的阴影部分面积也是为，将代入中求解即可． 【详解】（1）解：第1个正方形内圆的个数是， 第2个正方形内圆的个数是， 第3个正方形内圆的个数是， 第4个正方形内圆的个数是， …… 第个正方形内圆的个数是． （2）①第1个正方形中，， 第个正方形中，． ②从以上计算看出各个正方形中阴影部分的面积均相等，与圆的个数无关． 第个正方形中阴影部分的面积， 当时，第2024个正方形中阴影部分的面积为． 【融会贯通】 1．把正整数1，2，3，4，…，排列成如图1所示的一个表，从上到下分别称为第1行、第2行、…，用图2所示的方框在图1中框住16个数，把其中没有被阴影覆盖的四个数分别记为A，B，C，D，设． (1)在图1中，2021排在第 行第 列； (2)的值是否为定值？如果是，请求出它的值；如果不是，请说明理由； (3)将图1中的奇数都改为原数的相反数，偶数不变． ①设此时图1中排在第m行第n列的数（m，n都是正整数）为w，请用含m，n的代数式表示； ②此时的值是否为定值？如果是，请求出它的值；如果不是，请说明理由； 【答案】(1)253，5 (2)是定值，定值为0，理由见详解 (3)①当n是奇数时，；当n是偶数时， ②不为定值，理由见详解 【分析】本题考查规律型问题，需要用代数式表示出一般规律，并能构建等式通过解简易方程求值，解题的关键是理解题意，学会探究规律、利用规律解决问题，学会探究复杂问题中的等量关系． （1）探究规律，利用规律即可解决问题； （2）分别用含x的代数式表示出A、B、C、D，然后列出代数式，化简即可解决问题； （3）①分奇数、偶数两种情形讨论即可； ②分奇数、偶数两种情形讨论，分别构建简单的等量关系即可解决问题． 【详解】（1）解：， ∴2021排在第253行第5列， 故答案为：253，5； （2）解：是定值，定值为0，理由如下： 设，方框框住16个数， 则， ∴； （3） 解：①当n是奇数时，； 当n是偶数时，； ②不是定值，理由吐下： 设，方框框住16个数， 当为奇数时，， 此时，； 当为偶数时，， 此时，； ∴的值不为定值． 2．如图，在矩形中，有正方形，正方形，正方形，问：知道哪个正方形的面积可以得到两个阴影部分的周长之差． 【答案】正方形 【分析】本题考查的是列代数式，整式加减的应用．设与的交点为X，与的交点为Y，则设，，正方形的边长为a，正方形的边长为b，正方形的边长为c，可以表示出所有的边长，然后可以表示出六边形的周长和四边形的周长，接着可以求出六边形的周长-四边形的周长的值，即可得出结果． 【详解】解：设与的交点为X，与的交点为Y， 则设，，正方形的边长为a，正方形的边长为b，正方形的边长为c， ∴，，，，，，，， ∴四边形的周长， ∴六边形的周长 ， ∴六边形的周长-四边形的周长 ， ∴只要知道正方形的边长b，就可以求出两个阴影部分的周长之差， ∴只要知道正方形的面积可以得到两个阴影部分的周长之差． 3．如图，长为a、宽为b的长方形被分割成七部分，除阴影部分P，Q外，其余五部分为形状和大小完全相同的小长方形M，其中小长方形M的宽为3． (1)小长方形M的长为_________；（用含a的代数式表示）． (2)若，你能否求出阴影图形P与阴影图形Q的周长之和？若能，请求出其值；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)能，当时，阴影图形与阴影图形的周长之和为56 【分析】本题考查了根据几何图形列代数式，整式的加减等知识点，确定各几何图形的长和宽是解题关键． （1）由图可知：小长方形的宽小长方形的长，据此即可求解； （2）由图可得阴影图形的长为，宽为，阴影图形的长为9，宽为，故阴影图形和阴影图形的周长之和为，据此即可求解． 【详解】（1）解：∵小长方形的宽为3， ∴小长方形的长为， 答：小长方形的长为； （2）解：由图可得：阴影图形的长为，宽为； 阴影图形的长为9，宽为． 则阴影图形与阴影图形的周长之和为 ， 所以阴影图形P与阴影图形Q的周长之和与a的值无关， 故若，能求出阴影图形与阴影图形的周长之和． 当时，， 故当时，阴影图形与阴影图形的周长之和为56． 类型九、整体思想 【解惑】阅读材料：我们知道，，类似地，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： (1)把看成一个整体，合并______； (2)运用“整体思想”合并； (3)，则______． 【答案】(1)2 (2) (3)2 【分析】本题主要考查了代数式的求值、合并同类项等知识点，掌握运用整体代入法求解代数式的值是解题的关键． （1）运用“整体思想”合并同类项即可解答； （2）运用“整体思想”合并同类项即可解答； （3）把写成，然后将整体代入即可解答． 【详解】（1）解： ． 故答案为：2． （2）解： ． （3）解：∵， ∴． 故答案为：2． 【融会贯通】 1．阅读材料：我们知道，，类似的，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： （1）把看成一个整体，合并的结果是 ． （2）已知，求的值； 拓展探索： （3）已知，，，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了代数式求值，熟练掌握整体思想是解题的关键． （1）利用整体思想，把看成一个整体，合并即可得到结果； （2）原式可化为，把整体代入即可； （3）原式可化为，把，，整体代入进行计算即可． 【详解】（1） ， 故答案为：； （2）， ； （3），，， ． 2．阅读材料：我们知道，，类似的，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： (1)把看成一个整体，合并______； (2)已知，运用“整体思想”求的值； (3)若，，则______． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】本题考查了代数式的求值、合并同类项，掌握整体代入法求代数式的值是解题关键． （1）运用“整体思想”合并同类项即可； （2）先合并同类项，再运用“整体思想”代入求值即可； （3）把写成，再整体代入即可得出结果． 【详解】（1）解： ； 故答案为：2； （2）解：∵， ∴ ； （3）解：∵，， ∴ ； 故答案为：． 3．同学遇到这样一道题：“如果代数式的值为，那么代数式的值是多少？”这个问题中a和b的值不能单独求出来，于是他想到了把作为一个整体求解，得到如下的解题过程： 原式． 整体思想是中学数学解题的一种重要思想方法，请仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)已知，则＝； (2)已知，求的值； (3)已知，，求的值． 【答案】(1)2026 (2)11 (3) 【分析】本题考查了已知式子的值，求代数式的值．将所给代数式进行适当变形，利用整体思想代入是解题关键． （1）根据即可求解； （2）将化简可得，根据即可求解； （3）根据即可求解． 【详解】（1）解：（1）， ∵， ∴原式， 故答案为：； （2） ， ∵， ∴原式 ； （3）∵， ∵，， ∴， 故答案为：． 类型十、代数式的新定义应用 【解惑】定义：若一个多项式的各项系数之和为7的整数倍，则称这个多项式为“标准多项式”．例如：多项式的系数和为，所以多项式是“标准多项式”．请根据这个定义解答下列问题： (1)在下列多项式中，属于“标准多项式”的是______；（填写序号） ①；②；③． (2)若多项式是关于x，y的“标准多项式”（其中m、n均为整数），则多项式也是关于x，y的“标准多多项式”吗？若是，请说明理由；若不是，请举出反例． (3)已知，，，且（其中m，，t均为整数），请证明多项式也是关于x，y的“标准多项式”． 【答案】(1)①③ (2)是，理由见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了新定义“标准多项式”，整式的加减运算，理解定义是解题的关键． （1）根据“标准多项式”的定义求解即可； （2）根据多项式是关于，的“标准多项式”，可设（为整数，），则，多项式的系数和为，得到，即可求解； （3）先根据整式加减预算法则求出，再结合“标准多项式”的定义证明即可． 【详解】（1）解：①多项式的系数和为， 该多项式是“标准多项式”， ②多项式的系数和为，不是的整数倍， 该多项式不是“标准多项式”， ③多项式的系数和为， 该多项式是“标准多项式”， 故答案为：①③； （2）解：是，理由如下： 多项式是关于，的“标准多项式”， 为的整数倍， 设（为整数，）， 则， 多项式的系数和为， ， ， 是的整数倍，即是的整数倍， 多项式是关于，的“标准多项式”（其中，均为整数），则多项式也是关于，的“标准多项式”； （3）证明：∵，，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴多项式为， 多项式的系数和为， ∴多项式也是关于x，y的“标准多项式”． 【融会贯通】 1．定义：若，则称a与b是关于6的实验数． (1)2与______是关于6的实验数：代数式______与是关于6的实验数． (2)若，，判断a与b是否是关于6的实验数，说明理由． (3)若c与d是关于6的实验数，且，求d的值． 【答案】(1)4；； (2)a与b是关于6的实验数，理由见解析； (3) 【分析】本题考查整式的加减应用，理解题意，正确列出式子计算是解题的关键． （1）根据题中给出的定义计算即可； （2）计算的值，如果和等于6，则a与b是关于6的实验数，否则不是； （3）由题意得出，把c的值代入计算即可求出d的值． 【详解】（1）解：， ∴2与4是关于6的实验数； ， ∴与是关于6的实验数， 故答案为：4；； （2）解：a与b是关于6的实验数，理由： ， ∴a与b是关于6的实验数； （3）解：∵c与d是关于6的实验数，且 ∴， ． 2．定义：已知M，N都是关于x的多项式，若（，且k不含字母），则称M是N的“平移式”，k叫做M关于N的“平移值”．例如：，，，则称M是N的“平移式”，M关于N的“平移值”为4． (1)若，，则M是N的“平移式”吗？为什么？ (2)对于常数m，n，有，，若M是N的“平移式”，且“平移值”为3，求m，n的值； (3)若A，B，M都是关于x的多项式，且，．，且，试问：M是N的“平移式”吗？如果是，求出m，n的值及“平移值”；如果不是，请说明理由． 【答案】(1)M不是N的“平移式”，理由见解析 (2)，； (3)当，时，M是N的“平移式”，“平移值”是5 【分析】本题考查了新定义，整式的加减运算，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键． （1）根据新定义，仿照示例，可判断M不是N的“平移式”； （2）根据题意，得到，代入M，N的代数式，化简可得到结果； （3）先表示出N，判断当的条件，从而得到结果． 【详解】（1）解： M不是N的“平移式”，理由如下： ∵，， ∴ ， ∵， ∴M不是N的“平移式”； （2）解：∵M是N的“平移式”，且“平移值”为3， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 当，则或， ①若， 时，，， ∴，则M是N的“平移式”，“平移值”是5； ②当，时，， ∴，则M不是N的“平移式”， 综上，当， 时，M是N的“平移式”，“平移值”是5． 3．给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数，为“相伴有理数对”，记为．如：，所以数对都是“相伴有理数对”． (1)数对，中，是“相伴有理数对”的是______； (2)若是“相伴有理数对”，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的乘法与加减法、整式加减中的化简求值，正确理解“相伴有理数对”的定义是解题关键． （1）根据“相伴有理数对”的定义求解即可； （2）根据“相伴有理数对”的定义可得，从而可得，再化简代入计算即可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴数对不是“相伴有理数对”， ∵，， ∴是“相伴有理数对”； （2）解：∵是“相伴有理数对”， ∴ ∴． ∴ 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