第二章 几何图形的初步认识（知识清单）数学冀教版2024七年级上册

第二章 几何图形的初步认识 知识点01 丰富的图形世界 1、组成几何图形最基本的元素是 ． 2、线线相交得到点，面面相交得到线，点动成线，线动成面，面动成体． 3、简单几何体的分类： 4、n棱柱：2个底面是可以重合的多边形，n个侧面是长方形，(n＋2)个面，n条侧棱，2n个顶点，3n条棱． 5、n棱锥：1个底面是多边形，n个侧面是三角形，(n＋1)个面，n条侧棱，1个顶点，2n条棱． 特例：三棱锥，四个面都可以看作底面，可看成4个顶点． 6、圆柱：2个底面，都是圆，1个侧面；圆锥：1个底面，1个侧面． 点、线、面、体 现实生活中的图形都是由点、线、面构成的，面有平面，曲面；线有直线，曲线；面与面相交构成线，线与线相交构成点，点动成线、线动成面、面动成体，常见的一些面动成体的实例如下： 知识点02 图形的运动 (轴对称)， ， 是图形变换的三种基本方式，这三种变换只改变原图形的位置，不改变原图形的 和 ． 知识点03 图形的展开与折叠 圆柱的侧面展开图是 ，圆锥的侧面展开图是 ，正方体的表面展开图有 种，展开时6个面有5条棱相连，故剪开了7条棱． 相对面关系的快速判断方法： (1)、如果几个面是连成一串的，那么隔一个面便是相对面的关系． (2)、如果几个面没有连成一串，那么成“Z”字型的两头即为相对面的关系． 常见立体图形的平面展开图 立体图形是由面包围而成，沿着它的一些棱适当剪开就可以展开成平面图形，一些常见立体图形的平面展开图如下： (1)关于正方体的展开图， 一个正方体展开成平面图形，究竟有几种可能的图形呢？ 下面我们运用分类的数学思想，运用简单的“枚举法”，将正方体展开成平面图形的可能情况一一列举出来： ①四个正方形连成一行的有六种情况，如图所示①⑥； ②三个正方体连成一行的有四种情况，如图所示⑦一⑩； ③两个正方形连成一行有一种情况，如图所示（11） 综上所述，正方体一共有11种展开图． (2)关于长方体的展开图，类似于正方体的展开图，如下图所示： (3)关于棱柱的展开图． ①三棱柱的展开图： ②四棱柱的展开图： (4)关于圆柱的平面展开图． (5)关于圆锥的平面展开图． (6)关于棱锥的平面展开图 (7)球不能展开成平面图形． 知识点04 三视图 1、从不同的方向看同一物体时，从正面看到的图叫 ，从左面看到的图叫 ，从上面看到的图叫 ，即物体的 ． 2、画三视图时，应注意：主俯长相等，主左高相等，俯左宽相等． 几何体的三视图 一个物体在三个投影面（正面、侧面、水平面）内同时进行投影，得到不同的图形，便有三视图： (1)主视图：是在正面内得到的由前向后观察物体得到的视图； (2)左视图：是在侧面内得到的由左向右观察物体得到的视图； (3)俯视图：是在水平面内得到的由上向下观察物体得到的视图． 常见的几何体从不同方向看它所得到的平面图形如下表： 实际上，要正确画出一个几何体的从不同方向看它得到的平面图形，必须注意以下三点： (1)正确的视图方向：从不同的方向看一个几何体，视线要与几何体保持水平，而垂直于几何体的面，这样才能保证看图的准确性和真实性，此时看到的面就是这一方向看到的几何体的平面图形． (2)合理的想象方法：在保证正确的视图方向的情况下，可以看成是几何体被压缩成纸片后的图形或者是视线投射下的阴影． (3)观察者所处的位置不同，其视图的结果也不一样． 知识05 线段、射线、直线相关概念 正确理解直线、射线、线段的概念以及它们的区别： 名称 图形 表示方法 端点 长度 直线 直线AB(或BA) 直线l 射线 射线OM 1个 线段 线段AB(或BA) 线段l 2个 2. 基本性质 (1)直线的性质:两点确定一条直线． (2)线段的性质:两点之间，线段最短． 要点诠释： ①本知识点可用来解释很多生活中的现象. 如：要在墙上固定一个木条，只要两个钉子就可以了，因为如果把木条看作一条直线，那么两点可确定一条直线. ②连接两点间的线段的长度，叫做两点间的距离. 3.画一条线段等于已知线段 （1） ：可用直尺先量出线段的长度,再画一条等于这个长度的线段. （2）用 ：用圆规在射线AC上截取AB=ａ，如下图： 经过两点有一条直线，并且只有 。（两点确定一条直线）. 知识点06 线段的比较与运算 （1）线段的比较： 比较两条线段的长短，常用两种方法，一种是 ；一种是 . 知识点07 线段的和差 1、线段的和与差： 如下图，有AB+BC=AC，或AC=a+b；AD=AB-BD。 2、线段的中点： 把一条线段分成两条相等线段的点，叫做 ．如下图，有： 要点诠释： ①线段中点的等价表述：如上图，点M在线段上，且有，则点M为线段AB的中点. ②除线段的中点（即二等分点）外，类似的还有线段的三等分点、四等分点等.如下图，点M,N,P均为线段AB的四等分点. 知识点08 角的表示 （1）用三个字母表示角时，表示顶点的字母必须写在另两个字母的中间．如∠AOB； （2）在不引起混淆的情况下，角还可以用它的顶点字母来表示．如∠A； （3）角可以用希腊字母来表示，一般地，用希腊字母表示一个角时，需在角内靠近顶点处画上弧线．如∠α； （4）角可以用一个数字来表示，一般地，用一个数字表示一个角时，需在角内靠近顶点处画上弧线．如∠1． 角也可以看成是一条射线绕着它的一个端点旋转到另一个位置所成的图形． 角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做 ，这个公共端点是 ，这两条射线是角的 ；此外，角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形. 角的表示方法：角通常有三种表示方法：一是用三个大写英文字母表示，二是用角的顶点的一个大写英文字母表示，三是用一个小写希腊字母或一个数字表示.例如下图： 要点诠释： ①角的两种定义是从不同角度对角进行的定义； ②当一个角的顶点有多个角的时候，不能用顶点的一个大写字母来表示.角的分类 ∠β 锐角 直角 钝角 平角 周角 范围 0＜∠β＜90° ∠β=90° 90°＜∠β＜180° ∠β=180° ∠β=360° 角的度量单位： 、 、 是常用的角的度量单位， 1）把一个周角平均分成360等份，每一份就是1度的角，记为1°； 2）把1°的角60等分，每一份就是1分的角，记为1″； 3）把1′的角60等分，每一份就是1秒的角，记为1′. 角的换算：1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″， 1周角＝2平角＝4直角＝360°，1平角＝2直角＝180° 角的换算方法： 1）由度化为分、秒的形式（即由高位向低位化）：1°＝60′，1′＝60″； 2）由分、秒化为度的形式（即由低位向高位化）：，. 【注意】 1）在进行度、分、秒运算时，由低级单位向高级单位转化或由高级单位向低级单位转化要逐步进行. 2）在计算两个角的和或差时，要将度与度、分与分、秒与秒分别相加减，分、秒相加时，逢60要进位，相减时要借1作60. 3）两个角的和或两个角的差，仍然是一个角；两个角的和或差的度数，就是它们度数的和或差. 知识点9 画一个角等于已知角 （1）借助三角尺能画出15°的倍数的角，在0～180°之间共能画出11个角. （2）借助量角器能画出给定度数的角. （3）用尺规作图法. 知识点10 余角、补角 余角：如果两个角的和是一个直角，那么这两个角互为 ． 补角：如果两个角的和是一个平角，那么这两个角互为 ． 　　1．互余、互补是指两个角之间的一种关系． 　　2．互余、互补是指数量关系，与两个角的位置没有关系． 余角补角 （1）若∠1+∠2=90°，则∠1与∠2互为余角.其中∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角. （2）若∠1+∠2=180°，则∠1与∠2互为补角.其中∠1是∠2的补角，∠2是∠1的补角. （3）结论: 同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角相等. 要点诠释： ①余角(或补角)是两个角的关系，是成对出现的，单独一个角不能称其为余角(或补角). ②一个角的余角(或补角)可以不止一个，但是它们的度数是相同的. ③只考虑数量关系，与位置无关． ④“等角是相等的几个角”，而“同角是同一个角” . 知识点10方位角 以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，这种表示方向的角叫做 . 要点诠释： （1）方位角还可以看成是将正北或正南的射线旋转一定角度而形成的.所以在应用中一要确定其始边是正北还是正南.二要确定其旋转方向是向东还是向西，三要确定旋转角度的大小. （2）北偏东45 °通常叫做东北方向，北偏西45 °通常叫做西北方向，南偏东45 °通常叫做东南方向，南偏西45 °通常叫做西南方向. （3）方位角在航行、测绘等实际生活中的应用十分广泛. 知识点11 旋转的概念 1. 旋转的定义： 在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做 ．点O叫做 ，转动的角叫做 ，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做 ． 2.旋转的三点注意： ①旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键． ②旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向． ③旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点． 知识点12 旋转的基本性质 1.旋转的性质： 　　旋转前后的两个图形中， ，对应点与旋转中心连线所成的角都等于旋转角 2. 旋转三要素： ① ； ② ； ③ ．　　 注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样． 一、几何图形 1.几何图形的认识 错误：不认识具体几何体的名称 注意：要有空间想象能力，平时多见识不同的几何体 （24-25七年级上·河北唐山·期末）下列图形属于圆柱的有（   ） A．2个 B．3个 C．1个 D．5个 2.点、棱、面的关系 错误：理解不了点棱面之间的关系 注意：学会画出相关的图形，从基本图形抽象出具体的规律，加强印象 （24-25七年级上·河北保定·期末）推理猜测： (1)三棱锥有________条棱，________个面；四棱锥有________条棱，________个面． (2)________棱锥有30条棱，________棱锥有101个面； (3)有没有一个多棱锥，其棱数是2024，若有，求出它有多少个面；若没有，说明为什么？ 二、线段、射线、直线 1.直线、线段、射线的联系与区别 错误：不理解直线、线段、射线的联系与区别 注意：重点记忆直线是无限延伸的，线段是有两个端点，射线有一个端点，另一边无限延伸； （24-25七年级上·河北唐山·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．射线和射线是同一条射线 B．延长线段和延长线段的含义是相同的 C．延长直线 D．连接两点的线段的长度就是这两点间的距离 2.直线相交的交点问题 错误：忽略相交的情况 注意：要分类讨论，如果强调了两两相交，则可以直接用公式，如果只是说相交，则可能相交于同一点； （24-25七年级上·河北沧州·期末）平面内两两相交的6条直线，交点个数最少为m个，最多为n个，则等于（    ） A．12 B．16 C．20 D．22 3.尺规作线段 错误：忘记尺规作线段的步骤 注意：利用圆规丈量出已知线段的长度即可 （24-25七年级上·河北唐山·阶段练习）如图，在同一平面内有四个点，请用直尺和圆规按下列要求作图（不写作图步骤，保留作图痕迹） (1)作射线； (2)作直线与直线相交于点； (3)连接，并反向延长至，使． 三、线段的和差 1.线段的和差计算 错误：不会计算线段的和与差 注意：计算线段的和差时，要具体情况具体分析，重点强调的是哪条线段，会不会有多重情况 （24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图，已知线段． (1)尺规作图：延长到点C，使得（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，取的中点D，若，求的长． 2.线段的中点计算 错误：线段的中点计算方法不会 注意：如果是在数轴中的中点，则可以用两头的数字相加除以2来表示中点对应的数字； （24-25七年级上·河北唐山·期末）如图，已知，为数轴上的两个点，点表示的数是，点表示的数是． (1)线段的中点对应的数为______； (2)若点在数轴上表示的数为正数，且． ①求点表示的数； ②在（1）的条件下，直接写出的长． 3.线段动点问题 错误：不会分类讨论 注意：要分析动点的运动规律，尤其是注意“拐点”； （24-25七年级上·河北廊坊·期末）如图，B是线段AD上一动点，沿A→D→A以2cm/s的速度往返运动1次，C是线段BD的中点，，设点B运动时间为t秒（）． （1）当时，①________cm， ②此时线段CD的长度=_______cm； （2）用含有t的代数式表示运动过程中AB的长； （3）在运动过程中，若AB中点为E，则EC的长度是否变化？若不变，求出EC的长；若变化，请说明理由． 四、角 1.角的表示 错误：不会角的表示 注意：角的表示方法有三种，要注意大写字母 （24-25七年级上·河北邯郸·期中）如图，平面上有，，，四个点． (1)画直线，射线，线段； (2)写出图中所有以点为顶点的角．（不添加其他的点） 2.角的大小比较 错误：不会比较角的大小 注意：角的形式要统一，如果是分数都用分数表示；如果是小数都用小数表示； （23-24七年级上·河北石家庄·期中）下列说法： ①连接两点间的线段叫做这两点间的距离； ②建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩，然后拉一根直的参照线这样做的原理是：两点之间，线段最短； ③若，则点是的中点； ④若，，，则有．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3.方向角 错误：不理解方向角的表示 注意：记住上北下南，左西右东的方位变式 （24-25七年级上·福建福州·期末）如图，一艘船停靠在码头处，测得海中灯塔在北偏东方向上，它从处出发向正东航行，到达处停止，测得，此时灯塔在处的北偏西多少度的方向上？ 五、角的和差 1.角度的四则运算 错误：忘记进位 注意：角度加减计算的进位与退位是逢60进退的； （24-25七年级上·河北唐山·期末）计算： (1)； (2)； (3)； (4)（结果用“”表示）； 2.角度计算 错误：不会角度计算方法 注意：观察角度的大小，理解要求的角是如何计算出来的 （24-25七年级上·河北石家庄·期末）如图，已知，，平分，，求的度数． 3.余角和补角 错误：忘记余角和补角的概念 注意：余角指的是和为90°，补角指的是和为180° （24-25七年级上·河北保定·期末）如图所示，是平角，，，是内的一条射线，是的平分线． (1)若，求的度数； (2)若是的平分线，求的度数． 六、平面图形的旋转 1.平面图形的旋转 错误：不明白旋转的性质，遗漏旋转的对应边、对应角关系 注意：掌握旋转的性质，并且要分清楚旋转的方向 （24-25七年级上·河北唐山·期末）如图，在中，，按逆时针方向旋转一定角度后与重合，且点C恰好为的中点． (1)指出旋转中心，并求出旋转的度数； (2)求出的度数和的长． 1．（24-25七年级上·河北邢台·期末）电视剧《西游记》中，孙悟空的“金箍棒”（金箍棒看成一条线）飞速旋转，形成一圆面，这说明了（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．两点确定一条直线 2．（24-25七年级上·河北保定·期末）如图，下列说法正确的是（   ） A．点O在射线上 B．点B是直线的一个端点 C．点A在线段上 D．射线和射线是同一条射线 3．（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）嘉嘉按要求画图并解答题目：画线段为的中点，延长到点D，使，求线段的长度． 她的解题过程如下： 解：画图，如图所示． 因为， 所以． 则以下判断正确的是（   ） A．画图正确，计算错误 B．画图错误，计算正确 C．画图和计算都错误 D．画图和计算都正确 4．（2025·河北张家口·二模）如图，点B，O，D在同一条直线上，，直线从与重合的位置开始绕点逆时针旋转，形成（小于），，，当增加时，下列说法正确的是（   ） A．增加 B．减少 C．增加 D．减少 5．（24-25七年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，射线，都在的内部，和都是直角，下列说法：①；②；③若，则；④若平分，平分，则．其中说法正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（24-25七年级上·河北唐山·期末）钟面上的时间走到时分，此时时针与分针的夹角是 ． 7．（24-25八年级上·河北唐山·阶段练习）把换算成度分秒是 ． 8．（24-25七年级上·河北保定·期末）阅读材料并回答问题． 数学课上，老师给出了如下问题： 如图，平分． （1）的度数为 ． （2）若，的度数为 ． 9．（24-25七年级上·河北秦皇岛·期末）如图，射线在内部，图中共有、、三个角，若其中一个角的度数是另一个角的度数的2倍，则称射线是的“黄金线” （1）的平分线 这个角的“黄金线”（填“是”或“不是”） （2）若，射线是的“黄金线”，则的度数为 ． 10．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）如图，点在线段上． （1）图中有 条线段，以为端点的线段有 条； （2）若是线段的中点，点在点的右侧，且，，则线段的长为 ． 11．（24-25七年级上·河北保定·期末）如图，是的平分线，是的平分线．是直角，．求的度数． 12．（24-25七年级上·河北保定·期末）如图，，点是内部一点，平分． (1)若，求的度数； (2)若，直接用含的代数式表示的度数． 13．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图，有A、B、C、D四个点．使用直尺、圆规按下列要求画出图形（不写作法，保留作图痕迹）． (1)画线段，射线，直线； (2)连接，与直线交于点E； (3)在线段上，截取． 14．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）如图所示，已知线段，点O为中点，点P是线段外一点． (1)按要求尺规作图，并保留作图痕迹： ①作射线，作直线； ②延长线段至点C，使得； (2)在（1）的条件下，若线段，求线段的长度． 15．（24-25七年级上·河北邢台·期中）将一副三角板（直角三角形和直角三角形，，）按如图1所示的方式摆放，点，，在同一条直线上，和分别平分和．然后，将三角形绕点沿顺时针方向旋转至图2的位置，三角形保持不动． (1)若图2中，． ①求的值； ②分别求图1和图2中的度数． (2)在旋转过程中，的度数是否发生变化？如果不变化，请求出的度数；如果变化，请说明理由． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 几何图形的初步认识 知识点01 丰富的图形世界 1、组成几何图形最基本的元素是点线面． 2、线线相交得到点，面面相交得到线，点动成线，线动成面，面动成体． 3、简单几何体的分类： 4、n棱柱：2个底面是可以重合的多边形，n个侧面是长方形，(n＋2)个面，n条侧棱，2n个顶点，3n条棱． 5、n棱锥：1个底面是多边形，n个侧面是三角形，(n＋1)个面，n条侧棱，1个顶点，2n条棱． 特例：三棱锥，四个面都可以看作底面，可看成4个顶点． 6、圆柱：2个底面，都是圆，1个侧面；圆锥：1个底面，1个侧面． 点、线、面、体 现实生活中的图形都是由点、线、面构成的，面有平面，曲面；线有直线，曲线；面与面相交构成线，线与线相交构成点，点动成线、线动成面、面动成体，常见的一些面动成体的实例如下： 知识点02 图形的运动 翻折(轴对称)，旋转，平移是图形变换的三种基本方式，这三种变换只改变原图形的位置，不改变原图形的形状和大小． 知识点03 图形的展开与折叠 圆柱的侧面展开图是长方形，圆锥的侧面展开图是扇形，正方体的表面展开图有11种，展开时6个面有5条棱相连，故剪开了7条棱． 相对面关系的快速判断方法： (1)、如果几个面是连成一串的，那么隔一个面便是相对面的关系． (2)、如果几个面没有连成一串，那么成“Z”字型的两头即为相对面的关系． 常见立体图形的平面展开图 立体图形是由面包围而成，沿着它的一些棱适当剪开就可以展开成平面图形，一些常见立体图形的平面展开图如下： (1)关于正方体的展开图， 一个正方体展开成平面图形，究竟有几种可能的图形呢？ 下面我们运用分类的数学思想，运用简单的“枚举法”，将正方体展开成平面图形的可能情况一一列举出来： ①四个正方形连成一行的有六种情况，如图所示①⑥； ②三个正方体连成一行的有四种情况，如图所示⑦一⑩； ③两个正方形连成一行有一种情况，如图所示（11） 综上所述，正方体一共有11种展开图． (2)关于长方体的展开图，类似于正方体的展开图，如下图所示： (3)关于棱柱的展开图． ①三棱柱的展开图： ②四棱柱的展开图： (4)关于圆柱的平面展开图． (5)关于圆锥的平面展开图． (6)关于棱锥的平面展开图 (7)球不能展开成平面图形． 知识点04 三视图 1、从不同的方向看同一物体时，从正面看到的图叫主视图，从左面看到的图叫左视图，从上面看到的图叫俯视图，即物体的三视图． 2、画三视图时，应注意：主俯长相等，主左高相等，俯左宽相等． 几何体的三视图 一个物体在三个投影面（正面、侧面、水平面）内同时进行投影，得到不同的图形，便有三视图： (1)主视图：是在正面内得到的由前向后观察物体得到的视图； (2)左视图：是在侧面内得到的由左向右观察物体得到的视图； (3)俯视图：是在水平面内得到的由上向下观察物体得到的视图． 常见的几何体从不同方向看它所得到的平面图形如下表： 实际上，要正确画出一个几何体的从不同方向看它得到的平面图形，必须注意以下三点： (1)正确的视图方向：从不同的方向看一个几何体，视线要与几何体保持水平，而垂直于几何体的面，这样才能保证看图的准确性和真实性，此时看到的面就是这一方向看到的几何体的平面图形． (2)合理的想象方法：在保证正确的视图方向的情况下，可以看成是几何体被压缩成纸片后的图形或者是视线投射下的阴影． (3)观察者所处的位置不同，其视图的结果也不一样． 知识05 线段、射线、直线相关概念 正确理解直线、射线、线段的概念以及它们的区别： 名称 图形 表示方法 端点 长度 直线 直线AB(或BA) 直线l 无端点 无法度量 射线 射线OM 1个 无法度量 线段 线段AB(或BA) 线段l 2个 可度量长度 2. 基本性质 (1)直线的性质:两点确定一条直线． (2)线段的性质:两点之间，线段最短． 要点诠释： ①本知识点可用来解释很多生活中的现象. 如：要在墙上固定一个木条，只要两个钉子就可以了，因为如果把木条看作一条直线，那么两点可确定一条直线. ②连接两点间的线段的长度，叫做两点间的距离. 3.画一条线段等于已知线段 （1）度量法：可用直尺先量出线段的长度,再画一条等于这个长度的线段. （2）用尺规作图法：用圆规在射线AC上截取AB=ａ，如下图： 经过两点有一条直线，并且只有一条直线。（两点确定一条直线）. 知识点06 线段的比较与运算 （1）线段的比较： 比较两条线段的长短，常用两种方法，一种是度量法；一种是叠合法. 知识点07 线段的和差 1、线段的和与差： 如下图，有AB+BC=AC，或AC=a+b；AD=AB-BD。 2、线段的中点： 把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，有： 要点诠释： ①线段中点的等价表述：如上图，点M在线段上，且有，则点M为线段AB的中点. ②除线段的中点（即二等分点）外，类似的还有线段的三等分点、四等分点等.如下图，点M,N,P均为线段AB的四等分点. 知识点08 角的表示 （1）用三个字母表示角时，表示顶点的字母必须写在另两个字母的中间．如∠AOB； （2）在不引起混淆的情况下，角还可以用它的顶点字母来表示．如∠A； （3）角可以用希腊字母来表示，一般地，用希腊字母表示一个角时，需在角内靠近顶点处画上弧线．如∠α； （4）角可以用一个数字来表示，一般地，用一个数字表示一个角时，需在角内靠近顶点处画上弧线．如∠1． 角也可以看成是一条射线绕着它的一个端点旋转到另一个位置所成的图形． 角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边；此外，角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形. 角的表示方法：角通常有三种表示方法：一是用三个大写英文字母表示，二是用角的顶点的一个大写英文字母表示，三是用一个小写希腊字母或一个数字表示.例如下图： 要点诠释： ①角的两种定义是从不同角度对角进行的定义； ②当一个角的顶点有多个角的时候，不能用顶点的一个大写字母来表示.角的分类 ∠β 锐角 直角 钝角 平角 周角 范围 0＜∠β＜90° ∠β=90° 90°＜∠β＜180° ∠β=180° ∠β=360° 角的度量单位：度、分、秒是常用的角的度量单位， 1）把一个周角平均分成360等份，每一份就是1度的角，记为1°； 2）把1°的角60等分，每一份就是1分的角，记为1″； 3）把1′的角60等分，每一份就是1秒的角，记为1′. 角的换算：1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″， 1周角＝2平角＝4直角＝360°，1平角＝2直角＝180° 角的换算方法： 1）由度化为分、秒的形式（即由高位向低位化）：1°＝60′，1′＝60″； 2）由分、秒化为度的形式（即由低位向高位化）：，. 【注意】 1）在进行度、分、秒运算时，由低级单位向高级单位转化或由高级单位向低级单位转化要逐步进行. 2）在计算两个角的和或差时，要将度与度、分与分、秒与秒分别相加减，分、秒相加时，逢60要进位，相减时要借1作60. 3）两个角的和或两个角的差，仍然是一个角；两个角的和或差的度数，就是它们度数的和或差. 知识点9 画一个角等于已知角 （1）借助三角尺能画出15°的倍数的角，在0～180°之间共能画出11个角. （2）借助量角器能画出给定度数的角. （3）用尺规作图法. 知识点10 余角、补角 余角：如果两个角的和是一个直角，那么这两个角互为余角． 补角：如果两个角的和是一个平角，那么这两个角互为补角． 　　1．互余、互补是指两个角之间的一种关系． 　　2．互余、互补是指数量关系，与两个角的位置没有关系． 余角补角 （1）若∠1+∠2=90°，则∠1与∠2互为余角.其中∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角. （2）若∠1+∠2=180°，则∠1与∠2互为补角.其中∠1是∠2的补角，∠2是∠1的补角. （3）结论: 同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角相等. 要点诠释： ①余角(或补角)是两个角的关系，是成对出现的，单独一个角不能称其为余角(或补角). ②一个角的余角(或补角)可以不止一个，但是它们的度数是相同的. ③只考虑数量关系，与位置无关． ④“等角是相等的几个角”，而“同角是同一个角” . 知识点10方位角 以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，这种表示方向的角叫做方位角. 要点诠释： （1）方位角还可以看成是将正北或正南的射线旋转一定角度而形成的.所以在应用中一要确定其始边是正北还是正南.二要确定其旋转方向是向东还是向西，三要确定旋转角度的大小. （2）北偏东45 °通常叫做东北方向，北偏西45 °通常叫做西北方向，南偏东45 °通常叫做东南方向，南偏西45 °通常叫做西南方向. （3）方位角在航行、测绘等实际生活中的应用十分广泛. 知识点11 旋转的概念 1. 旋转的定义： 在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做对应点． 2.旋转的三点注意： ①旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键． ②旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向． ③旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点． 知识点12 旋转的基本性质 1.旋转的性质： 　　旋转前后的两个图形中，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线所成的角都等于旋转角 2. 旋转三要素： ①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度．　　 注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样． 一、几何图形 1.几何图形的认识 错误：不认识具体几何体的名称 注意：要有空间想象能力，平时多见识不同的几何体 （24-25七年级上·河北唐山·期末）下列图形属于圆柱的有（   ） A．2个 B．3个 C．1个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查认识立体图形，由圆柱的定义判断即可． 【详解】解：属于圆柱的是第三个图形，有1个． 故选：C． 2.点、棱、面的关系 错误：理解不了点棱面之间的关系 注意：学会画出相关的图形，从基本图形抽象出具体的规律，加强印象 （24-25七年级上·河北保定·期末）推理猜测： (1)三棱锥有________条棱，________个面；四棱锥有________条棱，________个面． (2)________棱锥有30条棱，________棱锥有101个面； (3)有没有一个多棱锥，其棱数是2024，若有，求出它有多少个面；若没有，说明为什么？ 【答案】(1)6，4，8，5 (2)十五，一百 (3)有，它有1013个面 【分析】本题考查了立体图形，掌握棱锥的特征和命名规则是解题的关键． （1）根据三棱锥、四棱锥的特征，数出其棱数和面数即可； （2）总结出n棱锥条棱，个面，即可解答； （3）根据（2）中的规律，先确定这是几棱锥，再确定其面数即可． 【详解】（1）解：三棱锥有6条棱，4个面；四棱锥有8条棱，5个面． 故答案为：6，4，8，5； （2）解：根据题意可得： 三棱锥有6条棱，4个面， 四棱锥有8条棱，5个面， 五棱锥有10条棱，6个面， …… n棱锥条棱，个面， 当时， 解得， ∴十五棱锥有30条棱， 当时， 解得， ∴一百棱锥有101个面， 故答案为：十五，一百； （3）解：当时， 解得：， ∴， 即：有，它有1013个面． 二、线段、射线、直线 1.直线、线段、射线的联系与区别 错误：不理解直线、线段、射线的联系与区别 注意：重点记忆直线是无限延伸的，线段是有两个端点，射线有一个端点，另一边无限延伸； （24-25七年级上·河北唐山·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．射线和射线是同一条射线 B．延长线段和延长线段的含义是相同的 C．延长直线 D．连接两点的线段的长度就是这两点间的距离 【答案】D 【分析】本题考查了直线、射线、线段的性质，两点间的距离定义，根据相关知识逐项分析判断即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：、射线和射线不是同一条射线，原选项说法错误，不符合题意； 、延长线段和延长线段的含义是不相同的，原选项说法错误，不符合题意； 、直线向两端无限延伸，因此直线不可延长，原选项说法错误，不符合题意； 、连接两点的线段的长度就是这两点间的距离，原选项说法正确，符合题意； 故选：． 2.直线相交的交点问题 错误：忽略相交的情况 注意：要分类讨论，如果强调了两两相交，则可以直接用公式，如果只是说相交，则可能相交于同一点； （24-25七年级上·河北沧州·期末）平面内两两相交的6条直线，交点个数最少为m个，最多为n个，则等于（    ） A．12 B．16 C．20 D．22 【答案】B 【分析】根据直线相交的情况判断出和的值后，代入运算即可． 【详解】解：当六条直线相交于一点时，交点最少，则 当任意两条直线相交都产生一个交点时交点最多， ∵且任意三条直线不过同一点 ∴此时交点为： ∴ ∴ 故选： 【点睛】本题主要考查了直线相交的交点情况，找出交点个数是解题的关键． 3.尺规作线段 错误：忘记尺规作线段的步骤 注意：利用圆规丈量出已知线段的长度即可 （24-25七年级上·河北唐山·阶段练习）如图，在同一平面内有四个点，请用直尺和圆规按下列要求作图（不写作图步骤，保留作图痕迹） (1)作射线； (2)作直线与直线相交于点； (3)连接，并反向延长至，使． 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析； (3)作图见解析． 【分析】（）根据射线的含义作图即可； （）根据直线的含义按要求作图即可； （）先按语句作图，然后作一条线段等于已知线段即可； 本题考查了作线段、直线和射线的基本作图，作一条线段等于已知线段，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：如图， （2）解：如图， （3）解：如图，作线段， ∴． 三、线段的和差 1.线段的和差计算 错误：不会计算线段的和与差 注意：计算线段的和差时，要具体情况具体分析，重点强调的是哪条线段，会不会有多重情况 （24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图，已知线段． (1)尺规作图：延长到点C，使得（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，取的中点D，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题考查作图—复杂作图、两点间的距离，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）延长，以点B为圆心，线段的长为半径画弧，交的延长线于点E，再以点E为圆心，线段的长为半径画弧，交的延长线于点C，则点C即为所求； （2）由题意得，，则，再根据可得答案． 【详解】（1）解：如图，延长，以点B为圆心，线段的长为半径画弧，交的延长线于点E，再以点E为圆心，线段的长为半径画弧，交的延长线于点C， 则点C即为所求． （2）∵， ∴， ∴． ∵点D为的中点， ∴， ∴． 2.线段的中点计算 错误：线段的中点计算方法不会 注意：如果是在数轴中的中点，则可以用两头的数字相加除以2来表示中点对应的数字； （24-25七年级上·河北唐山·期末）如图，已知，为数轴上的两个点，点表示的数是，点表示的数是． (1)线段的中点对应的数为______； (2)若点在数轴上表示的数为正数，且． ①求点表示的数； ②在（1）的条件下，直接写出的长． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了数轴上两点间距离，线段中点的性质以及线段的和差计算； （1）根据数轴上线段中点所对应的数的计算方法进行计算即可； （2）分两种情况进行解答，即点在点的左侧或右侧，列式计算即可； （3）根据表示的数，即可求解． 【详解】（1）解：，点表示的数是，点表示的数是． ∴线段的中点对应的数为 故答案为：． （2）当点在点的左侧时，， 解得：；则点表示的数为，舍去 当点在点的右侧时，， 解得：；则点表示的数为 ②∵对应的数为，表示的数为， ∴ 3.线段动点问题 错误：不会分类讨论 注意：要分析动点的运动规律，尤其是注意“拐点”； （24-25七年级上·河北廊坊·期末）如图，B是线段AD上一动点，沿A→D→A以2cm/s的速度往返运动1次，C是线段BD的中点，，设点B运动时间为t秒（）． （1）当时，①________cm， ②此时线段CD的长度=_______cm； （2）用含有t的代数式表示运动过程中AB的长； （3）在运动过程中，若AB中点为E，则EC的长度是否变化？若不变，求出EC的长；若变化，请说明理由． 【答案】（1）①4；②3；（2），；（3）不变，． 【分析】（1）①根据即可得出结论；②先求出BD的长，再根据C是线段BD的中点即可得到CD的长； （2）分类讨论即可； （3）直接根据中点定义即可得到结论； 【详解】（1）①当时，（cm）， ②此时，（cm）， ∵C是线段BD的中点， 则； （2）①∵B是线段AD上一动点，沿A→D→A以2cm/s的速度往返运动， ∴当时，， ∴； ②当时，， ∴； （3）不变； 因为AB的中点为E，C是BD的中点， 所以，， 所以，． 【点睛】本题主要考查了线段中点的有关计算，准确分析计算是解题的关键． 四、角 1.角的表示 错误：不会角的表示 注意：角的表示方法有三种，要注意大写字母 （24-25七年级上·河北邯郸·期中）如图，平面上有，，，四个点． (1)画直线，射线，线段； (2)写出图中所有以点为顶点的角．（不添加其他的点） 【答案】(1)见解析； (2)，， 【分析】本题考查了作图，解题的关键是正确理解直线，射线，线段，角的定义． （）根据直线，射线，线段画法即可； （）根据角的表示方法即可求解； 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：如图，以点为顶点的角为：，，． 2.角的大小比较 错误：不会比较角的大小 注意：角的形式要统一，如果是分数都用分数表示；如果是小数都用小数表示； （23-24七年级上·河北石家庄·期中）下列说法： ①连接两点间的线段叫做这两点间的距离； ②建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩，然后拉一根直的参照线这样做的原理是：两点之间，线段最短； ③若，则点是的中点； ④若，，，则有．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】考查了两点之间的距离、线段中点的定义、以及角的大小的比较根据两点之间的距离的定义，线段的中点的定义以及角的比较即可作出判断． 【详解】解：①连接两点间的线段的长度叫做这两点间的距离，故①错误； ②建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩，然后拉一根直的参照线这样做的原理是：两点确定一条直线，故②错误； ③若在线段上，，则点是的中点，故③错误； ④若，，，，，则有．故④正确； 故选：A． 3.方向角 错误：不理解方向角的表示 注意：记住上北下南，左西右东的方位变式 （24-25七年级上·福建福州·期末）如图，一艘船停靠在码头处，测得海中灯塔在北偏东方向上，它从处出发向正东航行，到达处停止，测得，此时灯塔在处的北偏西多少度的方向上？ 【答案】此时灯塔在处的北偏西方向上． 【分析】本题考查方向角的计算，掌握方向角的相关知识是解题的关键．先求出的度数，再求解即可得到答案. 【详解】解：根据题意，得 ， ， 此时灯塔在处的北偏西方向上． 五、角的和差 1.角度的四则运算 错误：忘记进位 注意：角度加减计算的进位与退位是逢60进退的； （24-25七年级上·河北唐山·期末）计算： (1)； (2)； (3)； (4)（结果用“”表示）； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了角度的加、减、乘、除四则运算，熟练掌握角度的进制换算以及四则运算的规则是解题的关键． （1）将度、分、秒分别相加，再按照进制的原则进行进位处理． （2）将度、分、秒分别相减，若分或秒不够减，则按照进制的原则向高位借位． （3）将角度的度、分、秒分别与整数相乘，再按照进制的原则进行进位处理． （4）将角度的度除以整数，得到的商作为度的结果，余数换算为分后再继续除以整数，若还有余数则进一步换算为秒后再除以整数，或者将角度的度、分、秒分别除以整数，对余数部分进行适当的单位换算和进位处理． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： （4）解： ． 2.角度计算 错误：不会角度计算方法 注意：观察角度的大小，理解要求的角是如何计算出来的 （24-25七年级上·河北石家庄·期末）如图，已知，，平分，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查各个角之间的和差关系，列方程求解是常用的方法．求出，的度数，设未知数，根据，列方程求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 设，则， 又∵， ∴， 解得：， 即． 3.余角和补角 错误：忘记余角和补角的概念 注意：余角指的是和为90°，补角指的是和为180° （24-25七年级上·河北保定·期末）如图所示，是平角，，，是内的一条射线，是的平分线． (1)若，求的度数； (2)若是的平分线，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，平角的性质． （1）利用平角的定义求得，再根据角的和差求解即可； （2）利用角平分线的定义分别求得和的度数，再利用平角的定义求解即可． 【详解】（1）解：因为，， 所以， 因为， 所以； （2）解：因为，， 是的平分线，是的平分线， 所以， ， 所以． 六、平面图形的旋转 1.平面图形的旋转 错误：不明白旋转的性质，遗漏旋转的对应边、对应角关系 注意：掌握旋转的性质，并且要分清楚旋转的方向 （24-25七年级上·河北唐山·期末）如图，在中，，按逆时针方向旋转一定角度后与重合，且点C恰好为的中点． (1)指出旋转中心，并求出旋转的度数； (2)求出的度数和的长． 【答案】(1)点 (2) 【分析】本题考查了旋转的相关知识点，掌握相关结论是解题关键． （1）根据图示即可确定旋转中心，求出即可求出旋转的度数； （2）根据即可求出的度数，根据可求的长； 【详解】（1）解：旋转中心是点． ∵， ∴， ∴旋转的度数是． 故答案为：点 （2）解：∵旋转得到， ∴， ∴ ∵C为的中点， ∴ ∴． 1．（24-25七年级上·河北邢台·期末）电视剧《西游记》中，孙悟空的“金箍棒”（金箍棒看成一条线）飞速旋转，形成一圆面，这说明了（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．两点确定一条直线 【答案】B 【分析】本题考查点、线、面、体之间的关系，理解“点动成线、线动成面、面动成体”是解决问题的关键．根据“线动成面”的意义得出答案． 【详解】解：说明了线动成面， 故选：B． 2．（24-25七年级上·河北保定·期末）如图，下列说法正确的是（   ） A．点O在射线上 B．点B是直线的一个端点 C．点A在线段上 D．射线和射线是同一条射线 【答案】C 【分析】本题考查了直线，射线，线段的有关概念；由直线，射线，线段的有关概念，即可判断． 【详解】解：A、点在射线的反向延长线上，故此选项不符合题意； B、直线没有端点，故此选项不符合题意； C、点在线段上，原说法正确，故此选项符合题意； D、射线和射线的端点不同，不是同一条射线，故此选项不符合题意． 故选：C． 3．（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）嘉嘉按要求画图并解答题目：画线段为的中点，延长到点D，使，求线段的长度． 她的解题过程如下： 解：画图，如图所示． 因为， 所以． 则以下判断正确的是（   ） A．画图正确，计算错误 B．画图错误，计算正确 C．画图和计算都错误 D．画图和计算都正确 【答案】B 【分析】本题考查了线段的长度计算问题，结合图形对线段进行和、差、倍、分的计算是解决本题的关键．根据题意画出图形，结合图形得到的思路来求解，代入已知量即可． 【详解】解：画图，如图所示． ∵为的中点， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 4．（2025·河北张家口·二模）如图，点B，O，D在同一条直线上，，直线从与重合的位置开始绕点逆时针旋转，形成（小于），，，当增加时，下列说法正确的是（   ） A．增加 B．减少 C．增加 D．减少 【答案】A 【分析】本题主要考查了旋转和计算角的和、差．根据角的和差关系计算即可． 【详解】解：， ∴当增加时，减少． ， ∴当减少时，增加． 故选：A． 5．（24-25七年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，射线，都在的内部，和都是直角，下列说法：①；②；③若，则；④若平分，平分，则．其中说法正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了角的和差，角平分线的定义，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据和都是直角及每个说法中的具体条件，找准角度之间的和差关系，逐一进行判断即可． 【详解】解：和都是直角， ， ， ， 故①正确； ， 故②正确； ， ， ， 故③正确； 平分， ， 平分， ， ， ， 故④正确； 综上所述，说法正确的有个， 故选：D． 6．（24-25七年级上·河北唐山·期末）钟面上的时间走到时分，此时时针与分针的夹角是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了钟面角，正确分析出钟表中时针与分针每分钟转过的度数是解题关键．钟面上有个大格，每个大格是，4时分时，时针指向4和5之间，分针指向6，时针和分针之间有1个大格和个大格，即可求出时针和分针的夹角． 【详解】解：分针指向，时针指向4和5之间， 时针和分针之间有1个大格和个大格 ． 此时时针与分针的夹角是， 故答案为：． 7．（24-25八年级上·河北唐山·阶段练习）把换算成度分秒是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查角度的换算，解题的关键是熟知角度的换算方法． 根据将高级单位化为低级单位时，乘以60，即可求得答案． 【详解】解：， 故答案为：． 8．（24-25七年级上·河北保定·期末）阅读材料并回答问题． 数学课上，老师给出了如下问题： 如图，平分． （1）的度数为 ． （2）若，的度数为 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了角平分线的有关计算，角的和差计算，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据角平分线的意义即可求解； （2）分两种情况讨论，射线在射线上方或者下方，再利用角的和差计算即可． 【详解】解：（1）平分， ∴， 故答案为：； （2）∵， 当射线在射线上方时，， 当射线在射线下方时，， 故答案为：或． 9．（24-25七年级上·河北秦皇岛·期末）如图，射线在内部，图中共有、、三个角，若其中一个角的度数是另一个角的度数的2倍，则称射线是的“黄金线” （1）的平分线 这个角的“黄金线”（填“是”或“不是”） （2）若，射线是的“黄金线”，则的度数为 ． 【答案】 是 或或 【分析】本题主要考查了角平分线的含义，角的和差倍分关系，理清数量关系是解题的关系． （1）根据“黄金线”的定义即可得到答案； （2）分三种情况，由“黄金线”的定义列式即可得到答案． 【详解】解：（1）根据“黄金线”的定义，的角平分线是这个角的“黄金线”； 故答案为：是； （2）若，射线是的“黄金线”， ①，此时； ②，此时； ③，此时； 故答案为：或或． 10．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）如图，点在线段上． （1）图中有 条线段，以为端点的线段有 条； （2）若是线段的中点，点在点的右侧，且，，则线段的长为 ． 【答案】 6 3 5 【分析】本题主要考查了线段的条数问题，与线段中点有关的线段和差计算； （1）根据两点确定一条线段找出所有线段；进而求出以A为端点的线段； （2）先由线段中点的定义得到，则，据此可得． 【详解】解：（1）图中的线段有共6条线段，其中以A为端点的线段有3条； 故答案为：6，3； （2）∵D是线段的中点，， ∴． ∵， ∴， ∴， 故答案为：5． 11．（24-25七年级上·河北保定·期末）如图，是的平分线，是的平分线．是直角，．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线相关的计算，几何图形中角度的计算．利用角平分线的定义求得，，再根据计算即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的平分线，是的平分线， ∴，， ∴． 12．（24-25七年级上·河北保定·期末）如图，，点是内部一点，平分． (1)若，求的度数； (2)若，直接用含的代数式表示的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义，角度的计算，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键. （1）由题意得，根据角平分线的定义得到，计算即可得到答案； （2）根据题意得到，，根据角平分线的定义得到，计算即可得到答案. 【详解】（1）解：，， ， 平分， ， ； （2）解：，， ， 平分， ， . 13．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图，有A、B、C、D四个点．使用直尺、圆规按下列要求画出图形（不写作法，保留作图痕迹）． (1)画线段，射线，直线； (2)连接，与直线交于点E； (3)在线段上，截取． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了画直线、射线、线段，截取线段等于已知线段． （1）依据直线、射线、线段的定义，画出图形即可． （2）依据题意，连接画图即可． （3）依据题意，在线段上截取即可． 【详解】（1）解：如图所示，线段，射线，直线即为所作； （2）如图所示，连接，与直线交于点E即为所作； （3）如图所示，线段即为所作． 14．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）如图所示，已知线段，点O为中点，点P是线段外一点． (1)按要求尺规作图，并保留作图痕迹： ①作射线，作直线； ②延长线段至点C，使得； (2)在（1）的条件下，若线段，求线段的长度． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题考查了根据题意作图-作一条线段等于一直线段，与中点有关的计算等知识． （1）①根据题意作射线，作直线即可求解； ②根据题意尺规作图即可求解； （2）先求出所以，再求出，即可求出． 【详解】（1）解：①如图，射线即为所求作的射线，直线即为所求作的直线： ②如图，线段即为求作的线段： （2）解：因为点为中点，， 所以， 因为， 所以． 15．（24-25七年级上·河北邢台·期中）将一副三角板（直角三角形和直角三角形，，）按如图1所示的方式摆放，点，，在同一条直线上，和分别平分和．然后，将三角形绕点沿顺时针方向旋转至图2的位置，三角形保持不动． (1)若图2中，． ①求的值； ②分别求图1和图2中的度数． (2)在旋转过程中，的度数是否发生变化？如果不变化，请求出的度数；如果变化，请说明理由． 【答案】(1)①的值为30；②图1中：，图2中； (2)的度数在旋转过程中不会变化，恒为，理由见解析． 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，几何图形中角度的计算： （1）①先根据图1求出的度数，再根据图2中，的度数即可求出答案；①根据角平分线的定义分别求出的度数即可得到答案； （2）根据角平分线的定义表示出的度数，再根据角的和差关系即可得到结论． 【详解】（1）解：①在图1中，∵、、三点在同一条直线上， ∴． ∵，． ∴． 在图2中，， ∴三角形的旋转角的度数为． ∴的值为30． ②在题图1中．∵，平分， ∴． ∵，平分， ∴， ∴． 在题图2中， ∵，平分， ∴． ∵，平分． ∴． ∴． （2）解：的度数在旋转过程中不会变化，恒为，理由如下： ∵平分， ∴， ∴ ∵平分， ∴， ∴， ∴的度数在旋转过程中不会变化，恒为． 1 / 6 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