第7章 图形与坐标（复习讲义）数学新教材青岛版八年级上册

第7章 图形与坐标（复习讲义） 1．理解并应用有序数对表示位置、路线，掌握在直角坐标系中确定点的方法。 ①理解并应用有序数对表示位置、路线；②能写出直角坐标系中点的坐标并且能根据坐标在坐标系中描点；③熟练掌握点的坐标与象限的关系，并且能解决相关问题。 2．掌握图形的运动与坐标的关系，并解决相关实际问题。 ①学习如何在坐标系中对图形进行平移操作，并理解平移对图形各点坐标的影响；②掌握关于x轴、y轴对称的图形的性质，并能够求出对称点坐标；③能够利用图形的运动与坐标的关系解决实际问题。 3．理解并应用方位角和距离的概念，掌握用方位角和距离描述两个物体的相对位置的方法。 ①理解并应用方位角和距离的概念；②能够准确描述两个物体在平面上的相对位置关系。；③能够在实际问题中灵活运用方位角和距离进行问题分析和求解。 知识点01图形的位置与坐标 1）有序数对：我们把有顺序的两个数a和b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）。 2）平面直角坐标系：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系 。通常两条数轴分别置于水平位置与竖直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向。水平的数轴叫作x轴或横轴，竖直的数轴叫作y轴或纵轴。x轴和y轴统称坐标轴，它们的公共原点0称为平面直角坐标系的原点。 3）用平面直角坐标系表示有序数对：建立平面直角坐标系后，平面内的点可以用一组有序数对表示。对于平面内任意一点P，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上所对应的数a，b分别叫作点P 的横坐标、纵坐标，有序数对(a，b)叫作点P的坐标。 4）有序实数对与平面直角坐标系中的点一一对应。 5）建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成I，II，Ⅲ，Ⅳ四个部分 ，每个部分称为象限 ，四个部分分别叫作第一象限、第二象限、第三象限和第四象限。坐标轴上的点不属于任何象限。 6）平面直角坐标系内点的坐标特征：第一、二、三、四象限内点的横坐标、纵坐标的符号分别是(+，+)，(一,+)，(一，一)，(+，一)。x轴上各点的纵坐标都为0，y轴上各点的横坐标都为0。 知识点02图形的运动与坐标 1）坐标系中的平移：在平面直角坐标系中， 点(x,y)沿y平移的点的坐标横坐标不改变, 点(x，y)沿x平移的点的坐标纵坐标不改变。 2）坐标系中的对称：在平面直角坐标系中， 点(x,y)关于y轴对称的点的坐标是(一x,y), 点(x，y)关于x轴对称的点的坐标是(x，一y)。 知识点03 用方位角和距离描述两个物体的相对位置 以一个点为参照点，通过描述被观测点与参照点之间的距离以及被观测点相当于参照点的方位角，就能描述出被观测点的位置。 题型一 用有序数对表示位置 【例1】根据下列表述，能确定具体位置的是（    ） A．电影城号厅排 B．云南省嵩明县 C．北纬，东经 D．南偏西 【答案】C 【解析】解：A．电影城1号厅6排，不能确定具体位置，故本选项不合题意； B．云南省嵩明县，不能确定具体位置，故本选项不合题意； C．北纬，东经，能确定具体位置，故本选项符合题意； D．南偏西，不能确定具体位置，故本选项不合题意； 故选：C． 【变式1-1】小明班有人参加学校运动会的入场仪式，队伍共7行5列，如果用表示第1行第4列（从左至右）的站位，那么站在队伍最中间的小明的站位可记作 ． 【答案】 【解析】解：由于小明站在最中间的位置，即第4行和从左至右第3列的站位，所以小明的站位可记作. 故答案为： ． 【变式1-2】如果将电影票“排号”简记为，那么“排号”可简记为 ． 【答案】 【解析】解：∵电影票“排号”简记为， ∴“排号”可简记为， 故答案为：． 【变式1-3】如图是一台雷达探测器探测的结果．图中显示，在A，B，C，D处有目标出现，请用适当方式分别表示每个目标的位置． 【答案】见解析 【解析】解：由图可知，以圆圈的层数为第一坐标，为方向角度第二坐标，则各点位置如下： ，，，． 题型二 求点到坐标轴的距离 【例2】点在第二象限，距轴单位，距轴单位，则坐标为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：点在第二象限，距轴单位，距轴单位，则坐标为， 故选：D． 【变式2-1】已知点在轴上方，在轴左侧，则点到轴、轴的距离分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：点在x轴上方， 点A的纵坐标大于0，得到， 点A到x轴的距离是； 点在y轴的左边， 点A的横坐标小于0，即， 点A到轴的距离是； 故选：C． 【变式2-2】若点M在轴下方，且到轴，轴的距离分别为3和5，则点M的坐标是 ． 【答案】或/或 【解析】解：设， ∵点M到，轴的距离分别为3和5， ∴， ∵点M在x轴下方， ∴点在第三象限，或第四象限， ∴或5，， ∴或 故答案为：或． 【变式2-3】在平面直角坐标系中，若点与点之间的距离是5，那么的值是 ． 【答案】8或 【解析】解∵点与点之间的距离是5， ∴或， 故答案为∶8或． 题型三 判断点所在象限 【例3】下列各点中，与其他三个点不在同一象限的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：A、在第四象限， B、在第四象限， C、在第二象限， D、在第四象限， ∴只有C选项的点与其他三个点不在同一象限， 故选：C； 【变式3-1】在平面直角坐标系中，下列各点在第二象限的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：∵点在第二象限的符号特征是横坐标是负数，纵坐标是正数， ∴符合题意的只有， 故选：C． 【变式3-2】在平面直角坐标系中，点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】解：∵点的横纵坐标符号分别为：， ∴点位于第四象限． 故选D． 【变式3-3】若点在第二象限，则在第 象限． 【答案】三 【解析】解：∵点在第二象限， ∴， ∴， ∴在第三象限， 故答案为：三． 题型四 已知点所在象限求参数 【例4】已知点在第四象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：∵点在第四象限， ， 解得：． 故选：． 【变式4-1】已知，，若点A位于第一象限，且直线轴，则（   ） A． B． C．4 D．5 【答案】C 【解析】解：因为，，且直线轴， 所以 又因为， 所以，或， 又因为点A位于第一象限， 所以， 所以 故选：C． 【变式4-2】在平面直角坐标系中，已知点在第三象限，则的取值范围为 ． 【答案】 【解析】解：∵点在第三象限， ∴． 解得； 解得． ∴． 故答案为： ． 【变式4-3】在平面直角坐标系中，点在x轴上，则m的值为 ． 【答案】 【解析】解：∵点在x轴上， ∴， ∴， 故答案为：． 题型五 坐标系中的平移 【例5】如图，在平面直角坐标系中，，，，，一个动点从点A出发沿的方向移动，移动了2025个单位后动点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：因为，，，， 所以，，，，且四边形是长方形， 则长方形的周长为：． 因为， 则， 所以移动了2025个单位后动点在点C的右边3个单位处， 则， 所以移动了2025个单位后动点的坐标为． 故选：C． 【变式5-1】若点与点的连线平行于轴，则a的值为 ． 【答案】 【解析】解：∵轴， ∴点和点的纵坐标相同， 即， ∴， 故答案为：． 【变式5-2】如图，在一次飞行表演中，6架飞机A，B，C，D，E，F编队飞行，且保持队形不变，分别写出它们的坐标．当飞机A飞行到位置时，飞机B，C，D，E，F飞到了什么位置？用坐标表示这6架飞机的新位置． 【答案】，，，，，；，，，， 【解析】解：根据题意，得 ，，，，，； 由，得有向右平移5个单位长度，再向上平移2个单位长度得到， 故，，，，． 【变式5-3】在平面直角坐标系中，已知点，． (1)若点在轴上，求点的坐标； (2)若轴，且，求的值． 【答案】(1)； (2)的值为或0． 【解析】（1）解：点在x轴上， ， 解得． ∴； （2）解：轴， ∴点A与点B的横坐标相同， ∴， ∵， ∴， 解得或， 当时，， 当时，， 即的值为或0． 题型六 坐标系中的对称 【例6】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点的坐标为． (1)画出关于轴对称的，并写出点的坐标； (2)直接写出点关于轴的对称点的坐标． 【答案】(1)作图见解析， (2) 【解析】（1）解：如图，即为所作，点的坐标为； （2）点关于轴的对称点的坐标为． 【变式6-1】如图，已知的三个顶点的坐标分别为，， (1)的面积是______； (2)作出关于x轴对称的图形，并直接写出点的坐标； (3)作出关于y轴对称的图形． 【答案】(1)6； (2)点的坐标为，见解析； (3)见解析． 【解析】（1）解：的面积， 故答案为：6； （2）解：如图，即为所求，点的坐标为； ； （3）解：如图，即为所求． 【变式6-2】规定，在平面直角坐标系中，将一个图形先关于y轴对称，再向下平移2个单位记为1次“K变换”．已知，，． (1)画出经过1次“K变换”后的图形；写出点坐标为_____； (2)若边上有一点，记点经过2次“K变换”后的点为，则的坐标为_____．（用含有m，n的式子表示）． 【答案】(1)画图详见解析， (2) 【解析】（1） 如图所示，． （2）根据“K变换”的过程： 边上有一点，经过1次“K变换”后的坐标为， 经过2次“K变换”后， 故答案为：． 【变式6-3】在如图所示的直角坐标系中，已知． (1)在图中画出，以及关于y轴成轴对称的； (2)的面积是多少？ (3)在x轴上找一点P，使得的值最小并求出最小值． 【答案】(1)见解析 (2)7 (3)点P的位置见解析， 【解析】（1）解：如下图所示，、即为所求的三角形． （2）解：由题意可得：． （3）解：如图，点P即为所求． 的值最小． 题型七 用方向角和距离确定物体的位置 【例7】根据下列表述，能确定具体位置的是（   ） A．八年级教室 B．北京东路 C．东偏北方向 D．东经，北纬 【答案】D 【解析】A、无法确定具体位置，不符合题意； B、无法确定具体位置，不符合题意； C、无法确定具体位置，不符合题意； D、能确定具体位置，符合题意； 故选：D． 【变式7-1】按照下图的线段比例尺，轮船应该在灯塔的（   ）． A．北偏西千米处 B．北偏西千米处 C．北偏东千米处 D．西偏北千米处 【答案】A 【解析】解：由题意可知：轮船与灯塔的距离为(千米)；在灯塔北偏西的方向， 故答案为：A． 【变式7-2】如图，关于小明家相对于学校的位置，下列描述最准确的是 （填序号）． ①在距离学校处；    ②在学校的东南方向； ③在西北方向处；    ④在学校西北方向处． 【答案】④ 【解析】解：如图所示： 小明家在学校西北方向处 故答案为：④． 【变式7-3】如图，货船B在港口A南偏西方向处，则港口A在货船B 方向 处． 【答案】 北偏东 25 【解析】解：由图得： 港口A在货船B北偏东方向处． 故答案为：北偏东，． 基础巩固通关测 一、单选题 1．如果剧院里的“5排7号”记作，那么表示（   ） A．6排4号 B．4排6号 C．6排6号 D．4排4号 【答案】A 【解析】解：由题意，“5排7号”记作，说明有序数对的第一个数表示排，第二个数表示号， 因此，中第一个数6表示第6排，第二个数4表示第4号，即“6排4号”， 故选：A 2．根据下列表述，能确定一个点位置的是（　　） A．东经，北纬 B．某地静安路 C．某班教室第列 D．北偏东 【答案】A 【解析】解：A、有两个量，可以确定位置，故符合题意； B、只有一个量，无法确定位置，故不符合题意； C、只有一个量，无法确定位置，故不符合题意； D、只有方向一个量，无法确定位置，故不符合题意； 故选：A． 3．在平面直角坐标系中，点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解析】解；∵， ∴点位于第二象限， 故选：B． 4．已知点，若点到两坐标轴的距离相等，求的值（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】解：点到两坐标轴的距离相等， ， 或， 解得或． 故选：C． 5．如图，正方形的边长为4，顶点D的坐标是，轴，则顶点B的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：正方形的边长为4，顶点D的坐标是， 故将点D向下平移4个单位长度得到点， 又轴， 故将点A向右平移4个单位长度得到点即， 故选：A． 二、填空题 6．若，，则点在第 象限． 【答案】二 【解析】解：∵，， ∴点在第二象限， 故答案为：二． 7．若点在y轴上，则 ． 【答案】1 【解析】解：点在y轴上， ， ． 故答案为：1 8．已知点在第四象限，且点P到x轴的距离为5，到y轴的距离为3，则点P的坐标为 ． 【答案】 【解析】解：点P在第四象限且到x轴距离为5，到y轴距离为3， ∴点P的横坐标是3，纵坐标是， ∴点P的坐标为， 故答案为：． 9．如图，雷达探测器在一次探测中发现了两个目标A，B．若目标A的位置表示为，则目标B的位置可以表示为 ． 【答案】 【解析】解：∵目标A的位置表示为， ∴目标B的位置可以表示为， 故答案为：． 10．在平面直角坐标系中，已知点，．若直线与轴平行，则的值为 ． 【答案】1 【解析】解：由题意，， ∴， 故答案为：1． 三、解答题 11．根据以下条件画一幅示意图，标出学校、工厂、体育馆、百货商店的位置． (1)从学校向东走300米，再向北走300米是工厂； (2)从学校向西走100米，再向北走200米是体育馆； (3)从学校向南走150米，再向东走250米，再向南走50米是商店． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【解析】（1）解：以学校为原点，以学校的正东方向为轴的正半轴，以学校的正北方向为的正半轴建立平面直角坐标系．标出的学校、工厂的位置，如图所示． （2）解：体育馆的位置，如图所示． （3）解：商店的位置，如图所示． 12．下图所示的是某学校及周围建筑的位置．已知各建筑都在小正方形的格点（网格线的交点）上，少年宫的坐标是，商店的坐标为． (1)根据题意，在上图中建立平面直角坐标系． (2)分别写出体育馆、食堂、图书馆和公交站的坐标，指出它们分别在哪个象限或哪条坐标轴上． 【答案】(1)见详解 (2)体育馆，在第一象限；食堂，在第二象限；图书馆，在x轴上；公交站，在第三象限 【解析】（1）解：根据少年宫的坐标是，商店的坐标为，建立平面直角坐标系如下： （2）解：由上图得：体育馆，在第一象限；食堂，在第二象限；图书馆，在x轴上；公交站，在第三象限． 13．如图是动物园的平面示意图，分别表示熊猫馆、水族馆、鸟类馆、猴山和河马馆．请借助比例尺、量角器解决如下问题： (1)写出的图上坐标． (2)位于原点东偏北的是哪个馆，它到O点（大门）的实际距离是多少？（精确到1米） 【答案】(1) (2)河马馆，1556（米） 【解析】（1）解：由坐标系可得：． （2）解：在原点东偏北的点是，其坐标为，到原点的距离为． 实际距离约为（米）．它是河马馆． 14．已知点＋，，分别根据下列条件求出点的坐标． (1)点在轴上； (2)点的坐标为，直线轴； (3)点到轴，轴的距离相等． 【答案】(1)； (2)； (3)点的坐标为或． 【解析】（1）解：根据题意得：＝ 解得＝ 到此时点的坐标为； （2）解：∵点的坐标为，直线轴， ∴， 解得：＝， 故， 则 （3）解：根据题意得：或 解得或 ①当时，，，即 ②当时，，，即 此时点的坐标为或． 15．在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，，． (1)直接写出________； (2)三角形内任意一点经平移后的对应点为，将三角形作同样的平移得到三角形，直接写出点的坐标： (3)仅用无刻度直尺在边上画点，连接，使三角形的面积为5．（保留画图痕迹） 【答案】(1)11 (2)图见解析，，，； (3)见解析 【解析】（1）解：， 故答案为：11； （2）解：如图，三角形即为所求；向右平移5个单位，再向下平移3个单位得到， ∴，，； （3）解：如图，过点O作的平行线，交于点， 此时， ∵， 则点即为所求． 能力提升进阶练 一、单选题 1．若点是平面直角坐标系中第二象限内的点，且点到轴的距离是，到轴的距离是，则点的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：∵点到轴的距离是， 则点的纵坐标为， ∵点到轴的距离是， 则点的横坐标为， ∵点在第二象限， 故点坐标为； 故选：C． 2．已知点在第四象限，当m为何值时，点A到x轴的距离是它到y轴的距离的2倍（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：∵点在第四象限， ∴，， ∴点到x轴的距离是，到y轴距离是， ∵点A到x轴的距离是它到y轴的距离的2倍， ∴， 解得. 故选：B． 3．在平面直角坐标系中，点，在轴上确定点，使为等腰三角形，则符合条件的点共有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【解析】如图所示， 当点A是顶角顶点时，以A为圆心为半径的圆弧与轴有一个交点； 当点O是顶角顶点时，以O为圆心为半径的圆弧与轴有两个交点，即和； 当点P是顶角顶点时，作线段的垂直平分线，与轴有一个交点． 故符合条件的点一共个． 故选：C． 4．如图所示的是复原的部分《田积表》，表中对田地的长和宽都用步来表示，A区域表示的是长15步、宽16步的田地面积为一亩，用有序数对记为，那么有序数对记为对应的田地面积为（   ） A．一亩八十步 B．一亩二十步 C．半亩七十八步 D．半亩八十四步 【答案】D 【解析】解：根据可得，横从上面从右向左看，纵从右边自下而上看， 故对应的是半亩八十四步， 故选D． 5．七年级某班有48名学生，所在教室有6行8列座位，用表示第行第列的座位，新学期准备调整座位．设某个学生原来的座位为，若调整后的座位为，则称该生作了平移，并称为该生的位置数．若某生的位置数为8，则的最小值为（   ） A．10 B．14 C．15 D．25 【答案】A 【解析】解：∵， ∴， 又∵， ∴，即， ∵，且i、j都是整数， ∴的最小值为10， 故选：A． 二、填空题 6．在平面直角坐标系中，若点在第一象限内，则点在第 象限． 【答案】四 【解析】解：点在第一象限， ，， ， 点在第四象限． 故答案为：四． 7．如果点在第四象限，那么的取值范围是 【答案】 【解析】解：∵点在第四象限， ∴， 解得：． 故答案为： 8．已知点A坐标为，若轴且，则第二象限的点B的坐标为 ． 【答案】 【解析】解：点A坐标为，且轴， 点B的横坐标为， 设点， ， ， 或， 点B在第二象限， 点B的坐标为， 故答案为： 9．如图，以点O为观测点，点A的位置是南偏东方向处． （1）点B的位置是 ； （2）点C的位置是 ； （3）A，D两点间的距离为 ． 【答案】 北偏东方向处 北偏西方向处 50 【解析】解：（1）点B的位置是北偏东方向处； （2）点C的位置是北偏西方向处； （3）连接， 由图可得，，， ， 故答案为：北偏东方向处；北偏西方向处；50． 10．如图，在长方形中，在轴上，在轴上，且，，把沿着对折得到，交轴于点，则点的坐标为 ． 【答案】 【解析】解：由折叠可得：，， ，，四边形是长方形， ，， 在和中，， ， ， ， ， ， 解得：， 点的坐标为， 故答案为：． 三、解答题 11．如图，平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)请在图中画出 先向右平移6个单位长度，再向下平移2个单位长度的； (2)关于原点对称得到，请在图中画出；并写出坐标； (3)求的面积． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析， (3)4 【解析】（1）解：如图所示； （2）解：如图所示； 由图可知：坐标为； （3）解：， ∴的面积为． 12．已知点，； (1)若点A，B关于x轴对称，求a，b的值； (2)若点A，B关于y轴对称，求的值． 【答案】(1)， (2)1 【解析】（1）解：∵点A、B关于x轴对称， ∴， 解得， ∴，； （2）解：∵点A、B关于y轴对称， ∴， 解得， ∴． 13．已知在平面直角坐标系中的点． (1)若点在轴上，点的坐标为______； (2)若点的纵坐标比横坐标大，则点在第______象限； (3)若点在过点且与轴平行的直线上，求点的坐标； (4)若点到轴，轴的距离相等，求点的坐标． 【答案】(1) (2)二 (3) (4)或 【解析】（1）解：因为点在轴上， 所以， 解得， 则， 所以点的坐标为． 故答案为：； （2）解：因为点的纵坐标比横坐标大， 所以， 解得， 则，， 所以点的坐标为， 则点在第二象限． 故答案为：二； （3）解：因为点在过点且与轴平行的直线上， 所以， 解得， 则， 所以点的坐标为； （4）解：因为点到轴，轴的距离相等， 所以或， 解得或， 当时，，， 所以点的坐标为； 当时，，， 所以点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或． 14．为进一步体会宋代的历史文化，某班来到清明上河园分组开展研学活动，其中A组在文房博物馆体验“大宋科举”，B组在九龙桥观看“东京保卫战”，约定时间到大宋校场集合观看经典节目“岳飞枪挑小梁王”．为描述集合地点，同学们想出不同的方法． (1)小文同学想到用平面直角坐标系，如图1，网格中小方格都是边长为1个单位长度的正方形，若文房博物馆的坐标为，九龙桥的坐标为．请在图1中画出平面直角坐标系，并写出大宋校场的坐标：______； (2)小化同学想到用方位角和距离，如图2，以文房博物馆为基准点，九龙桥在文房博物馆的南偏东，距离处，记为（南偏东，），进一步使用工具测量并换算，可将大宋校场的位置记为______． 【答案】(1)见解析， (2)（北偏东，） 【解析】（1）解：如图所示建立平面直角坐标系，大宋校场的坐标为． （2）解：由图测得：表示北方的线与连接表示文房博物馆与大宋校场两点的线段的夹角为，连接表示文房博物馆与大宋校场两点的线段长度为． ∴大宋校场的位置记为（北偏东，）． 故答案为：（北偏东，）． 15．在平面直角坐标系中，点在第一象限，将线段进行平移得到线段，点的对应点为，点的对应点为． (1)若点，，，求点的坐标； (2)若点，，，，三角形的面积为6，点在第三象限，横坐标为． ①求线段的长度； ②在轴上是否存在点，使得三角形与三角形的面积和等于三角形的面积，若存在求点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) ①②存在，点P坐标为或 【解析】（1）解：，，，， 点先向左平移个单位，再向下平移个单位至点， 点先向左平移个单位，再向下平移个单位至点为； （2）解：①由题意得，， ， ，，， 三角形的面积为， ， ，或， ②点在第三象限， ， ， ， 点横坐标为， 设点， ， ， ， 解得，或， 点坐标为或． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第7章 图形与坐标（复习讲义） 1．理解并应用有序数对表示位置、路线，掌握在直角坐标系中确定点的方法。 ①理解并应用有序数对表示位置、路线；②能写出直角坐标系中点的坐标并且能根据坐标在坐标系中描点；③熟练掌握点的坐标与象限的关系，并且能解决相关问题。 2．掌握图形的运动与坐标的关系，并解决相关实际问题。 ①学习如何在坐标系中对图形进行平移操作，并理解平移对图形各点坐标的影响；②掌握关于x轴、y轴对称的图形的性质，并能够求出对称点坐标；③能够利用图形的运动与坐标的关系解决实际问题。 3．理解并应用方位角和距离的概念，掌握用方位角和距离描述两个物体的相对位置的方法。 ①理解并应用方位角和距离的概念；②能够准确描述两个物体在平面上的相对位置关系。；③能够在实际问题中灵活运用方位角和距离进行问题分析和求解。 知识点01图形的位置与坐标 1）有序数对：我们把有顺序的两个数a和b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）。 2）平面直角坐标系：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系 。通常两条数轴分别置于水平位置与竖直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向。水平的数轴叫作x轴或横轴，竖直的数轴叫作y轴或纵轴。x轴和y轴统称坐标轴，它们的公共原点0称为平面直角坐标系的原点。 3）用平面直角坐标系表示有序数对：建立平面直角坐标系后，平面内的点可以用一组有序数对表示。对于平面内任意一点P，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上所对应的数a，b分别叫作点P 的横坐标、纵坐标，有序数对(a，b)叫作点P的坐标。 4）有序实数对与平面直角坐标系中的点一一对应。 5）建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成I，II，Ⅲ，Ⅳ四个部分 ，每个部分称为象限 ，四个部分分别叫作第一象限、第二象限、第三象限和第四象限。坐标轴上的点不属于任何象限。 6）平面直角坐标系内点的坐标特征：第一、二、三、四象限内点的横坐标、纵坐标的符号分别是(+，+)，(一,+)，(一，一)，(+，一)。x轴上各点的纵坐标都为0，y轴上各点的横坐标都为0。 知识点02图形的运动与坐标 1）坐标系中的平移：在平面直角坐标系中， 点(x,y)沿y平移的点的坐标横坐标不改变, 点(x，y)沿x平移的点的坐标纵坐标不改变。 2）坐标系中的对称：在平面直角坐标系中， 点(x,y)关于y轴对称的点的坐标是(一x,y), 点(x，y)关于x轴对称的点的坐标是(x，一y)。 知识点03 用方位角和距离描述两个物体的相对位置 以一个点为参照点，通过描述被观测点与参照点之间的距离以及被观测点相当于参照点的方位角，就能描述出被观测点的位置。 题型一 用有序数对表示位置 【例1】根据下列表述，能确定具体位置的是（    ） A．电影城号厅排 B．云南省嵩明县 C．北纬，东经 D．南偏西 【变式1-1】小明班有人参加学校运动会的入场仪式，队伍共7行5列，如果用表示第1行第4列（从左至右）的站位，那么站在队伍最中间的小明的站位可记作 ． 【变式1-2】如果将电影票“排号”简记为，那么“排号”可简记为 ． 【变式1-3】如图是一台雷达探测器探测的结果．图中显示，在A，B，C，D处有目标出现，请用适当方式分别表示每个目标的位置． 题型二 求点到坐标轴的距离 【例2】点在第二象限，距轴单位，距轴单位，则坐标为(    )  A． B． C． D． 【变式2-1】已知点在轴上方，在轴左侧，则点到轴、轴的距离分别为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】若点M在轴下方，且到轴，轴的距离分别为3和5，则点M的坐标是 ． 【变式2-3】在平面直角坐标系中，若点与点之间的距离是5，那么的值是 ． 题型三 判断点所在象限 【例3】下列各点中，与其他三个点不在同一象限的点是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】在平面直角坐标系中，下列各点在第二象限的是（　　） A． B． C． D． 【变式3-2】在平面直角坐标系中，点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式3-3】若点在第二象限，则在第 象限． 题型四 已知点所在象限求参数 【例4】已知点在第四象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】已知，，若点A位于第一象限，且直线轴，则（   ） A． B． C．4 D．5 【变式4-2】在平面直角坐标系中，已知点在第三象限，则的取值范围为 ． 【变式4-3】在平面直角坐标系中，点在x轴上，则m的值为 ． 题型五 坐标系中的平移 【例5】如图，在平面直角坐标系中，，，，，一个动点从点A出发沿的方向移动，移动了2025个单位后动点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】若点与点的连线平行于轴，则a的值为 ． 【变式5-2】如图，在一次飞行表演中，6架飞机A，B，C，D，E，F编队飞行，且保持队形不变，分别写出它们的坐标．当飞机A飞行到位置时，飞机B，C，D，E，F飞到了什么位置？用坐标表示这6架飞机的新位置． 【变式5-3】在平面直角坐标系中，已知点，． (1)若点在轴上，求点的坐标； (2)若轴，且，求的值． 题型六 坐标系中的对称 【例6】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点的坐标为． (1)画出关于轴对称的，并写出点的坐标； (2)直接写出点关于轴的对称点的坐标． 【变式6-1】如图，已知的三个顶点的坐标分别为，， (1)的面积是______； (2)作出关于x轴对称的图形，并直接写出点的坐标； (3)作出关于y轴对称的图形． 【变式6-2】规定，在平面直角坐标系中，将一个图形先关于y轴对称，再向下平移2个单位记为1次“K变换”．已知，，． (1)画出经过1次“K变换”后的图形；写出点坐标为_____； (2)若边上有一点，记点经过2次“K变换”后的点为，则的坐标为_____．（用含有m，n的式子表示）． 【变式6-3】在如图所示的直角坐标系中，已知． (1)在图中画出，以及关于y轴成轴对称的； (2)的面积是多少？ (3)在x轴上找一点P，使得的值最小并求出最小值． 题型七 用方向角和距离确定物体的位置 【例7】根据下列表述，能确定具体位置的是（   ） A．八年级教室 B．北京东路 C．东偏北方向 D．东经，北纬 【变式7-1】按照下图的线段比例尺，轮船应该在灯塔的（   ）． A．北偏西千米处 B．北偏西千米处 C．北偏东千米处 D．西偏北千米处 【变式7-2】如图，关于小明家相对于学校的位置，下列描述最准确的是 （填序号）． ①在距离学校处；    ②在学校的东南方向； ③在西北方向处；    ④在学校西北方向处． 【变式7-3】如图，货船B在港口A南偏西方向处，则港口A在货船B 方向 处． 基础巩固通关测 一、单选题 1．如果剧院里的“5排7号”记作，那么表示（   ） A．6排4号 B．4排6号 C．6排6号 D．4排4号 2．根据下列表述，能确定一个点位置的是（　　） A．东经，北纬 B．某地静安路 C．某班教室第列 D．北偏东 3．在平面直角坐标系中，点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．已知点，若点到两坐标轴的距离相等，求的值（ ） A． B． C．或 D．或 5．如图，正方形的边长为4，顶点D的坐标是，轴，则顶点B的坐标是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．若，，则点在第 象限． 7．若点在y轴上，则 ． 8．已知点在第四象限，且点P到x轴的距离为5，到y轴的距离为3，则点P的坐标为 ． 9．如图，雷达探测器在一次探测中发现了两个目标A，B．若目标A的位置表示为，则目标B的位置可以表示为 ． 10．在平面直角坐标系中，已知点，．若直线与轴平行，则的值为 ． 三、解答题 11．根据以下条件画一幅示意图，标出学校、工厂、体育馆、百货商店的位置． (1)从学校向东走300米，再向北走300米是工厂； (2)从学校向西走100米，再向北走200米是体育馆； (3)从学校向南走150米，再向东走250米，再向南走50米是商店． 12．下图所示的是某学校及周围建筑的位置．已知各建筑都在小正方形的格点（网格线的交点）上，少年宫的坐标是，商店的坐标为． (1)根据题意，在上图中建立平面直角坐标系． (2)分别写出体育馆、食堂、图书馆和公交站的坐标，指出它们分别在哪个象限或哪条坐标轴上． 13．如图是动物园的平面示意图，分别表示熊猫馆、水族馆、鸟类馆、猴山和河马馆．请借助比例尺、量角器解决如下问题： (1)写出的图上坐标． (2)位于原点东偏北的是哪个馆，它到O点（大门）的实际距离是多少？（精确到1米） 14．已知点＋，，分别根据下列条件求出点的坐标． (1)点在轴上； (2)点的坐标为，直线轴； (3)点到轴，轴的距离相等． 15．在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，，． (1)直接写出________； (2)三角形内任意一点经平移后的对应点为，将三角形作同样的平移得到三角形，直接写出点的坐标： (3)仅用无刻度直尺在边上画点，连接，使三角形的面积为5．（保留画图痕迹） 能力提升进阶练 一、单选题 1．若点是平面直角坐标系中第二象限内的点，且点到轴的距离是，到轴的距离是，则点的坐标是（ ） A． B． C． D． 2．已知点在第四象限，当m为何值时，点A到x轴的距离是它到y轴的距离的2倍（   ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，点，在轴上确定点，使为等腰三角形，则符合条件的点共有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 4．如图所示的是复原的部分《田积表》，表中对田地的长和宽都用步来表示，A区域表示的是长15步、宽16步的田地面积为一亩，用有序数对记为，那么有序数对记为对应的田地面积为（   ） A．一亩八十步 B．一亩二十步 C．半亩七十八步 D．半亩八十四步 5．七年级某班有48名学生，所在教室有6行8列座位，用表示第行第列的座位，新学期准备调整座位．设某个学生原来的座位为，若调整后的座位为，则称该生作了平移，并称为该生的位置数．若某生的位置数为8，则的最小值为（   ） A．10 B．14 C．15 D．25 二、填空题 6．在平面直角坐标系中，若点在第一象限内，则点在第 象限． 7．如果点在第四象限，那么的取值范围是 8．已知点A坐标为，若轴且，则第二象限的点B的坐标为 ． 9．如图，以点O为观测点，点A的位置是南偏东方向处． （1）点B的位置是 ； （2）点C的位置是 ； （3）A，D两点间的距离为 ． 10．如图，在长方形中，在轴上，在轴上，且，，把沿着对折得到，交轴于点，则点的坐标为 ． 三、解答题 11．如图，平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)请在图中画出 先向右平移6个单位长度，再向下平移2个单位长度的； (2)关于原点对称得到，请在图中画出；并写出坐标； (3)求的面积． 12．已知点，； (1)若点A，B关于x轴对称，求a，b的值； (2)若点A，B关于y轴对称，求的值． 13．已知在平面直角坐标系中的点． (1)若点在轴上，点的坐标为______； (2)若点的纵坐标比横坐标大，则点在第______象限； (3)若点在过点且与轴平行的直线上，求点的坐标； (4)若点到轴，轴的距离相等，求点的坐标． 14．为进一步体会宋代的历史文化，某班来到清明上河园分组开展研学活动，其中A组在文房博物馆体验“大宋科举”，B组在九龙桥观看“东京保卫战”，约定时间到大宋校场集合观看经典节目“岳飞枪挑小梁王”．为描述集合地点，同学们想出不同的方法． (1)小文同学想到用平面直角坐标系，如图1，网格中小方格都是边长为1个单位长度的正方形，若文房博物馆的坐标为，九龙桥的坐标为．请在图1中画出平面直角坐标系，并写出大宋校场的坐标：______； (2)小化同学想到用方位角和距离，如图2，以文房博物馆为基准点，九龙桥在文房博物馆的南偏东，距离处，记为（南偏东，），进一步使用工具测量并换算，可将大宋校场的位置记为______． 15．在平面直角坐标系中，点在第一象限，将线段进行平移得到线段，点的对应点为，点的对应点为． (1)若点，，，求点的坐标； (2)若点，，，，三角形的面积为6，点在第三象限，横坐标为． ①求线段的长度； ②在轴上是否存在点，使得三角形与三角形的面积和等于三角形的面积，若存在求点坐标，若不存在，请说明理由． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$