精品解析：2025年河南省开封市九年级中招第一次模拟考试数学 试题

2025年中招第一次模拟考试 数学试题 注意事项： 1．本试题卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．试题卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试题卷上的答案无效． 3．答题前，考生务必将本人姓名、准考证号填写在答题卡第一面指定的位置． 一、选择题（每小题3分，共30分，下列各题均有四个选项，其中只有一个是正确的．） 1. 下列选项记录了我省四个城市某年一月份的平均气温，其中平均气温最低的是（ ） A. B. C. D. 2. 人工智能大模型：是深度求索公司开发的智能助手，关于其使用的电子元件中，有一种是中国自主研发并生产制造的28纳米芯片．其中1纳米米，28纳米用科学记数法表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 3. 如图是开封博物馆陈列的宋龙泉窑高足瓷碗，该文物的三视图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. 主视图 B. 左视图 C. 俯视图 D. 不存在 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 数学文化学习有利于激发学生学习数学的兴趣．某校为了解学生对数学文化知识掌握情况，以班级为单位组织七、八年级学生开展了数学文化知识竞赛活动，其中甲、乙、丙、丁四个班的成绩较为突出，部分数据如下表： 甲 乙 丙 丁 87 87 82 85 0.12 0.67 0.16 0.85 根据表中数据，成绩较好且较为稳定的班级是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 6. 《孙子算经》是中国古代重要数学著作，成书大约在四、五世纪，其中记录了很多有趣的数学问题，著名的“鸡兔同笼”问题就是其中之一．该问题记载为：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”其大意为：现在有若干只鸡和兔在同一个笼子里，从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚．问鸡和兔各有多少只？设鸡有x只，兔有y只，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，下列四个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线是的平分线的为（ ） A. ①② B. ①③ C. ①④ D. ①②③ 8. 如图是完全展开的扇形纸扇，夹角为，的长为，的长为，则扇面（阴影部分）的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 加强青少年体育训练，提升青少年体质健康，是教育部对中学生强身健体的明确要求．体育课上，一名男生掷实心球，实心球行进的路线可以看作是抛物线，其行进的高度y（单位：）与水平距离x（单位：）的函数解析式为如图所示，A，B，C三点在抛物线上，当实心球行进到最高点时，推断所对应的水平距离x可能为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 10. 在学习两点间的距离、直线外一点到这条直线的距离的过程中，同学们积累了一定的研究经验，如果定义：平面内，一点与一个图形上所有点的最短距离叫做这个点到该图形的距离．如图①，正方形的边长为2，中心为点O，在该正方形外有一点P，，且．当点P绕着点O顺时针旋转时，设旋转角的度数为x，点P到正方形的距离为y，如图②是点P在旋转过程中，y随x的变化而变化的函数图象，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 的相反数是______． 12. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______． 13. 编号为1、2、3、4的试管分别装有4种溶液，1号试管溶液呈红色；2号试管溶液呈蓝色；3号、4号试管溶液呈紫色．随机选择2个试管，溶液都为紫色的概率是______． 14. 如图，两张宽度之比为的纸条叠放在一起，交叉形成的锐角为，重合部分构成的平行四边形的周长为，则该平行四边形的面积为______． 15. 如图，在中，，点D为的中点，点E，F分别是边上的动点，且，点G是的中点，连接，点E，F在运动的过程中，的最小值为______，当最大时，线段的长是______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简： 17. 《2024全国科普日百科知识数据报告》显示，2024年青少年在科普方面呈现出多领域兴趣特点，自然科学与天文地理、心理健康与人格探索、前沿科技与创新、动物科普与宠物养护、数学与基础科学等都是一些受关注的话题．某校为了普及科普知识，发展科学兴趣，在该校七、八年级学生中各随机抽取20名学生参加了科普知识竞赛，并对成绩进行整理、描述和分析，把分数x（满分为100分，成绩均不低于60分）分成四个等级（D.，C.，B.，A.），下面给出了部分信息： 七年级抽取20名学生成绩为A，B等级的分数为： 81，85，87，87，87，87，87，88，89，93，93，97． 八年级抽取的20名学生成绩为A等级与B等级的人数一样多，其中成绩为B等级的分数是： 81，83，83，85，87，88，88，88． 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 86 86 a 八年级 86 b 90 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______，______； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生科普知识掌握较好？并说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级学生有1000人，八年级学生有960人．估计该校七、八年级学生中科普知识竞赛成绩为“优秀”的总人数． 18. 如图，为的直径，点C在上，点P是的延长线上一点，点E是的中点，连接并延长交的延长线于点D，连接交于点F，已知． （1）在不添加辅助线的情况下，写出一个与相等的角为______； （2）求证：是的切线； （3）若，，求的长． 19. 作为历史文化名城的开封依托其丰富的旅游资源，独特的民俗文化，以及精彩纷呈的节庆活动，吸引了来自全国各地的大量游客．2025年开封清明文化节期间，仅万岁山大宋武侠城景区，三天接待的游客约52万人次．如图，A，B，C，D分别是万岁山大宋武侠城景区中的四个景点．B在A的正东方向，C在A的北偏东方向，且在B的北偏西方向，D在A的正北方向，且在C的北偏西方向，千米．求的长度（结果精确到0.1千米，参考数据：，，，） 20. 物理学中，分别表示动力和动力臂，，分别表示阻力和阻力臂，当杠杆处于平衡状态时，． 如图①，某兴趣小组取一根长匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来．在中点O的左侧且与O相距处挂一个重的物体，在中点O右侧挂一个弹簧测力计（质量忽略不计）并用手向下拉，使木杆处于水平平衡状态．当弹簧测力计与中点O的距离L（单位：）改变时，弹簧测力计的拉力F（单位：）也随之改变． （1）当时，______． （2）在弹性限度内，弹簧伸长的最大长度为，弹簧测力计的拉力是弹簧伸长的长度的正比例函数，如图②所示．求出L与x之间的函数解析式（写出x的取值范围），并在图③画出此函数图象． 21. 春节期间，某商场对某类商品推出两种优惠活动，并规定购物时只能选择其中一种优惠． 活动一：所购商品均按原价八折出售； 活动二：所购商品按原价每满200元减50元． （1）若购买原价为320元的该商品，选择活动一时需付______元，选择活动二时需付______元． （2）若设某商品原价为x元，当时，请分别写出选择这两种活动的实付金额y（元）与原价x（元）之间的函数表达式，并说明选择哪种活动更省钱． 22. 某校数学智慧社团研究“城市广告牌照明优化项目”中的数学问题． 项目背景 在城市繁华的商业街道，有一块大型广告牌，如图①，其顶部为抛物线拱形，拱高为4m，底部是长方形，长方形的长为，宽为． 任务一：建立数学模型 以长方形的边的中点O为原点，以所在的直线为x轴，竖直方向为y轴，建立如图②所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式． 任务二：确定射灯位置 为保证整个广告牌照明效果最优，经测算，需要在广告牌顶部边缘（抛物线拱形边缘）安装4个射灯，其间的水平距离相等，两端射灯距离广告牌左右两侧边缘线的水平距离均为，在图②的平面直角坐标系中，请用坐标表示这4个射灯的位置． 23. 综合实践课上，同学们以线段的旋转，结合正方形进行了数学探究活动． 问题情境： 在边长为4的正方形中，以点A为旋转中心，将边逆时针旋转得到，旋转角为，连接，过点D作的垂线交的延长线于点G． 问题探究： （1）如图①当时，______，______； （2）如图②连接，判断、的位置关系，并说明理由． 拓展延伸： （3）当以D、F、C、G为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年中招第一次模拟考试 数学试题 注意事项： 1．本试题卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．试题卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试题卷上的答案无效． 3．答题前，考生务必将本人姓名、准考证号填写在答题卡第一面指定的位置． 一、选择题（每小题3分，共30分，下列各题均有四个选项，其中只有一个是正确的．） 1. 下列选项记录了我省四个城市某年一月份平均气温，其中平均气温最低的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了有理数大小的比较以及正负数的概念，掌握比较有理数大小的方法是解决本题的关键．根据正数都大于0，负数都小于0，两个负数比较，绝对值大的反而小进行比较即可． 【详解】解：∵，， ， ∴平均气温最低的是安阳， 故选：C． 2. 人工智能大模型：是深度求索公司开发的智能助手，关于其使用的电子元件中，有一种是中国自主研发并生产制造的28纳米芯片．其中1纳米米，28纳米用科学记数法表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：28纳米米米． 故选：C． 3. 如图是开封博物馆陈列的宋龙泉窑高足瓷碗，该文物的三视图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. 主视图 B. 左视图 C. 俯视图 D. 不存在 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查简单组合体的三视图，中心对称、轴对称，根据从正面看得到的视图是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上边看得到的图形是俯视图，可得三视图，根据轴对称图形的定义、中心对称图形的定义，可得答案． 【详解】解：该文物的主视图和左视图都是轴对称图形，但不是中心对称图形； 它的俯视图既是轴对称图形，又是中心对称图形． 故选：C． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了幂的运算，合并同类项，平方差公式，熟练掌握幂的乘方与积的乘方，合并同类项，平方差公式是解题的关键；根据幂的运算，合并同类项，平方差公式逐项判断即可． 【详解】解：、，故本选项不符合题意； 、，故本选项符合题意； 、，故本选项不符合题意； 、，故本选项不符合题意； 故选：． 5. 数学文化的学习有利于激发学生学习数学的兴趣．某校为了解学生对数学文化知识掌握情况，以班级为单位组织七、八年级学生开展了数学文化知识竞赛活动，其中甲、乙、丙、丁四个班的成绩较为突出，部分数据如下表： 甲 乙 丙 丁 87 87 82 85 0.12 0.67 0.16 0.85 根据表中数据，成绩较好且较为稳定的班级是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平均数和方差的意义，以及在生活中的实际应用，属于基础题． 可根据平均数和方差的意义来判断成绩较好且较为稳定的班级． 【详解】解：由平均数可知，甲和乙成绩较好， 又因为甲班方差，乙班方差， 所以甲的方差小于乙的方差， 所以成绩较好且较为稳定的班级是甲． 故选：． 6. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书大约在四、五世纪，其中记录了很多有趣的数学问题，著名的“鸡兔同笼”问题就是其中之一．该问题记载为：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”其大意为：现在有若干只鸡和兔在同一个笼子里，从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚．问鸡和兔各有多少只？设鸡有x只，兔有y只，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，认真审题，列出等量关系是解决本题的关键，根据“鸡兔共有35个头、94只脚”列出方程即可得出答案． 【详解】解：设鸡有x只，兔有y只， 则可列方程组为， 故选：D． 7. 如图，下列四个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线是的平分线的为（ ） A. ①② B. ①③ C. ①④ D. ①②③ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，解决问题的关键是理解作法、掌握角平分线的定义．利用基本作图对四个图形的作法进行判断即可． 【详解】解：①作图是尺规作图作角的平分线，故①正确； ②作图不能得到射线是的平分线，故②错误； ③作图可以得到射线是的平分线，故③正确； ④作图可以得到是的中线，故④错误； 故选：． 8. 如图是完全展开的扇形纸扇，夹角为，的长为，的长为，则扇面（阴影部分）的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算及弧长的计算，先根据弧的长求出的长，再用大扇形的面积减去小扇形的面积即可解决问题． 【详解】解：由题知， ∵的长为，， ∴， 解得， ∴，， ∴扇面的面积为：． 故选：A． 9. 加强青少年体育训练，提升青少年体质健康，是教育部对中学生强身健体的明确要求．体育课上，一名男生掷实心球，实心球行进的路线可以看作是抛物线，其行进的高度y（单位：）与水平距离x（单位：）的函数解析式为如图所示，A，B，C三点在抛物线上，当实心球行进到最高点时，推断所对应的水平距离x可能为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，利用二次函数的对称性，通过中点坐标公式求出对称轴上对应点的横坐标范围，进而确定对称轴的范围，从而得到实心球行进到最高点时水平距离的可能值． 【详解】解：设抛物线的对称轴为，点C关于对称轴的对称点为D， 记D点的横坐标为， 观察图象可知C点横坐标为8， ∴由中点坐标公式得∶， 解得， 观察图象可知点二次函数关于对称轴的对称点D是介于A、B两点之间的， ∴， 即， 解得， ∴实心球行进到最高点时水平距离x可能为5， 故选C． 10. 在学习两点间的距离、直线外一点到这条直线的距离的过程中，同学们积累了一定的研究经验，如果定义：平面内，一点与一个图形上所有点的最短距离叫做这个点到该图形的距离．如图①，正方形的边长为2，中心为点O，在该正方形外有一点P，，且．当点P绕着点O顺时针旋转时，设旋转角的度数为x，点P到正方形的距离为y，如图②是点P在旋转过程中，y随x的变化而变化的函数图象，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，根据正方形的性质和函数的图象求出函数的最大值和最小值，即a和b的值，再代入求解． 【详解】解：连接，， ∵正方形的边长为2，中心为点O，，且， ∴四边形为平行四边形， ∴，此时y值最大，， 当旋转，即时，经过D，此时y最小，为， ∴，， ∴， 故选：C． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 的相反数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，据此可得答案． 【详解】解：的相反数是， 故答案为：． 12. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，先把一元二次方程整理成一般形式，再根据此方程有两个不相等的实数根得出，然后求解即可． 【详解】解：， 整理得， ∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， 故答案为：． 13. 编号为1、2、3、4的试管分别装有4种溶液，1号试管溶液呈红色；2号试管溶液呈蓝色；3号、4号试管溶液呈紫色．随机选择2个试管，溶液都为紫色的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． 先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图可知一共有12种等可能性的结果数，随机选择2个试管，溶液都为紫色的结果数有2种， ∴溶液都为紫色的概率是． 故答案为：． 14. 如图，两张宽度之比为的纸条叠放在一起，交叉形成的锐角为，重合部分构成的平行四边形的周长为，则该平行四边形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，解直角三角形．设，则，利用三角函数解和，用含x的式子表示出和，再根据两张纸条宽度为列方程，求出x的值，再利用平行四边形面积公式即可求解． 【详解】解：如图，作于点E，于点F， 由题意知，两张纸条交叉形成的锐角为， ， 的周长为， 设，则， 在中，， ， 同理，可得， 两张纸条宽度为， 或． 或， 解得，即，或，即， 或， ，或， 即该平行四边形的面积为． 故答案：． 15. 如图，在中，，点D为的中点，点E，F分别是边上的动点，且，点G是的中点，连接，点E，F在运动的过程中，的最小值为______，当最大时，线段的长是______． 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】本题考查了与圆有关的计算问题，涉及到切线的性质，解直角三角形，根据题意，先得到G点的运动轨迹为圆弧，从而得到D到G的最短距离，可以转化为D到圆心C的距离减去半径即可；再从A出发直线与圆弧相切时，所得到的最大，利用三角函数求出长，得到结果． 【详解】解：如图1， ， ∴， ∵点D为的中点， ∴， ∵， ∴同理，在中，， ∵点E，F分别是边，上的动点，点G是的中点， ∴G点的运动轨迹是以C为圆心，为半径的， ∴当G点位于上时，最小， ∴的最小值为； 故答案为：1； ∵如图2，当与圆C相切时，最大， 过A点作圆C的切线，切点为G， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∵G是中点，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查分式的加减法，实数的运算，负整数指数幂，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）利用立方根的定义，负整数指数幂，绝对值的性质计算后再算加减即可； （2）将原式通分后再把分子相减，然后约分即可． 【详解】解：（1） （2） ． 17. 《2024全国科普日百科知识数据报告》显示，2024年青少年在科普方面呈现出多领域的兴趣特点，自然科学与天文地理、心理健康与人格探索、前沿科技与创新、动物科普与宠物养护、数学与基础科学等都是一些受关注的话题．某校为了普及科普知识，发展科学兴趣，在该校七、八年级学生中各随机抽取20名学生参加了科普知识竞赛，并对成绩进行整理、描述和分析，把分数x（满分为100分，成绩均不低于60分）分成四个等级（D.，C.，B.，A.），下面给出了部分信息： 七年级抽取的20名学生成绩为A，B等级的分数为： 81，85，87，87，87，87，87，88，89，93，93，97． 八年级抽取的20名学生成绩为A等级与B等级的人数一样多，其中成绩为B等级的分数是： 81，83，83，85，87，88，88，88． 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 86 86 a 八年级 86 b 90 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______，______； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生科普知识掌握较好？并说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级学生有1000人，八年级学生有960人．估计该校七、八年级学生中科普知识竞赛成绩为“优秀”的总人数． 【答案】（1） （2）我认八年级学生科普知识掌握较好，理由见解析 （3）534人 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图，众数和中位数的定义，用样本估计总体； （1）根据扇形统计图，众数和中位数的定义求解即可； （2）可以从中位数的角度进行分析； （3）根据样本估计总体的方法进行计算即可． 【小问1详解】 解：， ∴， ∵七年级竞赛成绩中C等级的人数为（人）， D等级的人数为（人），而得87分的有5人， ∴七年级抽取的学生竞赛成绩的众数， ∵八年级抽取的学生竞赛成绩中第10，11名的成绩分别为88，88， ∴八年级抽取的学生竞赛成绩的中位数为， 故答案为：； 【小问2详解】 我认为八年级学生科普知识掌握较好． 理由：八年级学生竞赛成绩的中位数为88分，高于七年级学生竞赛成绩的中位数，说明八年级竞赛成绩有一半学生高于88分，因此，八年级学生科普知识掌握较好． 【小问3详解】 （人）， 即七、八年级学生中科普知识竞赛成绩为“优秀”的总人数为534人． 18. 如图，为的直径，点C在上，点P是的延长线上一点，点E是的中点，连接并延长交的延长线于点D，连接交于点F，已知． （1）在不添加辅助线的情况下，写出一个与相等的角为______； （2）求证：是切线； （3）若，，求的长． 【答案】（1）（答案不唯一） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质得到结论； （2）根据垂径定理得到，得到，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据切线的判定定理得到结论； （3）设，的半径为，则，根据勾股定理得到，进而求出，证明，根据相似三角形性质即可得到结论． 【小问1详解】 解：相等的角为， 理由：∵， ∴； 故答案为：（答案不唯一）； 【小问2详解】 连接， 为直径，为弧的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即 点在上，为半径， 是的切线． 【小问3详解】 设，的半径为，则， ， ， 在中，由勾股定理得， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 19. 作为历史文化名城的开封依托其丰富的旅游资源，独特的民俗文化，以及精彩纷呈的节庆活动，吸引了来自全国各地的大量游客．2025年开封清明文化节期间，仅万岁山大宋武侠城景区，三天接待的游客约52万人次．如图，A，B，C，D分别是万岁山大宋武侠城景区中的四个景点．B在A的正东方向，C在A的北偏东方向，且在B的北偏西方向，D在A的正北方向，且在C的北偏西方向，千米．求的长度（结果精确到0.1千米，参考数据：，，，） 【答案】3.4千米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，过点作于点，过点作于点，由已知可得，，先求出千米，解直角三角形得出千米，千米，由平行线的性质可得，再在中，解直角三角形得出千米，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． 【详解】解：如图：过点作于点，过点作于点， 由已知可得，， ∴， ， ， ， ， ， ， ， 千米， 千米， （千米）， （千米）， （千米），（千米）， ， ∴， 在中，， ， ∴米， （千米）． 的长约为3.4千米． 20. 物理学中，分别表示动力和动力臂，，分别表示阻力和阻力臂，当杠杆处于平衡状态时，． 如图①，某兴趣小组取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来．在中点O的左侧且与O相距处挂一个重的物体，在中点O右侧挂一个弹簧测力计（质量忽略不计）并用手向下拉，使木杆处于水平平衡状态．当弹簧测力计与中点O的距离L（单位：）改变时，弹簧测力计的拉力F（单位：）也随之改变． （1）当时，______． （2）在弹性限度内，弹簧伸长的最大长度为，弹簧测力计的拉力是弹簧伸长的长度的正比例函数，如图②所示．求出L与x之间的函数解析式（写出x的取值范围），并在图③画出此函数图象． 【答案】（1） （2）；图象见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用： （1）根据解答即可； （2）求出与的关系式，可得L关于x的函数关系式，即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意得：， ∴； 故答案为： 【小问2详解】 解：设与的关系式为， 由图②得图象经过， ， ∴与的关系式为， ， ， ∴， 根据题意得：，， ∴自变量x的取值范围为， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 画出图象如图所示： 21. 春节期间，某商场对某类商品推出两种优惠活动，并规定购物时只能选择其中一种优惠． 活动一：所购商品均按原价八折出售； 活动二：所购商品按原价每满200元减50元． （1）若购买原价为320元的该商品，选择活动一时需付______元，选择活动二时需付______元． （2）若设某商品原价为x元，当时，请分别写出选择这两种活动的实付金额y（元）与原价x（元）之间的函数表达式，并说明选择哪种活动更省钱． 【答案】（1）256，270 （2）活动一：；活动二： 当时，选择活动一更省钱；当时，活动一和活动二实付金额相同，任选其一即可；当时，选择活动二更省钱． 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，理解题意是解答的关键． （1）根据活动一的八折规则和活动二每满200减50的规则，分别计算购买原价320元商品的实付金额． （2）先分别写出两种活动实付金额与原价x的函数表达式，再通过比较两个函数的大小，分情况讨论哪种活动更省钱． 【小问1详解】 若购买原价为320元的该商品，选择活动一时需付（元）， ， 则选择活动二时需付（元）， 故答案为：256，270； 【小问2详解】 当时，活动一的实付金额与原价之间的函数表达式为， 活动二的实付金额与原价之间的函数表达式为， 当时，得，解得500， 当时，得，解得500， 当时，得，解得500， ∴当时，选择活动一更省钱； 当时，活动一和活动二实付金额相同，任选其一即可； 当时，选择活动二更省钱． 22. 某校数学智慧社团研究“城市广告牌照明优化项目”中的数学问题． 项目背景 在城市繁华的商业街道，有一块大型广告牌，如图①，其顶部为抛物线拱形，拱高为4m，底部是长方形，长方形的长为，宽为． 任务一：建立数学模型 以长方形的边的中点O为原点，以所在的直线为x轴，竖直方向为y轴，建立如图②所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式． 任务二：确定射灯位置 为保证整个广告牌照明效果最优，经测算，需要在广告牌顶部边缘（抛物线拱形边缘）安装4个射灯，其间的水平距离相等，两端射灯距离广告牌左右两侧边缘线的水平距离均为，在图②的平面直角坐标系中，请用坐标表示这4个射灯的位置． 【答案】任务一：；任务二： 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，将实际的广告牌照明问题转化为数学模型，运用了二次函数的顶点式，通过已知顶点设出表达式，求出二次函数的顶点式是解决本题的关键． 任务一：利用待定系数法解答即可求解； 任务二：分别求出当和时的函数值，即可求解． 【详解】解：任务一：设抛物线解析式为 ∵抛物线经过和， ，解得：， ∴抛物线的解析式为； 任务二：， 当和时，， 当和时，， 即四个射灯的位置坐标分别为． 23. 综合实践课上，同学们以线段的旋转，结合正方形进行了数学探究活动． 问题情境： 在边长为4的正方形中，以点A为旋转中心，将边逆时针旋转得到，旋转角为，连接，过点D作的垂线交的延长线于点G． 问题探究： （1）如图①当时，______，______； （2）如图②连接，判断、的位置关系，并说明理由． 拓展延伸： （3）当以D、F、C、G为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出的长． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）或． 【解析】 【分析】（1）如图1，当时，，先证明，再证明是等边三角形，由平角的定义可得的度数，最后由等腰直角三角形的判定和性质即可解答； （2）如图2，连接，同理得，则是等腰直角三角形，证明，即可解答； （3）存在两种情况：①如图3，四边形是平行四边形，②如图4，四边形是平行四边形，此时G与A重合，即可解答． 【详解】解：（1）如图1，当时，， 由旋转得：， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， 故答案为：，； （2），理由如下： 如图2，连接， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）分两种情况： ①如图3，四边形是平行四边形， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图4，四边形是平行四边形，此时G与A重合， ∴， 综上，的长是或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质和判定，勾股定理等知识，掌握旋转的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $