专题11 一次函数中特殊三角形存在性的四类综合题型（压轴题专项训练）数学北师大版2024八年级上册

专题11 一次函数中特殊三角形存在性的四类综合题型 目录 典例详解 类型一、等腰三角形存在性问题 类型二、直角三角形存在性问题 类型三、等腰直角三角形存在性问题 类型四、特殊角存在性问题 压轴专练 类型一、等腰三角形存在性问题 例1-1．（位置不确定）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交A、B两点，与直线相交于点． (1)求m和b的值； (2)若直线与x轴相交于点D，动点P从点D开始，以每秒2个单位的速度向x轴负方向运动，设点P的运动时间为t秒． ①点A的坐标为 ，点D的坐标为 ； ②若点P在线段上，且的面积为10时，求t的值； ③直接写出t为何值时，为等腰三角形． 【答案】(1)， (2)①，；②；③为等腰三角形时，t的值为4或或或6 【分析】本题考查一次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． （1）将点代入，求出m的值，再代入中求出b即可； （2）把代入直线解析式，即可求得； 利用面积公式列出方程进行求解即可； 分三种情况： ，和分别求t的值即可． 【详解】（1）解：在中， 当时，， 当时，， ，， 点在直线上， ， ， 又点也在直线上， ， 解得，， ，； （2）解：直线与轴相交于点， 由（1）得， ， 解得， 点的坐标为， 由（1）得点的坐标为； 故答案为：，； 过点作于点，即为的高，如图所示， ，， ， 的面积为， ，， ，， ， 设，则， ， 解得； 为等腰三角形有三种情况： 过作于，如图1所示， 则，， ， ， 第一种情况：当时，， ， 此时，解得； 第二种情况：当时，和分别在点两侧，如图2所示， 则， ， ， 或，解得或； 第三种情况：当时，如图3所示， 设，则， ， ， 解得，， 与重合，， ， ，解得； 答：为等腰三角形时，的值为或或或． 例1-2．（腰确定）如图，直线：交y轴于点，直线：交x轴于点，两直线交于点P，解答下列问题： (1)求m，n的值和点P的坐标； (2)若E是x轴上的动点，当以A，P，E为顶点的三角形是直角三角形时，求点E的坐标； (3)若F是y轴上的动点，当以A，P，F为顶点的三角形是以AP为腰的等腰三角形时，请直接写出满足条件的点F的坐标． 【答案】(1)，， (2)点E的坐标为或 (3)点F的坐标为或或或 【分析】(1)把点代入，即可求得，把点代入，即可求得，联立两函数解析式得，，解此方程组，即可求得点P的坐标； (2)分两种情况，即当或时，根据点P的坐标及勾股定理，即可分别求得； (3)分两种情况，即当或时，根据勾股定理及两点间距离公式，即可分别求得． 【详解】（1）解：∵直线交y轴于点， ，则， ∴， ∵直线交x轴于点， ，则， ， 解方程组， 得， ∴； （2）解：如图，当时， ， ， 当时，， 设点， 如图，直线为与x轴交于点A， ， 则， 由（1）知，， ， 解得， ， 综上，以A，P，E为顶点的三角形是直角三角形时，点E的坐标为或； （3）解：如图： 设，， ，∴ ，由题意知，当时，即，即 ，∴或， 当时，即，过点P作轴于H点，则 在中，，∴或，∴或 所以综上：当以A、P、F为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形时，点F的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了坐标与图形，求一次函数的解析式，勾股定理及两点间距离公式，采用分类讨论的思想是解决本题的关键． 变式1-1．如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，并与直线相交于点． (1)______，______； (2)点D是线段上一动点，过点D作y轴的平行线，交直线于点E，交直线于点F． ①若，求点D的坐标； ②若点D坐标是，M是直线上一点，当是等腰三角形，请直接写出点M的坐标． 【答案】(1)， (2)①或；②或或或 【分析】本题考查了一次函数的应用、等腰三角形的定义、利用平方根解方程等知识，熟练掌握一次函数的性质是解题关键． （1）先利用待定系数法求出点的坐标，再利用待定系数法求解即可得； （2）①设点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为，再根据建立方程，解方程即可得； ②先设点的坐标为，再分三种情况：，和，分别建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：将点代入得：， ∴， 将点，代入得：， 解得， 故答案为：，． （2）解：①由题意，画出图形如下： 由（1）已得：直线的解析式为， 设点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∵， ∴， 解得或，均符合题意， ∴点的坐标为或． ②∵点坐标是，是直线上一点，轴， ∴可设点的坐标为， ∵， ∴， ， ， 当时，是等腰三角形， 则，即，解得， 此时点的坐标为； 当时，是等腰三角形， 则，即，解得或， 此时点的坐标为或； 当时，是等腰三角形， 则，即，解得， 此时点的坐标为； 综上，点的坐标为或或或． 变式1-2．如图，直线与直线交于点E．    (1)求E点坐标； (2)若P为直线上一点，当面积为6时，求P的坐标； (3)若点M是x轴上一点，当为等腰三角形时，直接写出点M的坐标． 【答案】(1) (2)P的坐标为或 (3)点M的坐标为或或或． 【分析】本题考查两条一次函数图象交点以及围成图形面积问题，等腰三角形的性质． （1）直接联立两直线的解析式，解方程组即可； （2）根据P的不同位置情况进行分类讨论即可； （3）分或或三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：联立，解得：， ∴； （2）解：由两直线解析式可得，， ， ①当P点在x轴下方时，， 即：， 则， 解得：或（舍去）， 将代入，解得：， ∴； ②当P点在x轴上方时，， 即：， 则， 解得：或（舍去）， 将代入，解得：， ∴； 综上，P的坐标为或．      （3）解：当时，，∴， ∵， ∴， ∵为等腰三角形， ∴或或． 当时，可知点M的坐标为或； 当时，由等腰三角形三线合一可知，即点M的坐标为； 当时，设， 则， 解得：，即点M的坐标为； 综上所述，点M的坐标为或或或． 变式1-3．如图甲所示，已知直线与x轴和y轴分别相交于点A，B，直线与y轴相交于点C，两直线交于点P． (1)求的面积； (2)如图乙所示，过点P作x轴的平行线交y轴于点D，若点B，C关于直线对称，求点C的坐标； (3)当是以BC为腰的等腰三角形，求直线的函数解析式． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】本题考查了一次函数的综合，明确一次函数的相关性质并数形结合是解题的关键． （1）分别求出A和B的坐标，根据三角形的面积公式可得答案． （2）将直线和联立，可得P点坐标，进而求出C点坐标． （3）根据勾股定理，用含k的式子表示出的长，分情况讨论进行计算即可． 【详解】（1）解：在直线中， 当时，， 解得； 当时，， ∴， ∴， ∴的面积为：， （2）解：直线中， 当时，， ∴， 把直线代入直线中，得： ， 解得， ∴， ∴， ∴直线为， ∵点B、C关于直线对称， ∴， ∴， ∴， ∴点C的坐标为； （3）解：由（2）知：，， ∴， ， 当是以为腰的等腰三角形时，若，， 解得：或，∴或； 若，，解得：， ∴， 综上所述，直线的解析式为：或或. 类型二、直角三角形存在性问题 例2-1．（位置不确定）如图1，在同一平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点，与x轴交于点，直线与x轴交于点C． (1)填空：　 　，　 　，　 　； (2)如图2，点D为线段上一动点，将沿直线翻折得到，线段交x轴于点F． ①求线段的长度； ②当点E落在y轴上时，求点E的坐标； ③若为直角三角形，请直接写出满足条件的点D的坐标． 【答案】(1)8，， (2)①；②点E的坐标为；③点D的坐标为或 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）①过点A作轴于点H，作轴于点G，根据勾股定理得到，于是得到结论； ②利用勾股定理求出，可得，即可得答案； ③分两种情况讨论，当时，求出，得，得，得点D坐标；当时，设，则，由勾股定理得：，求出，得点D坐标． 【详解】（1）解：把代入， ∵， ∴， ∴直线：， 把代入， ∴， ∴， 把代入， ∵， ∴． 故答案为：8，，； （2）解：①∵直线：， ∴点C的坐标为， 如下图，过点A作轴于点H，作轴于点G，则，， ∵翻折得到 ∴， ∴ ②当E点落在y轴上时， 在中， ∵ ∴， ∴， ∴点E的坐标为； ③如下图， 当时，由翻折得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点D的坐标为； 如下图， 当时，， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴， ∴点D的坐标为， 综上，点D的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数的综合题，勾股定理，角平分线的性质，直角三角形的性质和判定，翻折的性质，解题的关键是作辅助线． 例2-2．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x＋4交y轴于点A，直线l2：y＝﹣x与l1交于点B． （1）求点B的坐标； （2）在y轴左侧，有一条平行于y轴的动直线，分别与l1，l2交于点M、N，且点M在点N的上方． ①当MN＝2时，求△BMN的面积； ②点Q为y轴上一动点若△MNQ是以NQ为直角边的直角三角形，且两直角边长之比为3∶4，求出满足条件所有点Q的坐标． 【答案】（1）（﹣2，2）；（2）①1；②（0，）或（0，） 【分析】（1）联立方程组求解； （2）①设平行于y轴的动直线为x＝m，然后用含m的式子表示出M和N点坐标，然后根据两点间距离公式列方程求得m的值，最后根据三角形面积公式求解； ②设Q点坐标为（0，a），然后根据△MNQ是以NQ为直角边的直角三角形，且两直角边长之比为3∶4，分情况列方程求解． 【详解】解：（1）∵直线l2：y＝﹣x与l1交于点B， ∴联立方程组可得， 解得：， ∴B点坐标为（﹣2，2）； （2）①如图，设平行于y轴的动直线为：直线x＝m， 过点B作BC⊥y轴，交直线x＝m于点D， ∴M点坐标为（m，m＋4），N点坐标为（m，﹣m）， ∴MN＝m＋4﹣（﹣m）＝2， 解得：m＝﹣1， 又∵B点坐标为（﹣2，2）， ∴BD＝﹣1﹣（﹣2）＝1， ∴S△BMN＝MN•BD＝＝1； ②如图， i）在Rt△MNQ中，当MN∶QN＝3∶4时， 设MN＝3a，QN＝4a， ∴N点坐标为（﹣4a，4a），M点坐标为（﹣4a，﹣4a＋4），Q点坐标为（0，4a）， ∴MN＝﹣4a＋4﹣4a＝3a， 解得：a＝， ∴Q点坐标为（0，）， ii）在Rt△MNQ中，当QN∶MN＝3∶4时， 设MN＝4a，QN＝3a， ∴N点坐标为（﹣3a，3a），M点坐标为（﹣3a，﹣3a＋4），Q点坐标为（0，3a）， ∴MN＝﹣3a＋4﹣3a＝4a， 解得：a＝， ∴Q点坐标为（0，）， 综上，Q点坐标为（0，）或（0，）． 【点睛】本题考查一次函数的交点问题，理解一次函数图象上点的坐标特征，利用数形结合和分类讨论思想解题是关键． 变式2-1．如图，已知直线经过点，交x轴于点，直线交直线于点B． (1)求直线的函数表达式和点B的坐标； (2)求的面积； (3)在x轴上是否存在点C，使得是直角三角形？若存在，求出点C的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数求出直线的函数表达式，再联立直线，的函数表达式，可得点B的坐标； （2）根据，即可求解； （3）根据题意可得当是直角三角形时，需分和两种情况，即可求解． 【详解】（1）解：设直线的函数表达式为． ∵图象经过点，， ∴，解得， ∴直线的函数表达式为． 联立，解得， ∴点B的坐标为； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵点C在x轴上， ∴， ∴当是直角三角形时，需分和两种情况． ①当时，点C在图中的位置： ∵点A和点均在x轴上， ∴轴． ∵， ∴； ②当时，点C在图中的位置： 设 ∵， ∴， ∴． 在中，， 在中，， ∴， 即， 解得， ∴． 综上可知，在x轴上存在点C，使得是直角三角形，点C的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，勾股定理，利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键． 变式2-2．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A、C坐标分别为(2，0)，(1，2)． （1）直接写出点B的坐标，并求出直线AC的解析式； （2）若D是直线AC上的一个动点（D与A、C不重合），当DBC的面积是3时，请求出点D的坐标； （3）在y轴上是否存在一点P，使得PAC是不以点P为直角顶点的直角三角形．若存在，请求出P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）B(3，2)，y＝﹣2x+4；（2）D(﹣，5)或(，﹣1)；（3）存在，P(0，)或(0，﹣1) 【分析】（1）利用平行四边形的性质确定点坐标，利用待定系数法求函数解析式； （2）根据三角形面积公式求得的高，然后利用一次函数图象上点的坐标特征求点坐标； （3）设点坐标为，然后结合勾股定理列方程求解． 【详解】解：（1）在平行四边形中，，， 又顶点、坐标分别为，，， 点坐标为， 设直线的解析式为， 将，，代入， 得：， 解得：， 直线的解析式为：； （2），且的面积是3， 设的边上的高为， 则， 解得：， 点纵坐标为或， 又是直线上的一个动点， 在中， 当时，，解得：， 当时，，解得：， 点坐标为，或，； （3）设点坐标为， 由题意可得：，，， ①当点为直角顶点时，， ， 解得：， 此时，点坐标为； ②当点为直角顶点时，， ， 解得：， 此时，点坐标为； 综上，点坐标为或． 【点睛】本题考查一次函数的应用，待定系数法求函数解析式，勾股定理解直角三角形，理解相关性质定理，利用分类讨论思想解题是关键． 变式2-3．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与轴，轴分别交于点A，B，与函数的图象交于点．    (1)求m和的值； (2)函数的图象与x轴交于点D，点E从点D出发沿方向，以每秒2个单位长度匀速运动到点A（到A停止运动）．设点E的运动时间为t秒． ①当的面积为6时，求t的值； ②在点E运动过程中，是否存在t的值，使为直角三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①11；②存在，或 【分析】（1）把点代入函数求出m的值即可得到点坐标，把点C的坐标代入即可求出b的值； （2）①求出A的坐标为，点D的坐标为，得到，由题意得：，则，过点C作轴，垂足为点F，根据题意列出关于t的方程，解方程即可得到答案； ②先写出使得为直角三角形时的值，然后利用分类讨论的方法分别求得当和对应的的值即可； 本题考查了一次函数的性质、三角形的面积、动点问题，平面直角坐标系两点间距离坐标公式，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质和分类讨论的数学思相解答． 【详解】（1）解：把点代入函数， 得： 所以点坐标为 把点代入函数，得：， 所以； （2）①当时，，所以 所以函数的图象与轴的交点A的坐标为， 由（1）得：   ∴函数的表达式为 当时，， ∴， ∴函数的图象与轴的交点D的坐标为， ∴ 由题意得：，则， 过点C作轴，垂足为点F，    ∵， ∴ 当的面积为6时，即，      ∴， 解之得：， 所以当t的值为11时，的面积为6 存在，或． 理由：当时，， 所以函数的图象与y轴的交点B的坐标为， ∵，，∴，∴， 当时，则，∴， ∵，，∴， ∴ ∴，解得； 当，则，∴， ∵，∴，∴， ∴，解得； 综上，当或时，为直角三角形． 类型三、等腰直角三角形存在性问题 例3-1．（位置不确定）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，点在轴的正半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处． (1)如图1，求点、两点的坐标； (2)如图2，求直线的表达式； (3)点是轴上一动点，若，求点的坐标； (4)连接，在第一象限内是否存在点，使为等腰直角三角形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)或 (4)存在，或. 【分析】（1）先求出，，即可得到点A，B的坐标； （2）根据勾股定理求出，根据折叠得出，，则可求出，即可求出点B的坐标，在中，根据勾股定理得出，解方程求出点的坐标，然后根据待定系数法求解即可； （3）计算，可得，点是轴上一动点，设，可得，再进一步求解即可； （3）分两种情况讨论：①，；②，；然后根据全等三角形的判定与性质求解即可． 【详解】（1）解：当时，； 当时，，解得， ∴，， （2）解：∵，，， ∴， ∵折叠， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， 设直线解析式为， ∴ ∴， ∴； （3）解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵点是轴上一动点，设， ∴， ∴或； ∴或； （4）解：如图，过作，使，则为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 取的中点，连接， ∴，为等腰直角三角形， ∴，即， 综上：的坐标为：或. 【点睛】本题考查了坐标与图形，一次函数的综合应用，勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的定义等知识，明确题意，添加合适辅助线，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 例3-2．（位置确定）如图1，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线与和x轴相交于点A，与y轴相交于点． (1)求直线的解析式； (2)如图2，若直线与y轴交于点C，判断的形状，并说明理由； (3)如图3，D是的中点，坐标为，将直线向上平移，使其经过点B，记为直线．若点M为y轴正半轴上一点，点N为直线上一点，使是以为直角边的等腰直角三角形，请直接写出点N的坐标． 【答案】(1)的解析式为 (2)为等腰三角形，理由见解析 (3)或 【分析】本题考查了一次函数与几何综合问题，涉及了待定系数法、一次函数的平移、一次函数与等腰直角三角形、等腰三角形的判定等知识点，掌握函数的相关性质是解题关键． （1）令可得；设直线的解析式为：，将代入即可求解； （2）求出，分别计算即可判断； （3）由题意得直线的解析式为：、；可推出点与点重合，设，根据即可求解； 【详解】（1）解：令，解得：； ∴ ∵直线与y轴相交于点 设直线的解析式为：； 将代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为： （2）解：为等腰三角形，理由如下： 令，可得：； ∴ 则，， ∴ 故为等腰三角形 （3）解：如图所示： ∵，D是的中点， ∴ ∵向上平移得到直线． ∴ ∴点与点重合 通过平移可知：直线的解析式为：； 设， ∵ ∴， 解得：或； ∴或 故点N的坐标为或 变式3-1．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，且与直线交于点，点的横坐标为2． (1)求直线的解析式； (2)在轴上取点，过点作轴的垂线交直线于点，交直线于点．若，求点的坐标； (3)在第二象限内，是否存在点，使得为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)M的坐标为或 (3)的坐标为或或， 【分析】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，等腰直角三角形的判定与性质等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度． （1）求出，再用待定系数法可得直线的解析式为； （2）设，则，，由，得，解得或，从而的坐标为，或，； （3）求出，①当为直角顶点时，过作轴于，证明，可得，，故的坐标为；②当为直角顶点时，过作轴于，同理可得的坐标为；③当为直角顶点时，过作轴于，过作于，同理可得，，，设，有，可解得的坐标为，． 【详解】（1）在中，令得， ； 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得， 直线的解析式为； （2）如图： 设，则，， ， ， 或， 解得或， 的坐标为，或，； （3）在中，令得， ， ①当为直角顶点时，过作轴于，如图： 为等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， ， 的坐标为； ②当为直角顶点时，过作轴于，如图： 同理可得， ，， ， 的坐标为； ③当为直角顶点时，过作轴于，过作于，如图： 同理可得， ，， 设， ， 解得， 的坐标为，； 综上所述，的坐标为或或 变式3-2．【模型构建】 如图，将含有的三角板的直角顶点放在直线上，过两个锐角顶点分别向直线作垂线这样就得到了两个全等的直角三角形，由于三个直角的顶点都在同一条直线上，因此我们将其称为“一线三直角”，这模型在数学解题中被广泛使用． 【模型应用】 （1）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点， ①则点坐标为______；点坐标为______； ②，是正比例函数图象上的两个动点，连接，，若，，则的最小值是______； （2）如图2，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点．将直线绕点逆时针旋转得到直线，求直线对应的函数表达式； 【模型拓展】 （3）如图3，直线的图象与轴，轴分别交于、两点，直线与轴交于点．点、分别是直线和直线上的动点，点的坐标为，当是以为斜边的等腰直角三角形时，直接写出点的坐标． 【答案】（1）①；；②；（2）；（3）或 【分析】（1）①分别令和求解即可； ②过A作于，证明得到，利用勾股定理求得，根据垂线段最短得的最小值是的长，进而可求解； （2）在图2中，过B作交直线l于C，过C作轴于D，证明是等腰直角三角形，则，证明得到，，进而求得，然后利用待定系数法求解即可； （3）过点过点P作轴于S，过点Q作于T，证明．分两种情况，由全等三角形的性质得，，可得点Q的坐标，将点Q的坐标代入求得n的值，即可求解． 【详解】解：（1）①当时，得：； 当时，得：， 解得， ∴点A坐标为，点B坐标为， 故答案为：；； ②在图1中，过A作于， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点A坐标为，点B坐标为， ∴， ∴， ∴， 在中，； ∵D是正比例函数图象上的动点， ∴根据垂线段最短，得的最小值是的长， 故的最小值是， 故答案为：； （2）在图2中，过B作交直线l于C，过C作轴于D， 则， ∴， ∴， ∵直线绕点A逆时针旋转得到直线l， ∴， ∴是等腰直角三角形，则， ∴， ∴，， 当时，， 当时，由得， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 设直线l对应的函数表达式为， 将、代入， 得， 解得， ∴直线l对应的函数表达式为； （3）直线的图象与x轴，y轴分别交于、， 分以下两种情况： 当时，如图3，过点P作轴于S，过点Q作，交延长线于T， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴点Q的坐标为， 将点Q的坐标代入得，， 解得， ∴，， ∴点Q的坐标为； 当时，过点P作轴于S，过点Q作，交延长线于T， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴点Q的坐标为， 将点Q的坐标代入得，， 解得：， ∴点Q的坐标为． 综上，点Q的坐标为或． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查一次函数的应用，涉及待定系数法求函数解析式、垂线段最短、全等三角形的判定与性质、坐标与图形、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，理解题中新定义方法，添加合适辅助线构造“一线三直角”是解答的关键． 变式3-3．【模型呈现】 （1）如图1，在中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，求证：． 【模型应用】 （2）如图2，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，过点作线段且，直线交轴于点．求点的坐标． 【模型迁移】 （3）如图3，在（2）的条件下，点的坐标为，是轴上一个动点，是直线上一个动点，若是以点为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）见解析，（2）的坐标为，（3）点的坐标为或 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，一次函数与几何综合，等腰三角形的性质，待定系数法； （1）由可判定，即可得证； （2）过点作轴于点，同理可证，由全等三角形的性质得，，可求出，由待定系数法可求直线的函数解析式为，令，即可求解； （3）过点作轴于点，过点作于点，设，，①当在点左侧时，同理可证，由全等三角形的性质得，，即可求解；②当在点右侧时，同理可求； 掌握全等三角形的判定及性质，能熟练利用待定系数法求解，同时能根据点的不同位置进行分类讨论是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵，， ∴， ， ∴， 在和中， ， ∴（）． （2）解：过点作轴于点，如图1      在中， 令得， 令得， ∴，， ∴，， 由（1）同理可证：， ∴， ， ∴ ， ∴， 设直线的函数解析式为，则有 ， 解得， 直线的函数解析式为， 令， 解得， 点的坐标为． （3）解：过点作轴于点，过点作于点，设点，， ①当在点左侧时，如图2 是以点为直角顶点的等腰直角三角形， ， ， 由（1）同理可证：， ， ． ∴， 解得， ； ②当在点右侧时，如图3 同理可得点． 综上所述，点的坐标为或． 类型四、特殊角存在性问题 例4．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数与轴交于点，与轴交于点A． (1)求A、两点的坐标； (2)若在直线上有一点，使得的面积为9，求点的坐标； (3)如图2，点为线段中点，过点作轴，垂足为，若点为轴负半轴上一点，连接交轴于点，且，在直线上有一点，使得最小，求点坐标； (4)如图3，直线上存在点使得，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)、 (2)或 (3) (4)或 【分析】本题主要考查了一次函数的性质、求一次函数解析式、中点坐标公式、全等三角形的判定和性质等知识点，灵活运用相关知识并掌握分类讨论思想成为解题的关键． （1）对于，令，解得：，令，则，即可求解； （2）设点M的纵坐标为，根据列出方程求解可得或，然后代入求出点M的坐标即可； （3）如图：作点A关于直线的对称点，连接交于点P，则点P为所求点，然后求得其坐标即可解答； （4）当点Q在上方时，证明得到M的坐标为，进而求解即可；当点在下方时，同理可解． 【详解】（1）解：对于，令，解得：；令，则． ∴点A、的坐标分别为、． （2）解：设点M的纵坐标为，根据题意得： ，即∶，解得：或， 把代入得：，解得：； ∴此时点M的坐标为； 把代入得：，解得：， ∴此时点M的坐标为． 综上，点M的坐标为或． （3）解：∵点为线段中点， ∴点， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图：作点A关于直线的对称点，连接交于点P，连接， 根据轴对称可知：， ∴， ∴最小时，最小， ∵两点之间线段最短， ∴此时点P为所求点， 设直线的表达式为：，则∶ ，解得， ∴直线的表达式为：， 当时，， ∴点P的坐标为． （4）解：存在，理由如下： 如图2，当点Q在上方时，过点A作交于点M，过点M作轴于点H，则， ， ∴为等腰直角三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ∴点M的坐标为， 设直线的解析式为， 把点的坐标代入得： ，解得：， ∴直线的表达式为：， 当时，． ∴点Q的坐标为； 当点在下方时，过点A作交于点N，则， ∴， ∴N、A、M三点共线， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴A为的中点， 由中点坐标公式得，点，即， 由点B、N的坐标同理运用待定系数法可得直线的表达式为：， 当时，． ∴点的坐标为． 综上，点Q的坐标为或． 变式4-1．在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，直线交轴于点，交轴于点． (1)如图1，连接，求的面积． (2)如图2，在直线上存在点，使得，求点的坐标． 【答案】(1)11 (2) 【分析】本题考查的是一次函数综合运用，涉及一次函数与坐标轴的交点问题，全等三角形的判定与性质等知识点． （1）对于直线，令x=0，则，故点，同理可得点、，的面积，即可求解； （2）证明，则，即可求解． 【详解】（1）解：对于直线，令，则， 故点； 对于，令，则，令，即， 解得：， 故点、， 则，， 所以，的面积； （2）解：由题意，，观察图象可知，点E只能在直线的右侧，过点E作的垂线交于点R，过点E作y轴的平行线交过点R与x轴的平行线于点G，交过点B与x轴的平行线于点H，如图2， 设点，点， ∵，故， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即，， 解得，， 故点． 变式4-2．如图，直线与x轴、y轴分别交于点、，且与直线相交于点，已知直线经过点，且与轴交于点． (1)求点、的坐标以及直线的解析式； (2)若为直线上一动点，，求点的坐标； (3)点在直线上，当时，求所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1)点、，直线的解析式为 (2)点的坐标为或 (3)或 【分析】本题考查了一次函数综合应用，待定系数法，三角形面积，等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是掌握知识点的应用及分类讨论思想的应用． （1）由直线：得，当时，，当时，，则有点、，设直线的解析式为，然后把，代入即可求解； （2）由直线的解析式为得，当时，，当时，，则点，，则，求出，设，，求出的值即可； （3）根据，分两种情况讨论，当在的左侧时，以为直角边作等腰直角三角形，过点分别作轴的平行线，过点作轴的平行线，交于点，证明得出，求得直线的解析式为，联立求得点，当在轴的右侧时，同理可得． 【详解】（1）解：由直线：得，当时，，当时，， ∴点、， 设直线的解析式为， 把，代入得， ，解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：由直线的解析式为得，当时，，当时，， ∴点，， ∴， ∴， ∴， ∵为直线上一动点，∴设， ∴， ∴，解得：， ∴点的坐标为或； （3）如图，当在的左侧时，以为直角边作等腰直角三角形，过点分别作轴的平行线，过点作轴的平行线，交于点， ∴， ∴ 又∵， ∴ 又∵、 ∴， ∴，∴为与的交点， 设直线的解析式为，代入、，∴，解得： ∴直线的解析式为，联立，解得：，∴ 当在轴的右侧时，如图，在的右侧以为直角边作等腰直角三角形，过点作轴， 同理可得，直线的解析式为： 联立解得：，∴ 综上所述，或 1．如图所示，在平面直角坐标系中，点，连接，将线段绕点O顺时针旋转到，将点B向左平移5个单位长度至点C，连接． (1)求点B、点C的坐标； (2)将直线绕点C顺时针旋转，交x轴于点D，求直线的函数表达式； (3)现有一动点P从C出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线运动，运动时间为t秒．请探究：当t等于多少时，为等腰三角形． 【答案】(1)， (2) (3)秒或秒或秒 【分析】（1）过、分别做、垂直于轴于，，根据将线段绕点顺时针旋转到，可证，有，，即知，而将点向左平移5个单位长度至点，故； （2）设交轴于，交轴于，由，，得，根据将直线绕点顺时针旋转，交轴于点，轴，知是等腰直角三角形，故，，再用待定系数法可得直线的解析式为； （3）分三种情况：①当时，，得；②当时，，知，故，可得；③当时，在的垂直平分线上，有，在中，令，故，得． 【详解】（1）解：过、分别做、垂直于轴于，，如图： 将线段绕点顺时针旋转到， ，， ， ， ， ， ，， ， 将点向左平移5个单位长度至点， ， ； （2）解：设交轴于，交轴于，如图： ，， ， 将直线绕点顺时针旋转，交轴于点，轴， 是等腰直角三角形， ， ， ， 设直线的解析式为， 把，代入得： ， 解得， 直线的解析式为； （3）解∶ ①当时，如图： ， 解得； ②当时，如图： ， ， ， ， 解得； ③当时，如图： 在的垂直平分线上， ，， ， 在中，令得， ，， ， ， 解得； 综上所述，当等于秒或秒或秒时，为等腰三角形． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，全等三角形判定与性质，等腰三角形判定等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用． 2．如图，直线与x轴交于点，直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，直线与直线相交于点D，且． （1）分别求出直线和直线解析式． （2）求四边形的面积． （3）若E为y轴上一点，且为等腰三角形，请求出点E的坐标． 【答案】（1），；（2）；（3）或或或． 【分析】（1）先把A点坐标代入y=2x＋m得到m=5，则y=-2x＋5，再利用AB=5可得到B点坐标为（，0）则把B点坐标代入y=-x＋n可得到n=，则y=-x＋； （2）联立方程组得到D点坐标，然后确定C点坐标为（0，2），最后利用四边形AOCD的面积=进行计算即可； （3）先利用A、C两点的坐标特征得到△ACO为等腰直角三角形，AC=，然后分类讨论：当AE=AC时，以A点为圆心，以画弧交x轴于点和点，再写出它们的坐标；当CE=CA时，点与点A关于y轴对称，即可得到它的坐标；当EA=EC时，点为坐标原点． 【详解】解：（1）把代入中， ， ， ∴直线解析式， ∵，， ∴， 把代入中， 得， ， ∴直线解析式； （2）联立， 得， ∴， 把代入中得． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴； （3）∵，， ∴， ∵， ∴， 设， ①时， ， ∴， ∴， ∴或； ②时（图1）， ∵，， ∴， ∴； ③时（图2）， ∵， ∴E与O重合， ∴； 综上或或或． 【点睛】本题考查了两条直线相交或平行问题，待定系数法求一次函数的解析式，求得交点坐标是解题的关键． 3．已知：直线与轴、轴分别相交于点和点，点在线段上．将沿折叠后，点恰好落在边上点处． (1)求出、两点的坐标； (2)求出的长； (3)点是坐标轴上一点，若是直角三角形，求点坐标． 【答案】(1)点坐标为，点坐标为 (2)3 (3)或或 【分析】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，勾股定理，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． （1）令和令，可求、两点的坐标； （2）由勾股定理求出的长，再由轴对称的性质，用含的式子分别表示、的长，在中根据勾股定理列方程求出的长； （3）分三组情况讨论，由勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：直线与轴、轴分别相交于点和点 时；时 点坐标为，点坐标为． （2）解：由折叠得，，，， ，， ， ， ， ， 解得：； 故长为． （3）解：当时，则点； 当时，， 如图，设， ∴ 解得： ∴点； 当时， 如图，设， ∴ 解得： ∴点， 综上所述：点E的坐标为或或． 4．【模型建立】 如图1，等腰直角三角形中，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点E，易证明（无需证明），我们将这个模型称为“K形图”．接下来我们就利用这个模型来解决一些问题： 【模型运用】 (1)如图1，若，则的面积为 ； (2)如图2，在平面直角坐标系中，等腰，点C的坐标为，A点的坐标为，求与y轴交点D的坐标； (3)如图3，在平面直角坐标系中，直线函数关系式为：，点，在直线上是否存在点B，使直线与直线的夹角为？若存在，请直接写出点B的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)5 (2) (3)存在， 【分析】（1）证明可得，在中，利用勾股定理解得的长，最后根据三角形面积公式即可求解； （2）作轴于点，根据题意，可证，再由全等三角形对应边相等的性质得到，结合点的坐标分别解得的长，继而得到的坐标，再由待定系数法解得直线的解析式，令即可求解； （3）画出符合题意的示意图，设点B，点是符合要求的两个点，即，设，过点作直线平行轴，过点作直线平行轴，两直线相交于点，由点坐标表示线段和，根据可证，再由全等三角形对应边相等的性质解得的长，继而得到点的坐标，最后将点代入直线上即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ， ∴在与中， ， ， ∵中，， ∴， ． 故答案为：． （2）解：过点B作轴于点， 则， ∴， ， ， ， ． 在与中， ， ， ， ， ∴，， ，， ， ． 设直线的解析式为：， ∵直线过点， ∴ 解得： 直线的解析式为： 令得，， ； （3）解：存在，有两个点符合题意，或，理由如下： 如图，设点B，点是符合要求的两个点，即， 设， 过点作直线平行轴，过点作直线平行轴，两直线相交于点，    则 ， ∵， ， ∴， ∴， ∴，， ， ∴， ， ，即， ∵点在直线上， ， ， ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理、待定系数法求一次函数的解析式，理解并运用模型的思路方法是解题的关键． 5．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点，，点C在y轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处． (1)的长为______，点D的坐标是______． (2)求点C的坐标； (3)点M是y轴上一动点，若，求出点M的坐标； (4)在第一象限内是否存在点P，使为等腰直角三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)5， (2) (3)为或 (4)第一象限内存在点P，使为等腰直角三角形，点P的坐标为或或． 【分析】（1）根据勾股定理可得，根据轴对称的性质可得，则可得，进而可得； （2）设，则，在中,根据勾股定理列方程求出x的值，即可得C点的坐标． （3）设，则，根据列方程求出m的值，即可得到点M的坐标； （4）分三种情况讨论：①当，；②当，；③当，，根据全等三角形的性质分别求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ，， ， ∵将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处． ， ． 故答案为：5，． （2）解：，则， 在中, ， ∴， 解得， ∴， ∴． （3）解：∵，， ∴，， 设，则， ∵， ∴， ， ， ， ∴， 解得，． ∴M点的坐标为或． （4）解：存在，理由如下： ①当，，则为等腰直角三角形， 如图，过点P作轴于G点, 则， ∵， ∴， 又∵ ， 在和中， ， ， ，， ． ∴P点的坐标为． ②当，，则为等腰直角三角形， 如图，过点P作轴于H点， 同理得， ，， ∴P点的坐标为． ③当，，则为等腰直角三角形， 如图，过点P作轴于点M，轴于点N， 则， ∴， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 设点P的坐标为，， 则，，， 解得：， ∴点P的坐标为． 综上可知，第一象限内存在点P，使为等腰直角三角形，点P的坐标为或或． 【点睛】本题考查了坐标与图形，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，绝对值方程，作辅助线构造全等三角形，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 一次函数中特殊三角形存在性的四类综合题型 目录 典例详解 类型一、等腰三角形存在性问题 类型二、直角三角形存在性问题 类型三、等腰直角三角形存在性问题 类型四、特殊角存在性问题 压轴专练 类型一、等腰三角形存在性问题 例1-1．（位置不确定）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交A、B两点，与直线相交于点． (1)求m和b的值； (2)若直线与x轴相交于点D，动点P从点D开始，以每秒2个单位的速度向x轴负方向运动，设点P的运动时间为t秒． ①点A的坐标为 ，点D的坐标为 ； ②若点P在线段上，且的面积为10时，求t的值； ③直接写出t为何值时，为等腰三角形． 例1-2．（腰确定）如图，直线：交y轴于点，直线：交x轴于点，两直线交于点P，解答下列问题： (1)求m，n的值和点P的坐标； (2)若E是x轴上的动点，当以A，P，E为顶点的三角形是直角三角形时，求点E的坐标； (3)若F是y轴上的动点，当以A，P，F为顶点的三角形是以AP为腰的等腰三角形时，请直接写出满足条件的点F的坐标． 变式1-1．如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，并与直线相交于点． (1)______，______； (2)点D是线段上一动点，过点D作y轴的平行线，交直线于点E，交直线于点F． ①若，求点D的坐标； ②若点D坐标是，M是直线上一点，当是等腰三角形，请直接写出点M的坐标． 变式1-2．如图，直线与直线交于点E．    (1)求E点坐标； (2)若P为直线上一点，当面积为6时，求P的坐标； (3)若点M是x轴上一点，当为等腰三角形时，直接写出点M的坐标． 变式1-3．如图甲所示，已知直线与x轴和y轴分别相交于点A，B，直线与y轴相交于点C，两直线交于点P． (1)求的面积； (2)如图乙所示，过点P作x轴的平行线交y轴于点D，若点B，C关于直线对称，求点C的坐标； (3)当是以BC为腰的等腰三角形，求直线的函数解析式． 类型二、直角三角形存在性问题 例2-1．（位置不确定）如图1，在同一平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点，与x轴交于点，直线与x轴交于点C． (1)填空：　 　，　 　，　 　； (2)如图2，点D为线段上一动点，将沿直线翻折得到，线段交x轴于点F． ①求线段的长度； ②当点E落在y轴上时，求点E的坐标； ③若为直角三角形，请直接写出满足条件的点D的坐标． 例2-2．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x＋4交y轴于点A，直线l2：y＝﹣x与l1交于点B． （1）求点B的坐标； （2）在y轴左侧，有一条平行于y轴的动直线，分别与l1，l2交于点M、N，且点M在点N的上方． ①当MN＝2时，求△BMN的面积； ②点Q为y轴上一动点若△MNQ是以NQ为直角边的直角三角形，且两直角边长之比为3∶4，求出满足条件所有点Q的坐标． 变式2-1．如图，已知直线经过点，交x轴于点，直线交直线于点B． (1)求直线的函数表达式和点B的坐标； (2)求的面积； (3)在x轴上是否存在点C，使得是直角三角形？若存在，求出点C的坐标：若不存在，请说明理由． 变式2-2．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A、C坐标分别为(2，0)，(1，2)． （1）直接写出点B的坐标，并求出直线AC的解析式； （2）若D是直线AC上的一个动点（D与A、C不重合），当DBC的面积是3时，请求出点D的坐标； （3）在y轴上是否存在一点P，使得PAC是不以点P为直角顶点的直角三角形．若存在，请求出P的坐标，若不存在，请说明理由． 变式2-3．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与轴，轴分别交于点A，B，与函数的图象交于点．    (1)求m和的值； (2)函数的图象与x轴交于点D，点E从点D出发沿方向，以每秒2个单位长度匀速运动到点A（到A停止运动）．设点E的运动时间为t秒． ①当的面积为6时，求t的值； ②在点E运动过程中，是否存在t的值，使为直角三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 类型三、等腰直角三角形存在性问题 例3-1．（位置不确定）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，点在轴的正半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处． (1)如图1，求点、两点的坐标； (2)如图2，求直线的表达式； (3)点是轴上一动点，若，求点的坐标； (4)连接，在第一象限内是否存在点，使为等腰直角三角形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 例3-2．（位置确定）如图1，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线与和x轴相交于点A，与y轴相交于点． (1)求直线的解析式； (2)如图2，若直线与y轴交于点C，判断的形状，并说明理由； (3)如图3，D是的中点，坐标为，将直线向上平移，使其经过点B，记为直线．若点M为y轴正半轴上一点，点N为直线上一点，使是以为直角边的等腰直角三角形，请直接写出点N的坐标． 变式3-1．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，且与直线交于点，点的横坐标为2． (1)求直线的解析式； (2)在轴上取点，过点作轴的垂线交直线于点，交直线于点．若，求点的坐标； (3)在第二象限内，是否存在点，使得为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 变式3-2．【模型构建】 如图，将含有的三角板的直角顶点放在直线上，过两个锐角顶点分别向直线作垂线这样就得到了两个全等的直角三角形，由于三个直角的顶点都在同一条直线上，因此我们将其称为“一线三直角”，这模型在数学解题中被广泛使用． 【模型应用】 （1）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点， ①则点坐标为______；点坐标为______； ②，是正比例函数图象上的两个动点，连接，，若，，则的最小值是______； （2）如图2，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点．将直线绕点逆时针旋转得到直线，求直线对应的函数表达式； 【模型拓展】 （3）如图3，直线的图象与轴，轴分别交于、两点，直线与轴交于点．点、分别是直线和直线上的动点，点的坐标为，当是以为斜边的等腰直角三角形时，直接写出点的坐标． 变式3-3．【模型呈现】 （1）如图1，在中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，求证：． 【模型应用】 （2）如图2，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，过点作线段且，直线交轴于点．求点的坐标． 【模型迁移】 （3）如图3，在（2）的条件下，点的坐标为，是轴上一个动点，是直线上一个动点，若是以点为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点的坐标． 类型四、特殊角存在性问题 例4．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数与轴交于点，与轴交于点A． (1)求A、两点的坐标； (2)若在直线上有一点，使得的面积为9，求点的坐标； (3)如图2，点为线段中点，过点作轴，垂足为，若点为轴负半轴上一点，连接交轴于点，且，在直线上有一点，使得最小，求点坐标； (4)如图3，直线上存在点使得，请直接写出点的坐标． 变式4-1．在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，直线交轴于点，交轴于点． (1)如图1，连接，求的面积． (2)如图2，在直线上存在点，使得，求点的坐标． 变式4-2．如图，直线与x轴、y轴分别交于点、，且与直线相交于点，已知直线经过点，且与轴交于点． (1)求点、的坐标以及直线的解析式； (2)若为直线上一动点，，求点的坐标； (3)点在直线上，当时，求所有符合条件的点的坐标． 1．如图所示，在平面直角坐标系中，点，连接，将线段绕点O顺时针旋转到，将点B向左平移5个单位长度至点C，连接． (1)求点B、点C的坐标； (2)将直线绕点C顺时针旋转，交x轴于点D，求直线的函数表达式； (3)现有一动点P从C出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线运动，运动时间为t秒．请探究：当t等于多少时，为等腰三角形． 2．如图，直线与x轴交于点，直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，直线与直线相交于点D，且． （1）分别求出直线和直线解析式． （2）求四边形的面积． （3）若E为y轴上一点，且为等腰三角形，请求出点E的坐标． 3．已知：直线与轴、轴分别相交于点和点，点在线段上．将沿折叠后，点恰好落在边上点处． (1)求出、两点的坐标； (2)求出的长； (3)点是坐标轴上一点，若是直角三角形，求点坐标． 4．【模型建立】 如图1，等腰直角三角形中，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点E，易证明（无需证明），我们将这个模型称为“K形图”．接下来我们就利用这个模型来解决一些问题： 【模型运用】 (1)如图1，若，则的面积为 ； (2)如图2，在平面直角坐标系中，等腰，点C的坐标为，A点的坐标为，求与y轴交点D的坐标； (3)如图3，在平面直角坐标系中，直线函数关系式为：，点，在直线上是否存在点B，使直线与直线的夹角为？若存在，请直接写出点B的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点，，点C在y轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处． (1)的长为______，点D的坐标是______． (2)求点C的坐标； (3)点M是y轴上一动点，若，求出点M的坐标； (4)在第一象限内是否存在点P，使为等腰直角三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$