专题10 一次函数中面积问题的三类综合题型（压轴题专项训练）数学北师大版2024八年级上册

专题10 一次函数中面积问题的三类综合题型 目录 典例详解 类型一、求几何图形的面积 类型二、根据几何图形面积求点的坐标 类型三、几何图形面积的取值范围问题 压轴专练 类型一、求几何图形的面积 例1．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点A，x轴的负半轴上有一点． (1)求点A的坐标． (2)过点P作x轴的垂线（垂线位于点A的左侧），分别交正比例函数的图象和一次函数的图象于点B，C，连接． ①线段的长为______（用含m的代数式表示）． ②若，求的面积． 【答案】(1) (2)①；②28 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，勾股定理： （1）联立函数解析式，进行求解即可； （2）①分别求出的坐标，再根据两点间的距离公式求出线段的长即可；②过点作轴于点，勾股定理求出的长，根据，求出的值，进而求出的长，利用面积公式进行求解即可． 【详解】（1）解：联立函数，得方程组，解得， 点的坐标为． （2）①由题意，可知：的横坐标均为， 当时，， ∴； 故答案为：； ②如图，过点作轴于点． 由（1），可得． 在中，由勾股定理，得． ，． ，，解得， ∴点，， ∴． 变式1-1．已知直线的表达式为，点A，B分别在x轴、y轴上． (1)求出点的A，B的坐标，并在下图中画出直线的图象； (2)将直线向上平移4个单位得到直线，点C，D分别在x轴、y轴上．求出点C，D的坐标及直线的表达式，并在下图中画出直线的图象； (3)若点P到x轴的距离为4，且在直线上，求的面积． 【答案】(1)，点；图象见解答过程； (2)，点，直线的表达式为； (3)4或12． 【分析】此题主要考查了一次函数的图象，一次函数与坐标轴的交点，一次函数的平移，三角形的面积等，熟练掌握求一次函数的图象与坐标轴交点的方法，一次函数的平移规律是解决问题的关键． （1）对于，当时，，当时，，由此可得点A，点B的坐标，然后画出直线即可； （2）根据一次函数平移的规律得直线的解析式为，然后再分别求出点C，D的坐标，画出直线即可； （3）根据点P在直线上，可设点P的坐标为再根据点P到x轴的距离为4得，由此解出t，进而得点P的坐标，然后再求出的面积即可． 【详解】（1）解：对于，当时，，当时，， ∴点A的坐标为，点B的坐标为，直线如图1所示： （2）解：对于直线，向上平移4个单位得：， 即直线的解析式为， 对于，当时，，当时，， ∴点C的坐标为，点D的坐标为，直线如图2所示： （3）解：∵点P在直线上， ∴可设点P的坐标为， ∵点P到x轴的距离为4， ， 或， 由解得：，此时点P的坐标为， 由解得：，此时点P的坐标为， ①当点P的坐标为时，如图4所示： ∵点，， 轴，， ， ∵点D的坐标为， ， ； ②当点P的坐标为时，过点P作轴于H，如图3所示： ， 由（1）可知：， ． 综上所述：的面积为4或12． 变式1-2．一次函数的图像与轴、轴分别交于点、，以为边在第二象限内作等边． (1)求点坐标； (2)在第二象限内有一点，使，求点的坐标； (3)将沿着直线翻折，点落在点处；再将绕点顺时针方向旋转，点落在点处，过点作轴于．求的面积． 【答案】(1) (2) (3)2 【分析】（1）先求得、的坐标，然后可得到，依据含直角三角形的性质可得到，则，然后依据勾股定理求得的长，从而可得到点的坐标； （2）过点作，则．设直线的解析式为，将点的坐标代入求得的值，然后将代入的解析式可求得点的横坐标； （3）先求出，进而表示出，，用勾股定理建立方程求出，最后用面积公式即可得出结论． 【详解】（1）当时，， ． 当时，． ． ，． ， ，． 为等边三角形， ． ． ． （2）如图1，过点作． ， ． 设直线的解析式为， 将点的坐标代入得：，解得． 直线的解析式为． 将代入的解析式得：，解得：， ． （3）如图，由（1）知，，， ， 为等边三角形， ， 由折叠知，， 由旋转知，，， 取上取一点使，，连接， ， 设， ，， ， ， 在中，根据勾股定理得，， ， ． 【点睛】本题是一次函数的综合题，主要应用了待定系数法求一次函数的解析式、三角形的面积、轴对称路径最短问题，构造出特殊直角三角形是解本题的关键． 变式1-3．（1）探索发现：如图1，已知中，，，直线过点，过点作，过点作，垂足分别为、．求证：．    （2）迁移应用：如图2，将一块等腰直角的三角板MON放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶点与坐标原点O重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点N的坐标为，试求出的面积．    （3）拓展应用：如图3，在平面直角坐标系内，已知直线与轴交于点，与轴交于点，将直线绕点沿逆时针方向旋转后，所得的直线交轴于点．求的面积．    【答案】（1）见解析；（2）5；（3） 【分析】（1）先判断出，再判断出，进而判断出，即可得出结论； （2）过点作轴，垂足为，过点作，判断出，，设列方程组求解，即可得出结论； （3）过点作，交于，过点作轴于，先求出，由得，进而得出，，再判断出，即可判断出，，进而求出直线的解析式，即可得出结论． 【详解】（1）证明：，， ． ，， ， ，． ， ， （2）解：如图2，过点作轴，垂足为，过点作，交的延长线于，    由已知得，且， 由（1）得， ，， 设， ，， ，， 点的坐标为， ， 解得， 点的坐标为； ∴， （3）解：如图3，    过点作，交于，过点作轴于， 对于直线，由得， ， ， 由得， ，， ， ． ． 由（1）得，． ，． ， 设直线为， 则， 解得． 直线为． 由得，， ，． ∴，． 【点睛】本题主要考查一次函数的综合应用，考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，构造出全等三角形是解本题的关键． 类型二、根据几何图形面积求点的坐标 例2-1．如图，直线与直线相交于点，交y轴于点B，交y轴负半轴于点C，且． (1)求直线和的解析式； (2)若D是直线上一点，且的面积是9，求点D的坐标． 【答案】(1)直线的解析式为，直线的解析式为 (2)或 【分析】本题考查了求一次函数的解析式、一次函数的应用，熟练掌握待定系数法和一次函数的性质是解题关键． （1）根据点，利用待定系数法即可得直线的解析式，从而可得点的坐标，再根据可得点的坐标，然后利用待定系数法即可得直线的解析式； （2）先求出，再设点的坐标为，利用三角形的面积公式求解即可得． 【详解】（1）解：将点代入得：， 解得， 则直线的解析式为， 当时，，即， ∵， ∴， ∵点位于轴负半轴， ∴， 将点，代入得：，解得， 则直线的解析式为． （2）解：∵， ∴， 设点的坐标为， ∵的面积是9， ∴， 解得或， 当时，， 当时，， 则点的坐标为或． 例2-2．如图，已知在平面直角坐标系中，点在直线：上，过点P的直线：(k、b为常数，且)与x轴交于点，与y轴交于点B，轴于点H． (1)求直线的函数解析式和点B的坐标； (2)在直线上是否存在点C，使得的面积等于四边形的面积的6倍？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查的是待定系数法求解一次函数的解析式，一次函数与坐标轴的交点坐标，坐标与图形面积，运用数形结合思想解题是解本题的关键． （1）先求解的坐标，再利用待定系数法求解的解析式，再令可得的坐标； （2）先求解四边形的面积为；可得的面积为，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点在直线：上， ∴， ∴， ∴； ∵：(k、b为常数，且)与x轴交于点，且经过点P， ∴， 解得：， ∴：； 当时，， ∴； （2）解：∵，，轴， ∴， ∴四边形的面积为； ∴的面积为， 如图，存在两个这样的点C， 设；∴的面积，解得：或， 当时，， 当时，， ∴或； 变式2-1．在平面直角坐标系中，已知，连，将向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度，得线段，点的对应点为点． (1)如图1，求四边形的面积； (2)如图2，点为轴正半轴上一动点，连交于点； ①设，显然三角形分成三角形与三角形两部分，请你探究，间满足的数量关系，并说明理由； ②是否存在点，使将四边形的面积分成两部分，若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)①；②存在点，坐标为 ． 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中图形的平移、平行四边形面积计算、一次函数表达式求解及三角形面积的比例应用．熟练掌握平移规律、函数表达式求解方法及面积公式，准确分析图形分割后的面积关系是解题关键． （1）通过平移规律确定、坐标，判断四边形为平行四边形，利用平行四边形面积公式（底×高）计算，底为长度，高为平移的垂直距离． （2）①先求、、坐标，得出直线、表达式，因是两直线交点，代入表达式推导、关系． （2）②先算四边形面积，按 ，结合三角形面积公式求坐标，再代入直线表达式求坐标． 【详解】（1）解：由平移规律“左减右加，上加下减”， ∴平移后得；平移后得 ∵长度为，与平行且相等，和间垂直距离（高）为 ∴四边形是平行四边形， ∴，得 （2）解：①已知、、 设直线表达式为，代入、坐标： ， 解得， 故表达式为 ． 设直线表达式为， ∵，令在轴正半轴设，代入得： ， 解得， ∴表达式为 ． ∵是与交点， ∴将代入表达式得：，整理得 ． ②∵使将四边形的面积分成两部分，四边形面积为， ． 以为底，高为（到（）的距离 ）， ∵， 解得 ． 将代入， 得， ∴，即 ． 设直线表达式为，代入、：，解得， 故 ．所以存在点，坐标为 ． 变式2-2．如图，在平面直角坐标系中，直线，与轴、轴分别交于点，直线与轴、轴分别交于点，交直线于点． (1)直线______定点（填“经过”或“不经过”）； (2)若点关于点对称，求此时直线的解析式； (3)若直线将的面积分为两部分，请求出的值． 【答案】(1)经过； (2)； (3)或． 【分析】本题考查了一次函数的性质，坐标与图形，中点坐标公式，三角形的面积公式，熟练掌握知识点的应用及分类讨论的思想是解题的关键． （）根据直线的解析式，即可判定； （）首先可求得点的坐标，再根据求线段中点坐标公式，即可求解； （）首先求得点的坐标，再分两种情况，根据三角形的面积公式，即可分别求得点的坐标，据此即可求解； 【详解】（1）由得，， 当时，， ∴经过定点， 故答案为：经过； （2）∵与轴交于点， ∴，点关于点对称， ∴， 将代入，即， ∴， ∴直线的解析式为； （3）∵与轴、轴分别交于点， ∴， ， ∴， ∵直线经过定点，且在直线上， ∴点的坐标为， ∵直线将的面积分为两部分，且， ∴当时即， ∴， ∴，即，∴； 当时，即， ∴ ∴，即， ∴， 综上可知：的值为或． 变式2-3．如图，直线与轴交于点，直线与轴交于点，且经过定点，直线与交于点． (1)填空：______，______，______； (2)求的面积； (3)若动点在射线上从点开始以每秒1个单位长度的速度运动，连接，设点的运动时间为秒，是否存在的值，使和的面积比为？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；4；2 (2)6 (3)的值为或． 【分析】（1）利用待定系数法即可求解． （2）分别求出和的坐标，再根据三角形的面积公式列式计算，即可作答． （3）分两种情况：①点在线段上，②点在线段的延长线上，由和的面积比为，即可求解． 本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，待定系数法，勾股定理，三角形的面积等知识，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：直线经过定点， ， ， 直线， 直线经过点， ， ， 把代入，得：， 解得：， 故答案为：；4；2； （2）解：∵直线与轴交于点， ∴令时，则， ∴， ∴， ∵直线与轴交于点， ∴令时，则， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴， ∴的面积为； （3）解：存在， 动点在射线上从点开始以每秒1个单位的速度运动，直线， ， ， ， 点的运动时间为秒， ， 分两种情况：点在线段上， 和的面积比为， ， ， ， ； 点在线段的延长线上， 和的面积比为， ， ， ， ， 综上：存在的值，使和的面积比为，的值为或． 变式2-4．如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线与x轴负半轴交于点B，与y轴正半轴交于点A，A点坐标，三角形的面积是4． (1)求点B的坐标； (2)点C是y轴正半轴点A上方一点（点C与点A不重合），C点坐标，连接，点E是x轴正半轴上一点，且，连接． ①如图2，若三角形的面积是8，求m的值； ②如图3，点F是线段上一点（点F与点B，点O不重合），连接，，当四边形的面积与三角形的面积相等时，用只含有m的代数式表示三角形的面积，并说明理由． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）首先得到，然后根据三角形的面积是4得到，即可求解； （2）①首先得到，然后表示出，然后根据三角形的面积是8得到，即可求解； ②设，则，，然后根据题意得到，代入得到，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵A点坐标， ∴ ∵三角形的面积是4． ∴ ∴ ∴； （2）解：①∵点C是y轴正半轴点A上方一点（点C与点A不重合），C点坐标， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵三角形的面积是8 ∴，即 ∴； ②∵点F是线段上一点（点F与点B，点O不重合）， ∴设 ∴， ∵四边形的面积与三角形的面积相等 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 【点睛】此题考查了一次函数和几何综合，三角形面积，解题的关键是掌握以上知识点 类型三、几何图形面积的取值范围问题 例3．如图，在中，，，，动点从点出发，沿折线方向运动，速度为每秒1个单位长度，到达点时停止运动．设点的运动时间为秒，的面积为．    (1)直接写出关于的函数关系式，并注明自变量的取值范围； (2)在平面直角坐标系中，画出的函数图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出的面积大于3时的取值范围．（结果保留一位小数，误差不超过0.2） 【答案】(1)； (2)图象见解析，当时，随增大而增大；当时，随增大而减小； (3)当时，的面积大于3． 【分析】本题考查了求一次函数关系式，画一次函数图象，一次函数图象的性质． （1）根据题意，进行分类讨论，当点P在上时，当点P在上时，再根据三角形的面积公式结合相似三角形的判定和性质，即可解答； （2）根据（1）中所列表达式，取值描点连线作图，结合图象写出性质； （3）观察图象求出函数图象的交点坐标，根据交点结合图象根据函数值大小判断自变量取值范围． 【详解】（1）解：∵， 当点P在上时，，则，，    ∴， ， 即， 当点P在上时，，，    ∴， ， 即， 综上：； （2）解：当时，，解得；当时，； 当时，，解得；当时，； 函数图象如图所示，    由图可知：当时，随增大而增大；当时，随增大而减小； （3）解：当时，，解得； 当时，，解得； 由图可知，当时，的面积大于3． 变式3-1．已知，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，，点，且a、b满足． (1)则____________；__________； (2)如图1，在x轴上是否存在点C，使三角形的面积等于三角形面积的一半？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，将线段向左平移m个单位，得到线段，其中点A，点B的对应点分别为点，点．若点在射线上，连接得到三角形，若三角形的面积大于三角形面积的并且小于三角形面积，则m的取值范围是______________． 【答案】(1)6，2； (2)当C或时，三角形ABC的面积等于三角形ABO面积的一半； (3)＜m＜3．或6＜m＜． 【分析】（1）根据非负数的性质构建方程组，求出a和b的值即可； （2）设出C点的坐标，分情况根据三角形的面积关系列出方程求解即可； （3）由题意可得出点A′，B′的坐标，进而求出直线A′B′的解析式，过点N作NM⊥x轴于点M，根据三角形的面积公式可表达△BON的面积，根据所给范围求解即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， 故答案为：6，2； （2）由（1）得A（0，6），B（2，2）， S△OAB=×6×2=6， 设C（c，0）， 如图，当C点在左侧时， S△ABC=S△AOB+S△OBC-S△OAC=6+×c×2-×6×c=6-2c， 即6-2c=3， 解得c=， 当C在右侧C′的位置时， S△ABC′=S△OAC′-S△AOB-S△OBC′=×6×c-6-×c×2=2c-6， 即2c-6=3， 解得c=， 综上所述，当C（，0）或（，0）时，三角形ABC的面积等于三角形ABO面积的一半； （3）由平移可得A′（-m，6），B′（2-m，2）， ∴直线A′B′：y=-2x+6-2m， ∴N（-1，8-2m）， ∵O（0，0），B（2，2）， ∴直线OB：y=x，过点N作NM⊥x轴交BM于点M， ∴M（-1，1）， ∴NM=|9-2m|， ∴S△OBN=S△BMN-S△OMN=×3×|9-2m|-×1×|9-2m|=|9-2m|， ∵三角形BON的面积大于三角形ABO面积的并且小于三角形ABO面积， ∴3＜|9-2m|＜6， 解得：＜m＜3或6＜m＜． 故答案为：＜m＜3或6＜m＜． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了三角形的面积，非负数的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题． 变式3-2．在平面直角坐标系中，对于给定的两点，若存在点，使得的面积等于1，即，则称点为线段的“单位面积点”．解答下列问题：如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为．    (1)在点，，，中，线段的“单位面积点”是__________． (2)已知点，，将线段沿轴向上平移个单位长度，使得线段上存在线段的“单位面积点”，直接写出的取值范围． (3)已知点，，点是线段的两个“单位面积点”，点在的延长线上，若，直接写出点纵坐标的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 (3)①当点在轴上时，点纵坐标的取值范围为或；②当点在直线上时，点纵坐标的取值范围为或． 【分析】（1）由点的坐标得出，根据三角形的面积公式即可得到结论； （2）当点为线段的“单位面积点”时，，或，当点为线段的“单位面积点”时，，解得：或，即可得出结果； （3）先求出，得出线段的“单位面积点”在轴上或的直线上，则点在的直线与延长线的交点上，求出直线的解析式为：，则，是线段的“单位面积点”，则，， ①当点在轴上时，，得出，列不等式求解即可得出的纵坐标的取值范围； ②当点在直线上时，，得出，列不等式求解即可得出的纵坐标的取值范围． 【详解】（1）解：如图1所示： 点的坐标为， ， 、、、， ，，， ， 点、点是线段的“单位面积点”， 故答案为：，； （2）解：如图2所示： 当点为线段的“单位面积点”时，，解得或； 当点为线段的“单位面积点”时，，解得或； 线段上存在线段的“单位面积点”，的取值范围为或， 故答案为：或； （3）解：点的坐标为，， ， 线段的“单位面积点”在轴上或的直线上， 点在的延长线上， 点在的直线与延长线的交点上，如图3所示： 设直线的解析式为，则，解得， 直线的解析式为：，则， 是线段的“单位面积点”， ， ， ①当点在轴上时，， ， ， 当时，，解得；当时，，解得； 点纵坐标的取值范围为或； ②当点在直线上时，， ， ， 当时，，解得；当时，，解得； 点纵坐标的取值范围为或． 综上， ①当点在轴上时，点纵坐标的取值范围为或；②当点在直线上时，点纵坐标的取值范围为或． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了新概念“单位面积点”、图形与坐标、三角形面积的计算、含绝对值不等式解法、分类讨论等知识，熟练掌握新概念“单位面积点”是解题的关键． 变式3-3．已知，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，轴，且、满足． (1)则 ， ， ； (2)如图1，在轴上是否存在点，使的面积等于的面积？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，连接交于点，是否存在一点在y轴上，使得的面积大于的面积，若有，请求出n的取值范围；若没有，请说明理由． 【答案】(1)，4，2 (2)存在， (3)有， 【分析】（1）根据非负数的性质构建方程组，求出a和b，再根据轴，可得c的值； （2）设与轴交于点，如图1中，先求出直线与轴的交点．设．，根据三角形面积公式构建方程，可得结论． （3）设，利用面积法求出a的值，分当点点A的上方时、当点点A的下方时，求出时，n的值，结合图象可得结论． 本题属于三角形综合题，考查了三角形的面积，非负数的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用未知数构建方程解决问题，对于初一学生来说题目有一定的难度． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴，，， 故答案为：，，； （2）在轴上存在点D，使的面积等于的面积，理由如下： 如图1，设与轴交于点， 设直线的解析式为，代入A、C得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 令，则，解得：， ∴P点坐标为； ∵， ∴， ∵ ∴ ∴， 当D在P的左边时，D的坐标为， 当D在P的右边时，D的坐标为， ∴D的坐标为或； （3）存在一点在y轴上，使得的面积大于的面积，理由如下： 如图2.1中，当点点A的上方时，连接，，， 设， ∵， ∴ 解得， 当时，则有 解得， 如图2.2，当点N在点A的下方时， 当时，则有 解得， 观察图象可知，满足条件的n的值为． 1．如图，在中，，，．动点P以每秒1个单位长度的速度从点C出发，沿折线运动，到达B点时停止运动，设点P的运动时间为秒，的面积为y． (1)求y关于t的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图像，并写出该函数的一条性质； (3)当的面积等于4时，结合函数图像，求的值． 【答案】(1) (2)图像见解析，函数的一条性质：该函数的最大值为6 (3)2或 【分析】本题考查了一次函数的应用、勾股定理等知识，熟练掌握一次函数的几何应用是解题关键． （1）分两种情况：①，先求出的长，再利用三角形的面积公式即可得；②，先求出的长，再利用三角形的面积公式可得的长，然后利用三角形的面积公式求解即可得； （2）先根据（1）的结论，画出两段一次函数的图像，再写出一条性质即可得； （3）分两种情况：和，求出时，的值即可得． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴， 由题意可知，点从点运动到点所需时间为秒，从点运动到点所需时间为秒， ①当时，点在上运动， 则， ∴的面积； ②如图，当时，点在上运动， 过点作于点， 则， ∴， ∵， ∴， ∴的面积； 综上，． （2）解：在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图像如下： 该函数的一条性质：该函数的最大值为6． （3）解：当时，则，解得，符合题设； 当时，则，解得，符合题设； 综上，的值为2或． 2．如图，直线与轴、轴分别相交于点，点的坐标为，点是直线上一个动点． (1)在点运动过程中，试写出的面积与的函数关系式，并写出相应自变量的取值范围； (2)当点运动到什么位置时，的面积为9，求此时点的坐标； 【答案】(1) (2)或 【分析】本题综合考查了坐标与图形面积，列一次函数关系式，清晰的分类讨论是解本题的关键． （1）设点，将的面积表示出来，并分点P在第一、二象限和点P在第三象限两种情况进行讨论即可； （2）分别把代入（1）中两种情况下的函数关系式，求出点P的横坐标，再分别代入中可求出点P纵坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴P到x轴的距离为， ∵点A的坐标为， ∴， ∴， 令=0， 解得， ∴， ①当点P在第一、二象限时， ，      ②当点P在第三象限时，      ∴点P在运动过程中，的面积S与x的函数关系式为： ； （2）解∶当，的面积为9， ∴，解得， 代入，得， ∴， 当），的面积为9， ∴， 解得， 代入，得， ∴， 综上所述，点P的坐标为或． 3．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，且a，b满足关系式成立． (1)直接写出点A，B的坐标； (2)如图1，点是线段上的一个动点，轴于点E，轴于点M，轴于点F，连接．利用图形间的面积关系，可得到一个关于m与n之间的关系式，请求出这个关系式； (3)如图2，将线段沿与坐标轴平行的方向平移1次得到线段，当形成的面积为9时，请直接写出此时点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查几何变换的综合应用，主要考查非负数的性质，三角形的面积，平移的性质，掌握平移的性质是解题的关键． （1）由二次根式和平方的非负性可得，即可解答； （2）根据题意表示出，代入数值计算求解即可； （3）分类讨论，①在上方时②在下方时，分别过点作轴的垂线，垂足分别为，设，利用三角形面积割补法，，列方程求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ∴点，点； （2）解：由（1）可得：点，点， ∵轴于点E，轴于点M，轴于点F， ， ， ， 且， ， ； （3）如图：①在上方时， 分别过点作轴的垂线，垂足分别为，设，则， ， ， 解得：， 则点的坐标为， 如图：②在下方时， 同理，解得：， 综上，点的坐标或． 4．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，将直线沿y轴向上平移4个单位与直线l交于点A，与x轴交于点C．    (1)求点A坐标； (2)点，连接AD，BD，求△ABD的面积； (3)点P为线段AB上一点，点Q为线段AC延长线上一点，且，连接PQ交x轴于点E，设点P的横坐标为m，四边形APEC的面积为S，求S与m的函数关系式（不需求自变量的取值范围）． 【答案】(1)点A的坐标为 (2)18 (3) 【分析】（1）由一次函数图象的平移可求得平移后的直线解析式，与直线l的解析式联立起来即可求得点A的坐标； （2）设直线l交y轴于点F，由割补法得，即可求得结果． （3）过点P作轴于F，过Q作于G，由判定，可得；再由证明，可得；设点P的坐标，则可得，由即可得到函数关系式． 【详解】（1）解：直线沿y轴向上平移4个单位后的解析式为：， 解方程组，得：， ∴点A的坐标为； （2）解：设直线l交y轴于点F，如图， 对于，令，得；令，得； 即，， ∴，； ∵， ∴ ∴， 则 ；    （3）解：如图，过点P作轴于F，过Q作于G， 在中，令，得， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴； ∴； ∵，， ∴， ∴； 设点P的坐标为， 则，； ∴ ．    【点睛】本题为一次函数的综合，考查一次函数图象点的坐标特征，割法求三角形面积，全等三角形的判定与性质，关键是作辅助线构造全等三角形． 5．如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点． (1)求的面积： (2)如图2，点为轴上一动点（点在点的左侧），将点绕点逆时针旋转至点，连接并延长与轴交于点，当点在移动过程中，点的坐标是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变化，请求出点的坐标； (3)如图3，点为直线上一动点．已知，若三点在某长方形的内部或边上，该长方形的一条边与坐标轴平行．求点在移动过程中该长方形的面积最小值及此时的取值范围． 【答案】(1) (2)不变， (3)， 【分析】本题考查了一次函数、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）计算出、的坐标即可解题； （2）证明≌，可推出是等腰直角三角形，即可求解； （3）过点作轴，轴，过点作，，长方形即为所求，进而求解． 【详解】（1）解：直线， 当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴； （2）解：不变，理由如下： 如图：过点作轴交轴于点， 由题意知，且， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴≌， ∴，， ∵， ， ∴， 即， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴也是等腰直角三角形， ∴， ∴； （3）解：如图：过点作轴，轴，过点作，， 则为长方形， 由题意知，图中长方形为符合题意的面积最小的长方形，此时点的运动范围在线段上， 由图可知，轴，轴， ∵， ∴，， ∴，， ∴； 可设，， 代入一次函数可得： ，， 解得：，； ∴，， ∴； 故在移动过程中该长方形的面积最小值为，此时的取值范围是． 6．如图，过点的直线与坐标轴相交于、两点，已知点是第二象限的点，设的面积为．    (1)写出与之间的函数关系，并写出的取值范围； (2)当的面积为时，求出点的坐标； (3)在（2）的条件下，坐标轴上是否存在点，使得与、、中任意两点形成的三角形面积也为，若存在，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)存在， ， ， ， ， ， ． 【分析】（1）先求出点A坐标，由可求函数关系式， （2）将代入函数解析式可求得点； （3）根据三角形三个顶点不同分类讨论求出点M． 【详解】（1）解：点在第二象限，则因为 当时，x，则 （) （2）由（1）可知 当 则 此时： 所以 （3）存在点M满足条件， I．当M点在y轴时，若，即， ∴， ∴， ∴当点M在原点上方时，点M坐标为， ∴当点M在原点下方时，点M坐标为， II．当M点在y轴时，若，即， ∴， ∴， ∴当点M在原点上方时，点M坐标为， ∴当点M在原点下方时，点M坐标为； III．当M点在y轴时，若，即，     ， ∴， ∴当点M在点B上方时，点M坐标为， ∴当点M在点B下方时，点M点M与点O重合，不合题意舍去；； IV．当M点在x轴时，若，即， ∴， ∴， ∴当点M在原点右侧时，点M坐标为， ∴当点M在原点左侧时，点M坐标为，与点A重合，不合题意舍去； V．当M点在x轴时，若，即， ∴， ∴， ∵点A坐标为， ∴当点M在点A左侧时，点M坐标为， ∴当点M在点A右侧时，点M与点O重合，不合题意舍去； 综上所述：点M坐标为， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、解一元一次方程，解题的关键是分类讨论的数学思想． 7．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点P的坐标为，过点A分别作轴于点B，轴于点C．已知直线． (1)点C的坐标为___________； (2)通过计算说明一次函数的图象一定过点P； (3)直线、直线、直线不能组成三角形时，求k的值； (4)当直线与边有交点，且将四边形分成的两部分面积比为时，直接写出k的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)k的值为0，或 (4)或 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，坐标与图形，熟练掌握一次函数的性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）根据题意并结合图形即可得出答案； （2）求出当时，，即可得解； （3）分情况结合一次函数的性质求解即可； （4）分两种情况：当直线过点C时；当直线与边，交于M，N时；分别求解即可． 【详解】（1）解：∵点A的坐标为，过点A作轴于点C． ∴点C的坐标为； （2）解：当时，， ∴一次函数的图象一定过点P； （3）解：当时，直线，符合题意； 当直线过点C时，，解得，符合题意； 设直线的函数解析式为． 将，代入解析式，得， 解得， 当直线与直线平行时，，符合题意． 综上，k的值为0，或； （4）解：四边形的面积为，； 如图1，当直线过点C时，，当时，， ∴， ， ∴符合题意； 如图2，当直线与边，交于M，N时， 令，得， ∴． 令，得， ∴． 或， 解得，或（舍）， 综上所述，k的值为或． 8．如图（含备用图），在直角坐标系中，已知直线与轴相交于点，与轴交于点． (1)求的值及的面积； (2)点在轴上，若是以为腰的等腰三角形，直接写出点的坐标； (3)点在轴上，若点是直线上的一个动点，当的面积与的面积相等时，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或或 (3)或 【分析】本题综合考查了一次函数与几何知识的应用． 将点的坐标代入函数解析式求得的值，根据直线方程求得点的坐标，然后求得相关线段的长度，由三角形的面积公式解答； 根据等腰三角形的性质和两点间的距离公式解答； 分类讨论：点在轴的上方和下方，两种情况，利用三角形的面积公式和已知条件，列出方程，利用方程求得点的坐标即可． 【详解】（1）解：将点代入直线，得 ， 解得， ． 当时，． ，． 当时，， ， ，， ； （2）如图， 当时，点与点关于轴对称，故C符合题意； 当时，由，得到，由得到、． 综上所述，符合条件的点的坐标是或或； （3）， ， ． 由知，， ； 当点在轴下方时，， ， 点在轴下方， ． 当时，代入得，， 解得． ； 当点在轴上方时，， ， 点在轴上方， ． 当时，代入得，， 解得． ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 一次函数中面积问题的三类综合题型 目录 典例详解 类型一、求几何图形的面积 类型二、根据几何图形面积求点的坐标 类型三、几何图形面积的取值范围问题 压轴专练 类型一、求几何图形的面积 例1．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点A，x轴的负半轴上有一点． (1)求点A的坐标． (2)过点P作x轴的垂线（垂线位于点A的左侧），分别交正比例函数的图象和一次函数的图象于点B，C，连接． ①线段的长为______（用含m的代数式表示）． ②若，求的面积． 变式1-1．已知直线的表达式为，点A，B分别在x轴、y轴上． (1)求出点的A，B的坐标，并在下图中画出直线的图象； (2)将直线向上平移4个单位得到直线，点C，D分别在x轴、y轴上．求出点C，D的坐标及直线的表达式，并在下图中画出直线的图象； (3)若点P到x轴的距离为4，且在直线上，求的面积． 变式1-2．一次函数的图像与轴、轴分别交于点、，以为边在第二象限内作等边． (1)求点坐标； (2)在第二象限内有一点，使，求点的坐标； (3)将沿着直线翻折，点落在点处；再将绕点顺时针方向旋转，点落在点处，过点作轴于．求的面积． 变式1-3．（1）探索发现：如图1，已知中，，，直线过点，过点作，过点作，垂足分别为、．求证：．    （2）迁移应用：如图2，将一块等腰直角的三角板MON放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶点与坐标原点O重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点N的坐标为，试求出的面积．    （3）拓展应用：如图3，在平面直角坐标系内，已知直线与轴交于点，与轴交于点，将直线绕点沿逆时针方向旋转后，所得的直线交轴于点．求的面积．    类型二、根据几何图形面积求点的坐标 例2-1．如图，直线与直线相交于点，交y轴于点B，交y轴负半轴于点C，且． (1)求直线和的解析式； (2)若D是直线上一点，且的面积是9，求点D的坐标． 例2-2．如图，已知在平面直角坐标系中，点在直线：上，过点P的直线：(k、b为常数，且)与x轴交于点，与y轴交于点B，轴于点H． (1)求直线的函数解析式和点B的坐标； (2)在直线上是否存在点C，使得的面积等于四边形的面积的6倍？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 变式2-1．在平面直角坐标系中，已知，连，将向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度，得线段，点的对应点为点． (1)如图1，求四边形的面积； (2)如图2，点为轴正半轴上一动点，连交于点； ①设，显然三角形分成三角形与三角形两部分，请你探究，间满足的数量关系，并说明理由； ②是否存在点，使将四边形的面积分成两部分，若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 变式2-2．如图，在平面直角坐标系中，直线，与轴、轴分别交于点，直线与轴、轴分别交于点，交直线于点． (1)直线______定点（填“经过”或“不经过”）； (2)若点关于点对称，求此时直线的解析式； (3)若直线将的面积分为两部分，请求出的值． 变式2-3．如图，直线与轴交于点，直线与轴交于点，且经过定点，直线与交于点． (1)填空：______，______，______； (2)求的面积； (3)若动点在射线上从点开始以每秒1个单位长度的速度运动，连接，设点的运动时间为秒，是否存在的值，使和的面积比为？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 变式2-4．如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线与x轴负半轴交于点B，与y轴正半轴交于点A，A点坐标，三角形的面积是4． (1)求点B的坐标； (2)点C是y轴正半轴点A上方一点（点C与点A不重合），C点坐标，连接，点E是x轴正半轴上一点，且，连接． ①如图2，若三角形的面积是8，求m的值； ②如图3，点F是线段上一点（点F与点B，点O不重合），连接，，当四边形的面积与三角形的面积相等时，用只含有m的代数式表示三角形的面积，并说明理由． 类型三、几何图形面积的取值范围问题 例3．如图，在中，，，，动点从点出发，沿折线方向运动，速度为每秒1个单位长度，到达点时停止运动．设点的运动时间为秒，的面积为．    (1)直接写出关于的函数关系式，并注明自变量的取值范围； (2)在平面直角坐标系中，画出的函数图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出的面积大于3时的取值范围．（结果保留一位小数，误差不超过0.2） 变式3-1．已知，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，，点，且a、b满足． (1)则____________；__________； (2)如图1，在x轴上是否存在点C，使三角形的面积等于三角形面积的一半？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，将线段向左平移m个单位，得到线段，其中点A，点B的对应点分别为点，点．若点在射线上，连接得到三角形，若三角形的面积大于三角形面积的并且小于三角形面积，则m的取值范围是______________． 变式3-2．在平面直角坐标系中，对于给定的两点，若存在点，使得的面积等于1，即，则称点为线段的“单位面积点”．解答下列问题：如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为．    (1)在点，，，中，线段的“单位面积点”是__________． (2)已知点，，将线段沿轴向上平移个单位长度，使得线段上存在线段的“单位面积点”，直接写出的取值范围． (3)已知点，，点是线段的两个“单位面积点”，点在的延长线上，若，直接写出点纵坐标的取值范围． 变式3-3．已知，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，轴，且、满足． (1)则 ， ， ； (2)如图1，在轴上是否存在点，使的面积等于的面积？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，连接交于点，是否存在一点在y轴上，使得的面积大于的面积，若有，请求出n的取值范围；若没有，请说明理由． 1．如图，在中，，，．动点P以每秒1个单位长度的速度从点C出发，沿折线运动，到达B点时停止运动，设点P的运动时间为秒，的面积为y． (1)求y关于t的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图像，并写出该函数的一条性质； (3)当的面积等于4时，结合函数图像，求的值． 2．如图，直线与轴、轴分别相交于点，点的坐标为，点是直线上一个动点． (1)在点运动过程中，试写出的面积与的函数关系式，并写出相应自变量的取值范围； (2)当点运动到什么位置时，的面积为9，求此时点的坐标； 3．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，且a，b满足关系式成立． (1)直接写出点A，B的坐标； (2)如图1，点是线段上的一个动点，轴于点E，轴于点M，轴于点F，连接．利用图形间的面积关系，可得到一个关于m与n之间的关系式，请求出这个关系式； (3)如图2，将线段沿与坐标轴平行的方向平移1次得到线段，当形成的面积为9时，请直接写出此时点的坐标． 4．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，将直线沿y轴向上平移4个单位与直线l交于点A，与x轴交于点C．    (1)求点A坐标； (2)点，连接AD，BD，求△ABD的面积； (3)点P为线段AB上一点，点Q为线段AC延长线上一点，且，连接PQ交x轴于点E，设点P的横坐标为m，四边形APEC的面积为S，求S与m的函数关系式（不需求自变量的取值范围）． 5．如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点． (1)求的面积： (2)如图2，点为轴上一动点（点在点的左侧），将点绕点逆时针旋转至点，连接并延长与轴交于点，当点在移动过程中，点的坐标是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变化，请求出点的坐标； (3)如图3，点为直线上一动点．已知，若三点在某长方形的内部或边上，该长方形的一条边与坐标轴平行．求点在移动过程中该长方形的面积最小值及此时的取值范围． 6．如图，过点的直线与坐标轴相交于、两点，已知点是第二象限的点，设的面积为．    (1)写出与之间的函数关系，并写出的取值范围； (2)当的面积为时，求出点的坐标； (3)在（2）的条件下，坐标轴上是否存在点，使得与、、中任意两点形成的三角形面积也为，若存在，请直接写出点的坐标． 7．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点P的坐标为，过点A分别作轴于点B，轴于点C．已知直线． (1)点C的坐标为___________； (2)通过计算说明一次函数的图象一定过点P； (3)直线、直线、直线不能组成三角形时，求k的值； (4)当直线与边有交点，且将四边形分成的两部分面积比为时，直接写出k的值． 8．如图（含备用图），在直角坐标系中，已知直线与轴相交于点，与轴交于点． (1)求的值及的面积； (2)点在轴上，若是以为腰的等腰三角形，直接写出点的坐标； (3)点在轴上，若点是直线上的一个动点，当的面积与的面积相等时，求点的坐标． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$