专题08 一次函数几何题型三大难点（专项训练）数学沪科版2024八年级上册

专题08 一次函数几何题型三大难点 目录 A题型建模・专项突破 题型一、一次函数与面积 1 题型二、一次函数与动点最值问题 5 题型三、一次函数综合 8 B综合攻坚・能力跃升 11 题型一、一次函数与面积 1．（2025·湖南长沙·一模）如图，直线与坐标轴分别交于两点，为坐标原点，则的面积为（   ） A．8 B．4 C．2 D．1 2．（24-25八年级上·河南郑州·期中）已知一次函数与的图象都经过，且与轴分别交于、两点，则的面积是(　　) A．4 B．2 C．6 D．12 3．（2024·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，O为坐标原点．若直线分别与x轴、直线交于点A、B，则的面积为（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 4．如图，直线分别交轴、轴于A、B，直线交轴于点C，交直线于点P，则的面积是（    ）    A．2 B．3 C． D．1 5．已知一次函数与的图象都经过点，且与y轴分别交于B，C两点，则的面积是(   ) A．12 B．13 C．16 D．18 6．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，已知一次函数，的图象交于点A，它们分别交x轴于点B，C，则的面积为（   ） A．1 B． C．2 D． 6．（2025·浙江·一模）在平面直角坐标系中，直线，，围成三角形的面积为 ． 7．如图，直线与轴交于点，与直线交于点． （1）的面积是 ； （2）点在直线上，直线经过点，且与轴交于点，若的面积是面积的，则的值为 ． 8．如图，已知一次函数的图象过点，，与正比例函数的图象交于点C．求： (1)一次函数的解析式； (2)的面积； (3)通过观察图象，当x取何范围时，一次函数的值大于正比例函数的值． 9．正比例函数和一次函数的图像交于点，且一次函数的图像交轴于点，交轴于点． (1)求正比例函数和一次函数的表达式； (2)利用图像，求关于的不等式的解集； (3)已知点在图像上，若，求的坐标． 10．如图，一次函数与的图象相交于点A． (1)求点A的坐标； (2)若一次函数与的图象与轴分别相交于点，，求的面积； (3)结合图象，直接写出时的取值范围． 11．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与一次函数的图象交于点，一次函数的图象还过点． (1)求点的坐标及一次函数的表达式； (2)设轴上有一点，过点作轴的垂线（垂线位于点的右侧），分别交两函数图象于点，连接，若，求的面积． 题型二、一次函数与动点最值问题 12．如图，在平面直角坐标系中，已知，将线段平移，得到线段（点的对应点为，点的对应点为，设． （1）三角形面积的最小值为 ； （2）当三角形的面积是4时，点的坐标是 ． 13．如图，正比例函数与一次函数的图象，它们交于点，一次函数的图象与y轴交于点B，与x轴交于点C．    (1)求k、a的值； (2)求的面积； (3)点P为y轴上的一个动点，求的最小值． 14．已知一次函数（为常数，且）． (1)若，且，两点均在该函数的图象上，试比较，的大小； (2)若时，有最小值，求的值； (3)已知，，若该函数的图象与线段没有公共点，求的取值范围． 15．如图，直线与轴交于点，直线（，为常数，且）与轴交于点，直线与交于点． (1)求点的坐标及直线的函数表达式； (2)已知点是线段上一个动点（不与端点重合）． 设点的横坐标是，的面积是，求与之间的函数关系式； 若点在轴上，使得的值最小，则点的坐标为_____． 16．已知一次函数的图象经过点和点． (1)求该一次函数的解析式； (2)当时，求函数y的最小值． 17．如图，一次函数 y＝-x+6的图像与正比例函数 y＝2x 的图像交于点 A． （1）求点 A 的坐标； （2）已知点 B 在直线 y＝-x+6上，且横坐标为5，在 x 轴上确定点 P，使 PA＋PB 的值最小，求出此时 P 点坐标，并直接写出 PA+PB 的最小值． 18．非负数满足，求的最大值与最小值． 19．草莓属于多年生草本植物，风味独特、营养丰富，具有生产周期短、见效快、经济效益高、适合设施栽培等特点．某经销商准备从一草莓种植基地购进甲、乙两种草莓进行销售，设经销商购进甲种草莓x千克，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示，购进乙种草莓的价格是每千克30元． (1)求y与x之间的函数关系式． (2)若经销商计划一次性购进甲、乙两种草莓共100千克，其中甲种草莓不少于40千克且不超过70千克，设经销商付款总金额为W元，求W的最小值． 题型三、一次函数综合 20．如图，已知一次函数，完成下列问题： (1)在所给直角坐标系中画出此函数的图象； (2)求直线与两坐标轴围成的面积． 21．如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，一次函数图象与y轴的交点为，与x轴的交点为D． (1)求一次函数的表达式； (2)一次函数的图象上是否存在点P，使得，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 22．如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线相交于点． (1)求直线的解析式． (2)求的面积． (3)在直线上是否存在点M，使的面积是的面积的？若存在求出此时点M的坐标；若不存在，说明理由． 23．如图，在平面直角坐标系内，O为坐标原点．经过点的直线交x轴正半轴于点B，交y轴于点C，，直线AD交x轴负半轴于点． (1)求直线AB，AD的表达式． (2)横坐标为m的点P在线段AB上（不与点A，B重合），过点P作x轴的平行线交AD于点E．设PE的长为，求a关于m的函数表达式，并直接写出相应的m的取值范围． 24．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点为直线上一点，直线过点C． (1)求m和b的值； (2)直线与x轴交于点D，动点P在线段DA上从点D开始以每秒1个单位的速度向A点运动．设点P的运动时间为t秒． ①若的面积为10，求t的值； ②是否存在t的值，使为等腰三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 1．已知两条直线y＝﹣x+6和y＝x﹣2，则它们与y轴所围成的三角形的面积是（　　） A．18 B．14 C．20 D．24 2．（2021·陕西西安·模拟预测）如图，一次函数的图象分别与轴、轴交于点、点，与正比例函数的图象交于点，则与的面积比为（    ） A． B．1 C． D．2 3．在平面直角坐标系中，线段的端点，直线与线段有交点，则k的值不可能是（   ） A．4 B． C．3 D． 4．直角坐标系中一次函数的图像与坐标轴围成的三角形，叫做此一次函数的坐标三角形．例如，图中的一次函数图像与x、y轴分别交于点A、B，则为此一次函数的坐标三角形．由以上可知，一次函数的坐标三角形的面积是 ． 5．如图，已知直线与y轴交于点，与直线交于点，则它们与轴所围成的的面积是 ． 6．我们知道横、纵坐标都为整数的点叫做整点．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，．从点处发出光线照射到线段上，光线将段分成了两部分．若这两部分上的整点个数相同，则k的取值范围是 ． 7．（24-25八年级上·宁夏银川·期末）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，与轴相交于点C． (1)求直线的解析式； (2)根据图象，写出关于的不等式的解集； (3)求的面积． 8．在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，． (1)画出该一次函数的图象，并求这个一次函数的解析式； (2)当时，的取值范围是 ； (3)如果点，那么的面积是 ． 9．如图，直线的解析表达式为：，且与x轴交于点D，直线经过点A，B，直线，交于点C． (1)求点D的坐标及直线的表达式； (2)求的面积； (3)在直线上是否存在点P，使得的面积是面积的2倍？若存在请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 一次函数几何题型三大难点 目录 A题型建模・专项突破 题型一、一次函数与面积 1 题型二、一次函数与动点最值问题 13 题型三、一次函数综合 23 B综合攻坚・能力跃升 30 题型一、一次函数与面积 1．（2025·湖南长沙·一模）如图，直线与坐标轴分别交于两点，为坐标原点，则的面积为（   ） A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点A，B的坐标，进而可得出，的长，再利用三角形的面积公式，即可求出的面积． 【详解】解：对于，当时，， ∴点B的坐标为， ∴； 当时，， 解得：， ∴点A的坐标为， ∴， ∴． 故选：B． 2．（24-25八年级上·河南郑州·期中）已知一次函数与的图象都经过，且与轴分别交于、两点，则的面积是(　　) A．4 B．2 C．6 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了用待定系数法求函数解析式以及一次函数与方程的关系，可先根据点的坐标用待定系数法求出，的值，即求出两个一次函数的解析式，进而求出它们与轴的交点，即，的坐标．那么三角形中，底边的长应该是，纵坐标差的绝对值，高就应该是点横坐标的绝对值，因此可根据三角形的面积公式求出三角形的面积． 【详解】解：把点代入， 得：， 点． 把点代入， 得：， 点． ， ． 答：的面积为， 故选：C． 3．（2024·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，O为坐标原点．若直线分别与x轴、直线交于点A、B，则的面积为（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了两直线与坐标轴围成图形的面积，求出交点坐标是解题的关键．根据方程或方程组得到，，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：如图，    在中，令，得， 解得，， ∴，， ∴的面积， 故选：B． 4．如图，直线分别交轴、轴于A、B，直线交轴于点C，交直线于点P，则的面积是（    ）    A．2 B．3 C． D．1 【答案】D 【分析】先求得直线与轴的交点坐标，再联立解方程组求得点P的坐标，利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：令，，； ∴， 解方程组，得， ∴， ∴的面积是， 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点坐标，求得点P的坐标是解题的关键． 5．已知一次函数与的图象都经过点，且与y轴分别交于B，C两点，则的面积是(   ) A．12 B．13 C．16 D．18 【答案】C 【分析】将点分别代入与求出m和n的值，再求出点B和点C的坐标，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：把点代入得：， 解得：， ∴， 把代入得：， ∴， 把点代入得：， 解得：， ∴， 把代入得：， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，以及一次函数图象上点的坐标，直线围成的三角形面积，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤． 6．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，已知一次函数，的图象交于点A，它们分别交x轴于点B，C，则的面积为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】题目主要考查一次函数的基本性质及交点和三角形面积问题，根据题意得出，，结合图形计算面积即可，熟练掌握一次函数与坐标轴的交点方法是解题关键 【详解】解：∵一次函数， ∴当时，， 解得：， ∵一次函数, ∴当时，， 解得： ， ∴， 当时，， 解得：， ∴， ∴， ∴， 边上的高即为点A的纵坐标1， ∴的面积为：， 故选：B 6．（2025·浙江·一模）在平面直角坐标系中，直线，，围成三角形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、解二元一次方程组以及三角形的面积，通过解方程组，求出三条直线的交点坐标是解题的关键． 设直线，交于点，直线，交于点，直线，交于点，通过解方程组，可求出点，，的坐标，再利用三角形的面积公式，即可求出结论． 【详解】解：设直线，交于点，直线，交于点，直线，交于点， 联立直线，的解析式组成方程组得：， 解得：， 点的坐标为， 同理：点的坐标为，点的坐标为． 过点作轴于点，过点作轴于点，则，，如图所示， ， ， 直线，，围成三角形的面积为． 故答案为：． 7．如图，直线与轴交于点，与直线交于点． （1）的面积是 ； （2）点在直线上，直线经过点，且与轴交于点，若的面积是面积的，则的值为 ． 【答案】 10 1或 【分析】本题考查一次函数解析式，三角形的面积，正确理解题意是解题的关键： （1）联立，求出，再求出，进而可求出面积； （2）求出，再得出的面积是，设，得出，即，求出或，再利用待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：联立， 解得：， 所以， 令，则0， 解得， 所以， 所以的面积是； （2）因为点在直线上， 所以， 所以， 因为的面积是面积的， 所以的面积是， 设， 因为， 所以 ． 因为，即， 则或， 当时，解得，所以； 当时，解得，所以． 当时， 得出， 解得； 当时， 得出， 解得； 所以的值为1或， 故答案为：10；1或． 8．如图，已知一次函数的图象过点，，与正比例函数的图象交于点C．求： (1)一次函数的解析式； (2)的面积； (3)通过观察图象，当x取何范围时，一次函数的值大于正比例函数的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查一次函数的综合应用，正确求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）联立两个解析式，求出点坐标，利用面积公式进行计算即可； （3）图象法进行求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象过点，， ∴设一次函数的解析式为， 把，代入，得：，解得：， ∴； （2）联立，解得：， ∴， ∵， ∴； （3）由图象可知：，一次函数的值大于正比例函数的值． 9．正比例函数和一次函数的图像交于点，且一次函数的图像交轴于点，交轴于点． (1)求正比例函数和一次函数的表达式； (2)利用图像，求关于的不等式的解集； (3)已知点在图像上，若，求的坐标． 【答案】(1)正比例函数表达式为；一次函数表达式为； (2)； (3)或． 【分析】（1）利用正比例函数过点，将点坐标代入可求即可求得正比例函数．利用一次函数过点和，代入两点坐标列方程组求解、即可求得一次函数； （2）不等式的解集，就是正比例函数图像在一次函数图像上方时的取值范围，结合两函数交点的横坐标判断； （3）先求出的面积，再根据求出的面积，设点坐标，利用三角形面积公式（为底，点纵坐标的绝对值为高）求出的值，再代入一次函数表达式求，得到点坐标． 本题主要考查了正比例函数与一次函数的表达式求解、利用函数图像解不等式以及三角形面积与函数坐标的综合应用，熟练掌握函数图像上点的坐标特征、一次函数与正比例函数的性质及三角形面积公式是解题的关键． 【详解】（1）解：正比例函数过点 ， 解得， 正比例函数表达式为； 一次函数过点， 解得，， 一次函数表达式为； （2）解：正比例函数和一次函数交于点，且不等式表示正比例函数图像在一次函数图像上方． ； （3）解：，点纵坐标为， ． ． 设， ， ，即， 解得或． 当时，， 解得，此时； 当时，， 解得，此时； 综上，的坐标为或． 10．如图，一次函数与的图象相交于点A． (1)求点A的坐标； (2)若一次函数与的图象与轴分别相交于点，，求的面积； (3)结合图象，直接写出时的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式之间的关系，两直线交点坐标的求法和三角形面积的求法，求出点A、B、C的坐标是解题的关键． （1）将两个函数表达式联立解得，即可得点A的坐标； （2）先根据两个函数表达式求出点B、C的坐标，从而得到的长，再利用三角形的面积公式可得结果； （3）根据两函数图象和点A的坐标即可得到不等式解集． 【详解】（1）解：当时， ， 解得， ∴ ∴点A 的坐标为． （2）解：当 时，， 解得， 则点坐标为； 当 时，， 解得， 则点坐标为． ， 的面积． （3）解：∵一次函数与的图象相交于点， ∴当时，的取值范围是． 11．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与一次函数的图象交于点，一次函数的图象还过点． (1)求点的坐标及一次函数的表达式； (2)设轴上有一点，过点作轴的垂线（垂线位于点的右侧），分别交两函数图象于点，连接，若，求的面积． 【答案】(1)， (2)28 【分析】本题主要考查待定系数法求函数解析式和函数的交点问题，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．注意数形结合思想的应用． （1）根据正比例函数可得A的坐标，再由A的坐标和点可得一次函数的解析式； （2）分别用含m的代数式表示出B和C的坐标，根据可得m的值，再利用三角形的面积公式可得答案． 【详解】（1）解：在中，当时，， ∴， 把和代入可得， 解得， 所以一次函数的解析式为； （2）解：由题意可得， ∴， ∴，解得， 即， ∴． 题型二、一次函数与动点最值问题 12．如图，在平面直角坐标系中，已知，将线段平移，得到线段（点的对应点为，点的对应点为，设． （1）三角形面积的最小值为 ； （2）当三角形的面积是4时，点的坐标是 ． 【答案】 2 【分析】本题考查平移的性质，一次函数的最值； （1）根据题意得到，根据平移得到，即可求出，根据一次函数的增减性求最值即可； （2）求出，然后令解出x的值，即可得到点C的坐标． 【详解】解：（1）由得， 又∵线段平移，得到线段， ∴，点C和点D的纵坐标相同， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴随x的增大而减小， ∴当时，最小为2； （2）， 令，则， 解得：， ∴ 点C的坐标为， 故答案为：；． 13．如图，正比例函数与一次函数的图象，它们交于点，一次函数的图象与y轴交于点B，与x轴交于点C．    (1)求k、a的值； (2)求的面积； (3)点P为y轴上的一个动点，求的最小值． 【答案】(1)； (2) (3)5 【分析】（1）把分别代入函数解析式求出k、a的值即可； （2）求出点的坐标为，然后再求出三角形的面积即可； （3）先求出点，作点C关于y轴的对称点D，连接交轴于一点P，得出点D的坐标为，根据点C与点D关于y轴对称，得出，根据两点之间线段最短，得出当点D、P、A在同一直线上时，最小，即最小，求出最小值即可． 【详解】（1）解：把代入得：， 解得：， 把代入得：， 解得：． （2）解：把代入得：， ∴点的坐标为， ∴． （3）解：∵， ∴一次函数解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴， 作点C关于y轴的对称点D，连接交轴于一点P，如图所示：    则点D的坐标为， ∵点C与点D关于y轴对称， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当点D、P、A在同一直线上时，最小，即最小， ∴的最小值为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数的综合应用，两点间距离公式，轴对称的性质，三角形面积的计算，解题的关键是数形结合，作出相应的辅助线． 14．已知一次函数（为常数，且）． (1)若，且，两点均在该函数的图象上，试比较，的大小； (2)若时，有最小值，求的值； (3)已知，，若该函数的图象与线段没有公共点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系、一次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． （1）依据题意，由，则一次函数为，故该函数随的增大而增大，又，两点均在该函数的图象上，且，进而可以判断得解； （2）依据题意，由当时，有最小值，从而可分①当时和②当时，分别进行分析计算可以得解； （3）依据题意，由，可得一次函数必过，然后作出图象进行分析即可判断得解． 【详解】（1）解：由题意，， 一次函数为，, 该函数随的增大而增大． 又，两点均在该函数的图象上，且， ． （2）解：由题意，当时，有最小值， ①当时，当时，取最小值，即． ，符合题意． ②当时，当时，取最小值，即． ，符合题意． 综上，或． （3）解：由题意，， ． 当时，． 一次函数必过． 作图如下． 由题意，当一次函数过时， 则， 可得； 当一次函数过时， 则， 可得， 该函数的图象与线段没有公共点， 结合图象可得，或． 15．如图，直线与轴交于点，直线（，为常数，且）与轴交于点，直线与交于点． (1)求点的坐标及直线的函数表达式； (2)已知点是线段上一个动点（不与端点重合）． 设点的横坐标是，的面积是，求与之间的函数关系式； 若点在轴上，使得的值最小，则点的坐标为_____． 【答案】(1)直线的函数表达式为； (2)与之间的函数关系式为；． 【分析】本题考查了两条直线相交或平行问题，待定系数法求一次函数的解析式，轴对称-最短路线问题，熟练掌握待定系数法，三角形的面积公式以及轴对称的性质是解题的关键． （）依据题意，把代入直线中求得的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线 的函数表达式； （）依据题意设坐标是，则，根据三角形的面积公式即可列出与的函数关系式； 依据题意，作出关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点，当 时，值最小，进而可以判断得解． 【详解】（1）解：∵直线过点， ∴， ∴， ∵直线过， ∴， ∴， ∴直线的函数表达式为； （2）解：由题意，设坐标是，， ∵在直线上， ∴， ∵直线与轴交于点， ∴时， ∴， ∴， ∵ ， ∴与之间的函数关系式为； 如图，作出关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点，由垂线段最短，当时，最小，此时最小， ∵， ∴， 由得：， ∵， ∴， 解得：（负值已舍去）， ∴， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线为， ∴令，则， ∴点坐标， 故答案为：． 16．已知一次函数的图象经过点和点． (1)求该一次函数的解析式； (2)当时，求函数y的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数解析式，一次函数的图象与性质．熟练掌握一次函数解析式，一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）待定系数法求解即可； （2）根据一次函数随的变化情况求解即可． 【详解】（1）解：将，代入， 得， 解得， ． （2），， 随着的增大而减小， 当时，函数有最小值，最小值为， 当时，函数的最小值为． 17．如图，一次函数 y＝-x+6的图像与正比例函数 y＝2x 的图像交于点 A． （1）求点 A 的坐标； （2）已知点 B 在直线 y＝-x+6上，且横坐标为5，在 x 轴上确定点 P，使 PA＋PB 的值最小，求出此时 P 点坐标，并直接写出 PA+PB 的最小值． 【答案】（1）点 A 的坐标(2，4)；（2）P 点坐标为(，0)，PA＋PB 的最小值为． 【分析】(1)把两个函数关系式联立成方程组求解，即可求得交点A的坐标； (2)作点B关于轴的对称点C，连接AC交轴于P，连接PB，此时PA+PB的值最小，利用两点之间的距离公式计算即可求得最小值． 【详解】(1)解方程组， 得：， ∴点A的坐标为(2，4)； (2) ∵点B在直线上，且横坐标为5， ∴点B的坐标为(5，1)， 作B点关于x轴对称点C， 则点C的坐标为(5，-1)， 连接AC交轴于P，连接PB，此时PA+PB的值最小， 设直线AC的表达式为， 将点A、C的坐标(2，4)、(5，-1)代入，得：， 解得：， ∴直线AC的表达式为， 令，则， ∴P点坐标为(，0)， ∴PA+PB的最小值=AC=． 【点睛】本题考查了轴对称-最短问题，一次函数的交点问题，一次函数的应用，两点间距离公式等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题． 18．非负数满足，求的最大值与最小值． 【答案】8，2 【分析】本题考查了含多变量的方程组解法、非负数的性质以及一次函数的最值问题，解题的关键是通过解方程组用一个变量表示其他变量，再根据非负数的条件确定该变量的取值范围，进而转化为函数最值求解． 先通过解方程组，用c表示a和再根据是非负数的条件，确定c的取值范围；然后将表示为关于c的函数，结合c的范围利用一次函数的单调性求s的最大值与最小值． 【详解】解：联立方程组． 将两方程相加得：解得； 将两方程相减得：解得． ∵是非负数， ∴ 解得． 由得 ∴． ∵ 是关于c的一次函数，且， ∴当时，s取最小值，； 当时，s取最大值，． 故答案为：最大值是8，最小值是2． 19．草莓属于多年生草本植物，风味独特、营养丰富，具有生产周期短、见效快、经济效益高、适合设施栽培等特点．某经销商准备从一草莓种植基地购进甲、乙两种草莓进行销售，设经销商购进甲种草莓x千克，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示，购进乙种草莓的价格是每千克30元． (1)求y与x之间的函数关系式． (2)若经销商计划一次性购进甲、乙两种草莓共100千克，其中甲种草莓不少于40千克且不超过70千克，设经销商付款总金额为W元，求W的最小值． 【答案】(1) (2)3300 【分析】本题考查一次函数的实际应用： （1）分和，两段，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出关于的一次函数，利用一次函数的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：当时， 设函数解析式为， 将点代入得， 解得， ∴； 当时，设函数解析式为， 将点，代入得 ， 解得， ∴． ∴y与x之间的函数关系式为． （2）解：由题意可知， 当时，， ∵， ∴W随x的增大而增大，当时，W最小，最小值为3400， 当时，， ∵， ∴W随x的增大而减小，当时，W最小，最小值为3300， ∵， ∴W的最小值为3300. 题型三、一次函数综合 20．如图，已知一次函数，完成下列问题： (1)在所给直角坐标系中画出此函数的图象； (2)求直线与两坐标轴围成的面积． 【答案】(1)见详解 (2)3 【分析】本题考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． （1）根据题目中的函数解析式，可以求得相关点的坐标，即可画出相应的函数图象； （2）根据（1）的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：∵一次函数， ∴当时，；当时，， ∴函数图象与轴交于点，与轴交于点； 函数图象如图所示： （2）解：直线与两坐标轴围成的面积． 21．如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，一次函数图象与y轴的交点为，与x轴的交点为D． (1)求一次函数的表达式； (2)一次函数的图象上是否存在点P，使得，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点的坐标或． 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式、一次函数交点问题等知识，解题关键是运用数形结合的思想分析问题． （1）首先确定点的坐标，然后利用待定系数法计算一次函数解析式即可； （2）设点，再确定点坐标，易知，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵正比例函数的图像与一次函数的图像交于点， ∴可有，解得， ∴点的坐标； ∵一次函数的图像过点和点， 则有， 解得， ∴一次函数解析式为； （2）存在，理由如下： 设点， ∵点P在一次函数的图象上 ∴ 对于一次函数，令， 则有，解得， ∴点，故， 根据题意可知：， ∴ 解得， 当时，，解得 当时，，解得 ∴点的坐标或． 22．如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线相交于点． (1)求直线的解析式． (2)求的面积． (3)在直线上是否存在点M，使的面积是的面积的？若存在求出此时点M的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数与几何综合，正确求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）求出点C坐标，根据计算求解即可； （3）求出的面积，进而可得点M的横坐标，进而可求出点M的坐标． 【详解】（1）解：∵直线：与直线相交于点， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； （2）解：在中，当时，， ∴， ∴； （3）解：∵的面积是的面积的， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，，当时，， ∴点M的坐标为或． 23．如图，在平面直角坐标系内，O为坐标原点．经过点的直线交x轴正半轴于点B，交y轴于点C，，直线AD交x轴负半轴于点． (1)求直线AB，AD的表达式． (2)横坐标为m的点P在线段AB上（不与点A，B重合），过点P作x轴的平行线交AD于点E．设PE的长为，求a关于m的函数表达式，并直接写出相应的m的取值范围． 【答案】(1)直线的表达式为，直线的表达式为 (2) 【分析】本题考查待定系数法求一次函数的解析式，直线上点的坐标特点，解答本题时求出函数的解析式是关键． （1）利用待定系数法求一次函数的解析式即可； （2）将点P的横坐标代入直线的解析式，求出P的纵坐标，将P的纵坐标代入直线的解析式就可以求出E的横坐标，求出线段的长解答即可． 【详解】（1）解：因为， 所以设直线的表达式为． 因为直线经过点， 所以，解得， 所以直线的表达式为． 设直线的表达式为． 将，代入， 得，解得， 所以直线的表达式为． （2）解：如图，因为点P在线段上，且横坐标为m， 所以． 因为轴，所以点E的纵坐标为， 代入直线，得， 解得， 所以， 所以， 即a关于m的函数表达式为． 24．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点为直线上一点，直线过点C． (1)求m和b的值； (2)直线与x轴交于点D，动点P在线段DA上从点D开始以每秒1个单位的速度向A点运动．设点P的运动时间为t秒． ①若的面积为10，求t的值； ②是否存在t的值，使为等腰三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①7秒；②存在，或或8 【分析】（1）把点代入直线中得：，则点，直线过点C，，； （2）①由题意得：，中，当时，，，，即可求解； ②分三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：把点代入直线中得：， ∴点， ∵直线过点C， ， 解得； （2）①由题意得：， 中，当时，， 解得， ∴， 中，当时，， 解得， ∴， ∴， ∵的面积为10， ∴， 解得， 则t的值7秒； ②设点，点A、C的坐标为：， 当时，则点C在AP的中垂线上，即， 解得：； 当时，则点P在点C的正下方，故， 解得：； 当时， 同理可得：或（舍去） 故：当或或8时，为等腰三角形． 【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到等腰三角形的性质、面积的计算等，其中②，要注意分类求解，避免遗漏． 1．已知两条直线y＝﹣x+6和y＝x﹣2，则它们与y轴所围成的三角形的面积是（　　） A．18 B．14 C．20 D．24 【答案】C 【分析】首先求得两直线的交点坐标，然后求得两函数图象与y轴的交点坐标，然后求得与y轴围成的三角形的面积即可． 【详解】解：联立， 解得， 所以，两直线的交点坐标为（5，3）， 令x＝0，则y＝6，y＝﹣2， 所以，两直线与y轴的交点坐标分别为（0，6），（0，﹣2）， ∴它们与y轴所围成的三角形的面积＝×（6+2）×5＝20． 故选：C． 【点睛】本题主要考查一次函数的综合，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 2．（2021·陕西西安·模拟预测）如图，一次函数的图象分别与轴、轴交于点、点，与正比例函数的图象交于点，则与的面积比为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】利用一次函数的性质得到A，B，C的坐标，即可求解． 【详解】解：∵一次函数的图象分别与轴、轴交于点、点， ∴,， ∵一次函数与正比例函数的图象交于点， ∴ 可得， ∴的面积为，的面积为， ∴与的面积比为， 故选：A． 【点睛】本题考查一次函数的图象与性质，掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 3．在平面直角坐标系中，线段的端点，直线与线段有交点，则k的值不可能是（   ） A．4 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的性质：当时，图象必过第一、三象限，越大直线越靠近轴；当时，图象必过第二、四象限，越小直线越靠近轴．当直线与线段的交点为点时，把代入，求出，根据一次函数的有关性质得到当时直线与线段有交点；当直线与线段的交点为点时，把代入，求出，根据一次函数的有关性质得到，当时，直线与线段有交点，从而能得到正确选项． 【详解】解：把代入，得， 解得． 当直线与线段有交点，且过第二、四象限时，满足的条件为； 把代入，得， 解得． 当直线与线段有交点，且过第一、三象限时，满足的条件为． 当或时，直线与线段有交点， 的值不可能是． 故选：D． 4．直角坐标系中一次函数的图像与坐标轴围成的三角形，叫做此一次函数的坐标三角形．例如，图中的一次函数图像与x、y轴分别交于点A、B，则为此一次函数的坐标三角形．由以上可知，一次函数的坐标三角形的面积是 ． 【答案】9 【分析】本题考查在直角坐标系中求三角形的面积、一次函数与坐标轴的交点问题，分别令、求得、，再利用面积公式求解即可． 【详解】解：把代入得，，解得， ∴， 把代入得，， ∴， ∴， 故答案为：9． 5．如图，已知直线与y轴交于点，与直线交于点，则它们与轴所围成的的面积是 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了一次函数的交点问题．对于，令，可求出点A的坐标，然后联立两函数解析式可求出点B的坐标，再利用三角形的面积公式解答即可． 【详解】解：对于， 当时，， ∴点A的坐标为， ∴， 联立得：， 解得：， ∴点B的坐标为， ∴． 故答案为：6． 6．我们知道横、纵坐标都为整数的点叫做整点．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，．从点处发出光线照射到线段上，光线将段分成了两部分．若这两部分上的整点个数相同，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】确定线段解析式，且，确定整点有，，，，，，，，共有8个， 由这两部分上的整点个数相同，故一边各有4个整点，其中点，是临界点， 当直线经过点时，得，解得，符合题意的直线在此时直线的右侧，故；当直线经过点时，得，解得， 此时符合题意的直线在此时直线的左侧，故；解答即可． 本题考查了待定系数法，整点，熟练掌握待定系数法，整点的意义是解题的关键． 【详解】解：设的解析式为，由点A，B的坐标分别为， 得， 解得， 故解析式为，且， 故整点有，，，，，，，，共有8个， 由这两部分上的整点个数相同， 故一边各有4个整点，其中点，是临界点， 当直线经过点时，得，解得， 符合题意的直线在此时直线的右侧，故； 当直线经过点时，得，解得， 此时符合题意的直线在此时直线的左侧，故； 综上所述，符合题意的k的取值范围是． 故答案为：． 7．（24-25八年级上·宁夏银川·期末）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，与轴相交于点C． (1)求直线的解析式； (2)根据图象，写出关于的不等式的解集； (3)求的面积． 【答案】(1)直线解析式为 (2) (3)的面积是 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，待定系数法求一次函数的解析式以及两条直线相交或平行问题，解题的关键是掌握待定系数法，能求出两条直线的交点坐标． （1）用待定系数法即可得直线的解析式； （2）根据交点坐标解答即可； （3）根据三角形面积公式解答即可． 【详解】（1）解：将代入直线解析式为， ， 解得， ∴直线解析式为； （2）由交点A可知，不等式的解集是； （3）当时，， ， ∴的面积为：． 8．在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，． (1)画出该一次函数的图象，并求这个一次函数的解析式； (2)当时，的取值范围是 ； (3)如果点，那么的面积是 ． 【答案】(1)见解析， (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征待定系数法求一次函数解析式：求一次函数，则需要两组，的值． （1）利用描点法画出一次函数图象，然后利用待定系数法求出一次函数解析式； （2）先分别确定函数值为和所对应的自变量的值，然后根据一次函数的性质求解； （3）直接利用三角形面积公式计算． 【详解】（1）解：如图， 把，分别代入得， 解得， 这个一次函数的解析式为； （2）当时，， 当时，， 解得， 当时，的取值范围是； 故答案为：； （3），，， 的面积． 故答案为：． 9．如图，直线的解析表达式为：，且与x轴交于点D，直线经过点A，B，直线，交于点C． (1)求点D的坐标及直线的表达式； (2)求的面积； (3)在直线上是否存在点P，使得的面积是面积的2倍？若存在请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，求一次函数与坐标轴的交点坐标，求解两直线的交点坐标，图形与坐标，掌握以上知识是解题的关键． （1）当时，由，解方程可得点D的坐标，设直线的表达式为，利用待定系数法求解解析式即可； （2）联立，先解方程组求解点C的坐标，再求解的长度，利用，从而可得答案； （3）设点P的坐标，再利用，解方程可得P的坐标． 【详解】（1）解：当时，， 解得：， 点D的坐标为， 由图知， 设直线的表达式为，则 ， 解得：， 直线的表达式为； （2）由题意得：， 解得：， 点C的坐标为， ， ， ， 的面积为； （3）存在，点P的坐标为或，理由如下： 点P在直线上， 设点P坐标为， ， ， ， ， ， 解得：， 点P坐标为或． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$