精品解析：江西省宜春市丰城市第九中学2026届高三上学期开学考试数学试题（日新班）

江西省宜春市丰城市第九中学2026届高三上学期开学考试数学试题（日新班） 考试时间：120分钟 试卷总分：150分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用复数除法的几何意义及共轭复数的定义求复数的模长. 【详解】因为，则. 故选：D 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求解集合A，B，再利用交集的定义直接计算作答. 【详解】∵，， ∴. 故选：D. 3. 在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.由于随机因素的干扰，发送信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送0时，接收为0和1的概率分别为和；发送1时，接收为0和1的概率分别为和.若接收信号为1的概率为，则发送信号为1的概率为（ ） A. 0.2 B. 0.5 C. 0.8 D. 0.9 【答案】C 【解析】 【分析】设事件为“发送信号”，事件为“发送信号”，事件为“接收信号为”，事件为“接收信号为”， 设发送信号为1的概率为，利用全概率公式得到方程，解得即可. 【详解】根据题意，设事件为“发送信号”，事件为“发送信号”，事件为“接收信号为”，事件为“接收信号为”， 则，，，. 设发送信号为1的概率为， 则接收信号为的概率 ， 解得，即发送信号为的概率为. 故选：C 4. 河南具有悠久的历史和丰富的文化底蕴，其美食也独具特色．现有一名游客计划在三天内品尝完以下六种河南特色美食：烩面、胡辣汤、灌汤包、道口烧鸡、焖饼、黄河鲤鱼．该游客每天从这六种美食中选择1到3种进行品尝（每天必须选择且不能重复选择已品尝过的美食）．若三天后恰好品尝完所有美食，则不同的选法种数为（ ） A. 450 B. 360 C. 180 D. 90 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可知分配方式有和两种情况，然后分别计算这两种情况的选法种数，最后相加就是所求答案. 【详解】①计算按照分配的选法种数. 根据分步乘法计数原理，按分配的选法种数为： 种. ②按照分配的选法种数为： 种. 最后将两种选法种数相加得到总的选法种数为种. 故选：A. 5. 已知、，且，则（ ） A. B. C. D. 无法确定、的大小 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数、，利用导数分析这两个函数的单调性，结合零点存在定理可得出、的大小关系. 【详解】令，则， 当时，，故恒成立， 故在上单调递增， 又，， 由零点存在定理得， 令，则， 由上面的求解可知在上单调递增， 且存在，使得， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又，， 故的零点，，所以. 故选：A. 6. 已知为单位向量，，，当取到最大值时，等于（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设单位向量，则，，利用两向量夹角的余弦公式写出，通过两次换元法及基本不等式将化简为，最后判断函数的单调性从而确定使得取得最小值时的y的值. 【详解】设单位向量，则，因为，所以， ，令， 则， 令，当且仅当时取等号， 则，函数在上单调递增，当时，取得最小值，取到最大值， 此时，. 故选：A 7. 已知分别为双曲线的左、右焦点，直线过与交于两点，若，，则的渐近线为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意求得，，，，结合余弦定理求得即可. 【详解】 由，即，可得． 设，，，根据上述条件及双曲线的定义，可知 ，，． 又因为，所以， 故，，，． 在中，由， 得，得，即， 得，故的两条渐近线方程为． 故选：A． 8. 已知正四棱锥P-ABCD中，各棱长均相等，球是该四棱锥的内切球，球与球相切，且与该四棱锥的四个侧面也相切；球与球相切，且与该四棱锥的四个侧面也相切，球的半径大于球的半径，则球与球的表面积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过已知正四棱锥顶点及底面正方形一组对边中点作截面，将问题转化为三角形及内部一系列圆相切问题求解作答. 【详解】 在正四棱锥中，令各棱长为2，O为正方形ABCD的中心，M，Q分别为边AB，CD的中点， 过点P，M，Q的平面截正四棱锥得等腰，截球O1，球O2，球O3，得对应球的截面大圆，如图： 显然，， 令N为圆与PM相切的切点，则，设球的半径为，即， 因为，则，显然，， 设球与球相切于点T，则， 设球的半径为，同理可得，即， 设球与球相切于点S，则， 设球的半径为，同理可得，即，， 所以， 故选：B 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，至少有两项是符合题目要求的） 9. 已知函数的部分图象如图，将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则（ ） A. B. 的图象的对称中心为 C. D. 的递增区间为， 【答案】AD 【解析】 【分析】求得，逐一验证各个选项即可. 【详解】由已知函数周期为，所以，由图可知，解得， 所以，作出的部分图象， 由图，，所以A正确，C错误； 函数关于对称，所以函数的对称中心为，，B错误； 函数的递增区间为，，D正确； 故选：AD． 10. 若，，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】先将，化为对数式，然后比较与的大小，及与的大小可判断A，B的正误；再分别计算及，判断C，D的正误. 【详解】由题设知，，因为，， 所以，，即A错误，B正确； 因为，故C正确； 又， 故选：BCD. 【点睛】本题考查指数式与对数式的互化，考查对数式的大小比较及对数的运算，难度一般. 11. 在棱长为2正方体中，为的中点，是侧面内的一点（包含边界），则以下结论正确的是（ ） A. 若，则点的轨迹长度为 B. 与所成角的最大值为 C. 若三棱锥的体积为，则点的轨迹长度为 D. 若在线段上，则三棱锥的外接球表面积的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】分析可知，根据勾股定理可得，进而可知点的运动轨迹是以为圆心，为半径，圆心角为，即可判断选项A；连接，，，，易得为等腰三角形.当点为的中点时，，故，此时与所成角为，即可判断选项B；由可知平面，故点的轨迹为线段，即可判断选项C；设，易知当点为的中点时，最大，此时；当点F与点C或点重合时，最小，此时，所以，故由正弦定理可得的外接圆直径，进而可求三棱锥的外接球的半径的范围，即可判断选项D. 【详解】∵点在侧面内，∴平面. ∵平面，平面，∴. 在中，由可得. ∴点的运动轨迹是以为圆心，为半径，圆心角为， ∴点的轨迹长度为，故选项A正确； 如图所示，连接，，. 在中，. 同理可得，∴为等腰三角形. 当点为的中点时，连接，此时有. 在正方体中易知，∴，此时与所成角为，故选项B错误； ∵，∴平面， ∴点的轨迹为线段，∴点的轨迹长度为，故选项C正确； 设，易知当点为的中点时，最大. 取的中点，则，， ∴； 当点F与点C或点重合时，最小，此时，所以. ∵，，在球面上，∴的外接圆直径. ∴三棱锥的外接球的直径为， ∴三棱锥的外接球的半径， ∴三棱锥的外接球的表面积为，故选项D正确. 故选：ACD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，请把正确答案填在题中横线上） 12. 已知多项式，则______. 【答案】18 【解析】 【分析】结合赋值法，分别令和，可得和，再把两式相加，可求的值. 【详解】令，可得， 令，可得， 两式相加可得. 故答案为：18 13. 为了保持某自然生态保护区的生态平衡，现用重捕法了解该保护区内某种动物的大致数量（单位：只），随机在保护区内捕捉了100只该动物并做上标记，一段时间后再随机捕捉100只，用表示第二次捕捉的100只中有标记的数量．若以使得的概率最大时的值作为该保护区内这种动物的数量的估计值，则的估计值是_______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据超几何分布，得到，求得，得到，结合，求得，进而得到答案． 【详解】由题意得，随机变量服从超几何分布，即， 记，则， 所以． 当时，，解得， 当时，，故当时，最大，的估计值为． 故答案为：. 14. 菱形中，，点在线段上，且，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】设，进一步将其表示成以，为基底的向量，结合已知条件，可得关于和的方程组，解之，再根据模长的计算方法，得的值从而得解． 【详解】因为，所以， 所以， 因为点在线段上， 可设 ， 而，所以，解得， 所以， 则， 所以，故. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：设，进一步将其表示成以，为基底的向量，从而可解. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算） 15. 已知函数. （1）若函数的图像在点处的切线与直线垂直，求实数的值； （2）若，求函数的单调区间. 【答案】（1） （2）函数的单调增区间为，单调减区间为. 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）先对函数求导，利用导函数的正负确定函数单调区间即可. 【小问1详解】 由题意知的定义域为， 由题设知函数的图象在点处的切线斜率为，即， 所以； 【小问2详解】 由于的定义域为， 当时，单调增；当单调减， 故函数的单调增区间为，单调减区间为. 16. 随着郑钦文获得2024年巴黎奥运会网球女单冠军，中国各地再度掀起网球热．某小区举行“贺岁杯”网球锦标赛，甲、乙、丙、丁四位网球爱好者顺利挺进四强，四强对阵形势为：甲对丙，乙对丁，胜者进决赛，决赛胜者获冠军．已知甲胜乙、丙的概率均为，乙胜丁的概率为，甲胜丁的概率为，且各场比赛的结果相互独立． （1）求甲获得冠军的概率； （2）如果甲、乙顺利挺进决赛，并且决赛采用五盘三胜制（即先赢三盘者获胜，并结束比赛），甲每盘获胜的概率为．求在决赛中甲获胜的条件下，比赛进行五盘的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用相互独立事件、互斥事件的概率公式列式计算. （2）利用独立重复试验的概率及互斥事件的概率求出条件概率. 【小问1详解】 设“甲胜丙”；“乙胜丁”；“甲胜乙”；“甲胜丁”；“甲获得冠军”， 则， ， 所以甲获得冠军的概率是. 【小问2详解】 记“决赛中甲获胜”，“比赛打满5盘”， 甲胜包括甲“连赢三盘”、“前三盘两胜一负第四盘胜”、“前四盘两胜两负，第五盘胜”三种情况， 因此，， 因此，所以在决赛中甲获胜的条件下，比赛进行五盘的概率为． 17. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，，，侧面为等边三角形，平面平面，E为PB中点． （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 如图所示，作线段的中点，连接， 因为侧面为等边三角形，所以， 因为平面平面，平面平面，面， 所以平面，因为平面，所以， 因为底面为矩形，所以， 因为，面，面，所以面， 因为平面，所以平面面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质定理得出平面，接着求证面，再根据面面垂直的判定定理即可得证. （2）根据几何体的性质，建立空间直角坐标系，根据面面角的向量方法，求出面的法向量即可计算求出面与面夹角的余弦值. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 如图所示，作中点，连接，则 由（1）可得，面，面，所以面， 则可以为坐标原点，以分别为轴，建立空间直角坐标系； 则， 可得， 设面的法向量为，则，得， 令，解得，所以面的一个法向量为， 易知面得一个法向量为， 设平面与平面夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 18. 已知是各项均为正数的数列，为前n项和，且，，成等差数列. （1）求的通项公式； （2）求证：； （3）已知，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） ， 故 . （3） 【解析】 【分析】（1）根据的关系可证明为等差数列，即可求解， （2）利用放缩法可得，即可由裂项相消法求和得解， （3）对分奇偶，即可利用平方差公式，结合等差数列求和公式即可求解. 【小问1详解】 由，，成等差数列，得，① 当时，， ∴，得（舍去）， 当时，，② ①-②得，， ∴， 又，∴， ∴是首项为2，公差为1的等差数列， ∴，故； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（1）知， 当是奇数时， ， 当是偶数时， ， 综上. 19. 已知椭圆过点，短轴长为. （1）求椭圆的方程； （2）已知点，若椭圆上的点到的距离的最小值是，求正实数的值； （3）椭圆与轴的交点为、（点位于点的上方），直线与椭圆交于不同的两点、.设直线与直线相交于点，求的最小值. 【答案】（1） （2）或 （3）. 【解析】 【分析】（1）依题意可得，即可求出、，从而得解； （2）设椭圆上任一点为，则点到的距离，结合椭圆上点的横坐标范围与函数单调性即可得最值，从而得正实数的值； （3）将直线与椭圆联立消，设直线、的方程，结合韦达定理化简计算解出的轨迹方程，利用对称性即可求解的最小值． 【小问1详解】 由题意得椭圆过点，且短轴长为， 可得，解得， 可得椭圆的方程为； 【小问2详解】 设椭圆上任一点为，故，则， 则点到的距离为， 由于在椭圆上，所以， 令二次函数，其对称轴为， 而，当时，解得， 此时，解得或 （舍）， 当时，解得， 此时二次函数在上单调递减， 则当时，二次函数取得最小值， 此时， 解得或（舍）； 综上，或； 【小问3详解】 设点、， 直线与椭圆的方程联立消去整理得， 由， 且，所以， 由于在椭圆上，则， 所以，则， 易知、，则直线的方程为， 直线的方程为， 两式作商得 解得，故在定直线上， 由图可知，点、都在直线的上方，点关于直线的对称点为原点， 由对称性知，所以， 当且仅当为线段与直线的交点时，即点的坐标为时等号成立， 故的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省宜春市丰城市第九中学2026届高三上学期开学考试数学试题（日新班） 考试时间：120分钟 试卷总分：150分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.由于随机因素的干扰，发送信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送0时，接收为0和1的概率分别为和；发送1时，接收为0和1的概率分别为和.若接收信号为1的概率为，则发送信号为1的概率为（ ） A. 0.2 B. 0.5 C. 0.8 D. 0.9 4. 河南具有悠久的历史和丰富的文化底蕴，其美食也独具特色．现有一名游客计划在三天内品尝完以下六种河南特色美食：烩面、胡辣汤、灌汤包、道口烧鸡、焖饼、黄河鲤鱼．该游客每天从这六种美食中选择1到3种进行品尝（每天必须选择且不能重复选择已品尝过的美食）．若三天后恰好品尝完所有美食，则不同的选法种数为（ ） A. 450 B. 360 C. 180 D. 90 5. 已知、，且，则（ ） A. B. C. D. 无法确定、的大小 6. 已知为单位向量，，，当取到最大值时，等于（    ） A. B. C. D. 7. 已知分别为双曲线的左、右焦点，直线过与交于两点，若，，则的渐近线为（ ） A. B. C. D. 8. 已知正四棱锥P-ABCD中，各棱长均相等，球是该四棱锥的内切球，球与球相切，且与该四棱锥的四个侧面也相切；球与球相切，且与该四棱锥的四个侧面也相切，球的半径大于球的半径，则球与球的表面积之比为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，至少有两项是符合题目要求的） 9. 已知函数的部分图象如图，将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则（ ） A. B. 的图象的对称中心为 C. D. 的递增区间为， 10. 若，，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 在棱长为2正方体中，为的中点，是侧面内的一点（包含边界），则以下结论正确的是（ ） A. 若，则点的轨迹长度为 B. 与所成角的最大值为 C. 若三棱锥的体积为，则点的轨迹长度为 D. 若在线段上，则三棱锥的外接球表面积的取值范围是 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，请把正确答案填在题中横线上） 12. 已知多项式，则______. 13. 为了保持某自然生态保护区的生态平衡，现用重捕法了解该保护区内某种动物的大致数量（单位：只），随机在保护区内捕捉了100只该动物并做上标记，一段时间后再随机捕捉100只，用表示第二次捕捉的100只中有标记的数量．若以使得的概率最大时的值作为该保护区内这种动物的数量的估计值，则的估计值是_______________． 14. 菱形中，，点在线段上，且，则__________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算） 15. 已知函数. （1）若函数的图像在点处的切线与直线垂直，求实数的值； （2）若，求函数的单调区间. 16. 随着郑钦文获得2024年巴黎奥运会网球女单冠军，中国各地再度掀起网球热．某小区举行“贺岁杯”网球锦标赛，甲、乙、丙、丁四位网球爱好者顺利挺进四强，四强对阵形势为：甲对丙，乙对丁，胜者进决赛，决赛胜者获冠军．已知甲胜乙、丙的概率均为，乙胜丁的概率为，甲胜丁的概率为，且各场比赛的结果相互独立． （1）求甲获得冠军的概率； （2）如果甲、乙顺利挺进决赛，并且决赛采用五盘三胜制（即先赢三盘者获胜，并结束比赛），甲每盘获胜的概率为．求在决赛中甲获胜的条件下，比赛进行五盘的概率． 17. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，，，侧面为等边三角形，平面平面，E为PB中点． （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 18. 已知是各项均为正数的数列，为前n项和，且，，成等差数列. （1）求的通项公式； （2）求证：； （3）已知，求数列的前项和. 19. 已知椭圆过点，短轴长为. （1）求椭圆的方程； （2）已知点，若椭圆上的点到的距离的最小值是，求正实数的值； （3）椭圆与轴的交点为、（点位于点的上方），直线与椭圆交于不同的两点、.设直线与直线相交于点，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $