精品解析：福建省莆田市莆田第四中学2026届高三上学期返校考试数学试卷

福建省莆田市莆田第四中学2026届高三上学期返校考试数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）（n≥2，x1,x2,…,xn不全相等）的散点图中，若所有样本点（xi，yi）(i=1,2,…,n)都在直线y=x+1上，则这组样本数据的样本相关系数为（ ） A. －1 B. 0 C. D. 1 2. 设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=（ ） A. –4 B. –2 C. 2 D. 4 3. 从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是 A. B. C. D. 4. 在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（ ） A. B. C. D. 5. 设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 将甲、乙、丙、丁4名医生随机派往①，②，③三个村庄进行义诊活动，每个村庄至少派1名医生，A表示事件“医生甲派往①村庄”； B表示事件“医生乙派往①村庄”； C表示事件“医生乙派往②村庄”，则（　　） A. 事件A与B相互独立 B. 事件A与C相互独立 C. D. 7. 已知正三棱锥的六条棱长均为6，S是及其内部的点构成的集合．设集合，则T表示的区域的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知a，bR且ab≠0，对于任意x≥0 均有(x–a)(x–b)(x–2a–b)≥0，则（ ） A. a<0 B. a>0 C. b<0 D. b>0 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 已知四边形ABCD为等腰梯形，，l为空间内的一条直线，且平面ABCD，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则平面ABCD B. 若，则 C. 若，，则平面ABCD D. 若，，则平面ABCD 10. 下列命题中正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 11. 已知函数的定义域为，对任意，均满足，且，则（ ） A. 函数为偶函数 B. 8是的一个周期 C. 的图象关于点对称 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 不等式的解集是______ 13. 曲线y=x(3lnx+1)在点处的切线方程为________ 14. 如图所示，函数的图象由两条射线和三条线段组成．若,，则正实数a的取值范围是_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n．如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验． 假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为50%，且各件产品是否为优质品相互独立 （1）求这批产品通过检验的概率； （2）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望． 16. 已知函数． （1）设是的极值点．求，并求的单调区间； （2）证明：当时，． 17. 如图,在锥体中，四边形ABCD为边长为1的菱形，且∠DAB=60°，，PB=2，E，F分别是BC，PC的中点， （1）证明：AD⊥平面DEF； （2）求二面角P-AD-B的余弦值. 18. 随着冬天的临近，哈尔滨这座冰雪之城，将再次成为旅游的热门目的地.为更好地提升旅游品质，我市文旅局随机选择名青年游客对哈尔滨出行体验进行满意度评分（满分分），分及以上为良好等级，根据评分，制成如图所示的频率分布直方图. （1）根据频率分布直方图，求x的值并估计该评分的上四分位数； （2）若采用按比例分层抽样的方法从评分在，的两组中共抽取6人，再从这6人中随机抽取3人进行单独交流，求选取的3人中评分等级为良好的人数X的分布列和数学期望； （3）为进一步了解不同年龄段游客对哈尔滨出行体验的反馈，我市文旅局再次随机选择100名中老年游客进行满意度评分，发现两次调查中评分为良好等级的人数为120名.请根据小概率值的独立性检验，分析游客的评分等级是否良好与年龄段（青年或中老年）是否有关. 附：， 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 19. 微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段．对于函数在区间上的图像连续不断，从几何上看，定积分便是由直线和曲线所围成的区域（称为曲边梯形）的面积，根据微积分基本定理可得，因为曲边梯形的面积小于梯形的面积，即，代入数据，进一步可以推导出不等式：． （1）请仿照这种根据面积关系证明不等式的方法，证明：； （2）已知函数，其中． ①证明：对任意两个不相等的正数，曲线在和处的切线均不重合； ②当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福建省莆田市莆田第四中学2026届高三上学期返校考试数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）（n≥2，x1,x2,…,xn不全相等）的散点图中，若所有样本点（xi，yi）(i=1,2,…,n)都在直线y=x+1上，则这组样本数据的样本相关系数为（ ） A. －1 B. 0 C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】所有样本点（xi，yi）（i=1，2，…，n）都在直线上，故这组样本数据完全正相关，故其相关系数为1. 【详解】由题设知，所有样本点（xi，yi）（i=1，2，…，n）都在直线上， ∴这组样本数据完全正相关，故其相关系数为1，故选D. 根据样本相关系数的定义可知，当所有样本点都在直线上时，相关系数为1. 2. 设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=（ ） A. –4 B. –2 C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由题意首先求得集合A,B，然后结合交集的结果得到关于a的方程，求解方程即可确定实数a的值. 【详解】求解二次不等式可得：， 求解一次不等式可得：. 由于，故：，解得：. 故选：B. 【点睛】本题主要考查交集的运算，不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 3. 从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解法一：由排列组合知识可知，所求概率； 解法二：任取两个数可能出现的情况为（1,2）、（1,3）、（1,4）、（2,3）、（2,4）、（3,4）；符合条件的情况为（1,3）、（2,4），故. 【考点定位】本题考查古典概型的概率运算，考查学生的基本运算能力. 4. 在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】平移直线至，将直线与所成的角转化为与所成的角，解三角形即可. 【详解】 如图，连接，因为∥， 所以或其补角为直线与所成的角， 因为平面，所以，又，， 所以平面，所以， 设正方体棱长为2，则， ，所以. 故选：D 5. 设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由复合函数的单调性，列出不等式，代入计算，即可得到结果. 【详解】函数在上单调递增，而函数在区间上单调递减， 所以在区间单调递减，所以，解得． 故选：D． 6. 将甲、乙、丙、丁4名医生随机派往①，②，③三个村庄进行义诊活动，每个村庄至少派1名医生，A表示事件“医生甲派往①村庄”； B表示事件“医生乙派往①村庄”； C表示事件“医生乙派往②村庄”，则（　　） A. 事件A与B相互独立 B. 事件A与C相互独立 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】按相互独立的定义可判断AB，用条件概率公式可判断CD. 【详解】将甲、乙、丙、丁4名医生派往①，②，③三个村庄进行义诊包含（个）样本点，它们等可能， 事件A含有的样本点个数为， 则， 同理， 事件AB含有的样本点个数为，则， 事件AC含有的样本点个数为，则， 对于A， ，即事件A与B不相互独立，故A不正确； 对于B， ，即事件A与C不相互独立，故B不正确； 对于C，，故C不正确； 对于D， ，故D正确． 故选：D 7. 已知正三棱锥的六条棱长均为6，S是及其内部的点构成的集合．设集合，则T表示的区域的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出以为球心，5为半径的球与底面的截面圆的半径后可求区域的面积. 【详解】 设顶点在底面上的投影为，连接，则为三角形的中心， 且，故. 因为，故， 故的轨迹为以为圆心，1为半径的圆， 而三角形内切圆的圆心为，半径为， 故的轨迹圆在三角形内部，故其面积为 故选：B 8. 已知a，bR且ab≠0，对于任意x≥0 均有(x–a)(x–b)(x–2a–b)≥0，则（ ） A. a<0 B. a>0 C. b<0 D. b>0 【答案】C 【解析】 【分析】对分与两种情况讨论，结合三次函数的性质分析即可得到答案. 【详解】因为，所以且，设，则的零点 为 当时，则，，要使，必有，且， 即，且，所以； 当时，则，，要使，必有. 综上一定有. 故选：C 【点晴】本题主要考查三次函数在给定区间上恒成立问题，考查学生分类讨论思想，是一道中档题. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 已知四边形ABCD为等腰梯形，，l为空间内的一条直线，且平面ABCD，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则平面ABCD B. 若，则 C. 若，，则平面ABCD D. 若，，则平面ABCD 【答案】AC 【解析】 【分析】利用线面平行的判定定理和线面垂直的判定定理来加以判断即可. 【详解】因为，且平面ABCD，平面ABCD，所以平面ABCD，即A正确； 因为AD与BC是等腰梯形的腰，二者不平行，故若，则l与BC不平行，即B错误； 因为直线AD与BC能相交，所以若，，平面ABCD，平面ABCD，则平面ABCD，即C正确； 因为，两者不相交，所以若，，推不出平面ABCD，即D错误. 故选：AC. 10. 下列命题中正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】直接使用基本不等式可判断ACD；根据，使用基本不等式可判断B. 【详解】A中，因为，由基本不等式可知，当且仅当时等号成立， 而，故，此时必定成立，故A正确； B中，因为，所以，所以，所以， 当且仅当时等号成立，故B正确； C中，因为，由基本不等式可知成立，当时等号成立， 故,故C错误； D中，因为，由基本不等式可得， 当且仅当时等号成立，故D正确. 故选：ABD 11. 已知函数的定义域为，对任意，均满足，且，则（ ） A. 函数为偶函数 B. 8是的一个周期 C. 的图象关于点对称 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用赋值法，结合函数奇偶性、周期性及对称性的意义逐项判断即得. 【详解】对于A，令，得，则， 令，得，函数为偶函数， 则，因此函数为奇函数，A错误； 对于B，令，， 于是，函数周期为4，则8也为函数的一个周期，B正确； 对于C，由选项B知，函数的图象关于对称， 又周期为4，，因此的图象关于点对称，C正确； 对于D，由，得， 所以，D错误. 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 不等式的解集是______ 【答案】 【解析】 【分析】将绝对值不等式移项后两边平方，即可求不等式的解集. 【详解】原不等式等价于，两边平方得， 整理得，解得，故原不等式的解集为. 故答案为：. 13. 曲线y=x(3lnx+1)在点处的切线方程为________ 【答案】 【解析】 【详解】函数的导数为，所以在的切线斜率为 ，所以切线方程为，即. 14. 如图所示，函数的图象由两条射线和三条线段组成．若,，则正实数a的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：由已知可得且，若，则 ，解得，所以实数的取值范围是. 考点：函数图象的应用. 【方法点晴】本题主要考查了函数的图象及其应用，其中解答中涉及函数的图象及其简答的性质，全称命题、函数的恒成立问题等知识点的综合考查，其中解答中根据已知条件和函数的图象，列出相应的不等式组是解答本题的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想的应用，属于中档试题. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n．如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验． 假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为50%，且各件产品是否为优质品相互独立 （1）求这批产品通过检验的概率； （2）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望． 【答案】（1）记该批产品通过检验为事件A；则； （2）X的可能取值为400、500、800； ，，，则X的分布列为 X 400 500 800 P 【解析】 【详解】(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A， 第一次取出的4件产品中全为优质品为事件B， 第二次取出的4件产品都是优质品为事件C， 第二次取出的1件产品是优质品为事件D， 这批产品通过检验为事件E， ∴P(E)＝P(A)P(B|A)＋P(C)P(D|C)＝. (2)X的可能取值为400，500，800，并且 P(X＝400)＝1－， P(X＝500)＝ ，P(X＝800)＝＝ ， ∴X的分布列为 X 400 500 800 P EX＝400×＋500×＋800×＝506.25. 16. 已知函数． （1）设是的极值点．求，并求的单调区间； （2）证明：当时，． 【答案】(1)a=；增区间为，减区间为． (2)证明：［方法一］：【最优解】放缩法 当时，. 设，则. 当时，； 当时，.所以是的最小值点. 故当时，.因此，当时，. ［方法二］：【通性通法】隐零点讨论 因为，所以在区间内单调递增．设，当时，，当时，，所以在区间内单调递减，在区间内单调递增，且，所以． 设，则． 所以在区间内单调递减，故，即成立． ［方法三］：分离参数求最值 要证时，即，则证成立． 令，则． 令，则，由知在区间内单调递减，从而在内单调递增，在区间内单调递减． 所以，而，所以恒成立，原命题得证． ［方法四］：隐零点讨论＋基本不等式 ，结合与的图像，可知有唯一实数解，不妨设，则．易知在区间内是减函数，在区间内是增函数．所以． 由，得． ． 当且仅当，即时，，所以． ［方法五］：异构 要证明，即证， 即证明，再证明即可． 令，． 设，则． 若时，在上恒成立，所以； 若时，当时；当时，． 所以为的极小值点，则． 因为，所以，所以． 令． 当时，；当时，，所以为的极小值点． 则，所以，即． 所以． ［方法六］： 高阶函数借位构建有界函数 ． 令，则． 令．显然为定义域上的增函数．又，故当时，，得；当时，，得．即在区间上为减函数，在区间上为增函数，故．即恒成立，而恒成立． 【解析】 【分析】（1）先确定函数的定义域，利用，求得a=，从而确定出函数的解析式，再解不等式即可求出单调区间； （2）方法一：结合指数函数的值域，可以确定当时，，之后构造新函数，利用导数研究函数的单调性，从而求得，利用不等式的传递性，证得结果. 【详解】（1）的定义域为，，则，解得：，故．易知在区间内单调递增，且， 由解得：；由解得：， 所以的增区间为，减区间为． （2）略 【整体点评】（2）方法一：利用的范围放缩，转化为求具体函数的最值，是该题的最优解； 方法二：根据函数的单调性讨论，求最值，是该类型题的通性通法； 方法三：原不等式可以通过分参转化为求具体函数的最值，也是不错的解法； 方法四：同方法二，根据函数的单调性讨论，利用基本不等式求最值，区别在于最后求最值使用的方式不一样； 方法五：利用常见的对数切线不等式异构证明，也是很好的解决方法，不过在本题中使用过程稍显繁琐； 方法六：基本类似于方法三． 17. 如图,在锥体中，四边形ABCD为边长为1的菱形，且∠DAB=60°，，PB=2，E，F分别是BC，PC的中点， （1）证明：AD⊥平面DEF； （2）求二面角P-AD-B的余弦值. 【答案】（1）证明：取的中点，连接， ∵四边形ABCD是边长为1的菱形，且， 是边长为1的正三角形，得，且， ， ，且， ∵，平面， 平面 分别是的中点， ，即四边形为平行四边形， ∴， ∵平面DEF，平面DEF， ∴PB平面DEF， 同理可证：OB平面DEF， ∵， 平面平面， 平面； （2） 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，证明出平面，再证明出平面平面， 从而证明出AD⊥平面DEF； （2）在第一问的基础上找到二面角P-AD-B的平面角，再使用余弦定理求出答案. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 由（1）知：∠POB为二面角P-AD-B的平面角，又PB=2， 所以， 即二面角P-AD-B的余弦值为 18. 随着冬天的临近，哈尔滨这座冰雪之城，将再次成为旅游的热门目的地.为更好地提升旅游品质，我市文旅局随机选择名青年游客对哈尔滨出行体验进行满意度评分（满分分），分及以上为良好等级，根据评分，制成如图所示的频率分布直方图. （1）根据频率分布直方图，求x的值并估计该评分的上四分位数； （2）若采用按比例分层抽样的方法从评分在，的两组中共抽取6人，再从这6人中随机抽取3人进行单独交流，求选取的3人中评分等级为良好的人数X的分布列和数学期望； （3）为进一步了解不同年龄段游客对哈尔滨出行体验的反馈，我市文旅局再次随机选择100名中老年游客进行满意度评分，发现两次调查中评分为良好等级的人数为120名.请根据小概率值的独立性检验，分析游客的评分等级是否良好与年龄段（青年或中老年）是否有关. 附：， 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）， （2）的分布列为： （3）无法认为游客的评分等级是否良好与年龄段有关. 【解析】 【分析】（1）根据频率和为计算出的值；先判断出上四分位数所在区间，然后结合区间端点值以及该组的频率完成计算； （2）先根据分层抽样计算出每组抽取的人数，然后确定出的可取值并计算对应概率，由此可求分布列和数学期望； （3）根据已知条件得到对应列联表，然后计算出的值并与对应比较大小，由此得到结论. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知，，解得； 因为的频率为，且为最后一组， 所以评分的上四分位数位于区间中， 所以上四分位数为：； 【小问2详解】 评分在与两组的频率分别为， 所以内抽取人数为，内抽取人数为， 故人中评分等级为良好的有人， 由题意可知，的可取值为， ，，， 所以的分布列为： 数学期望； 【小问3详解】 青年游客评分等级良好的有人，所以老年游客评分等级良好的有人， 由上可得如下列联表， 青年游客 老年游客 总计 评分等级良好 评分等级非良好 总计 零假设：游客的评分等级是否良好与年龄段无关， 由表中数据可得， 根据小概率值的独立性检验，可知零假设成立， 即无法认为游客的评分等级是否良好与年龄段有关. 19. 微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段．对于函数在区间上的图像连续不断，从几何上看，定积分便是由直线和曲线所围成的区域（称为曲边梯形）的面积，根据微积分基本定理可得，因为曲边梯形的面积小于梯形的面积，即，代入数据，进一步可以推导出不等式：． （1）请仿照这种根据面积关系证明不等式的方法，证明：； （2）已知函数，其中． ①证明：对任意两个不相等的正数，曲线在和处的切线均不重合； ②当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）在曲线取一点． 过点作的切线分别交于， 因为， 可得， 即． （2）① 由函数，可得， 不妨设，曲线在处的切线方程为 ，即， 同理曲线在处的切线方程为， 假设与重合，则， 代入化简可得， 两式消去，可得，整理得， 由（1）的结论知， 与上式矛盾即对任意实数及任意不相等的正数与均不重合； ② 【解析】 【分析】（1）根据题，设过点作的切线分别交于，结合，即可得证； （2）①求得，分别求得在点和处的切线方程，假设与重合，整理得，结合由（1）的结论，即可得证； ②根据题意，转化为时，在恒成立， 设，求得，分和，两种情况讨论，得到函数的单调性和最值，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②当时，不等式恒成立， 所以在恒成立，所以， 下证：当时，恒成立． 因为，所以 设 （i）当时，由知恒成立， 即在为增函数，所以成立； （ii）当时，设，可得， 由知恒成立，即在为增函数． 所以，即在为减函数，所以成立， 综上所述，实数的取值范围是 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $