学易金卷：九年级数学上学期第一次月考（青岛专用，北师大版九上1～2章：特殊平行四边形+一元二次方程）

11 2025-2026学年七年级数学上学期第一次月考卷 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂) 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 第Ⅱ卷二、填空题（每小题3分，共18分） 11． _________________ 12___________________ 13__________________ 14.___________________ 15. __________________ 16. __________________ 三、作图题 17．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、（本大题共8个小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 18．（8分） 19．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20. （6分） 、 21.（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.（8分） 22.（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24. （8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25. （12分） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B C B B C C A D B C 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．2（不唯一）． 12．(答案不唯一) 13． 14． 15． ， 16． 三、作图题（本大题共1小题，满分6分） 17．（1）解：如图，平行四边形和菱形即为所求． （2）解：如图，正方形即为所求． 此时正方形的边长为：， 正方形的面积为：． 四、解答题（本大题共8小题，满分66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 18．（8分）（1）解：， 开方，得或， 解得：，；……………………………… 2 分 （2）解：, 移项，， 配方，得， 即， 开方，得或， 解得：，；……………………………… 4分 （3）解：， 移项，得， 因式分解，得， 则或， 解得：，；……………………………… 6 分 （4）解：， 其中，，，， 所以， 所以，， 即，．……………………………… 8 分 19．（8分）（1）证明：， ∴， ∴不论取何值，方程总有两个实数根；……………………………… 4分 （2）解：∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 解得：． ∴m的值为1或3．……………………………… 8 分 20．（6分）（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴；……………………………… 3 分 （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴．……………………………… 6分 21．（8分）（1）解：设月平均增长率为， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：月平均增长率为．……………………………… 3分 （2）解：设售价应降低元， 由题意得：，……………………………… 5 分 整理得：， 解得或，……………………………… 6 分 ∵商家决定降价促销，同时尽量减少库存， ∴，……………………………… 7 分 答：售价应降低20元．……………………………… 8 分 22．（8分）（1）证明：∵点B，点D关于所在直线对称， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形；……………………………… 4分 （2）解：∵四边形是菱形， ∴， 由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴．……………………………… 8 分 23．（8分）解：任务一：长方形硬纸板的长为，宽为，收纳盒的高为， ，， 答：收纳盒的底面的边的长为，的长为；…………………… 2分 任务二：设该收纳盒的高为，则，， 根据题意得：，……………………………… 5分 整理得：， 解得：，不符合题意，舍去……………………………… 7 分 答：该收纳盒的高为．……………………………… 8 分 24．（8分）（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点P是的中点， ∴；……………………………… 4 分 （2）解：如图所示，连接， ∵点P是的中点，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即． ……………………………… 8 分 25．（12分（1）；………………………………2 分 （2）①；……………………………… 4分 ②；理由如下： 如图，过点A作于点E，过点D作交BC的延长线于点F， ， 四边形是平行四边形， ，，， ， ≌， ，， 在中，， 即， 在中， 在中， ， ；……………………………… 8分 （3）的长为或，理由如下： 在中，，，． ，， 由（2）知， 解得：， ， ， 在中，，，， ， 是直角三角形，， 当时， ， 分两种情况： ①如图，过点作的延长线于点M，则， ， 四边形是矩形， ，，， ， 在中，；………………………………10 分 ②如图，过点作的延长线于点N， 同理可得四边形是矩形， ，，， ， 在中，， 综上所述，的长为或．……………………………… 12分 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版2024九年级数学上册第1~2章（特殊平行四边形+一元二次方程）。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．方程①；②；③；④中，一元二次方程个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 2．下列一元二次方程没有实数根的是（    ） A． B． C． D． 3．下列命题错误的是（   ） A．平行四边形的对角相等 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．两条对角线相等的平行四边形是矩形 D．正方形的对角线相等 4．关于x的方程有一个根是2，则另一个根等于（ ） A．-4 B． C． D． 5．如图，将矩形放置在刻度尺上，顶点，对应的刻度（单位：）分别为1和5，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．如图是男生宿舍的一个可伸缩衣架，这个衣架可以看作是由三个菱形组成，我们将其中一个记为菱形，小宇测得这个菱形的对角线，，则这个菱形的面积为（   ） A． B． C． D． 7．四边形不具有稳定性．四条边长都确定的四边形，当内角的大小发生变化时，其形状也随之改变．如图，改变正方形的内角，使正方形变为菱形，如果，那么菱形与正方形的面积之比是（    ） A． B． C． D．1 8．如图，在中，点D在上，，，下列四个判断中不正确的是（   ） A．四边形是平行四边形 B．若，则四边形是矩形 C．若且，则四边形是菱形 D．若平分，则四边形是矩形 9．我国古代数学著作《增删算法统宗》记载了“圆中方形”问题：今有圆田一段，中间有个方池．丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑．其大意为有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好72平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远．如图，设正方形的边长是步，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 10．如图，在正方形内作，交于点E，交于点F，连接，过点A作，垂足为点H，将绕点A顺时针旋转得到，若，则以下结论：①，②，③，④，正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．方程是一元二次方程，则a的值可以为 ；（填一个即可） 12．如下图，在平行四边形中，增加一个条件后，平行四边形就成为矩形，这个条件可以是 13．如图，数学活动课上，老师给每位同学发放两根长度相等的木条和一根橡皮筋，要求大家根据所给的材料在平面内制作一个菱形．小明先用两根木条钉成一个角形框架，然后将橡皮筋两端分别固定在点处，拉动橡皮筋上到处．当四边形是菱形时，小明量得橡皮筋是固定时长的倍，则 ． 14．若是方程的一个根，则 ． 15．阅读：求方程的正整数解．小张在解决此问题时从多个角度进行了思考，得到了多种解法，其中一种解法是：将方程化为，可知x为偶数，令（为正整数），代入得，即，由y为正整数可知，所以，原方程的正整数解为． 请你在下列两个问题中任选一个作答． 问题①：方程的正整数解是 ； 问题②：方程的正整数解是 ． 16．如图所示，在边长为2的正方形中，．分别为边上不与端点重合的两动点，且，连接，则的最小值为 ． 三、作图题（本大题共1小题，满分6分） 17．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点．用直尺在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上． (1)在图①、图②中，以线段为一边，分别画一个平行四边形和菱形．（要求两个四边形不全等） (2)在图③中，以点A为顶点，另外三个顶点也在格点上，画一个面积最大的正方形，并写出所画正方形的面积． 四、解答题（本大题共8小题，满分66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 18．（8分）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 19．（8分）关于x的方程． (1)求证：不论m取何值，方程总有两个实数根； (2)若该方程有两个实数根，且，求m的值． 20．（6分）如图，在矩形中，点E，F在边上，连接，． (1)求证：． (2)当，时，求的长． 21．（8分）某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特推出“神舟十八号”模型．今年9月份的销售量是件，11月份的销售量是720件． (1)若该网店9月份到11月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率； (2)市场调查发现，该网店“神舟十八号”模型的进价为每件元，若售价为每件元，每天能销售件，售价每降价元，每天可多售出件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该模型每天获利元，则售价应降低多少元？ 22．（8分）如图．在四边形中，，对角线与相交于点．点B，点D关于所在直线对称． (1)求证：四边形是菱形； (2)过点D作的垂线交延长线于点E．若，，求线段长． 23．（8分）综合与实践 主题：将一张长为，宽为的长方形硬纸板制作成一个有盖长方体收纳盒． 方案设计：如图①，把硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，折成一个如图②所示的有盖长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分． 任务一：若收纳盒的高为，用x的代数式表示收纳盒的底面的边的长； 任务二：若收纳盒的底面积为，求该收纳盒的高． 24．（8分）E是正方形的边上一点，连接，过A作交的延长线于点F，连接，取的中点P，连接 (1)求证： (2)求证： 25．（12分）小聪同学用特殊到一般的思想方法来研究平行四边形对角线与边长的关系，下面是他的思考过程． (1)操作判断 如图1，正方形的边长为a，则． 如图2，菱形的边长为a，则_________（请用含a的代数式表示）． (2)性质探究 ①如图3，在矩形中，，，则_________（请用含a，b的代数式表示）． ②如图4，在中，，．猜想与a、b的数量关系，并说明理由． (3)拓展应用 在如图4的中，，，．将点D绕点O旋转，点D的对应点为，在旋转的过程中，当∥时，请直接写出的长． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( ) ( ) 2025-2026学年上学期第一次月考卷 七年级数学·答题卡 ( 姓 名： __________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [ × ] [ √ ] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 ) ( 一、 单项 选择题（每小题 3 分，共 3 0分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二 、 填空 题（每小题 3 分，共 18 分） 11 ． ____________________ 12 ． ____________________ 13 ． ____________________ 14 ． ____________________ 15 ． ____________________ 16. ________________ 三 、 作图题 1 7 ．（ 6 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 四、 （本大题共8个小题，共 66 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 1 8 ．（ 8 分） 19 ．（ 8 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 20 ． （ 6 分） 21.（8分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 2 ． （ 8 分 ） 2 3 ． （ 8 分 ） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 4 ． （ 8 分 ） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 5 ． （1 2 分 ） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版2024九年级数学上册第1~2章（特殊平行四边形+一元二次方程）。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．方程①；②；③；④中，一元二次方程个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的认识，只含有一个未知数且未知数最高次数是二次的整式方程是一元二次方程，据此求解即可． 【详解】解：①在分母中含未知数，不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； ②含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； ③只有一个未知数，未知数次数为2，是整式方程，是一元二次方程，符合题意； ④只有一个未知数，未知数次数为2，是整式方程，是一元二次方程，符合题意． 是一元二次方程的是③，④，共两个， 故选：B． 2．下列一元二次方程没有实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式，根据判别式判断一元二次方程根的情况，正确掌握是没有实数根是解题的关键． 【详解】解：A、， ，该方程有两个相等的实数根，不符合题意； B、， ，该方程有两个不相等的实数根，不符合题意； C、， ，该方程没有实数根，符合题意； D、， ，该方程有两个不相等的实数根，不符合题意； 故选：C 3．下列命题错误的是（   ） A．平行四边形的对角相等 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．两条对角线相等的平行四边形是矩形 D．正方形的对角线相等 【答案】B 【分析】本题考查正方形的性质，平行四边形的性质，菱形的判定定理，矩形的判定定理．以及命题与定理的概念等知识点．正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假的关键是要熟悉课本中的性质定理． 根据平行四边形的性质对A进行判断；根据菱形的判定方法对B进行判断；根据矩形的判定方法对C进行判断；根据正方形的性质对D进行判断． 【详解】解：A、平行四边形的对角相等，所以A选项的说法正确； B、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，所以B选项的说法错误； C、两条对角线相等的平行四边形是矩形，所以C选项的说法正确； D、正方形的对角线相等且互相垂直平分，所以D选项的说法正确． 故选：B． 4．关于x的方程有一个根是2，则另一个根等于（ ） A．-4 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用根与系数的关系，，由一个根为2，以及a，c的值求出另一根即可． 【详解】解：∵关于x的方程有一个根是2， ∴， 即 ∴， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了根与系数的关系，熟练地运用根与系数的关系可以大大降低计算量． 5．如图，将矩形放置在刻度尺上，顶点，对应的刻度（单位：）分别为1和5，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的性质，掌握矩形的性质是解题的关键．先求出的长度，根据矩形的性质即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∵四边形为矩形， ． 故选：C． 6．如图是男生宿舍的一个可伸缩衣架，这个衣架可以看作是由三个菱形组成，我们将其中一个记为菱形，小宇测得这个菱形的对角线，，则这个菱形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查求菱形的面积．根据菱形的面积公式：对角线乘积的一半，进行求解即可． 【详解】解：∵菱形的对角线，， ∴这个菱形的面积为； 故选：C． 7．四边形不具有稳定性．四条边长都确定的四边形，当内角的大小发生变化时，其形状也随之改变．如图，改变正方形的内角，使正方形变为菱形，如果，那么菱形与正方形的面积之比是（    ）    A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查正方形与菱形面积，涉及含直角三角形的三边关系，熟记正方形与菱形面积公式是解决问题的关键． 过作于，如图所示，设正方形边长为，求出，利用含直角三角形的三边关系，在中得到，从而，两个面积作比即可得到答案． 【详解】解：过作于，如图所示：    设正方形边长为， ， ， 在中，，，则， ， ，， 菱形与正方形ABCD的面积之比是， 故选：A． 8．如图，在中，点D在上，，，下列四个判断中不正确的是（   ） A．四边形是平行四边形 B．若，则四边形是矩形 C．若且，则四边形是菱形 D．若平分，则四边形是矩形 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，矩形的判定定理，菱形的判定定理，和正方形的判定定理等知识点．根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，有一个角是的平行四边形是矩形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，四个角都是直角，且四个边都相等的是正方形，逐项分析即可． 【详解】解：A、∵，， ∴四边形是平行四边形，故A选项正确，不符合题意； B、∵四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是矩形，故B选项正确，不符合题意； C、∵，， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形为菱形，故C正确，不符合题意； D、若平分，则四边形是菱形，故D选项错误，符合题意； 故选：D． 9．我国古代数学著作《增删算法统宗》记载了“圆中方形”问题：今有圆田一段，中间有个方池．丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑．其大意为有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好72平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远．如图，设正方形的边长是步，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程,正确表示出圆的面积是解题关键. 首先需要确定圆的半径，已知正方的步长为，从水池边到圆周每边相距步，则圆的半径为正方形边长的一半加上步，即圆的半径 ，利用圆的面积（）减去正方形面积（）进而得出答案. 【详解】解:∵可耕地的面积是平方步，且可耕地的面积=圆的面积−正方形的面积， ∴可列方程为：. 故答案为:B． 10．如图，在正方形内作，交于点E，交于点F，连接，过点A作，垂足为点H，将绕点A顺时针旋转得到，若，则以下结论：①，②，③，④，正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，旋转的性质等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 利用正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，旋转的性质等，逐项进行判断即可． 【详解】解：∵将绕点A顺时针旋转得到， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴，故①正确； 设， 则， ， 在中，， 即， 解得：（舍去）， ∴， ∴，故②不正确； 由勾股定理得：， ， ∴，故③正确； ∵， ∴，故④正确； 综上所述，正确的为①③④， 故选：C． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．方程是一元二次方程，则a的值可以为 ；（填一个即可） 【答案】2（不唯一） 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，知道二次项系数不为0是解题的关键．根据一元二次方程的定义可容易得到答案． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴， ∴， ∴a的值为外任一值， 可以取（不唯一）， 故答案为：2（不唯一）． 12．如下图，在平行四边形中，增加一个条件后，平行四边形就成为矩形，这个条件可以是 【答案】(答案不唯一) 【分析】本题考查矩形的判定．需要知道及矩形的判定定理，比如有一个角是直角的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形．本题从这两个判定角度去考虑添加条件． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， 若， 根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，此时平行四边形就成为矩形， 故答案为：． 13．如图，数学活动课上，老师给每位同学发放两根长度相等的木条和一根橡皮筋，要求大家根据所给的材料在平面内制作一个菱形．小明先用两根木条钉成一个角形框架，然后将橡皮筋两端分别固定在点处，拉动橡皮筋上到处．当四边形是菱形时，小明量得橡皮筋是固定时长的倍，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、等腰三角形性质，熟练掌握菱形的对角相等是关键． 根据题意，可推导出为等边三角形，利用菱形性质得到即可． 【详解】解：四边形为菱形， ， ， ， ， 四边形为菱形， ， 故答案为：． 14．若是方程的一个根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解以及求代数式的值．本题通过方程根的定义直接简化代数式，无需解方程求根，代入可得，进一步求出代数式的值，体现了整体求解的思想． 【详解】解：是方程的一个根， 代入可得，即， ． 故答案为：． 15．阅读：求方程的正整数解．小张在解决此问题时从多个角度进行了思考，得到了多种解法，其中一种解法是：将方程化为，可知x为偶数，令（为正整数），代入得，即，由y为正整数可知，所以，原方程的正整数解为． 请你在下列两个问题中任选一个作答． 问题①：方程的正整数解是 ； 问题②：方程的正整数解是 ． 【答案】 ， 【分析】本题考查的是一元二次方程的整数根，因式分解法，掌握多项式的因式分解是解题的关键．方程的左边因式分解得到，得到正整数解；，变形为，设（为正整数），得，可得，且为正整数，代入计算即可． 【详解】解：， 则， ∴， ∴， ∴， ∵时，， ∴没有正整数根， ∴的正整数根是， 则方程的正整数解是； ∵， ∴， ∴， 由是正整数，则是3的倍数， ∴设（为正整数）， ∴， ∴， ∵为正整数， ∴，且为正整数， 当时，得，得，得（负值舍），则； 当时，得，得，得（负值舍），则； 方程的正整数解是，， 故答案为：；，． 16．如图所示，在边长为2的正方形中，．分别为边上不与端点重合的两动点，且，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等．连接，证明，可得，从而得到．作点关于的对称G，连接，可得则， 由三角形三边关系可知，在中，利用勾股定理可得，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接． ∵四边形是正方形， CD，， ， ． ， ． 如图所示，作点关于的对称点G，连接，则， 由三角形三边关系可知，即． 在中，， 的最小值为． 故答案为： 三、作图题（本大题共1小题，满分6分） 17．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点．用直尺在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上． (1)在图①、图②中，以线段为一边，分别画一个平行四边形和菱形．（要求两个四边形不全等） (2)在图③中，以点A为顶点，另外三个顶点也在格点上，画一个面积最大的正方形，并写出所画正方形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析，面积为10 【分析】本题考查格点作图，涉及平行四边形，菱形，正方形，勾股定理等知识点，掌握格点作图的方法是解题的关键． （1）根据平行四边形的判定方法，在限定的网格内作，同时使得C、D在格点上，依次连接即可得到平行四边形；由勾股定理得，依次作出其它三边，即可求解． （2）在限定的网格内，A为顶点可作边长为1，，2，3，的正方形，当边长最大时，面积最大，作图即可． 【详解】（1）解：如图，平行四边形和菱形即为所求． （2）解：如图，正方形即为所求． 此时正方形的边长为：， 正方形的面积为：． 四、解答题（本大题共8小题，满分66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 18．（8分）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用直接开平方法解一元二次方程即可； （2）利用配方法解一元二次方程即可； （3）先移项，再利用因式分解法解一元二次方程即可； （4）利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， 开方，得或， 解得：，； （2）解：, 移项，， 配方，得， 即， 开方，得或， 解得：，； （3）解：， 移项，得， 因式分解，得， 则或， 解得：，； （4）解：， 其中，，，， 所以， 所以，， 即，． 19．（8分）关于x的方程． (1)求证：不论m取何值，方程总有两个实数根； (2)若该方程有两个实数根，且，求m的值． 【答案】(1)证明见详解 (2)1或3 【分析】本题考查一元二次方程根的情况与判别式关系，一元二次方程根与系数的关系，熟记一元二次方程判别式与方程根的情况联系、一元二次方程根与系数的关系是解决问题的关键． （1）根据一元二次方程根的情况与判别式的关系，只要判定即可得到答案； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，将变形为，代入求解即可． 【详解】（1）证明：， ∴， ∴不论取何值，方程总有两个实数根； （2）解：∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 解得：． ∴m的值为1或3． 20．（6分）如图，在矩形中，点E，F在边上，连接，． (1)求证：． (2)当，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）根据矩形得到，再结合已知条件由即可证明全等； （2）根据全等三角形得到，再由勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴． 21．（8分）某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特推出“神舟十八号”模型．今年9月份的销售量是件，11月份的销售量是720件． (1)若该网店9月份到11月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率； (2)市场调查发现，该网店“神舟十八号”模型的进价为每件元，若售价为每件元，每天能销售件，售价每降价元，每天可多售出件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该模型每天获利元，则售价应降低多少元？ 【答案】(1) (2)20元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设月平均增长率为，根据9月份的销售量11月份的销售量建立方程，解方程即可得； （2）设售价应降低元，根据利润每件的利润销售量建立方程，解方程可得的值，再根据商家要求尽量减少库存即可得． 【详解】（1）解：设月平均增长率为， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：月平均增长率为． （2）解：设售价应降低元， 由题意得：， 整理得：， 解得或， ∵商家决定降价促销，同时尽量减少库存， ∴， 答：售价应降低20元． 22．（8分）如图．在四边形中，，对角线与相交于点．点B，点D关于所在直线对称． (1)求证：四边形是菱形； (2)过点D作的垂线交延长线于点E．若，，求线段长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，以及对称轴的性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． （1）根据对称可得，，然后证明，则可先证明四边形是平行四边形，再由对角线互相垂直即可证明其为菱形； （2）先对运用勾股定理求解，再对运用勾股定理求解，最后由面积法求解即可． 【详解】（1）证明：∵点B，点D关于所在直线对称， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴， 由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 23．（8分）综合与实践 主题：将一张长为，宽为的长方形硬纸板制作成一个有盖长方体收纳盒． 方案设计：如图①，把硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，折成一个如图②所示的有盖长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分． 任务一：若收纳盒的高为，用x的代数式表示收纳盒的底面的边的长； 任务二：若收纳盒的底面积为，求该收纳盒的高． 【答案】任务一：的长为，的长为；任务二：该收纳盒的高为 【分析】本题考查了一元二次方程的应用， 任务一：根据图①分别列出代数式即可； 任务二：设该收纳盒的高为，则，，根据收纳盒的底面积为，列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：任务一：长方形硬纸板的长为，宽为，收纳盒的高为， ，， 答：收纳盒的底面的边的长为，的长为； 任务二：设该收纳盒的高为，则，， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，不符合题意，舍去 答：该收纳盒的高为． 24．（8分）E是正方形的边上一点，连接，过A作交的延长线于点F，连接，取的中点P，连接 (1)求证： (2)求证： 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定等等，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键． （1）只需要利用证明得到，则由三线合一定理可证明； （2）如图所示，连接，由直角三角形的性质得到，则，证明，得到，由三角形外角的性质可得，则，即． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点P是的中点， ∴； （2）解：如图所示，连接， ∵点P是的中点，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即． 25．（12分）小聪同学用特殊到一般的思想方法来研究平行四边形对角线与边长的关系，下面是他的思考过程． (1)操作判断 如图1，正方形的边长为a，则． 如图2，菱形的边长为a，则_________（请用含a的代数式表示）． (2)性质探究 ①如图3，在矩形中，，，则_________（请用含a，b的代数式表示）． ②如图4，在中，，．猜想与a、b的数量关系，并说明理由． (3)拓展应用 在如图4的中，，，．将点D绕点O旋转，点D的对应点为，在旋转的过程中，当∥时，请直接写出的长． 【答案】(1)； (2)①；②；理由见解答过程 (3)或 【分析】（1）由菱形可知，利用勾股定理即可得解； （2）①分别利用勾股定理分别表示出和，从而得解； ②矩形倾斜会成为平行四边形，所以我们可以把平行四边形构造成矩形，过点A作于点E，过点D作交BC的延长线于点F，易证≌，所以，，再分别用a、b、BE表示出和，消去BE即可得解； （3）由前述结论易推出，从而得到，再分类讨论点在平行四边形上方和下方，画出图形求解即可． 【详解】（1）解：四边形ABCD是菱形， ，，， ， 在中，， ， ， 故答案为：； （2）①四边形ABCD是矩形， ，， 在中，， 在中，， ， 故答案为：； ②；理由如下： 如图，过点A作于点E，过点D作交BC的延长线于点F， ， 四边形是平行四边形， ，，， ， ≌， ，， 在中，， 即， 在中， 在中， ， ； （3）的长为或，理由如下： 在中，，，． ，， 由（2）知， 解得：， ， ， 在中，，，， ， 是直角三角形，， 当时， ， 分两种情况： ①如图，过点作的延长线于点M，则， ， 四边形是矩形， ，，， ， 在中，； ②如图，过点作的延长线于点N， 同理可得四边形是矩形， ，，， ， 在中，， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，矩形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，正确运用类比探究思想是解题的关键． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版2024九年级数学上册第1~2章（特殊平行四边形+一元二次方程）。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．方程①；②；③；④中，一元二次方程个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 2．下列一元二次方程没有实数根的是（    ） A． B． C． D． 3．下列命题错误的是（   ） A．平行四边形的对角相等 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．两条对角线相等的平行四边形是矩形 D．正方形的对角线相等 4．关于x的方程有一个根是2，则另一个根等于（ ） A．-4 B． C． D． 5．如图，将矩形放置在刻度尺上，顶点，对应的刻度（单位：）分别为1和5，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．如图是男生宿舍的一个可伸缩衣架，这个衣架可以看作是由三个菱形组成，我们将其中一个记为菱形，小宇测得这个菱形的对角线，，则这个菱形的面积为（   ） A． B． C． D． 7．四边形不具有稳定性．四条边长都确定的四边形，当内角的大小发生变化时，其形状也随之改变．如图，改变正方形的内角，使正方形变为菱形，如果，那么菱形与正方形的面积之比是（    ） A． B． C． D．1 8．如图，在中，点D在上，，，下列四个判断中不正确的是（   ） A．四边形是平行四边形 B．若，则四边形是矩形 C．若且，则四边形是菱形 D．若平分，则四边形是矩形 9．我国古代数学著作《增删算法统宗》记载了“圆中方形”问题：今有圆田一段，中间有个方池．丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑．其大意为有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好72平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远．如图，设正方形的边长是步，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 10．如图，在正方形内作，交于点E，交于点F，连接，过点A作，垂足为点H，将绕点A顺时针旋转得到，若，则以下结论：①，②，③，④，正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．方程是一元二次方程，则a的值可以为 ；（填一个即可） 12．如下图，在平行四边形中，增加一个条件后，平行四边形就成为矩形，这个条件可以是 13．如图，数学活动课上，老师给每位同学发放两根长度相等的木条和一根橡皮筋，要求大家根据所给的材料在平面内制作一个菱形．小明先用两根木条钉成一个角形框架，然后将橡皮筋两端分别固定在点处，拉动橡皮筋上到处．当四边形是菱形时，小明量得橡皮筋是固定时长的倍，则 ． 14．若是方程的一个根，则 ． 15．阅读：求方程的正整数解．小张在解决此问题时从多个角度进行了思考，得到了多种解法，其中一种解法是：将方程化为，可知x为偶数，令（为正整数），代入得，即，由y为正整数可知，所以，原方程的正整数解为． 请你在下列两个问题中任选一个作答． 问题①：方程的正整数解是 ； 问题②：方程的正整数解是 ． 16．如图所示，在边长为2的正方形中，．分别为边上不与端点重合的两动点，且，连接，则的最小值为 ． 三、作图题（本大题共1小题，满分6分） 17．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点．用直尺在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上． (1)在图①、图②中，以线段为一边，分别画一个平行四边形和菱形．（要求两个四边形不全等） (2)在图③中，以点A为顶点，另外三个顶点也在格点上，画一个面积最大的正方形，并写出所画正方形的面积． 四、解答题（本大题共8小题，满分66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 18．（8分）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 19．（8分）关于x的方程． (1)求证：不论m取何值，方程总有两个实数根； (2)若该方程有两个实数根，且，求m的值． 20．（6分）如图，在矩形中，点E，F在边上，连接，． (1)求证：． (2)当，时，求的长． 21．（8分）某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特推出“神舟十八号”模型．今年9月份的销售量是件，11月份的销售量是720件． (1)若该网店9月份到11月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率； (2)市场调查发现，该网店“神舟十八号”模型的进价为每件元，若售价为每件元，每天能销售件，售价每降价元，每天可多售出件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该模型每天获利元，则售价应降低多少元？ 22．（8分）如图．在四边形中，，对角线与相交于点．点B，点D关于所在直线对称． (1)求证：四边形是菱形； (2)过点D作的垂线交延长线于点E．若，，求线段长． 23．（8分）综合与实践 主题：将一张长为，宽为的长方形硬纸板制作成一个有盖长方体收纳盒． 方案设计：如图①，把硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，折成一个如图②所示的有盖长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分． 任务一：若收纳盒的高为，用x的代数式表示收纳盒的底面的边的长； 任务二：若收纳盒的底面积为，求该收纳盒的高． 24．（8分）E是正方形的边上一点，连接，过A作交的延长线于点F，连接，取的中点P，连接 (1)求证： (2)求证： 25．（12分）小聪同学用特殊到一般的思想方法来研究平行四边形对角线与边长的关系，下面是他的思考过程． (1)操作判断 如图1，正方形的边长为a，则． 如图2，菱形的边长为a，则_________（请用含a的代数式表示）． (2)性质探究 ①如图3，在矩形中，，，则_________（请用含a，b的代数式表示）． ②如图4，在中，，．猜想与a、b的数量关系，并说明理由． (3)拓展应用 在如图4的中，，，．将点D绕点O旋转，点D的对应点为，在旋转的过程中，当∥时，请直接写出的长． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$