九年级上册 第一章 特殊平行四边形 追梦基础训练卷(二)-【追梦之旅·初中铺路卷】 2025-2026学年九年级全一册数学（北师大版）

铺路卷河南专酒·ZBB·九年级数学上 一中，末调用为中、系 第一章追梦基础训练卷（二） 3至京形的生黄为刺发 围 剩试时间：100分钟 耐试分量：120分 一，选择题{身小延3分，共0会) 题号1234567810 答案 L四边形ACD中，0是对角线的交点，下列条件能判定这个四边 形为正方形的是( A.AB//CD.AB-CD AC=BD B.ADC,AB=D,∠A=∠8 C.A0-80-CO-D0.ACL RD D.A0-CO.80-DO.AR-RC 2.如图，在正方形ABCD中，廷长AB至E,使AB=AC,连接CE,期 ∠BCE=( A.10时 B.20 C.307 D.22.5 第2则国 第3是蓝 第4是 3如图，在正方形A8CD中，点E、F分界在边CD、AD上，BE⊥CF 毁 于点G若C=4,AF=1,则CE的长为() A.3 4如图，在正方形ACD中，AB=4,E=DF=1,E,AF交于点G, 点B为AE的中点，连接C,期C的长为) A万 c.2 5「学料内包融合如图，正方形AC0的点A.G在坐标轴上， C是菱彩0CE的对角线.若∠EBD=120°，G=2,用点E的 坐标是( 九.(-2+5，-1} B.(2-3,-1) C.(5,-1) D.(2-3,1) 第5题围 第6 7 6.如图，在正方形A8CD中，BD与AC相交于点0.高富作P C,CPOD,在正方形ACcD外.DP.CP交于点P:祺作P= ,GP=D,在正方形ABCD外，DP,CP交于点P,两人的作法 中，能使四边形0CPD是正方彩的是() A只有嘉痛 :只有淇淇 第11慧图 第12观图第13题图 C.喜嘉程淇 D.以上均不正确 1以如图.直线a过正方形AGD的顶点A.点B,D到直线a的距 7.学利内部融音如图.在△AC中，∠AGB=90,边C在x鞋 离分别为34，则正方形的周长为 上，顶点A,B的隆标分别为(-2.6)和(7.0).将王方形0E 13如图，在正方形CD中，E为附角线AC上一点，连接EB,ED. 沿x结向右平移，当点E落在AB边上时，点D的坐标为 延长E交AD于点F,若∠EB=10P,则∠AFE的虔数 A(32 B.(2,2) c(4a D.《4,2) 14新逍骑·是规作围如图，正方形AD的边长为4，点E在边 8.如图.正方形AD和正方形F出的面积分别为8m2和 AD上，DE=1.以点B为图心，适当长为半径新氟，分别交BA. 2m,C幕在E阳上，△E的面积为1.12，螺△ACG的面积 E于点F,G:以点A为心，F长为平径新弧，交AD于点H。 是(） 以点H为同心，G长为半径国，两瓦相交于点：连接A并 A.5m3 B.5.1m C26em D.4.2em E长，交E于点M,交CD于点P,连接P,若N为P的中 点，连接MN,则MW的长为 HE D 2 3 嘉盏题图 第9题图 9.如图，有六根长度相同的木条，小明先用四根木条制作了能够活 第14港图 第15鹅图 动的菱形誉具，他先将该话功学具视成图1所示莲形，测得∠ 15如图.正方形ABCD的边长为5，AG=CH=4.G=D=3,连接 =60,对角线4C=10m,接着将该新动学具到成图2乐示正方 GH.则线段GH的长为 形，最后用利下的两根木条精成了如图3所示的图形，连接E 三、解若题（本太题类8个小题，共75分） 雨图3中△CE的面积为() 1返(8分)如图，在正方形ABC0中，点E在C边的延长线上，点 A.50万✉2B.50m2 C 25.Jem D.25cm F在CD边的延长线上，且CE■DF,连接AE和F相交于点 10.跨学科试爵，警里知图将正方形木块放置在一 aM.求证：AR=8F 个粗脑斜面上，料面与水平方向的亮角为30°，党 时木块在重力G,摩擦力0A,支持力0厅的其同 作用下处于静止状态己知厚派力4与斜而平 行，支持力0B年直于斜面，以04,0B为边构壶阅形OAC,则 0A,0那的合力即为0C若木块重2牛，此时斜面对木块的支 持力为》 A,1牛 原牛 n 二，填空驱（章小题3分，吴15分） 11中新趋势·开位性试题如图，在矩彩ACD中，对角线AG,D 交于点D,要使矩形AD成为正方形，整都的一个条件是 ·3 I7.《9分)知图，在正方形ABCD的上方作等边三角形ADE,连接 20（10分)如图，D是正方形ABCD的对角线.BC=2,边BC在其 BE.CE. 所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为V,连接PA、 《1)求证：△ABE≌△DCE. Q0,并过点Q作O01D,垂是为0，连接04.0P (2)连接AG,设AC与5交于点F,求∠BFC的度数 (1)请直接写出线段C在平移过程中，四边彩APOD是什么 四边形分 (2)请列断04，OP之间的数量关系程位置关系，并如以正明. I8.《9分)图，点E为正方形AGD内一动点，∠AEB=90°过点 B作G⊥E,且G=BE,连接CG,DE 《1)求证：∠EAB=∠Cr (2)延长AE交CG于点F,求证：EF=BE 21.(0分)如图1，在正方形AD中，点P是对角线D上的一 点，点E在AD的诋长线上，且PA=PE,PE交CD于点F (I)求旺；PC=PE (2)求∠PE的度数 (3)如图2，把正方形ABD改为菱形ABCD,其他条件不变，当 ∠ABC=120°.连接CB.试探究线段AP与线段CB的数量关 系，并说明退 19,{9分)知图，在R1△AC中，∠ACB=90,过点C的直餐N AB,D为裕边上一点，过点D作DE1C,交直线MN于点B, 垂足为F,座核CD,BE (1)求证：CE=An 《2)若D是B中点，则当∠A的大小满足什么条件时.四边形 CD是正方形？请说明你的理由， 4 2红〔(I0分)四边形AD为正方形，点E为线段AC上一点，连接 DE,过点E作EF⊥DE,交射线C于点F以DEEF为邻边作 颇形DEPG,连接CC. (1)加周，求证：矩悬5FG是正方形 (2)若A8-22,CE=2,求CG的长 (3)当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是40时，直接 写出∠EFC的度数 3(10分)娘合与实践： 【问酸背餐】 如图1，在正方形ACD中，边长为4.点M,Y是边AB,FC上两 点，且W=GV=1,连接，DN,W与DY相交于点 【探索发谎】 (1》深线段DW与CM的数量关系和位量关系，并说期理由： (2)如图2，若点E,F分网是N与CG制的中点，连接EF,计算 EF的长∠BAE=45°，∴.BE=AB=2..CE=BC-BE=1..:∠CEF =∠AEB=45°，∠ECF=90°，∴，∠F=∠CEF=45°，∴，CE =CF=1. (5分】 在Rt△CEF中，EF=√EC+FC=√2. (6分) (2)连接CG,:G是EF中点，.CG=EG,∠ECG=45° ∴，∠BCG=∠DFG=45°.又，'DF=BC,∴.△BCG≌ △DFG(SAS)..DG=BG. (10分】 22.解：(1)CE平分∠ACB,∴.∠ACE=∠BCE.MN∥ BC,.∠OEC=LECB,∴∠OEC=LOCE,.E0=CO 同理C0=F0..E0=FO. (5分)】 (2)当点O运动到AC中点处时，四边形AECF是矩形 ,:AO=CO.E0=FO,.四边形AECF为平行四边形. (8分】 :CE平分LACB,∠ACE= ∠ACB,同理，∠ACF= 2 7∠ACG,∴∠ECF=∠ACE+∠ACF=号（LACB ∠ACG)= 2×180°=90°，四边形AECF是矩形 (10分)】 23.证明：(1)：四边形ABCD是平行四边形，对角线BD⊥ AC于点O,.∴，OA=OC,∠AOB=∠COB=90°，在△AOB (0A=0C 和△COB中 ∠AOB=∠COB,∴，△AOB≌△COB OB=OB (SAS),∴AB=CB,∴平行四边形ABCD是菱形；(3分)】 (2)①D,·四边形ABCD是平行四边形，对角线AC和BD 相交于点0，AD=5,AC=8,BD=6,0A=0C= AC= 4,0D=0B=2BD=30402=443=25,40=5 =25,0A2+0D2=AD2,.△A0D是直角三角形，且 ∠AOD=90°，∴，CA⊥BD,∴.平行四边形ABCD是菱形： (6分) ②：BC=DC,CA⊥BD,.LACB=∠ACD.∠B=2 ∠ACD,∴.∠E= 2 ∠ACB,∴.∠ACB=2∠E.,'∠ACB= ∠E+∠C0E,∴.2∠E=∠E+∠COE,.∠E=∠COE, CO=CE,∴△OCE是等腰三角形. (10分)】 第一章追梦基础训练卷（二） 题号12345678910 答案CDADBCBBDC 1.C 【归纳总结】判定四边形是正方形的 一般思路 四边形 平行四边形 义 菱形 矩形 法 正方形 2.D3.A 4.D【解析】.：四边形ABCD为正方形，AB=4,CE=DF= 1,.∠C=∠ADC=90°，AD=DC=AB=BC=4,BE=BC -CE=3,∴AE=√AB+BE=5,∴.△ADF≌△DCE (SAS),.∠DAF=∠CDE.∠DFA+∠DAF=90°， LDFA+∠CDE=90°，∴∠DGF=∠AGE=90°，点H为 4E的中点，GH=2AE=7故道D 2 追梦之旅铺路卷·九年 5.B6.C 7.B【解析】设正方形D'C'O'E是正方形OCDE沿￥轴向 右平移后的正方形.：顶点A,B的坐标分别为(-2,6) 和(7,0)，设直线AB解析式为y=x+b,代入可得y= 2x 3 3,当点E落在AB边上时，点E的坐标为(4,2)，此 时点D坐标为(2,2).故选B. 8.B【解析】连接EG.EC是正方形EFGH的对角线， ,∠GEH=45P.,·AC是正方形ABCD的对角线，，. ∠ACB=45°，.∠GEH=∠ACB,∴.AC∥EG.正方形AB CD的面积是8cm2,.Sac=4cm2,.SAAEC=4+1.1= 5.1cm2.由于△ACG和△AEC是同底等高，面积相等， △ACG的面积为5.1cm2.故选B. 9.D【解析】图1连接AC.,菱形ABCD中，AB=BC., ∠B=60°，△ABC是等边三角形.对角线AC=10cm, ,BC=10cm,∴.CE=BC=10em,图3过点E作EH⊥BC, 交BC的延长线于点H.:△DCE是等边三角形， LDCELEC0EH=CE=5em =x10x5=25(em).故选D. 10.C【解析】标记直角三角形斜边为MW,MW交CG于点 H.∠M=30°，.∠MHG=90°-30°=60°，.∠CHN= ∠MHG=60°.OA∥MN,∴.∠AOC=∠CHN=60°.四 边形A0BC是矩形，∴.∠A=90°，.∠AC0=90°-60°= 30°，04=x2=1,在直角三角形A0C中，由勾股定理 2 得AC=√OC-0A=√3，斜面对木块的支持力为万 牛.故选C. 11.AB=BC(答案不唯-）12.2013.65 1417 2 【解析】：四边形ABCD是正方形，AB=AD= CD,∠BAE=∠D=∠C=90°，由作图知∠DAP=∠ABE, ∴.∠ABE+∠AEB=∠DAP+∠AEB=90°，∠AME= 90°，.∠BMP=∠AME=90°，在△ABE与△DAP中 I∠ABE=∠DAP AB=AD ,.△ABE≌△DAP(ASA),.AE=PD, ∠BAE=∠D CP=DE=1,.BP=√④+=√I7,N为BP的中 点wp= 2 15.√2【解析】如图，延长BG交CH于点 a D (AB=CD E,在△ABG和△CDH中，AG=CH, BC=DH .△ABG≌△CDH(SSS),∴.∠1=∠5， ∠2=∠6.，AG=CH=4,BG=DH=3,AB=5,.AG+BG =AB2,∠AGB=∠CHD=90°，∴.∠1+∠2=90°，∠5+ ∠6=90°.又，∠2+∠3=90°，∠4+∠5=90°，∴∠1= ∠3=∠5，∠2=∠4=L6,在△ABG和△BCE中， 1∠1=∠3 AB=BC,∴△ABG≌△BCE(ASA),∴.BE=AG=4,CE ∠2=∠4 =BG=3,∠BEC=∠AGB=90°，.GE=BE-BG=4-3=1, HE=CH-CE=4-3=1,在Rt△GHE中，GH=JGE2+E =个+1下=2. 16.证明：在正方形ABCD中，AB=BC=CD=DA,∠ABE= ∠BCF=90°. (3分) ,CE=DF,∴.BE=CF (5分) (AB=BC 在△AEB与△BFC中， ∠ABE=∠BCF,,△AEB≌ BE=CF 及·ZBB·数学第2页 △BFC(SAS).∴.AE=BF (8分) 17.(1)证明：：四边形ABCD为正方形，，AB=AD=CD, ∠BAD=∠ADC=90°. (2分】 :三角形ADE为等边三角形，.AE=AD=DE,∠EAD= ∠EDA=60°，∴.∠BAE=∠CDE=150°，在△BAE和 (AB=CD △DCE中 ∠BAE=∠CDE,∴.△ABE≌△DCE(SAS) AE=DE (5分) (2)解：'AB=AD,AD=AE,∴，AB=AE,,.∠ABE= ∠AEB.又∠BAE=150°，.∠ABE=∠AEB=15°. (7分) .∠BAC=45°，.∠BFC=∠ABE+∠BAC=60°.(9分) 18.(1)证明：四边形ABCD是正方形，∴AB=BC,∠ABC =90°..·∠ABE+∠CBE=90°，∠CBE+∠CBG=90° ·∠ABE=∠CBC,又BE=BG,.△ABE≌△CBG (SAS),.∴.∠EAB=∠GCB: (4分】 (2)证明：∠AEB=90°，∠BEF=90.△EAB≌ △GCB,∴.∠AEB=∠CGB=90° (6分】 BG⊥BE,∠EBG=90°，∴四边形EBGF是矩形，又 :BE=BG,∴矩形EBGF是正方形，∴EF=BE.(9分) 19.(1)证明：.DE⊥BC,.∴.∠DFB=90°..∠ACB=90° ∴∠ACB=∠DFB,∴AC∥DE.MN∥AB,即CE∥AD .四边形ADEC是平行四边形，∴.CE=AD. (4分)】 (2)解：D为AB中点，∴，AD=BD.,CE=AD,.BD= CE.BD∥CE,∴.四边形BECD是平行四边形.(7分) ∠ACB=90°，D为AB中点，，CD=AD=BD,.∠A= LACD.四边形BECD是正方形，∠CDB=90°， ∠A=∠ACD=号∠CDB=45,即当LA=45时，四边 形BECD是正方形 (9分) 20.解：(1)四边形APQD是平行四边形. (2分) (2)OA⊥OP,OA=OP,理由是：：四边形ABCD为正方 形，.∠AB0=∠OBC=45°.OQ⊥BD,·.∠BOQ= 90°，，∠0QB=45°，∴0B=0Q.在△AB0和△PQ0中， (AB=PO LAB0=∠PQ0,∴.△AB0≌△PQ0(SAS),.OA=OP (0B=0Q ∠AOB=∠POQ. (8分) .∠BOQ=∠B0P+∠POQ=90°，，∴.∠BOP+∠AOB= ∠AOP=90°，..OA⊥0P. (10分) 21.(1)证明：在正方形ABCD中，AB=BC,∠ABP=∠CBP AB=CB 45°，在△ABP和△CBP中. ∠ABP=∠CBP,∴△ABP PB=PB ≌△CBP(SAS),,PA=PC.,PA=PE,.PC=PE. (3分) (2)解：由(1)知，△ABP≌△CBP,.∠BAP=∠BCP, ∠DAP=∠DCP.:PA=PE,∴.∠DAP=∠E.∠DCP= ∠E.',∠CFP=∠EFD.∴.180°-∠PFC-∠PCF=180° ∠DFE-∠E,即∠CPE=∠EDF=90°. (5分) (3)解：AP=CE;理由如下：在菱形ABCD中，AB=BC ∠ABP=∠CBP=6O°，在△ABP和△CBP中， (AB=CB ∠ABP=∠CBP,.△ABP≌△CBP(SAS),∴PA=PC, PB=PB ∠BAP=∠BCP..∠DAP=∠DCP (7分) PA=PE,∴.PC=PE,∴∠DAP=∠AEP,.∠DCP= ∠AEP.∠CFP=∠EFD,·18O°-∠PFC-∠PCF= 180°-∠DFE-∠AEP,即∠CPF=∠EDF=18O°-∠ADC =180°-120°=60°，∴，△EPC是等边三角形，.PC=CE, .AP=CE. (10分) 22.解：(1)证明：作EP⊥CD于点P,EQ⊥BC于点Q,则 ∠QEP=90°.∠DCA=∠BCA,∴.EQ=EP.∠QEF+ ∠FEP=90°，∠PED+∠FEP=90°，.∠QEF=∠PED, 追梦之旅铺路卷·九年 ∠OEF=∠PED 在Rt△EQF和Rt△EPD中，{EQ=EP ∠EOF=∠EPD .R△EQF≌RI△EPD(ASA),EF=ED,矩形 DEFG是正方形. (3分) (2)如图2中，在Rt△ABC中，AC=√(22)2+(22) =4.EC=2,.AE=CE,..点F与C重合，此时△DCG 是等腰直角三角形，∴.CG=DE=2 (6分) 区 CF月 图2 图4 (3)∠EFC的度数为40°或130 (10分) 【解析】①如图3，当DE与AD的夹角为40°时， ∠DEC=45+40°=85°.∠DEF=90°，.∠CEF=5°. :∠ECF=45°，.∠EFC=130°，②如图4，当DE与DC 的夹角为40°时.：∠DEF=∠DCF=90°，∴.∠EFC= ∠EDC=40°，综上所述，∠EFC=130°或40°. 23.解：(1)CM=DN,且CM⊥DN (1分)】 理由：：四边形ABCD是正方形，.在△BCM和△CDN (BC=CD 中，∠B=∠NCD,.△BCM≌△CDN(SAS),.CM= BM=CN DN,∠BCM=∠CDN.∠BCM+∠MCD=9O°，∴.∠CDN +∠MCD=90°，∴.∠C0D=90°，∴.DN⊥CM; (4分) (2)连接CE并延长交AD于点G,连接GM,:四边形 ABCD是正方形，，AD=AB,∠A=90°，BC∥AD, ∠ENC=∠EDG.,点E为DN的中点，NE=DE,在 I∠ENC=∠EDG △CNE和△GDE中， NE=DE ,.△CWE≌ LNEC=∠DEG △GDE(ASA).∴.CE=EG.GD=CN=1. (7分) 又：点F为CM的中点，MF=CF,EF=2MG.正 方形的边长为4，BM=CN=DG=1,.AM=AG=3,在 Rt△AGM中，由勾股定理得：GM=√AG+AM-32, F32 (10分) 2 第一章追梦综合演练卷 题号12345678910 答案BCBBADCCBD 1.B 2.C【解析】连接AC.,:四边形ABCD是矩形，∴，AD∥BE AC=BD,∠BAD=90°，∠ABD=∠BAC=60°，∴，∠E= ∠DAE,∠CAD=90°-60°=30°.又BD=CE,CE=CA, ∴.∠E=∠CAE..∠CAD=∠CAE+∠DAE,.∠E+∠E= 30°，即∠E=15°.∴∠BAE=90°-15°=75°.故选C. 3.B【解析】.·四边形ABCD是正方形，.AB=AD,∠ADC =90°，∠DAC=45°，，AE=AB,∴，AD=AE,,∴.∠ADE= ∠AED=67.5°，∴.∠CDE=90°-67.5°=22.5°.故选B. 4.B 【技巧点拨】折叠问题是平面几何中常见的问题之一，弄 清楚折叠前后的不变量和不变关系（折叠前后的图形全 等)是求解的关键.矩形中折叠问题的解答技巧是将所 求问题转化到直角三角形中，结合勾股定理、全等三角 形等知识求解 5.A【解析】设∠ADF=3x,∠FDC=2x.,·四边形ABCD 是矩形，∠ADC=90°，2x+3x=90°，x=18°，即 ∠FDC=2x=36.:DF⊥AC,∠DMC=90°，∴.∠DC0= 90°-36°=54.∴∠BDC=∠DC0=54°，∠BDF= ∠BDC-∠FDC=54°-36°=18°.故选A. 6.D ·ZBB·数学第3页