精品解析：重庆市西北狼教育联盟2025-2026学年高三上学期开学学情诊断数学试题

2025年学情诊断 高三年级 数学试题 一．单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 已知复数满足（其中i为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，，则是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则（ ） A. －7 B. 7 C. －5 D. 5 4. 若一组样本数据为，，，另一组样本数据，，的方差为8，则，，这组数据的方差为（ ） A. 4 B. 2 C. 6 D. 8 5. 已知是减函数，则函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若函数在区间上有三个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义域均为的函数，满足，，，若，则下列说法错误的是（ ） A. 的图象关于y轴对称 B. 为的一个周期 C. D. 二．多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知在的展开式中，各项的二项式系数之和为64，则下列说法正确的有（ ） A. B. 只有第3项的二项式系数最大 C. 的系数为 D. 各项系数之和为 10. 某高校甲、乙两个班级举行团建活动，在活动中甲、乙两个班各派出由6人组成的一支队伍参加一项游戏．甲班的队伍由2个女生和4个男生组成，乙班的队伍由4个女生和2个男生组成，为了增加游戏的趣味性，先从甲班的队伍中抽取一名同学加入乙班的队伍，以分别表示由甲班队伍中抽出的是女生和男生；再从乙班的队伍中随机抽取一名同学加入甲班的队伍，以表示从乙班队伍中抽出的是女生，则下列结论正确的是（ ） A. 事件与事件互斥 B. 事件与事件B相互独立 C. D. 11. 已知函数，则（ ） A. ，使得为单调函数 B. ，的图象恒有对称中心 C. 当时， D. 若，，是方程的三个不同的根，则 三．填空题：本题共3小题，共15分． 12. 已知幂函数在上是减函数，则实数______． 13. 据先秦典籍《世本》记载：“尧造围棋，丹朱善之．”围棋，起源于中国，至今已有四千多年历史，蕴含着中华文化的丰富内涵．现从3名男生和2名女生中任选3人参加围棋比赛，则所选3人中至多有1名女生的概率为______． 14. 已知，则的最小值为______． 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，，其中． （1）若，求； （2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 16. 为深入学习党的二十大精神，激励青年学生积极奋发向上.某学校团委组织学生参加了“青春心向党，奋进新时代”为主题的知识竞赛活动，并从中抽取了200份试卷进行调查，这200份试卷的成绩（卷面共100分）频率分布直方图如图所示. （1）用样本估计总体，试估计此次知识竞赛成绩的平均数； （2）将此次竞赛成绩近似看作服从正态分布（用样本平均数和标准差分别作为的近似值），已知样本的标准差.现从该校参与知识竞赛的所有学生中任取100人，记这100人中知识竞赛成绩超过88分的学生人数为随机变量，求的数学期望； （3）从得分区间和的试卷中用分层抽样的方法抽取10份试卷，再从这10份样本中随机抽测3份试卷，若已知抽测的3份试卷来自于不同区间，求抽测3份试卷有2份来自区间的概率. 参考数据：若，则，. 17. 已知函数． （1）当时，求在点处的切线方程； （2）求的单调区间； （3）若，使成立，求的取值范围． 18. 电影《哪吒2》上映以来引起了全社会甚至全世界的关注，全球票房突破百亿．“跟着吒儿去旅游”成为热门出游方式，某景点宣传投入金额（单位：万元）与游客满意度评分（满分：100分）之间可能存在一定的关系，以下是随机抽取的6个不同线上宣传投入金额和游客满意度评分的数据： 线上宣传投入金额（万元） 20 30 40 50 60 70 游客满意度评分（分） 60 65 70 78 80 85 （1）根据表中所给数据，用相关系数加以判断与两个变量线性相关性的强弱.（精确到小数点后两位）； （2）《哪吒2》中更是蕴含着丰富的中国传统文化，某校举办中国传统文化比赛，甲、乙两人进入决赛，决赛采用“五局三胜制”，已知在每局比赛中，甲获胜的概率为； ①当时，设比赛结束时甲、乙比赛的局数为，求的分布列和期望； ②甲以获胜的概率为，求的最大值． 参考公式：相关系数，参考数据：． 19. 我们把有两个自变量的函数称为“二元函数”，对于二元函数，若存在正数m，满足，，则称具有性质T．已知二元函数． （1）若恒成立，求a的取值范围． （2）已知正数m，满足． （ⅰ）证明：． （ⅱ）证明：具有性质T． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年学情诊断 高三年级 数学试题 一．单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 已知复数满足（其中i为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法运算法则求得，进而可求得. 【详解】因为，所以，故. 故选：B. 2. 已知命题，，则是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据存在命题的否定为全称命题即可求解. 【详解】：，， 故选:C 3. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则（ ） A. －7 B. 7 C. －5 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】由奇函数的定义知，可知，再根据时的解析式，即可求得，从而求解即可. 【详解】因为时，，所以， 因为是定义在上的奇函数，所以. 故选：A 4. 若一组样本数据为，，，另一组样本数据，，的方差为8，则，，这组数据的方差为（ ） A. 4 B. 2 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据方差的性质即可求解. 【详解】设，，这组数据的方差为，则，得， 故选：B 5. 已知是减函数，则函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知可得，当时根据函数解析式可得函数的图象，即可求解. 【详解】因为是减函数，且是增函数， 所以， 因为， 又当时，， 所以函数的图象是对称轴为直线，顶点为，开口向上的抛物线的一部分，只有选项B符合题意. 故选：B. 6. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合分段函数的单调性的判定方法，结合指数函数与对数函数的单调性，列出不等式组，即可求解. 【详解】因为函数在上单调递增，且当时，单调递增， 则满足，解得，即实数的取值范围是． 故选：B． 7. 若函数在区间上有三个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题可通过将函数在区间上有三个零点转化为与在上有三个交点，再分区间讨论并结合导数研究函数单调性来求解a的取值范围. 【详解】函数在区间上有三个零点等价于函数与在上有三个交点， 当时，在上单调递减，是过原点的直线，要使两函数图象有交点，需； 当时，，令，得， 令，， 令，解得， 所以当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以在处取得最大值， 又，. 要使函数与在上有三个交点，则与在上需有一个交点、在上需有两个交点， 则需满足，所以. 综上，实数a的取值范围为. 故选：B 8. 已知定义域均为的函数，满足，，，若，则下列说法错误的是（ ） A. 的图象关于y轴对称 B. 为的一个周期 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据抽象函数的奇偶性和对称性，求出周期，确定对称轴，求函数值的和分别判断各个选项. 【详解】因为，所以，又因为，所以，所以，所以的图象关于y轴对称，故A正确； 又因为，所以，所以，即， 所以，所以，故B正确； 在中，令，得，所以，故C错误； 因为，所以，所以，所以，， 故，故D正确． 故选：C 二．多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知在的展开式中，各项的二项式系数之和为64，则下列说法正确的有（ ） A. B. 只有第3项的二项式系数最大 C. 的系数为 D. 各项系数之和为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据二项式系数和得，结合二项式系数的性质及展开式通项公式判断A、B、C，最后应用赋值法求各项系数之和判断D. 【详解】由题设，可得，A对； 展开式共有7项，故只有第4项的二项式系数最大，B错误； 展开式通项为，， 令，可得，则的系数为，C对； 令，则，D错. 故选：AC 10. 某高校甲、乙两个班级举行团建活动，在活动中甲、乙两个班各派出由6人组成的一支队伍参加一项游戏．甲班的队伍由2个女生和4个男生组成，乙班的队伍由4个女生和2个男生组成，为了增加游戏的趣味性，先从甲班的队伍中抽取一名同学加入乙班的队伍，以分别表示由甲班队伍中抽出的是女生和男生；再从乙班的队伍中随机抽取一名同学加入甲班的队伍，以表示从乙班队伍中抽出的是女生，则下列结论正确的是（ ） A. 事件与事件互斥 B. 事件与事件B相互独立 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据条件概率，全概率公式，互斥事件和相互独立事件的概念逐一分析判断即可. 【详解】由题意知，不可能同时发生，所以互斥，故A正确； ，，故C正确； 所以，， 所以， 则， 所以事件与事件B不相互独立，故B错误，D正确. 故选：ACD. 【点睛】思路点睛：用定义法求条件概率的步骤： （1）分析题意，弄清概率模型； （2）计算、； （3）代入公式求. 11. 已知函数，则（ ） A. ，使得为单调函数 B. ，的图象恒有对称中心 C. 当时， D. 若，，是方程的三个不同的根，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】A对函数求导，假设函数单调，并结合二次函数性质列不等式求参数范围，即可判断；B由，再结合即可判断；C应用特殊值判断；D由并展开，结合已知表达式，即可判断. 【详解】A：由题设，所以是开口向上的抛物线， 要使为单调函数，只需恒成立，即，得， 所以，使得为单调函数，对； B：对于， 所以，即恒关于点对称，对； C：由题设，若，显然，错； D：由题设， 又，则，对. 故选：ABD 三．填空题：本题共3小题，共15分． 12. 已知幂函数在上是减函数，则实数______． 【答案】 【解析】 【分析】根据幂函数定义及性质可得 【详解】因为是幂函数， 所以, 解得或. 当时，为增函数，不符合题意； 当时，在上是减函数，符合题意； 故答案为:. 13. 据先秦典籍《世本》记载：“尧造围棋，丹朱善之．”围棋，起源于中国，至今已有四千多年历史，蕴含着中华文化的丰富内涵．现从3名男生和2名女生中任选3人参加围棋比赛，则所选3人中至多有1名女生的概率为______． 【答案】##0.7 【解析】 【分析】利用组合的知识结合古典概型的概率公式可解. 【详解】从5人中任选3人，一共有种选法． 所选3人中至多有1名女生的情况有以下两种：3人全都是男生，有种选法；3人中有2名男生1名女生，有种选法．则所选3人中至多有1名女生的概率, 故答案为：. 14. 已知，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】令，，通过指数式与对数式互化用表示出，再借助基本不等式进行求解即可. 【详解】令，，则，， ， 令，，则，当且仅当，即时等号成立， ，即. 故答案为： . 【点睛】关键点点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误． 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，，其中． （1）若，求； （2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1）或， （2） 【解析】 【分析】（1）利用绝对值不等式、一元二次不等式的解法和交集、补集的定义求解； （2）根据必要不充分条件的定义可得真包含于，从而根据集合的关系可求解. 【小问1详解】 由，解得，即，故， 因为，所以， 由，解得，故，则或， 或. 【小问2详解】 由可得， 因为，所以， 所以不等式的解为，即， 因为是的必要不充分条件，所以是的真子集， 所以或，解得， 又因为，所以， 故实数的取值范围为. 16. 为深入学习党的二十大精神，激励青年学生积极奋发向上.某学校团委组织学生参加了“青春心向党，奋进新时代”为主题的知识竞赛活动，并从中抽取了200份试卷进行调查，这200份试卷的成绩（卷面共100分）频率分布直方图如图所示. （1）用样本估计总体，试估计此次知识竞赛成绩的平均数； （2）将此次竞赛成绩近似看作服从正态分布（用样本平均数和标准差分别作为的近似值），已知样本的标准差.现从该校参与知识竞赛的所有学生中任取100人，记这100人中知识竞赛成绩超过88分的学生人数为随机变量，求的数学期望； （3）从得分区间和的试卷中用分层抽样的方法抽取10份试卷，再从这10份样本中随机抽测3份试卷，若已知抽测的3份试卷来自于不同区间，求抽测3份试卷有2份来自区间的概率. 参考数据：若，则，. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据平均数的计算公式求解即可； （2）根据正态分布的对称性求解，然后根据二项分布的期望公式求解期望即可； （3）根据分层抽样、条件概率公式求解即可. 【小问1详解】 由题意有， 所以估计此次知识竞赛成绩的平均数为； 【小问2详解】 由题意有，因为，即，所以， 由题意得抽取100人中知识竞赛成绩超过88分的学生人数服从二项分布，即，所以， 所以抽取100人中知识竞赛成绩超过88分的学生人数的数学期望为； 【小问3详解】 由频率分布直方图有：分数在和的频率分别为和， 按照分层抽样，抽取10份，其中在应抽取份，分数应抽取份， 令事件抽取3份试卷来自不同区间，事件取出的试卷有2份来自区间， 所以， 所以. 所以抽测3份试卷有2份来自区间的概率为. 17. 已知函数． （1）当时，求在点处的切线方程； （2）求的单调区间； （3）若，使成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2）详见解析 （3）或. 【解析】 【分析】（1）需要先求出函数在切点处的导数，即切线斜率，再结合切点坐标得到切线方程； （2）通过对函数求导，分类讨论，根据导数的正负来判断； （3）需要分情况讨论函数在给定区间上的最值情况. 【小问1详解】 当时，，对求导得. 则， 又，所以切点为， 所以切线方程为，即. 【小问2详解】 对求导得. 当时，，所以在上单调递减. 当时，令，即，，，解得. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 综上，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 在有解，即当时，， 当时，由（2）知函数在上的最大值在端点处取得. 此时，， 所以或，得或 ， 又，所以舍去，所以. 当时，函数在上单调递减，那么最大值在处取得. 此时， 所以，得. 综合两种情况，可得的取值范围为或. 18. 电影《哪吒2》上映以来引起了全社会甚至全世界的关注，全球票房突破百亿．“跟着吒儿去旅游”成为热门出游方式，某景点宣传投入金额（单位：万元）与游客满意度评分（满分：100分）之间可能存在一定的关系，以下是随机抽取的6个不同线上宣传投入金额和游客满意度评分的数据： 线上宣传投入金额（万元） 20 30 40 50 60 70 游客满意度评分（分） 60 65 70 78 80 85 （1）根据表中所给数据，用相关系数加以判断与两个变量线性相关性的强弱.（精确到小数点后两位）； （2）《哪吒2》中更是蕴含着丰富的中国传统文化，某校举办中国传统文化比赛，甲、乙两人进入决赛，决赛采用“五局三胜制”，已知在每局比赛中，甲获胜的概率为； ①当时，设比赛结束时甲、乙比赛的局数为，求的分布列和期望； ②甲以获胜的概率为，求的最大值． 参考公式：相关系数，参考数据：． 【答案】（1），与两个变量线性相关性的很强 （2）①的分布列为： 3 4 5 期望为； ②的最大值为 【解析】 【分析】（1）根据题意，分别求出，，，，，最后代入相关系数公式即可求得，根据的值判断线性相关性强弱即可. （2）①根据题意，，的取值可能为，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解.②根据题意，求得的表达式，再对求导，通过分析导数的正负确定函数的单调性，进而求出的最大值 【小问1详解】 由题意得，， ， ， ， 则. 因为，接近1，所以与两个变量线性相关性的很强. 【小问2详解】 ①由题意的取值可能为，且甲获胜的概率为， 当时，甲连胜3局或乙连胜3局： . 当时，前3局甲2胜1负，第4局甲胜；或前3局乙2胜1负，第4局乙胜： . 当时，前4局甲2胜2负，第5局甲胜；或前4局乙2胜2负，第5局乙胜： . 所以的分布列为： 3 4 5 期望. ②甲以获胜，即前4局甲2胜2负，第5局甲胜， 所以. 对求导得， 令，解得. 则当时，，单调递增， 当时，，单调递减. 因此当时，取得最大值. 19. 我们把有两个自变量的函数称为“二元函数”，对于二元函数，若存在正数m，满足，，则称具有性质T．已知二元函数． （1）若恒成立，求a的取值范围． （2）已知正数m，满足． （ⅰ）证明：． （ⅱ）证明：具有性质T． 【答案】（1） （2）（ⅰ）证明：正数m，n满足， 则，故，． 不妨设，则由（1）知，． 构造函数， 则， 所以函数在上单调递增， 所以当时，，即当时，， 所以， 又在上单调递增，所以，即． （ⅱ）证明：正数m，n满足，则， 要证，只需证， 即证． 不妨设，则， 两边取指数得，化简得，设，则． 而，当时，， 当时，， 得在，上单调递减，在上单调递增（如图所示）， 要使且，则，， 即，从而，． 要证，只需证． 由于在上单调递增，因此只需证， 又，所以只需证， 所以，则． 设，则． 设，则，在上单调递增， 所以，从而， 所以在上单调递减，从而， 则，所以， 故具有性质T． 【解析】 【分析】（1）恒成立即为恒成立，利用导数求出左侧函数的最大值后可求参数的取值范围. （2）（ⅰ）由可得，利用极值点偏移可证;（ⅱ）要证具有性质T即证，设，从而将前者转化为证明即，利用导数可证明后者. 【小问1详解】 ， 令，则． 令，得，令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以，即a的取值范围为． 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $