专题04 指数函数与对数函数 7大高频考点（期中真题汇编，人教A版）高一数学上学期

专题04 指数函数与对数函数 7大高频考点概览 考点01 指数与指数幂运算 考点02 指数函数的图象与性质 考点03 指数型复合函数的应用 考点04 对数化简求值 考点05 对数函数的图象与性质 考点06 对数型复合函数的应用 考点07 比较大小 地 城 考点01 指数与指数幂运算 一、单选题 1．(24-25高一上·贵州威宁民族中学·期中)设，则的分数指数幂形式为（   ） A． B． C． D． 2．(22-23高一上·江苏徐州等3地·期末)化简： （   ） A．1 B． C． D． 3．(24-25高一上·江苏扬州高邮·期中)若，则的化简结果是（   ） A．1 B． C． D． 4．(24-25高一上·福建泉州四校联考·期中)若，，则不能满足的条件为（    ） A．为奇数，为偶数 B．为偶数，为奇数 C．均为奇数 D．均为偶数 5．(24-25高一上·吉林长春实验中学·期中)已知，，则（   ） A． B． C． D． 二、非选择题 6．(24-25高一上·天津弘毅中学·期中)计算： . 7．(24-25高一上·上海格致中学·期中)已知，则 . 8．(24-25高一上·广东江门第一中学·)计算下列各式的值. (1)； (2)已知，求的值. 地 城 考点02 指数函数的图象与性质 一、单选题 1．(24-25高一上·河南豫北名校·)已知函数，且，若，则（   ） A． B． C．10 D．100 2．(24-25高一上·广东汕头第一中学·期中)已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图象是（ ） A． B． C． D． 3．(24-25高一上·广东东莞东莞中学·期中)函数（，且）的图象可能是（   ） A．   B．   C．   D．   4．(24-25高一上·福建泉州德化第二中学·期中)且时，函数恒过点（    ） A． B． C． D． 5．(24-25高一上·吉林长春惠泽高中·期中)已知函数恒过定点，则函数不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三多限 D．第四象限 6．(24-25高一上·湖南怀化天星高级中学·期中)下列命题中，正确的是（    ） A． 的图象是一条直线 B．幂函数图象不过第四象限 C．若函数的定义域是，则它的值域是 D．若函数的定义域是，则它的值域是 7．(24-25高一上·山东青岛第十九中学·期中)已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 8．(24-25高一上·山东泰安第一中学·期中)已知函数（且），若有最小值，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．(24-25高一上·辽宁普通高中·期中)已知函数（，且）的图象如图所示，则下列选项正确的是（    ）    A． B． C． D．的图象不经过第四象限 三、非选择题 10．(24-25高一上·全国·期中)下列函数中， 是指数函数.①；②；③；④；⑤（是常数）；⑥. 11．若函数为指数函数，则 ． 12．(24-25高一上·上海奉贤中学·)已知指数函数的图象经过点，则 ． 13．(24-25高一上·北京师范大学附属中学·期中)已知指数函数的图象经过点，则这个函数的解析式是 ． 14．(24-25高一上·河南开封五校·期中)若函数且的图象经过第一、二、三象限，则实数的取值范围为 . 15．(24-25高一上·海南海口某校·期中)函数且的值域是，则实数 . 16．(24-25高一上·福建福州第一中学·)设函数，，若对任意的，存在，使得，则实数m的取值范围是 . 17．(24-25高一上·河南豫北名校·)已知函数在上单调递增，则a的取值范围是 ． 地 城 考点03 指数型复合函数的应用 一、单选题 1．(24-25高一上·吉林长春惠泽高中·期中)函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高一上·吉林长春惠泽高中·期中)函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高一上·安徽皖江名校·)设，若函数在上的最小值是2，则其在上的最大值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 二、非选择题 4．(24-25高一上·广东茂名田家炳中学·期中)若指数函数在上是严格增函数，则实数的取值范围是 ． 5．(24-25高一上·陕西渭南尚德中学·期中)已知函数， (1)当时，求函数在区间上的值域； (2)若函数在上单调递增，求实数的取值范围； (3)若关于x的方程有解，求的取值范围． 6．(24-25高一上·陕西渭南尚德中学·期中)已知函数． (1)若，求不等式的解集 (2)若，求的单调区间 (3)若有最大值3，求的值 地 城 考点04 对数化简求值 一、单选题 1．(24-25高一上·天津西青区张家窝中学·期中)，则(    ) A．0 B．1 C．5 D．625 2．(24-25高一上·江苏宿迁沭阳县·期中)计算（   ） A． B．7 C． D． 3．(24-25高一上·吉林长春惠泽高中·期中)若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、非选择题 4．(24-25高一上·山东桓台第一中学·期中)求值： ． 5．(24-25高一上·福建厦门翔安第一中学·期中)若，，则 . 6．(24-25高一上·四川乐山第一中学校·期中) ． 7．(24-25高一上·上海复旦大学附属复兴中学·期中)已知，，则 .（结果用表示） 8．(24-25高一上·上海奉贤中学·)课内我们已经学习了一元二次方程的韦达定理．实际上，一元三次方程也有对应的韦达定理：一元三次方程的三根为满足：．已知满足：和，其中互不相等，则 ． 9．(24-25高一上·上海闵行中学东校·期中)已知，则= ． 10．(24-25高一上·海南海口某校·期中)（1）计算：； （2）化简：； （3）求式子中的的值：. 11．(24-25高一上·河南开封五校·期中)（1）计算：； （2）已知，试用表示. 地 城 考点05 对数函数的图象与性质 一、单选题 1．(24-25高一上·山西太原·期中)函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高一上·山东青岛第一中学·)关于x的函数的定义域是， 则的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高一上·河北保定清苑区清苑中学·)已知函数的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高一上·江苏南通如皋十校·期中)函数的部分图象大致为（   ） A． B． C． D． 5．(24-25高一上·贵州贵阳·)已知函数且的图象过定点，函数且也经过点，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．(24-25高一上·山东青岛第六中学·期中)函数（且）的图象恒过点，函数（且）的图象恒过点，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．(24-25高一上·湖南长沙长郡中学·期中)已知，，且，函数与的图象可能是（   ） A． B． C． D． 三、非选择题 8．(24-25高一上·吉林长春惠泽高中·期中)已知函数，则 . 9．(24-25高一上·黑龙江牡丹江·)若函数的图象经过第一、二、三象限，则实数a的取值范围为 . 10．(24-25高一上·广东深圳深圳实验学校高中部·)定义在上的函数满足，当时，，则的值为 . 11．(24-25高一上·江苏淮阴中学·期中)设函数的定义域为，函数的定义域为． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 12．(24-25高一上·黑龙江大庆实验中学实验二部·期中)已知函数，. (1)求函数的值域； (2)若不等式在上有解，求实数的取值范围. 13．(24-25高一上·贵州贵阳·)已知，函数． (1)求函数的定义域； (2)若函数的最大值为2，求的值； (3)若存在，使得不等式成立，求的取值范围. 地 城 考点06 对数型复合函数的应用 一、单选题 11．(24-25高一上·江苏淮阴中学·期中)设函数的定义域为，函数的定义域为． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 12．(24-25高一上·黑龙江大庆实验中学实验二部·期中)已知函数，. (1)求函数的值域； (2)若不等式在上有解，求实数的取值范围. 13．(24-25高一上·贵州贵阳·)已知，函数． (1)求函数的定义域； (2)若函数的最大值为2，求的值； (3)若存在，使得不等式成立，求的取值范围. 二、非选择题 3．(24-25高一上·河南开封五校·期中)函数的单调递增区间为 . 4．(24-25高一上·北京东直门中学·期中)函数的定义域为 . 5．(24-25高一上·安徽阜阳第三中学·期中)已知函数的值域是，则实数的取值范围是 . 6．(24-25高一上·陕西渭南尚德中学·期中)已知函数. (1)判断函数的奇偶性； (2)判断函数的单调性； (3)若，求实数的取值范围. 7．(24-25高一上·广东广州第五中学·期中)已知定义域为全体实数的函数为偶函数， (1)求实数的值； (2)若，使得恒成立，求实数的取值范围． 8．(24-25高一上·福建厦门翔安第一中学·期中)已知函数． (1)求不等式的解集； (2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围． 9．(24-25高一上·上海松江二中·期中)若函数的定义域为，且对任意，都有，则称具有“性质”． (1)当时，判断是否具有“性质”，并说明理由； (2)当时，证明：具有“性质”； (3)如果函数具有“性质”，求实数的取值范围． 地 城 考点07 比较大小 一、单选题 1．(24-25高一上·陕西渭南尚德中学·期中)已知，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2．(23-24高一上·辽宁辽阳·期末)已知，，，则（   ） A． B． C． D． 3．(24-25高一上·浙江温州中学·期中)已知，和是方程的两根，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．(24-25高一上·福建厦门翔安第一中学·期中)设则的大小关系为  （        ） A． B． C． D． 5．(24-25高一上·安徽皖江名校·)下列四个数中最大的是（   ） A． B． C． D． 6．(24-25高一上·天津弘毅中学·期中)若，，，则下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 7．(24-25高一上·江西宜春中学·期中)已知实数满足不等式，且，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 8．(24-25高一上·四川泸州合江县中学校·期中)下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．(24-25高一上·广东佛山南海外国语高级中学·期中)若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 10．(24-25高一上·广东汕头第一中学·期中)下列各式比较大小，正确的是（　　） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 7 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 指数函数与对数函数 7大高频考点概览 考点01 指数与指数幂运算 考点02 指数函数的图象与性质 考点03 指数型复合函数的应用 考点04 对数化简求值 考点05 对数函数的图象与性质 考点06 对数型复合函数的应用 考点07 比较大小 地 城 考点01 指数与指数幂运算 一、单选题 1．(24-25高一上·贵州威宁民族中学·期中)设，则的分数指数幂形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据根式、指数的运算求得正确答案. 【详解】． 故选：A． 2．(22-23高一上·江苏徐州等3地·期末)化简： （   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据根式的定义求值． 【详解】. 故选：A. 3．(24-25高一上·江苏扬州高邮·期中)若，则的化简结果是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意结合根式的性质运算求解即可. 【详解】由，得， 所以. 故选：C. 4．(24-25高一上·福建泉州四校联考·期中)若，，则不能满足的条件为（    ） A．为奇数，为偶数 B．为偶数，为奇数 C．均为奇数 D．均为偶数 【答案】A 【分析】根据分数指数幂的定义判断即可. 【详解】对于A：因为，当为奇数，为偶数时，，此时无意义，不合题意，故A错误； 对于B：因为，当为偶数，为奇数时，，此时，符合题意，故B正确； 对于C：因为，当为奇数，为奇数时，，此时，符合题意，故C正确； 对于D：因为，当为偶数，为偶数时，，此时，符合题意，故D正确； 故选：A 5．(24-25高一上·吉林长春实验中学·期中)已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出，根据的正负求出. 【详解】根据题意，得， 因为，所以． 故选：D. 二、非选择题 6．(24-25高一上·天津弘毅中学·期中)计算： . 【答案】 【分析】由指数幂、根式的运算性质化简求值. 【详解】. 故答案为： 7．(24-25高一上·上海格致中学·期中)已知，则 . 【答案】/ 【分析】条件等式两边平方可求，结合立方和公式求，由此可得结论. 【详解】因为， 所以，故， 故， 又， 所以， 所以. 故答案为：. 8．(24-25高一上·广东江门第一中学·)计算下列各式的值. (1)； (2)已知，求的值. 【答案】(1)4 (2) 【分析】（1）根据分数指数幂和根式运算法则得到答案； （2）两边平方求出，两边平方求出，从而得到的值. 【详解】（1）原式. （2）因为， 所以， ， 所以. 地 城 考点02 指数函数的图象与性质 一、单选题 1．(24-25高一上·河南豫北名校·)已知函数，且，若，则（   ） A． B． C．10 D．100 【答案】A 【分析】利用给定的函数解析式求出，再代入求得答案. 【详解】依题意，由，得， 所以. 故选：A 2．(24-25高一上·广东汕头第一中学·期中)已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图象是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由二次函数的图象可得，然后结合指数函数的图象分析判断即可. 【详解】由二次函数（其中）的图象可得， 所以的图象过点，且在上为减函数，则函数递减，排除CD； 因为，所以将的图象向下平移个单位可得的图象，排除B； 故选：A 3．(24-25高一上·广东东莞东莞中学·期中)函数（，且）的图象可能是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】利用指数函数的图象和性质以及图象的平移变换进行判断. 【详解】因为函数（，且）， 当时，是增函数，并且恒过定点， 又因为的图象在的基础上向下平移超过1个单位长度，故D错误，C正确； 当时，是减函数，并且恒过定点， 又的图象在的基础上向下平移了不到1个单位长度，故A，B错误. 故选：C. 4．(24-25高一上·福建泉州德化第二中学·期中)且时，函数恒过点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合指数函数的性质即可得解. 【详解】，故函数恒过点. 故选：A. 5．(24-25高一上·吉林长春惠泽高中·期中)已知函数恒过定点，则函数不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三多限 D．第四象限 【答案】B 【分析】利用指数函数的性质，得到，从而，再利用图象的变化得到的图象，即可求解. 【详解】因为函数恒过点， 所以，其图象可由向下平移个单位得到，图象如图， 由图知不经过第二象限， 故选：B. 6．(24-25高一上·湖南怀化天星高级中学·期中)下列命题中，正确的是（    ） A． 的图象是一条直线 B．幂函数图象不过第四象限 C．若函数的定义域是，则它的值域是 D．若函数的定义域是，则它的值域是 【答案】B 【分析】根据可得选项A错误；根据幂函数的性质可得选项B正确；根据指数函数的单调性可得选项C错误；根据幂函数的单调性可得选项D错误. 【详解】A.，图象为一条直线去掉一个点，选项A错误. B. 幂函数解析式为，当时，，故图象不过第四象限，选项B正确. C. 函数在为增函数，由得，故值域为，选项C错误. D.函数在上为减函数，由得，，故值域为，选项D错误. 故选：B. 7．(24-25高一上·山东青岛第十九中学·期中)已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数的性质可得，进而可求交集. 【详解】由题意可得，， 所以 . 故选：B. 8．(24-25高一上·山东泰安第一中学·期中)已知函数（且），若有最小值，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对分类讨论，利用的不同取值范围，结合分段函数的单调性，分析函数的最小值情况，即可求得实数的取值范围． 【详解】， 当时，， 若，当时，为减函数，此时 ， 当时，为增函数，且此时，要使有最小值， 则，即，，则； 若，当时为减函数，此时 ， 当时，为减函数，且，要使有最小值， 则，即，则． 综上所述，或． 实数的取值范围是． 故选：D． 二、多选题 9．(24-25高一上·辽宁普通高中·期中)已知函数（，且）的图象如图所示，则下列选项正确的是（    ）    A． B． C． D．的图象不经过第四象限 【答案】BD 【分析】根据图象，结合指数函数的单调性，可得答案. 【详解】对于A，由图象可知函数单调递减，则，故A错误； 对于B，当时，，由图象可得，解得，故B正确； 对于C，，由是增函数，则，故C错误； 对于D，由，，则函数是增函数， 当时，，故D正确. 故选：BD. 三、非选择题 10．下列函数中， 是指数函数.①；②；③；④；⑤（是常数）；⑥. 【答案】① 【分析】根据指数函数的定义，一一判断各函数，即得答案. 【详解】因为形如且的函数为指数函数，其中a为常数； 故①为指数函数；②不是指数函数； ③不是指数函数；④的底数不是常数，故不是指数函数； ⑤（是常数）为幂函数，不是指数函数； ⑥，由于取负值或0，1时，函数即不是指数函数，故不能确定为指数函数. 故答案为：①. 11．若函数为指数函数，则 ． 【答案】 【分析】根据指数函数的定义得到方程（不等式）组，解得即可. 【详解】因为函数为指数函数， 所以且且，解得. 故答案为： 12．(24-25高一上·上海奉贤中学·)已知指数函数的图象经过点，则 ． 【答案】4 【分析】根据指数函数的定义及图象经过点求解即可. 【详解】由题意得，，解得. 故答案为：4. 13．(24-25高一上·北京师范大学附属中学·期中)已知指数函数的图象经过点，则这个函数的解析式是 ． 【答案】 【分析】利用待定系数法可得解. 【详解】由已知，设，且， 又函数图像过点， 即， 解得， 即， 故答案为：. 14．(24-25高一上·河南开封五校·期中)若函数且的图象经过第一、二、三象限，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】要使函数的图象经过第一、二、三象限，则且，解不等式即可得答案. 【详解】根据指数函数的图象可知，要使函数的图象经过第一、二、三象限， 则且，即且， 解得，故实数的取值范围为. 故答案为：. 15．(24-25高一上·海南海口某校·期中)函数且的值域是，则实数 . 【答案】或 【分析】根据指数函数的单调性，按和两种情况求出值域，列式求解即可 【详解】当时，函数且是增函数， 其值域为，则，解得； 当时，函数且是减函数， 其值域是，则，解得， 所以实数或. 故答案为：或 16．(24-25高一上·福建福州第一中学·)设函数，，若对任意的，存在，使得，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【分析】首先求出与的取值范围，依题意可得的值域为函数的值域的子集，即 ，即可得到不等式组，解得即可. 【详解】函数，，则， 函数，，则， 因为对任意的，存在，使得， 所以的值域为函数的值域的子集，即 ， 所以，解得， 即实数m的取值范围是. 故答案为： 17．(24-25高一上·河南豫北名校·)已知函数在上单调递增，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意，由每一段都为增函数，且断点处左侧函数值不大于右侧函数值求解. 【详解】解：因为函数在上单调递增， 所以 ，解得， 故答案为： 地 城 考点03 指数型复合函数的应用 一、单选题 1．(24-25高一上·吉林长春惠泽高中·期中)函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，运算求解即可得函数的定义域. 【详解】令，解得且， 所以函数的定义域为. 故选：D. 2．(24-25高一上·吉林长春惠泽高中·期中)函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定与的单调性，由复合函数的单调性可求单调递减区间. 【详解】函数，在上单调递增，在上单调递减， 又在上单调递减，所以由复合函数的单调性可得： 函数的单调递减区间是. 故选：D. 3．(24-25高一上·安徽皖江名校·)设，若函数在上的最小值是2，则其在上的最大值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】设，将此函数转化为一元二次函数的最值分析求解即可. 【详解】．设， 则．因为，所以， 当时，；当时，． 故选：A． 二、非选择题 4．(24-25高一上·广东茂名田家炳中学·期中)若指数函数在上是严格增函数，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据指数函数单调性列不等式即可求解. 【详解】指数函数在上是严格增函数，所以，解得， 故实数的取值范围是. 故答案为：. 5．(24-25高一上·陕西渭南尚德中学·期中)已知函数， (1)当时，求函数在区间上的值域； (2)若函数在上单调递增，求实数的取值范围； (3)若关于x的方程有解，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）转化为关于的二次函数求值域； （2）利用换元，转化为二次函数的单调性，解决参数问题； （3）首先将方程分离参数，转化为求函数值域问题. 【详解】（1）∵，， 令，∵，∴， ∴，，而对称轴，开口向上， ∴当时，，当时，， ∴的值域是. （2）令，，，则可转化为（）. 在上单调递增， 要使在上单调递增， 只需在上单调递增即可. ①当时，在上单调递减，不符合题意； ②当时，的图象开口向下，不符合题意； ③当时，要满足，解得. 综上，实数的取值范围是. （3）方程有解，即有解， 即有解，∴有解， 令，则，∴. 6．(24-25高一上·陕西渭南尚德中学·期中)已知函数． (1)若，求不等式的解集 (2)若，求的单调区间 (3)若有最大值3，求的值 【答案】(1) (2)单调递增区间是，单调递减区间是 (3)1 【分析】（1）根据指数函数的单调性将指数不等式转化为一元二次不等式求解即可； （2）根据复合函数单调性判断，结合指数函数、二次函数性质判断单调区间； （3）令，由指数函数的单调性知二次函数有最小值，进而得，解之即得参数值. 【详解】（1）当时，， 由，得，即，解得， 所以不等式的解集 . （2）当时，， 令，由在上单调递增，在上单调递减， 而在R上单调递减， 所以在上单调递减，在上单调递增， 即的单调递增区间是，单调递减区间是． （3）令，， 由于有最大值3，所以应有最小值， 因此必有．解得， 即有最大值3时，a为1. 地 城 考点04 对数化简求值 一、单选题 1．(24-25高一上·天津西青区张家窝中学·期中)，则(    ) A．0 B．1 C．5 D．625 【答案】C 【分析】利用对数的性质，由内到外进行求值即可. 【详解】，，. 故选：. 2．(24-25高一上·江苏宿迁沭阳县·期中)计算（   ） A． B．7 C． D． 【答案】B 【分析】根据指数幂运算以及对数的定义分析求解即可. 【详解】由题意可得：. 故选：B. 3．(24-25高一上·吉林长春惠泽高中·期中)若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由对数运算可得，利用基本不等式可求的最小值. 【详解】由，可得，所以，且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 故选：C. 二、非选择题 4．(24-25高一上·山东桓台第一中学·期中)求值： ． 【答案】 【分析】利用分数指数幂、分数指数幂与根式的互化和对数运算法则计算出答案. 【详解】由题意可得： . 故答案为：. 5．(24-25高一上·福建厦门翔安第一中学·期中)若，，则 . 【答案】 【分析】利用对数与指数的互化以及指数幂的运算性质可求得所求代数式的值. 【详解】因为，，则，， 因此，. 故答案为：. 6．(24-25高一上·四川乐山第一中学校·期中) ． 【答案】 【分析】根据指数和对数运算公式，即可求解. 【详解】原式. 故答案为： 7．(24-25高一上·上海复旦大学附属复兴中学·期中)已知，，则 .（结果用表示） 【答案】 【详解】因为，， 所以. 故答案为：. 8．(24-25高一上·上海奉贤中学·)课内我们已经学习了一元二次方程的韦达定理．实际上，一元三次方程也有对应的韦达定理：一元三次方程的三根为满足：．已知满足：和，其中互不相等，则 ． 【答案】 【分析】结合二、三次方程的韦达定理建立关于的等量关系，整体消元解方程组可得. 【详解】由题意互不相同，则互不相同. 即互不相同. 由已知， 可得是方程的三个不同的实数根. 由一元三次方程的韦达定理得 ，即①， 由，且为一常数， 则是方程的两不等根， 则由韦达定理可得，②， 联立①②解得. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解决此题的关键在于理解并应用一元三次方程的韦达定理，再通过根与系数的关系建立方程组求解. 9．(24-25高一上·上海闵行中学东校·期中)已知，则= ． 【答案】 【分析】先利用对数的定义可得，，代入利用对数的换底公式计算即可求值. 【详解】因为，所以，， ，所以． 故答案为：. 10．(24-25高一上·海南海口某校·期中)（1）计算：； （2）化简：； （3）求式子中的的值：. 【答案】（1）；（2）；（3）64 【分析】（1）（2）根据分数指数幂以及根式的运算性质计算出结果； （3）根据对数的定义运算求解即可. 【详解】（1）原式； （2）因为，所以； （3）因为，则， 可得，所以. 11．(24-25高一上·河南开封五校·期中)（1）计算：； （2）已知，试用表示. 【答案】（1）（2） 【分析】（1）根据对数的运算法则计算即可； （2）先转化，根据得到，根据即可表示. 【详解】（1） ； （2）， 由，得，又， 所以. 地 城 考点05 对数函数的图象与性质 一、单选题 1．(24-25高一上·山西太原·期中)函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数解析式有意义可得出关于实数的不等式组，由此可解得原函数的定义域. 【详解】对于函数，有，解得， 故函数的定义域为. 故选：D. 2．(24-25高一上·山东青岛第一中学·)关于x的函数的定义域是， 则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由定义域可得定义域，后结合对数函数性质可得答案. 【详解】因的定义域是，则定义域为. 则定义域满足. 故选：A 3．(24-25高一上·河北保定清苑区清苑中学·)已知函数的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分段函数值域，以及对数函数在区间上的值域，夹逼出一次函数在区间上的值域与的关系，列出关于的不等式求解即可. 【详解】当时，单调递增，又，故在上的值域为， 又在上的值域为，故是在上的值域的子集； 又当时，； 当时，显然不满足题意； 当时，在上单调递减，故在上的值域为不满足题意； 当时，在上单调递增，故在上的值域为， 若满足题意，则，即，故. 综上所述，的取值范围为. 故选：B. 4．(24-25高一上·江苏南通如皋十校·期中)函数的部分图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求出函数的定义域，即可判断函数的奇偶性，再由的值，利用排除法判断即可. 【详解】函数的定义域为， 且， 所以为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除B、D； 又，故排除C. 故选：A 5．(24-25高一上·贵州贵阳·)已知函数且的图象过定点，函数且也经过点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数运算性质求得点，代入指数函数解析式即可求解参数a. 【详解】，当，即，所以， 由的图象经过，所以，因为，得. 故选：C 6．(24-25高一上·山东青岛第六中学·期中)函数（且）的图象恒过点，函数（且）的图象恒过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由指数函数和对数函数的性质求解即可； 【详解】由指数函数的性质可得，由对数函数的性质可得， 所以， 故选：B. 二、多选题 7．(24-25高一上·湖南长沙长郡中学·期中)已知，，且，函数与的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由已知，然后按和分类讨论结合的图象确定两个函数的单调性即可得． 【详解】由，，且，则，所以， 若时，则，所以曲线函数图象上升，即为增函数， 且单调递减，又函数与关于y轴对称， 所以曲线为增函数，选项B符合条件； 若，则，曲线函数图象下降，即为减函数， 且单调递增，又函数与关于y轴对称， 所以函数的图象下降，即为减函数，选项C符合条件， 故选：BC. 三、非选择题 8．(24-25高一上·吉林长春惠泽高中·期中)已知函数，则 . 【答案】2 【分析】根据给定的分段函数，依次代入计算作答. 【详解】函数，则, 所以. 故答案为：2 9．(24-25高一上·黑龙江牡丹江·)若函数的图象经过第一、二、三象限，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据底数大于1的对数函数的性质，得出满足条件的图象只需满足即可得解. 【详解】根据对数函数的性质可知，函数在定义域上单调递增， 要使函数的图象经过第一、二、三象限， 则，即，所以， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 10．(24-25高一上·广东深圳深圳实验学校高中部·)定义在上的函数满足，当时，，则的值为 . 【答案】/ 【分析】推导出函数为周期函数，结合对数函数的单调性可得出，结合题中条件、对数恒等式以及指数的运算性质可求得结果. 【详解】因为定义在上的函数满足，则， 所以，， 所以，函数为周期，且为该函数的一个周期， 因为，则，， 所以， . 故答案为：. 11．(24-25高一上·江苏淮阴中学·期中)设函数的定义域为，函数的定义域为． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解不等式求出集合，再求交集可得答案； （2）由题意可得，根据包含关系列不等式组可得答案. 【详解】（1）由得，所以， 若，由得， 解得，所以， 所以； （2）， 若“”是“”的充分不必要条件，则， 因为，所以， 由可得， 所以， 因为，所以，解得. 所以实数的取值范围是． 12．(24-25高一上·黑龙江大庆实验中学实验二部·期中)已知函数，. (1)求函数的值域； (2)若不等式在上有解，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由题设有，应用换元法，令，将问题化为求二次函数的值域； （2）同（1）换元，问题化为，能成立，结合对勾函数性质求右侧最大值，即可得范围. 【详解】（1）由， 设，则， 当时，取得最小值；当时，取得最大值， 所以函数的值域为. （2）由， 令，则 又，能成立， 设，函数在上单调递减，在上单调递增. 又，，所以， 由不等式在上有解，得， 因此，的取值范围是. 13．(24-25高一上·贵州贵阳·)已知，函数． (1)求函数的定义域； (2)若函数的最大值为2，求的值； (3)若存在，使得不等式成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】（1）由对数的真数大于零列不等式组求解即可. （2）先求内层函数值域，再求外层函数的最大值，列方程求解即可. （3）由题可知，不妨设，，则，利用二次函数性质求解最小值即可得解. 【详解】（1）根据题意，， 必有解可得，即函数的定义域为. （2）， 设， 则有最大值4， 又由，函数在上单调递增，所以函数有最大值， 则有，解可得，故. （3）由题可知， 又因为， 所以，，使， 即， 不妨设，则， . 又由对称轴为且， ， . 地 城 考点06 对数型复合函数的应用 一、单选题 11．(24-25高一上·江苏淮阴中学·期中)设函数的定义域为，函数的定义域为． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解不等式求出集合，再求交集可得答案； （2）由题意可得，根据包含关系列不等式组可得答案. 【详解】（1）由得，所以， 若，由得， 解得，所以， 所以； （2）， 若“”是“”的充分不必要条件，则， 因为，所以， 由可得， 所以， 因为，所以，解得. 所以实数的取值范围是． 12．(24-25高一上·黑龙江大庆实验中学实验二部·期中)已知函数，. (1)求函数的值域； (2)若不等式在上有解，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由题设有，应用换元法，令，将问题化为求二次函数的值域； （2）同（1）换元，问题化为，能成立，结合对勾函数性质求右侧最大值，即可得范围. 【详解】（1）由， 设，则， 当时，取得最小值；当时，取得最大值， 所以函数的值域为. （2）由， 令，则 又，能成立， 设，函数在上单调递减，在上单调递增. 又，，所以， 由不等式在上有解，得， 因此，的取值范围是. 13．(24-25高一上·贵州贵阳·)已知，函数． (1)求函数的定义域； (2)若函数的最大值为2，求的值； (3)若存在，使得不等式成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】（1）由对数的真数大于零列不等式组求解即可. （2）先求内层函数值域，再求外层函数的最大值，列方程求解即可. （3）由题可知，不妨设，，则，利用二次函数性质求解最小值即可得解. 【详解】（1）根据题意，， 必有解可得，即函数的定义域为. （2）， 设， 则有最大值4， 又由，函数在上单调递增，所以函数有最大值， 则有，解可得，故. （3）由题可知， 又因为， 所以，，使， 即， 不妨设，则， . 又由对称轴为且， ， . 二、非选择题 3．(24-25高一上·河南开封五校·期中)函数的单调递增区间为 . 【答案】 【分析】根据对数型复合函数的单调性求解即可. 【详解】由，解得或， 所以函数的定义域为， 令，其在上单调递减，在单调递增， 而函数函数是增函数， 所以函数的单调递增区间为. 故答案为：. 4．(24-25高一上·北京东直门中学·期中)函数的定义域为 . 【答案】 【分析】利用函数有意义，列出不等式并求解即得. 【详解】依题意，，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为： 5．(24-25高一上·安徽阜阳第三中学·期中)已知函数的值域是，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】对复合函数进行拆分，由外函数值域得出内函数值域，再通过讨论参数，列出不等式求得参数范围. 【详解】令，则， 要使得的值域为R，则函数的值域满足， 当时，即函数开口向上，且最小值小于等于0， ， 当时，满足题意， 综上所述：. 故答案为：. 6．(24-25高一上·陕西渭南尚德中学·期中)已知函数. (1)判断函数的奇偶性； (2)判断函数的单调性； (3)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)奇函数 (2)在上单调递减 (3) 【分析】（1）根据奇函数的定义判断； （2）利用常见函数的单调性和复合函数单调性的性质判断； （3）根据函数的定义域、单调性与奇偶性将不等式转化为不等式组求解即可. 【详解】（1）函数的定义域为， 函数定义域为，定义域关于原点对称. 则对任意，， 故为奇函数. （2）， 函数在上单调递减， 在上单调递增， 函数在上单调递减. （3）是奇函数，， ， 函数在上单调递减， ，解得：. 7．(24-25高一上·广东广州第五中学·期中)已知定义域为全体实数的函数为偶函数， (1)求实数的值； (2)若，使得恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数的定义域和奇偶性得方程，利用对数运算性质求解即可； （2）根据指数函数的单调性，对数函数的单调性，对勾函数的单调性，结合复合函数的单调性判断方法确定函数的单调性，即可得函数的最小值；再根据题意得，进而得，恒成立，根据对数函数的单调性化简，得关于的一元二次不等式在指定区间上恒成立问题，分离参数转化为最值问题即可解决. 【详解】（1）由题意知，函数的定义域为，且， 则，即， ，，，， 化简得，即，由，得，解得. （2）由（1）知，则， 令，，则， 因为对勾函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，且函数是增函数， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 又因为函数是增函数， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 因此，函数有最小值； 因为，使得恒成立，所以， 因此，，恒成立，即在上恒成立； 即在上恒成立，由对数函数的定义域可知在上恒成立，则， 由对数函数的单调性可知，在上恒成立， 即在上恒成立， 设函数，， 因为二次函数的开口向上，对称轴方程为，所以函数在区间上单调递增， 所以，则， 因此，实数的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：函数不等式的恒成立和存在性问题可按如下规则转化： 一般地，已知函数， （1）若，，总有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； （4）若，，有，则的值域是值域的子集． 8．(24-25高一上·福建厦门翔安第一中学·期中)已知函数． (1)求不等式的解集； (2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二次不等式的解法以及对数函数的单调性可得出原不等式的解集； （2）令，由题意可得出，求出函数在上的最大值，由此可得出实数的取值范围. 【详解】（1）由，可得，解得， 因此，不等式的解集为. （2）因为，令， 由可得，可得， 由对勾函数的单调性可知，函数在上为增函数， 由题意可得， 因此，实数的取值范围是. 9．(24-25高一上·上海松江二中·期中)若函数的定义域为，且对任意，都有，则称具有“性质”． (1)当时，判断是否具有“性质”，并说明理由； (2)当时，证明：具有“性质”； (3)如果函数具有“性质”，求实数的取值范围． 【答案】(1)不具有，理由见解析 (2)证明见解析 (3)或 【分析】（1）取验证即可判断； （2）通过，转换成证明恒成立即可. （3）通过对任意恒成立，讨论三种情况即可. 【详解】（1）当时， ，则不具有“性质”． （2）若要证具有“性质”，则 只需要证成立即可， 又，则，恒成立， 则具有“性质”． （3）由题意知， 则对任意恒成立， 当时，成立，当时不成立， 当时，或． 地 城 考点07 比较大小 一、单选题 1．(24-25高一上·陕西渭南尚德中学·期中)已知，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别根据、、的单调性，比较，，与0，1的大小，即可比较 【详解】在上是减函数，； 在上是增函数，； 在上是减函数，， 故. 故选：A. 2．(23-24高一上·辽宁辽阳·期末)已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数与对数函数的单调性即可比较函数值的大小. 【详解】因为函数在上为减函数，所以，即， 因为函数在上为增函数，所以，即， 所以. 故选：C 3．(24-25高一上·浙江温州中学·期中)已知，和是方程的两根，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据题意可得，进而可得，即可得结果. 【详解】由题意可知：，则， 又因为方程的两根为1，2， 则，解得， 所以. 故选：C. 4．(24-25高一上·福建厦门翔安第一中学·期中)设则的大小关系为  （        ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数、幂函数等知识来确定正确答案. 【详解】， 在上单调递增，所以， 所以. 故选：D 5．(24-25高一上·安徽皖江名校·)下列四个数中最大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由对数的运算性质及对数函数的单调性判断即可. 【详解】因为，所以， 因为，所以，所以最大, 故选：C． 6．(24-25高一上·天津弘毅中学·期中)若，，，则下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数单调性计算参数范围即可判断求解. 【详解】因为，，则. 故选：D. 7．(24-25高一上·江西宜春中学·期中)已知实数满足不等式，且，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数函数与幂函数的单调性比较大小即可. 【详解】易知定义域上单调递增， 在上分别为单调递减、单调递增函数. 所以，故A正确. 故选：A 8．(24-25高一上·四川泸州合江县中学校·期中)下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用指数函数、幂函数的单调性比较大小即得. 【详解】对于A，，函数在R上递增，则，A错误； 对于B，，函数在R上递减，则，B错误； 对于C，函数在R上递减，函数在上递增，则，C正确； 对于D，，D错误. 故选：C 二、多选题 9．(24-25高一上·广东佛山南海外国语高级中学·期中)若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】将化为同底的对数，再对前两个选项计算后判断大小，对于C选项可直接利用对数函数的单调性判断，D选项由基本不等式即可判断． 【详解】由题意可得. 对于A，，所以A正确: 对于B，，所以B正确: 对于C，因为，所以，所以，C正确; 对于D，因为，所以 ，当且仅当时取等号，所以取不到等号，所以，所以D错误. 故选：ABC. 10．(24-25高一上·广东汕头第一中学·期中)下列各式比较大小，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用指数函数的单调性逐个分析判断即可. 【详解】对于A，因为在上单调递增，且，所以，所以A错误， 对于B，，因为在上单调递减，且， 所以，即，所以B正确， 对于C，，因为在上单调递增，且， 所以，即 ，所以C正确， 对于D，因为在上单调递增，且，所以， 因为在上单调递减，且，所以， 所以 ，所以D正确. 故选：BCD 试卷第1页，共3页 35 / 35 学科网（北京）股份有限公司 $$