专题02 全等三角形 8大高频考点（期中真题汇编，河南专用人教版2024）八年级数学上学期

专题02 全等三角形 8大高频考点概览 考点01 全等三角形的性质 考点02 添加条件使三角形全等 考点03 全等的性质和SAS综合 考点04 全等的性质和ASA（AAS）综合 考点05 全等三角形综合问题 考点06 角平分线的性质定理 考点07 角平分线的判定定理 考点08 作角平分线 地 城 考点01 全等三角形的性质 1．(24-25八上·河南濮阳油田第十八中学·期中)如图，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质和三角形的内角和，由，得，再根据三角形的内角和定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：A． 2．(24-25八上·河南驻马店新蔡县·期中)如图，，点在上，，则的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解决问题的关键． 根据全等三角形的性质求得即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故选：A． 3．(24-25八上·河南新乡辉县第一民族学校·期中)如图，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．它们运动的时间为设点的运动速度为，当时，x的值为 ；当时，x的值为 ． 【答案】 2 【分析】本题考查全等三角形的性质，路程、速度、时间之间的关系等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识进行分类解决问题．当时，可得：；当时，， 根据全等三角形的性质分别求解即可． 【详解】解：当时，可得：， 运动时间相同， ，的运动速度也相同， ； 当时， ，， ， ， 故答案为：或． 4．(24-25八上·河南洛阳涧西区·期中)如图所示的两个三角形全等，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和性质，全等三角形的判定与性质，结合两个三角形全等，则，所以，即可作答． 【详解】解：如图： ∵两个三角形全等， ∴， ∴， 故选：D． 5．(24-25八上·河南濮阳范县·期中)若，且，，，则的长为（   ） A．7或6 B．6 C．5 D．5或6 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的对应边相等求解即可． 【详解】解：∵，且，，， ∴， 故选：C． 6．(24-25八上·河南商丘宁陵县·期中)三个全等三角形按如图的形式摆放，则的度数是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】此题主要考查了全等三角形的性质以及三角形内角和定理，正确掌握全等三角形的性质是解题关键．直接利用平角的定义结合三角形内角和定理以及全等三角形的性质得出，，进而得出答案． 【详解】解：如图所示： 由图形可得：， 三个全等三角形， ， 又， ， 的度数是． 故选：A 7．(24-25八上·河南周口太康县·期中)如图，，若，，，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 由全等三角形的性质可得，，，然后根据的周长即可得出答案． 【详解】解：， ，，， 的周长， 故选：． 8．(24-25八上·河南周口太康县·期中)如图，，点对应点，点对应点，点、、、在同一条直线上． (1)求证：； (2)请你判断和的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，内错角相等两直线平行等知识点，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． （1）由全等三角形的性质可得，进而可得，于是结论得证； （2）由全等三角形的性质可得，然后由内错角相等两直线平行即可得出答案． 【详解】（1）证明：， ， ， 即：； （2）解：，理由如下： ， ， ． 9．(24-25八上·河南商丘求实学校·期中)已知，且，则长度（设为）的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和三角形的三边关系等知识点，由全等三角形的性质可得，再由三角形的三边关系即可得解，熟练掌握全等三角形的性质和三角形的三边关系并能灵活运用是解决此题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ，即， 故选：B ． 地 城 考点02 添加条件使三角形全等 10．(24-25八上·河南周口鹿邑县老君台中学·期中)如图，已知，则添加下列一个条件不一定能使的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定，已知，，满足一边一角相等，根据全等三角形判定定理逐项判断即可． 【详解】解：和中，，， A．添加，依据不能判定，符合题意； B．添加，依据能判定，不合题意； C．添加，依据能判定，不合题意； D．添加，依据能判定，不合题意； 故选A． 11．(24-25八上·河南商丘宁陵县·期中)如图，已知：点D在边上，点B在边上，且，那么要证明，还需补充的条件是（   ） A．， B．， C．， D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形判定与性质，理解并掌握三角形全等的判定定理是解题关键．利用证明，得到，再利用即可证明，从而得出结果． 【详解】解：如图，设，交于点O， ，， 当时， ， ， ，， ， 则补充的条件是，， 故选：C． 12．(24-25八上·河南驻马店泌阳县·期中)如图，在和中，点在同一条直线上，，，只添加一个条件，仍然不能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形全等的判定，由得，在与中，，，所以结合全等三角形的判定方法分别分析四个选项即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴在与中，，， A、添加，则，即，由全等三角形的判定定理可以判定，故本选项不合题意； B、添加，由全等三角形的判定定理可以判定，故本选项不合题意； C、添加，由全等三角形的判定定理可以判定，故本选项不符合题意； D、添加，不能判，故本选项不合题意． 故选：D． 13．(24-25八上·河南洛阳宜阳县·期中)如图， (1)请补充一个条件，使． (2)在（1）的条件下，吗？为什么？ 【答案】(1)补充条件：时，结论成立，理由见解析．（不唯一，正确即可） (2)相等，理由见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）利用即可证明； （2）根据全等三角形的性质及线段的和差求出，利用证明，根据全等三角形的性质即可得解． 【详解】（1）解：补充条件：（答案不唯一，正确即可）， 理由如下：在和中， ， ． （2）解：， 理由如下∶ ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 14．(24-25八上·河南洛阳汝阳县·期中)如图，与相交于点O，，有以下四个条件；①；②；③；④．从这四个条件中任选一个，能使的选法种数共有（    ） A．2种 B．3种 C．4种 D．1种 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定．根据全等三角形的判定定理证明三角形全等即可． 【详解】解：由题意得，又， 若选择①， 在与中， ， ； 若选择②， 由不能判定和全等； 若选择③， 在与中， ， ； 若选择④， 在与中 ； 综上，①③④符合题意， 故选：B． 15．(24-25八上·河南周口商水县·期中)如图，，，若利用“”来判定，则需添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，先由平行线的性质得到，要想用“”去证，则只需要，据此可得答案， 【详解】解∶添加条件∶ ， 理由∶∵， ∴， 又，， ∴， 故选∶A． 16．(24-25八上·河南洛阳地矿双语中学·期中)如图，点B在上，，要使，在不添加字母的情况下，还需添加一个条件是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合），依题意，添加条件：，根据得出，因为，则，即可作答． 【详解】解：依题意，添加条件：， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：（答案不唯一） 17．(24-25八上·河南南阳·期中)南阳光武大桥，建于2012年，南阳农运会的应景之作，四塔高耸，斜拉铁索，南阳首创，主要承担市区到南阳机场的交通任务，被称为“南阳之门”．其侧面示意图如图所示，其中，现添加以下条件，仍不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定方法，并能结合已知条件选取合适的方法是解题关键．根据已知条件可得，，结合全等三角形的判定方法依次对各个选项判断． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴若添加，无法证明，A选项符合题意； 若添加，可根据证明，B选项不符合题意； 若添加，可根据证明，C选项不符合题意； 若添加，可根据证明，D选项不符合题意； 故选：A． 18．(24-25八上·河南焦作武陟县·期中)如图，，，要使，则可添加的一个条件是 ．（写出一个即可）    【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有：． 【详解】解：添加条件，理由如下： ∵， ∴，即， 又∵，， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 19．(24-25八上·河南新乡第十中学·期中)学习全等三角形的判定后，小明编了这样一个题目：“已知：如图，，，，求证：．” 老师说他的已知条件给多了，那么可以去掉的一个已知 条件是： ． 【答案】或 【分析】本题主要考查的是全等三角形的判定定理，依据是公共边，依据或可证明． 【详解】解：在与中， ， ∴， 可以去掉； 在与中， ， ∴， 可以去掉； 故答案为：或． 地 城 考点03 全等的性质和SAS综合 20．(24-25八上·河南南阳镇平县·期中)某学校美术社团为学生外出写生配备如图所示的折叠凳，图是折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿和的长度相等，是它们的中点，为了使折叠凳坐得舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度设计为，若的长度为，由以上信息可知的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的应用，根据中点定义求出，，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等即可求解，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：∵，是它们的中点， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴， 则的长度为， 故选：． 21．(24-25八上·河南洛阳宜阳县·期中)如图，已知，，则下列选项中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质，平行线的判定等知识，证明是解题的关键． 由，根据“”证明，得，所以，可判断故B不符合题意，C不符合题意，D不符合题意；假设，则，与已知条件不符，可判断A符合题意，于是得到问题的答案． 【详解】解：在和中， ， , , ，故B不符合题意，C不符合题意，D不符合题意； 假设，则，与已知条件不符， ∴与不一定相等，故A符合题意， 故选：A． 22．(24-25八上·河南商丘民权县·期中)如图，点，，，在直线上（点，点之间不能直接测量），点，在异侧，测得，，． (1)求证：； (2)指出图中所有平行的线段，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，平行线的判定， （1）利用即可判定； （2），，由全等三角形的性质可得，，根据平行线的判定即可得结论． 【详解】（1）证明：， ， ， （2），，理由如下， ， ，， ，． 23．(24-25八上·河南濮阳范县·期中)如图，已知点、、、在一条直线上，，，，若，，求的长． 【答案】的长为． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用“边角边”证明，根据性质可得，然后求出，再求出，然后根据代入计算即可得解，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的长为． 24．(24-25八上·河南许昌建安区第三中学·期中)【问题背景】 在四边形中，，，，E、F分别是、上的点，且，试探究图1中线段、、之间的数量关系． 【初步探索】 （1）小亮同学认为：延长到点G，使，连接，先证明，再证明，则可得到、、之间的数量关系是______． 【探索延伸】 （2）在四边形中如图2，，，E、F分别是、上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由． 【结论运用】 （3）如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以80海里/小时的速度前进小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角（）为，试求此时两舰艇之间的距离． 【答案】（1）（2）成立，见解析（3）210海里 【分析】（1）延长到点G，使，连接，利用三角形全等的判定和性质，解答即可． （2）延长到点H，使，连接，利用三角形全等的判定和性质，解答即可． （3）根据题意，得，，且 ，满足了探索延伸的基本条件，得到结论，解答即可． 本题考查了三角形全等的判定和性质，方向角，四边形内角和定理，熟练掌握三角形全等的判定和性质，方向角是解题的关键． 【详解】（1）延长到点G，使，连接， ∵，， ∴； ∵, ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：结论成立．理由如下： 延长到点H，使，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：延长，，两线交于点C，连接，设与y轴交于点N， 根据题意，得，，，，， 根据题意，得，，且，满足了探索延伸的基本条件，故， ∵（海里），（海里）， ∴（海里）， 故此时两舰艇之间的距离为210海里． 25．(24-25八上·河南漯河召陵区·期中)（1）问题背景： 如图1，在四边形中，，，，E，F分别是、上的点，且．探究图中线段，，之间的数量关系． 小明同学探究此问题的方法是，延长到点G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______； （2）灵活运用： 如图2，若在四边形中，，．E，F分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立，请说明理由； （3）探索延伸： 如图3，已知在四边形中，，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，如图3所示，且满足，请直接写出与的数量关系． 【答案】（1） （2）仍然成立，理由见解析 （3） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用、四边形的内角和是，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意∶同角的补角相等． （1）根据可判定，进而得出，，再根据判定，可得出，据此得出结论； （2）延长到点G，使，连接，先根据判，进而得出，，再根据判定，可得出 ； （3）在延长线上取一点G，使得，连接，先根据判定，再根据判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论． 【详解】解：（1）．理由如下： 理由∶如图1，延长到点G，使，连接． ， ． ， ． 在与中 ． ，． ，， ． ， ． ，即． ． 在与中 ． ． ， ． （2）仍然成立．理由如下： 理由∶如图2，延长到点G，使，连接． ，， ． 在与中 ． ，． ， ． ， 在与中 ． ． ， ． （3），证明如下： 如图3，在延长线上取一点G，使得，连接． ， ． ， ，即． 在与中 ． ，． ，， 在与中 ． ． ， ． ． 即． ． 26．(24-25八上·河南新乡封丘县·期中)老君山有两千多年的道教文化历史．传说老子传《道德经》后，告别函谷关的关令平喜，骑着青牛而去，《史记》记载“莫知其所终”．如图，这是游览老君山时看到的凉亭的结构示意图，是独木立杆，飞檐，，，，点为横木交点． (1)该凉亭结构造型独特，构成两个三角形和，使飞檐高挑展开，是利用了三角形的______（填“易变形”或“稳定性”）． (2)试判断横木与的数量关系，并给出证明过程． 【答案】(1)稳定性 (2)，证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的稳定性，熟练掌握这些知识是解题的关键． （1）根据三角形具有稳定性即可得出答案； （2）根据证明可得出答案． 【详解】（1）解：该凉亭结构造型独特，构成两个三角形和，使飞檐高挑展开，利用了三角形的稳定性． 故答案为：稳定性； （2）解：．理由： ，，， ． ，， ， ． 27．(24-25八上·河南新乡封丘县·期中)如图，是四个社区服务中心．在一条直线上，，之间也有道路相连，且道路与垂直，，之间隔了一个湖泊．现决定在湖泊上造一座斜拉桥，测得，，则建造的斜拉桥的长至少为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定以及其性质，根据已知得出△ADB≌△ADC是解问题的关键．根据，得出，进而得出，这样可得出桥长度． 【详解】解：由题意知：， ∵在和中， ， ， ， 故斜拉桥至少有（千米）． 故选：A． 28．(24-25八上·河南周口太康县·期中)李老师善于通过教材例题整合知识内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯，下面是李老师就华师版八年级上册数学教材第69页的例题进行拓展整合、设计的问题，请你解答． (1)【教材回顾】 例4  如图1，在中，是边的中点，过点画直线，使，交的延长线于点，求证：． 证明：∵（已知）， ∴，（________，______）（填写依据）． 在与中， ∵，，（已知）， ∴（________）（填写依据）， ∴（全等三角形的对应边相等）． 将上述证明过程补充完整； (2)【迁移探究】 为了探索直角三角形的性质，李老师将（1）中的替换为，并结合（1）作出如下辅助线． 如图2，在中，，是斜边上的中线，过点画直线，使，交的延长线于点．易得以及． 根据李老师的辅助线提示和思路，猜想与之间的数量关系，并说明理由． (3)【拓展应用】 如图3．在中，，，直接写出边上的中线长度的取值范围． 【答案】(1)两直线平行，内错角相等； (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质． （1）先由平行线的性质得出，，再证，即可由全等三角形的性质得出结论； （2）证明，得到，，证明，得到，即可证得； （3）延长到E，使，连接，证，推出，在中，根据三角形三边关系定理得出，代入求出即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，（两直线平行，内错角相等）． 在与中， ∵，，（已知）， ∴， ∴（全等三角形的对应边相等）． 故答案为：两直线平行，内错角相等，； （2）证明：，理由如下： ∵， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 即； （3）解：延长到E，使，连接， ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 地 城 考点04 全等的性质和ASA（AAS）综合 29．(24-25八上·河南驻马店新蔡县·期中)如图，在中，是高和的交点， ，则的长为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了三角形的高，余角性质，全等三角形的判定和性质，由三角形的高和余角性质可得，进而可证，得到，进而可得，则，即可求解，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵是的高， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：7． 30．(24-25八上·河南新乡封丘县·期中)如图，在一个支架的横杆上点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，表示小球静止时的位置．当小华用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点B作于点D；当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的点A，B，O，C在同一平面上），过点C作于点E．已知，细绳的长为，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． 证明，结合，，得，得，即得． 【详解】解：由条件可知， 又∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：2． 31．(24-25八上·河南辉县太行中学·期中)和的位置如图，点A在的边上，与相交于点F，且，，猜想与有怎样的数量关系． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角的定义及性质，由三角形外角的定义及性质并结合题意可得，证明，再证明，即可得解． 【详解】解：∵，，，， ∴， 又∵， ∴，即， 在和中 ， ∴， ∴． 32．(24-25八上·河南洛阳宜阳县·期中)如图，已知：，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形的全等的条件，属于中考常考题型． 根据，推出，，证明即可； 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中   ∵， ∴， ∴． 33．(24-25八上·河南南阳镇平县·期中)课间，小明和小聪在操场上突然争论起来，他们都说自己比对方长得高．这时数学老师走过来，笑着对他们说：“你们不要争了，其实你们一样高，瞧瞧地上，你俩的影子一样长！”数学老师仅从他们的影长相等就断定它们的身高相同．我们可以运用全等三角形的有关知识说明其中的道理（假定太阳光线是平行的）现对老师说法的正确性进行证明，如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程． 已知：如图，于点，于，，__________． 求证：__________． 【答案】；，证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质．根据，可得，再由，，可得，可证明，即可解答． 【详解】解：；． 证明：， ， ，， ． 在和中， ∵， ． ． 34．(24-25八上·河南商丘民权县民权县双塔乡第二初级中学·期中)如图，点在上，连接，，交于点，且为的中点．若求的长． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质；根据平行线的性质可得，根据线段中点的性质可得，进而证明，得出，进而即可求解． 【详解】解：，． ， 为的中点 ， 在和中， ， ， ， ． 35．(24-25八上·河南洛阳洛龙区·期中)如图，在四边形中，，，，于点，若，，则四边形的面积等于（   ） A．35 B． C．20 D．10 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，同角的余角相等，三角形的面积公式等知识点，由,得,因为,所以,而,即可证明,得,可求得,于是得到问题的答案，证明出是解题的关键. 【详解】解：, , , , 在和中， , , , , , , 故选：． 36．(24-25八上·河南新乡封丘县·期中)如图，，，． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的性质、邻补角的定义、全等三角形的判定等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键；平行线的性质：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补； （1）利用平行线的性质得，利用“角边角”即可证明； （2）根据，得到，进而求得，再根据外角的性质得到，证得，即可求解； 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的外角，， ∴， ∴； 37．(24-25八上·河南南阳唐河县·期中)已知是经过顶点C的一条直线，，E，F是直线上的两点，且． (1)观察猜想：如图①．当直线经过的内部，且E，F在射线上时，若，则______，______；（填“”“”或“”） (2)类比探究：如图②，若，则①中的两个结论是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由； (3)问题解决：如图③，在中，，．点D在边上，，点E、F在线段AD上，．若的面积为15，请直接写出与的面积之和． 【答案】(1)； (2)结论仍成立，理由见解析 (3)5 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键． （1）证明，得到即可求解； （2）利用三角形的外角性质证明，进而证明 即可得出结论； （3）过点A作，利用三角形的面积公式得到，再证明得到，则由 可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：；； （2）解：结论仍成立，理由如下： 如图2，∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． ∴结论仍成立． （3）解：与的面积之和为5．理由如下： 过点A作，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，又， ∴， ∴， ∴ ， ∴与的面积之和为5． 地 城 考点05 全等三角形综合问题 38．(24-25八上·河南新乡辉县城北中学·期中)如图，，，动点从点（不含点），以 个单位长度秒的速度沿射线运动，点为射线 上一动点，且始终保持，当点运动 秒时，与以点，，为顶点的三角形全等． 【答案】或或 【分析】本题考查直角三角形全等的判定，关键是找到所有符合题意的情况．设点运动时间为秒，根据已知条件分，，两种情况，根据和列方程求出值即可． 【详解】解： ， ， 设点运动时间为秒， ，， 当时， ， ， 解得：（舍）或； 当时， ， ， 解得：或； 综上：秒或秒或秒时，与以点，，为顶点的三角形全等， 故答案为：或或． 39．(24-25八上·河南新乡辉县百泉中心校·期中)如图，在中，，，，P、Q是两个动点，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A－C－B的路线向终点B运动，同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线B－C－A的路线向终点A运动，点P和点Q都运动到各自的终点时停止，设运动时间为t（秒），直线经过点C，且l ，过点P，Q分别作直线的垂线，垂足为E，F，当与全等时，t的值不可能是（   ） A．2 B．2.8 C．3 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质、作图-基本作图、平行线之间的距离、勾股定理，根据题意得出关于t的方程是解题的关键．分三种情况讨论得出关于t的方程，解方程求得t的值． 【详解】解：当P在上，Q在上时，如图，过点P，Q，C分别作直线l于点E，直线l于点F，于点D， ∵， ∴， ∵于E，于F． ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得； 当P在上，Q在上时，即P、Q重合时，则， 由题意得，， 解得； 当P在上，Q在上时，即A、Q重合时，则， 由题意得，， 解得． 综上，当与全等时，t的值为2或2.8或6． ∴t的值不可能是3． 故选：C． 40．(24-25八上·河南南阳内乡县·期中)如图，在中，，，，点在直线上．点从点出发，在三角形边上沿的路径向终点运动；点从点出发，在三角形边上沿的路径向终点运动．点和分别以1单位/秒和2单位/秒的速度同时开始运动，在运动过程中，若有一点先到达终点时，该点停止运动，另一个点要继续运动，直到两点都到达相应的终点时整个运动才能停止．在某时刻，分别过和作于点，于点，则点的运动时间等于多少秒时，与全等． 【答案】或或秒 【分析】本题考查了全等三角形的性质，分四种情况：当点在上，点在上，当点、都在上时，当点到上，点在上时，当点到点，点在上时，根据 ，列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：与全等， ， 分四种情况： 当点在上，点在上，如图： ， ， ， 当点、都在上时，此时、重合，如图： ， ， ， 当点到上，点在上时，如图： ， ， ，不符合题意，舍去 当点到点，点在上时，如图： ， ， ， 综上所述：点的运动时间等于4或或16秒时，与全等． 41．(24-25八上·河南南阳镇平县·期中)综合与探究． 如图①，，，，垂足分别为A、B，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时点从点B出发在射线上运动．它们运动的时间为（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）． (1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，与是否全等，并判断此时线段和线段的位置关系，请分别说明理由； (2)如图②，若“，”改为“”，点Q的运动速度为，其他条件不变，当点P、Q运动到何处时有与全等，请直接写出相应的x的值． 【答案】(1)，，理由见解析 (2)3或 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）利用证明即可，由全等三角形的性质可得，求出即可得解； （2）分两种情况：①若，则，，②若，则，，分别求解即可． 【详解】（1）解：，线段和线段的位置关系是，理由如下： ，， ， ∵当时，， ， ， 在和中， ， ． ． ， ， 又， ， ． （2）解：由题意可得：，， ∴， ∵ ∴分两种情况讨论： ①若，则，， 可得，， 解得，； ②若，则，， 可得，， 解得，． 综上，当与全等时，的值为3或． 42．(24-25八上·河南商丘宁陵县·期中)如图，在长方形中，，，延长到点E，使，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿路线，向终点A运动．设点P的运动时间为t秒，当t的值为 秒时，以点A、B、P为顶点的三角形与全等． 【答案】1或10 【分析】本题考查了全等三角形的判定及矩形的性质，解决本题的关键是掌握矩形的性质．分两种情况进行讨论，根据题意得出和即可求得． 【详解】解：①当时，和全等． 在和中， ， ， ， 所以， ②当，和全等． 与①同理，根据证得： ， ， 解得． 所以，当的值为1或10秒时．和全等． 故答案为：1或10． 43．(24-25八上·河南洛阳宜阳县·期中)下列命题中的假命题是（    ） A．三个角对应相等的两个三角形全等 B．全等三角形的对应角相等 C．若，则a与b互为倒数 D．若，则 【答案】A 【分析】本题主要考查了命题与定理，解决本题的关键是要熟练掌握相关定理． 根据全等三角形的性质和判定，倒数的定义以及绝对值的的性质分别分析得出答案即可． 【详解】解：A、三个角对应相等的两个三角形不一定全等， 此选项是假命题，符合题意； B、全等三角形的对应角相等， 此选项是真命题，不符合题意； C、根据倒数的定义，乘积为1的两个数互为倒数，此选项是真命题，不符合题意； D、若，则，则，此选项是真命题，不符合题意； 故选：A． 44．(24-25八上·河南南阳新野县·期中)如图，，，O，E分别为线段和射线上的一点，若点O从点A出发向点B运动，同时点E从点A出发向点C运动，二者速度之比为2：1，运动到某时刻同时停止，在射线上取一点F，使与全等，则的长为 ． 【答案】15或40 【分析】本题考查了全等三角形判定，分类讨论得出线段相等是解题关键． 设运动时间为t，使与全等，得出线段相等，列方程即可求解． 【详解】解：设运动时间为t，则， 因为，当时，与全等， ∵， ， 解得：， ； 当时，与全等， ∵， ， 解得：， ； 故答案为：15或40． 45．(24-25八上·河南南阳·期中)如图①是一张“小孔成像”实验图片，图②是它的简化示意图．点O代表小孔，代表蜡烛的火苗，代表火苗在光屏上所成的像，与互相平行，已知当小孔到蜡烛的距离（物距）等于小孔到光屏的距离（像距）时，所成像的大小与火苗的大小相等，请你用数学知识解释这种现象． 【答案】解释见解析 【分析】本题考查了平行线的性质和全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形判定定理是解题的关键； 作，交于点E，延长交于点F，根据平行线的性质得，，，再证，即可得出结论 【详解】解：作，交于点E，延长交于点F， ，，， ， ，，， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， 当物距等于像距时，所成像的大小与火苗的大小相等这一现象． 46．(24-25八上·河南南阳邓州·期中)综合与实践 中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．    【提出问题】如图①，中，若，求边上的中线的取值范围； 【探究方法】同学们经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接． 请你根据同学们的方法完成下面的任务： ①根据题意，补全图形； ②根据同学们的方法，可以证______≌______，由三角形的三边关系可以求得的取值范围是______（直接填空）； 【拓展探究】如图②，在和中， ，连接，若为的中线，猜想与的数量关系并说明理由． 【答案】探究方法：①作图见解析；②；；拓展探究：，理由见解析 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键，倍长中线”构造全等三角形是解决问题的难点． 探究方法：如图所示，根据三角形中线定义得，进而可依据“”判定和全等，再由全等三角形性质得，，根据三角形三边之间关系得，即，由此可得出的取值范围； 拓展探究：延长到，使，连接，如图所示，则，先证明和全等得，，则，进而得，再由得，则，由此可依据“”判定和全等，则，由此可得与的数量关系． 【详解】解：探究方法：①如图所示：    ②是边上的中线， ， 在和中， ， ， ， ，，， ，， 在中，由三角形三边关系可知， ， ，即的取值范围是； 故答案为：；； 拓展探究：猜想：， 理由如下： 延长到，使，连接，如图所示：    则， 为的中线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ． 地 城 考点06 角平分线的性质定理 47．(24-25八上·河南商丘民权县民权县双塔乡第二初级中学·期中)如图，，和分别平分和,过点，且与垂直，若．则点到的距离是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角的两边距离相等是解题的关键． 作于点，由题意得，进而得出，，即可得到答案． 【详解】解：如图，作于点， ，， 和分别平分和， ，， ， ， ， ， 点到的距离是， 故选：C ． 48．(24-25八上·河南安阳第八中学·期中)如图，在中，，是的角平分线，若，，则的面积是（   ） A．24 B． C．15 D． 【答案】B 【分析】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．过点D作于E，根据角平分线的性质求出，根据三角形的面积公式计算，得到答案． 【详解】解：过点D作于E， ∵是的角平分线，， ∴， ∴． 故选：B． 49．(24-25八上·河南洛阳洛龙区·期中)如图，平分，于，点在上，，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线上的点到角两边的距离相等的性质，垂线段最短的性质等知识点，根据垂线段最短可知，当时最短，再根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得，进而求解，确定出值最小时的位置是解题的关键． 【详解】解：如图，过点，垂足为点， 平分，， ， ， ， 即当点运动到点的位置时，长度最短，最小值为3， ， 故答案为：． 50．(24-25八上·河南商丘宁陵县·期中)如图，是的角平分线，C为上一点，于E，，，在射线上有一动点Q，则在运动过程中，当的长度是几时有（   ） A．3 B．4 C．3或4 D．4或10 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质定理，过点C作于点D，根据角平分线的性质得到，再分两种情况利用全等三角形的判定与性质求解即可． 【详解】解：如图，过点C作于点D， 是的角平分线，，， ， 当点Q位于之间时，如图， 在与中， ， ， ， 在与中， ， ， ， ； 当点Q位于射线之间时，如图， 同理可得：，， ； 故选：D． 51．(24-25八上·河南商丘民权县·期中)如图，是的角平分线，为上一点，于，，，在射线上有一动点，则在运动过程中，点到点的最短距离是 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，过点作于，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再根据垂线段最短解答即可． 【详解】解：如图，过点作于，连接， 平分，，，， ， 动点在射线上运动， ， 线段的最小值为． 故答案为：． 52．(24-25八上·河南南阳南召县·期中)（1）①如图1，平分，，，求证：． ②由①可得到命题：“角平分线上的点到角两边的距离相等”．请把该命题写成“如果……那么……”的形式． （2）如图2，平分，，，（1）中的结论是否成立？请作出判断并给予证明． （3）如图3，在四边形中，，，，于点，请直接写出，，的数量关系． 【答案】（1）①见解析；②如果一点在一个角平分线上，那么这个点到这个角两边的距离相等 （2）结论成立，理由见解析 （3）． 【分析】本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理是解题的关键． （1）①根据已知条件，可得，可证得，即可求证； ②根据命题的概念解答； （2）作，于．根据角平分线的性质可得，再由，可得，从而证得，即可得解； （3）连接．作于．根据，可得，可证得，从而得到，，再证明，可得，即可得解． 【详解】（1）①证明：∵平分， ∴ ，， ， 在和中， ， ， ； ②解：如果一点在一个角平分线上，那么这个点到这个角两边的距离相等； （2）解：（1）中的结论成立；理由如下： 如图②中，作于E，于， 平分，，， ， ，， ， 在和中， ， ， ； （3）；理由如下： 如图③中，连接．作于． ，， ， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ∴， ， ， 即． 53．(24-25八上·河南商丘求实学校·期中)太阳能热水器（图1）环保节能，安全可靠，维护简单，倍受人们的喜爱．它的支架我们可以看作（图2）．为增强其牢固性，增加了两根支架，已知，且． (1)请找出图中的一对全等三角形，并进行证明； (2)求的度数． 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查角平分线的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质的运用， （1）根据角平分线的性质得到，再根据全等三角形的判定和性质即可求解； （2）根据三角形内角和定理，直角三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：， 证明：， 平分， 又， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ． 54．(24-25八上·河南商丘求实学校·期中)王林根据教材角平分仪模型进行了相关探究，整理如下． 标题 角平分仪的相关应用探究 素材 图1是一个平分角的仪器，其中． 图示      任务 （1）如图2，将仪器放置在上，使点与顶点重合，分别在边上，沿画一条射线，交于点是的平分线吗？请判断并说明理由． （2）如图3，在（1）的条件下，过点作于点，若，的面积是60，求的长． 【答案】（1）是的平分线，理由见解析；（2） 【分析】本题主要考查三角形全等的判定方法及角平分线的性质，能够熟练运用角平分线的性质得到高的长度是解题关键． （1）利用三条对应边相等证明来得到即可． （2）利用角平分线上的点到角两边的距离相等得到的高，再运用割补法及面积计算公式解题即可． 【详解】解：（1）是的平分线 理由如下：在和中，， ∴ ∴， ∴平分． （2） ∵平分，， ∴的高等于， ∵． ∴， ∵ ∴． 地 城 考点07 角平分线的判定定理 55．(24-25八上·河南许昌禹州·期中)如图，在中，，，是上一点，连接，于点，于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质定理的逆定理是解题的关键． 先利用三角形内角和定理可得，再利用角平分线的性质定理的逆定理可得平分，然后利用角平分线的定义进行计算即可解答． 【详解】解： ，， ． ，，， 平分． ． 故选：C． 56．(24-25八上·河南济源济水一中·期中)已知：如图1，的外角和的平分线相交于点F． 求证：点F在的平分线上． 某数学兴趣小姐的小明同学提出了如下的解题方法： 如图2，过点F作于点G，作于点H，作于点M，由角平分线的性质定理可得：，． ∴． ∵，， ∴F在的平分线上． (1)小方在研究小明的解题过程时，还发现图2中和三条线段存在一定的数量关系，请你写出它们的数量关系，并说明理由； (2)小明也发现和之间存在一定的数量关系．请你直接写出它们的数量关系： ； 【答案】(1)，证明见解析； (2) 【分析】本题主要考查了角平分线性质与判定，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键 （1）证明可得，同理再由可得结论； （2）由（1）得，，，所以，进而可得结论； 【详解】（1）结论： 证明：平分， ， 在和中， , ； 同理可得， ， ； （2）结论： 证明：由（1）得：，， ， ∴ 57．(24-25八上·河南焦作武陟县·期中)如图，在四边形中，过点C作于点E，并且，．    (1)求证：平分； (2)若，，求的长； (3)若和的面积分别为28和16，则的面积为______． 【答案】(1)见解析 (2)1 (3)6 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）过点作于点，证明，得出，即可证明是的角平分线，即可得证； （2）证明得出，进而根据，即可求解； （3）根据全等三角形的性质，得出，，则可得，即可求解． 【详解】（1）证明：如图所示，过点作于点，    ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴是的角平分线，即平分； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴． 地 城 考点08 作角平分线 58．(24-25八上·河南济源轵城镇联合中学·)如图所示，在平面直角坐标系中，在轴，轴的正半轴上分别截取，，使；再分别以点，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点． 若点的坐标为 ， 则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了尺规作图，点到坐标轴的距离，角平分线的性质；熟练掌握角平分线的画法和角平分线的性质是解题的关键．依据作图过程的特征可知点在第一象限的角平分线上，再根据角平分线的性质即可得到关于的方程，解出即可得到答案． 【详解】解：由作图过程可知点在第一象限的角平分线上， ， 解得：． 故答案为：． 59．(24-25八上·河南商丘虞城县·期中)如图，在中，，． (1)画的角平分线交于D； (2)在（1）的条件下，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据角平分线的作图方法作图即可； （2）由三角形内角和定理可得，由角平分线的定义可得，再由三角形外角的定义及性质解答即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求， ； （2）解：∵，， ， 平分， ， ∴． 60．(24-25八上·河南商丘宁陵县·期中)如图，，以点A为圆心，小于长为半径画弧，分别交、于E、F两点，再分别以E、F为圆心，大于长为半径画弧，两条弧交于点P，射线交于点M，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了平行线的性质．利用基本作图可判断平分，则，再根据平行线的性质得到，则，从而得到的度数，最后由三角形内角和求解即可． 【详解】解：由作法得平分， ， ， ， ， ， ． ． 故选：A． 61．(24-25八上·河南安阳五中教育集团·期中)下面是小明设计的尺规作图过程， 已知：如图，在中，， 求作：点D，使点D在边上，且到和的距离相等． 作法： ①如图，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点M、N； ②分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P； ③画射线，交于点D． 所以点D即为所求． 根据小明设计的尺规作图过程： (1)使用直尺和圆规，补全图形（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，过点D作于点E，求证：． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查了尺规作图——作已知角的角平分线，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识点，并正确的作出图形是解题的关键． （1）根据题意补全图形即可； （2）连接，，先利用全等三角形判定定理证出，得到，再运用角平分线的性质即可求证． 【详解】（1）解：如图，即为补全的图形； （2）证明：如图，连接，， 在与中， ， ， ， ， ， 又， （角平分线上的点到角的两边的距离相等）． 62．(24-25八上·河南洛阳·期中)如图，已知， (1)尺规作图：在图1中，作的平分线；(不写作法，保留作图痕迹) (2)如图2，点在(1)中的射线上，，且的两边分别与，交于点和点，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作角平分线、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质． （1）根据角平分线的作图方法作图即可． （2）过点作于点，于点，结已知条件可得，，再结合角平分线的性质可得，即可证明，则可得． 【详解】（1）解：如图1，射线即为所求． （2）证明：如图2，过点作于点，于点， ， ， ． ，， ， ， 即， ． 又为的平分线，，， ． ， ． 63．如图，在中，平分，根据尺规作图的痕迹作射线，交于点，连接，则下列说法错误的是（     ） A．点到边的距离相等 B．平分 C． D．点到、、三点的距离相等 【答案】D 【分析】本题考查了尺规作图-角平分线，角平分线的判定和性质，三角形的内角和定理，对顶角相等，三角形的内心定义和性质，熟练掌握三角形内心的性质是解题的关键． 先根据作图痕迹得出是的角平分线，根据角平分线上的点到角两边的距离相等即可判断A说法正确；根据到角两边距离相等的点在角平分线上，可得点在的平分线上，即可判断B说法正确；根据角平分线平分角可得，，结合三角形内角和是可求得，再结合对顶角相等即可求得，判断C说法正确；根据题意可得点是的内心，判断D说法错误；即可求解． 【详解】解：A、根据作图痕迹，可得是的角平分线， ∵点在上， ∴点到边、的距离相等；A说法正确； B、∵平分，平分， ∴点到边、、的距离相等， 即点在的平分线上， ∴平分；B说法正确； C、∵平分，平分， ∴，， 故， ∴；C说法正确； D、∵点是三个角的角平分线的交点， ∴点到边、、的距离相等，不是点到、、三点的距离相等；D说法错误． 故选：D． 64．(24-25八上·河南焦作武陟县·期中)如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P，若点P的坐标为，则a与b的数量关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了基本作图，角平分线的性质， 各个象限点的坐标特征，正确掌握角平分线的基本作法是解题关键．直接利用角平分线的作法与性质进而得出P点在第二象限的角平分线上，进而得出答案． 【详解】解：由题意可得：P点在第二象限的角平分线上， ∵点P的坐标为， ∴， 则． 故选：D． 65．(23-24八下·河南郑州二七区·期中)如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点O，作射线，交于点E．已知，，的面积为（ ） A．6 B．9 C．12 D．18 【答案】A 【分析】根据角平分线的尺规作图可得平分．作，再根据角平分线的性质可得，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：过点E作，如图所示： 由题意可知：平分， ∵，， ∴， ∴， 故选：A． 试卷第1页，共3页 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 全等三角形 8大高频考点概览 考点01 全等三角形的性质 考点02 添加条件使三角形全等 考点03 全等的性质和SAS综合 考点04 全等的性质和ASA（AAS）综合 考点05 全等三角形综合问题 考点06 角平分线的性质定理 考点07 角平分线的判定定理 考点08 作角平分线 地 城 考点01 全等三角形的性质 1．(24-25八上·河南濮阳油田第十八中学·期中)如图，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．(24-25八上·河南驻马店新蔡县·期中)如图，，点在上，，则的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．(24-25八上·河南新乡辉县第一民族学校·期中)如图，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．它们运动的时间为设点的运动速度为，当时，x的值为 ；当时，x的值为 ． 4．(24-25八上·河南洛阳涧西区·期中)如图所示的两个三角形全等，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．(24-25八上·河南濮阳范县·期中)若，且，，，则的长为（   ） A．7或6 B．6 C．5 D．5或6 6．(24-25八上·河南商丘宁陵县·期中)三个全等三角形按如图的形式摆放，则的度数是（   ） A． B． C． D．无法确定 7．(24-25八上·河南周口太康县·期中)如图，，若，，，则的周长为（   ） A． B． C． D． 8．(24-25八上·河南周口太康县·期中)如图，，点对应点，点对应点，点、、、在同一条直线上． (1)求证：； (2)请你判断和的位置关系，并说明理由． 9．(24-25八上·河南商丘求实学校·期中)已知，且，则长度（设为）的取值范围为（   ） A． B． C． D． 地 城 考点02 添加条件使三角形全等 10．(24-25八上·河南周口鹿邑县老君台中学·期中)如图，已知，则添加下列一个条件不一定能使的是（   ） A． B． C． D． 11．(24-25八上·河南商丘宁陵县·期中)如图，已知：点D在边上，点B在边上，且，那么要证明，还需补充的条件是（   ） A．， B．， C．， D．以上都不对 12．(24-25八上·河南驻马店泌阳县·期中)如图，在和中，点在同一条直线上，，，只添加一个条件，仍然不能判断的是（   ） A． B． C． D． 13．(24-25八上·河南洛阳宜阳县·期中)如图， (1)请补充一个条件，使． (2)在（1）的条件下，吗？为什么？ 14．(24-25八上·河南洛阳汝阳县·期中)如图，与相交于点O，，有以下四个条件；①；②；③；④．从这四个条件中任选一个，能使的选法种数共有（    ） A．2种 B．3种 C．4种 D．1种 15．(24-25八上·河南周口商水县·期中)如图，，，若利用“”来判定，则需添加的条件是（   ） A． B． C． D． 16．(24-25八上·河南洛阳地矿双语中学·期中)如图，点B在上，，要使，在不添加字母的情况下，还需添加一个条件是 ． 17．(24-25八上·河南南阳·期中)南阳光武大桥，建于2012年，南阳农运会的应景之作，四塔高耸，斜拉铁索，南阳首创，主要承担市区到南阳机场的交通任务，被称为“南阳之门”．其侧面示意图如图所示，其中，现添加以下条件，仍不能判定的是（   ） A． B． C． D． 18．(24-25八上·河南焦作武陟县·期中)如图，，，要使，则可添加的一个条件是 ．（写出一个即可）    19．(24-25八上·河南新乡第十中学·期中)学习全等三角形的判定后，小明编了这样一个题目：“已知：如图，，，，求证：．” 老师说他的已知条件给多了，那么可以去掉的一个已知 条件是： ． 地 城 考点03 全等的性质和SAS综合 20．(24-25八上·河南南阳镇平县·期中)某学校美术社团为学生外出写生配备如图所示的折叠凳，图是折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿和的长度相等，是它们的中点，为了使折叠凳坐得舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度设计为，若的长度为，由以上信息可知的长度为（   ） A． B． C． D． 21．(24-25八上·河南洛阳宜阳县·期中)如图，已知，，则下列选项中错误的是（   ） A． B． C． D． 22．(24-25八上·河南商丘民权县·期中)如图，点，，，在直线上（点，点之间不能直接测量），点，在异侧，测得，，． (1)求证：； (2)指出图中所有平行的线段，并说明理由． 23．(24-25八上·河南濮阳范县·期中)如图，已知点、、、在一条直线上，，，，若，，求的长． 24．(24-25八上·河南许昌建安区第三中学·期中)【问题背景】 在四边形中，，，，E、F分别是、上的点，且，试探究图1中线段、、之间的数量关系． 【初步探索】 （1）小亮同学认为：延长到点G，使，连接，先证明，再证明，则可得到、、之间的数量关系是______． 【探索延伸】 （2）在四边形中如图2，，，E、F分别是、上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由． 【结论运用】 （3）如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以80海里/小时的速度前进小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角（）为，试求此时两舰艇之间的距离． 25．(24-25八上·河南漯河召陵区·期中)（1）问题背景： 如图1，在四边形中，，，，E，F分别是、上的点，且．探究图中线段，，之间的数量关系． 小明同学探究此问题的方法是，延长到点G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______； （2）灵活运用： 如图2，若在四边形中，，．E，F分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立，请说明理由； （3）探索延伸： 如图3，已知在四边形中，，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，如图3所示，且满足，请直接写出与的数量关系． 26．(24-25八上·河南新乡封丘县·期中)老君山有两千多年的道教文化历史．传说老子传《道德经》后，告别函谷关的关令平喜，骑着青牛而去，《史记》记载“莫知其所终”．如图，这是游览老君山时看到的凉亭的结构示意图，是独木立杆，飞檐，，，，点为横木交点． (1)该凉亭结构造型独特，构成两个三角形和，使飞檐高挑展开，是利用了三角形的______（填“易变形”或“稳定性”）． (2)试判断横木与的数量关系，并给出证明过程． 27．(24-25八上·河南新乡封丘县·期中)如图，是四个社区服务中心．在一条直线上，，之间也有道路相连，且道路与垂直，，之间隔了一个湖泊．现决定在湖泊上造一座斜拉桥，测得，，则建造的斜拉桥的长至少为（    ） A． B． C． D． 28．(24-25八上·河南周口太康县·期中)李老师善于通过教材例题整合知识内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯，下面是李老师就华师版八年级上册数学教材第69页的例题进行拓展整合、设计的问题，请你解答． (1)【教材回顾】 例4  如图1，在中，是边的中点，过点画直线，使，交的延长线于点，求证：． 证明：∵（已知）， ∴，（________，______）（填写依据）． 在与中， ∵，，（已知）， ∴（________）（填写依据）， ∴（全等三角形的对应边相等）． 将上述证明过程补充完整； (2)【迁移探究】 为了探索直角三角形的性质，李老师将（1）中的替换为，并结合（1）作出如下辅助线． 如图2，在中，，是斜边上的中线，过点画直线，使，交的延长线于点．易得以及． 根据李老师的辅助线提示和思路，猜想与之间的数量关系，并说明理由． (3)【拓展应用】 如图3．在中，，，直接写出边上的中线长度的取值范围． 地 城 考点04 全等的性质和ASA（AAS）综合 29．(24-25八上·河南驻马店新蔡县·期中)如图，在中，是高和的交点， ，则的长为 ． 30．(24-25八上·河南新乡封丘县·期中)如图，在一个支架的横杆上点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，表示小球静止时的位置．当小华用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点B作于点D；当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的点A，B，O，C在同一平面上），过点C作于点E．已知，细绳的长为，则的长为 ． 31．(24-25八上·河南辉县太行中学·期中)和的位置如图，点A在的边上，与相交于点F，且，，猜想与有怎样的数量关系． 32．(24-25八上·河南洛阳宜阳县·期中)如图，已知：，，．求证：． 33．(24-25八上·河南南阳镇平县·期中)课间，小明和小聪在操场上突然争论起来，他们都说自己比对方长得高．这时数学老师走过来，笑着对他们说：“你们不要争了，其实你们一样高，瞧瞧地上，你俩的影子一样长！”数学老师仅从他们的影长相等就断定它们的身高相同．我们可以运用全等三角形的有关知识说明其中的道理（假定太阳光线是平行的）现对老师说法的正确性进行证明，如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程． 已知：如图，于点，于，，__________． 求证：__________． 34．(24-25八上·河南商丘民权县民权县双塔乡第二初级中学·期中)如图，点在上，连接，，交于点，且为的中点．若求的长． 35．(24-25八上·河南洛阳洛龙区·期中)如图，在四边形中，，，，于点，若，，则四边形的面积等于（   ） A．35 B． C．20 D．10 36．(24-25八上·河南新乡封丘县·期中)如图，，，． (1)求证：． (2)若，求的度数． 37．(24-25八上·河南南阳唐河县·期中)已知是经过顶点C的一条直线，，E，F是直线上的两点，且． (1)观察猜想：如图①．当直线经过的内部，且E，F在射线上时，若，则______，______；（填“”“”或“”） (2)类比探究：如图②，若，则①中的两个结论是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由； (3)问题解决：如图③，在中，，．点D在边上，，点E、F在线段AD上，．若的面积为15，请直接写出与的面积之和． 地 城 考点05 全等三角形综合问题 38．(24-25八上·河南新乡辉县城北中学·期中)如图，，，动点从点（不含点），以 个单位长度秒的速度沿射线运动，点为射线 上一动点，且始终保持，当点运动 秒时，与以点，，为顶点的三角形全等． 39．(24-25八上·河南新乡辉县百泉中心校·期中)如图，在中，，，，P、Q是两个动点，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A－C－B的路线向终点B运动，同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线B－C－A的路线向终点A运动，点P和点Q都运动到各自的终点时停止，设运动时间为t（秒），直线经过点C，且l ，过点P，Q分别作直线的垂线，垂足为E，F，当与全等时，t的值不可能是（   ） A．2 B．2.8 C．3 D．6 40．(24-25八上·河南南阳内乡县·期中)如图，在中，，，，点在直线上．点从点出发，在三角形边上沿的路径向终点运动；点从点出发，在三角形边上沿的路径向终点运动．点和分别以1单位/秒和2单位/秒的速度同时开始运动，在运动过程中，若有一点先到达终点时，该点停止运动，另一个点要继续运动，直到两点都到达相应的终点时整个运动才能停止．在某时刻，分别过和作于点，于点，则点的运动时间等于多少秒时，与全等． 41．(24-25八上·河南南阳镇平县·期中)综合与探究． 如图①，，，，垂足分别为A、B，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时点从点B出发在射线上运动．它们运动的时间为（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）． (1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，与是否全等，并判断此时线段和线段的位置关系，请分别说明理由； (2)如图②，若“，”改为“”，点Q的运动速度为，其他条件不变，当点P、Q运动到何处时有与全等，请直接写出相应的x的值． 42．(24-25八上·河南商丘宁陵县·期中)如图，在长方形中，，，延长到点E，使，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿路线，向终点A运动．设点P的运动时间为t秒，当t的值为 秒时，以点A、B、P为顶点的三角形与全等． 43．(24-25八上·河南洛阳宜阳县·期中)下列命题中的假命题是（    ） A．三个角对应相等的两个三角形全等 B．全等三角形的对应角相等 C．若，则a与b互为倒数 D．若，则 44．(24-25八上·河南南阳新野县·期中)如图，，，O，E分别为线段和射线上的一点，若点O从点A出发向点B运动，同时点E从点A出发向点C运动，二者速度之比为2：1，运动到某时刻同时停止，在射线上取一点F，使与全等，则的长为 ． 45．(24-25八上·河南南阳·期中)如图①是一张“小孔成像”实验图片，图②是它的简化示意图．点O代表小孔，代表蜡烛的火苗，代表火苗在光屏上所成的像，与互相平行，已知当小孔到蜡烛的距离（物距）等于小孔到光屏的距离（像距）时，所成像的大小与火苗的大小相等，请你用数学知识解释这种现象． 46．(24-25八上·河南南阳邓州·期中)综合与实践 中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．    【提出问题】如图①，中，若，求边上的中线的取值范围； 【探究方法】同学们经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接． 请你根据同学们的方法完成下面的任务： ①根据题意，补全图形； ②根据同学们的方法，可以证______≌______，由三角形的三边关系可以求得的取值范围是______（直接填空）； 【拓展探究】如图②，在和中， ，连接，若为的中线，猜想与的数量关系并说明理由． 地 城 考点06 角平分线的性质定理 47．(24-25八上·河南商丘民权县民权县双塔乡第二初级中学·期中)如图，，和分别平分和,过点，且与垂直，若．则点到的距离是（　　） A． B． C． D． 48．(24-25八上·河南安阳第八中学·期中)如图，在中，，是的角平分线，若，，则的面积是（   ） A．24 B． C．15 D． 49．(24-25八上·河南洛阳洛龙区·期中)如图，平分，于，点在上，，则的取值范围是 ． 50．(24-25八上·河南商丘宁陵县·期中)如图，是的角平分线，C为上一点，于E，，，在射线上有一动点Q，则在运动过程中，当的长度是几时有（   ） A．3 B．4 C．3或4 D．4或10 51．(24-25八上·河南商丘民权县·期中)如图，是的角平分线，为上一点，于，，，在射线上有一动点，则在运动过程中，点到点的最短距离是 ． 52．(24-25八上·河南南阳南召县·期中)（1）①如图1，平分，，，求证：． ②由①可得到命题：“角平分线上的点到角两边的距离相等”．请把该命题写成“如果……那么……”的形式． （2）如图2，平分，，，（1）中的结论是否成立？请作出判断并给予证明． （3）如图3，在四边形中，，，，于点，请直接写出，，的数量关系． 53．(24-25八上·河南商丘求实学校·期中)太阳能热水器（图1）环保节能，安全可靠，维护简单，倍受人们的喜爱．它的支架我们可以看作（图2）．为增强其牢固性，增加了两根支架，已知，且． (1)请找出图中的一对全等三角形，并进行证明； (2)求的度数． 54．(24-25八上·河南商丘求实学校·期中)王林根据教材角平分仪模型进行了相关探究，整理如下． 标题 角平分仪的相关应用探究 素材 图1是一个平分角的仪器，其中． 图示      任务 （1）如图2，将仪器放置在上，使点与顶点重合，分别在边上，沿画一条射线，交于点是的平分线吗？请判断并说明理由． （2）如图3，在（1）的条件下，过点作于点，若，的面积是60，求的长． 地 城 考点07 角平分线的判定定理 55．(24-25八上·河南许昌禹州·期中)如图，在中，，，是上一点，连接，于点，于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 56．(24-25八上·河南济源济水一中·期中)已知：如图1，的外角和的平分线相交于点F． 求证：点F在的平分线上． 某数学兴趣小姐的小明同学提出了如下的解题方法： 如图2，过点F作于点G，作于点H，作于点M，由角平分线的性质定理可得：，． ∴． ∵，， ∴F在的平分线上． (1)小方在研究小明的解题过程时，还发现图2中和三条线段存在一定的数量关系，请你写出它们的数量关系，并说明理由； (2)小明也发现和之间存在一定的数量关系．请你直接写出它们的数量关系： ； 57．(24-25八上·河南焦作武陟县·期中)如图，在四边形中，过点C作于点E，并且，．    (1)求证：平分； (2)若，，求的长； (3)若和的面积分别为28和16，则的面积为______． 地 城 考点08 作角平分线 58．(24-25八上·河南济源轵城镇联合中学·)如图所示，在平面直角坐标系中，在轴，轴的正半轴上分别截取，，使；再分别以点，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点． 若点的坐标为 ， 则的值为 ． 59．(24-25八上·河南商丘虞城县·期中)如图，在中，，． (1)画的角平分线交于D； (2)在（1）的条件下，求的度数． 60．(24-25八上·河南商丘宁陵县·期中)如图，，以点A为圆心，小于长为半径画弧，分别交、于E、F两点，再分别以E、F为圆心，大于长为半径画弧，两条弧交于点P，射线交于点M，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 61．(24-25八上·河南安阳五中教育集团·期中)下面是小明设计的尺规作图过程， 已知：如图，在中，， 求作：点D，使点D在边上，且到和的距离相等． 作法： ①如图，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点M、N； ②分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P； ③画射线，交于点D． 所以点D即为所求． 根据小明设计的尺规作图过程： (1)使用直尺和圆规，补全图形（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，过点D作于点E，求证：． 62．(24-25八上·河南洛阳·期中)如图，已知， (1)尺规作图：在图1中，作的平分线；(不写作法，保留作图痕迹) (2)如图2，点在(1)中的射线上，，且的两边分别与，交于点和点，求证：． 63．如图，在中，平分，根据尺规作图的痕迹作射线，交于点，连接，则下列说法错误的是（     ） A．点到边的距离相等 B．平分 C． D．点到、、三点的距离相等 64．(24-25八上·河南焦作武陟县·期中)如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P，若点P的坐标为，则a与b的数量关系为（   ） A． B． C． D． 65．(23-24八下·河南郑州二七区·期中)如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点O，作射线，交于点E．已知，，的面积为（ ） A．6 B．9 C．12 D．18 试卷第1页，共3页 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $$