专题03 勾股定理与逆定理 6大高频考点（期中真题汇编，江苏专用）八年级数学上学期

专题03 勾股定理与逆定理 6大高频考点概览 考点01 勾股数 考点02 利用勾股定理解三角形 考点03 勾股定理的证明与弦图 考点04 勾股定理与折叠问题 考点05 勾股定理的应用 考点06 勾股定理逆定理及其应用 地 城 考点01 勾股数 一、选择题 1．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（   ） A．1，1，2 B．1，，2 C．3，4，5 D．，， 2．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）下列四组数中，是勾股数的是（   ） A．1，2，3 B．4，5，6 C．9，12，15 D．1，2，5 3．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）下列各组数中是勾股数的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）下列各组数中，不是勾股数的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 5．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）下列各组数是勾股数的是（   ） A．4，5，6 B．5，12，13 C．0.3，0.4，0.5 D．8，24，25 6．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）下列数组中的数字，刚好是勾股数的一组是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·江苏常州·期中）下列各组数据为勾股数的是（   ） A．1，2，3 B．1，，2 C．9，40，41 D．，， 8．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）下列各组数中，是勾股数的是（    ） A．6，8，10 B．10，15，18 C． D．0.3，0.4，0.5 二、填空题 9．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：3、4、5；5、12、13；7、24、25；…这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如6、8、10；8、15、17；…若此类勾股数的勾为12，则其弦是 ． 三、解答题 10．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）小明在探究勾股数的规律时关注到这样一组勾股数：3、4、5；5、12、13；7、24、25…他发现这些勾股数数都是由一个大于1的奇数和两个连续的正整数组成． (1)小明根据他的发现写出了这样一组数：9、40、41，这是一组勾股数吗，请给出证明． (2)为了进一步探究这组勾股数的构成规律，小明设这样的勾股数为m、n、（m为大于1的奇数，且），他猜想是否可以用m表示出n．若可以，请帮小明完成他的猜想，若不可以，请说明理由． (3)当奇数时，请直接写出这组勾股数． 11．（24-25八年级上·江苏南京·期中）【探索勾股数】与直角三角形三条边长对应的3个正整数，称为勾股数，《周髀算经》中记载的“勾三股四弦五”中的“3，4，5”就是一组最简单的勾股数，显然，这组数的整数倍，如等都是勾股数．当然，勾股数远远不止这些，如等也都是勾股数．怎样探索勾股数呢？即怎样一组正整数才能满足关系式．设为一组勾股数，观察下表回答问题： 表1 表2 a b c a b c 3 4 5 6 8 10 5 12 13 8 15 17 7 24 25 10 24 26 9 40 41 12 35 37 (1)根据表1的规律写出勾股数（11，________，________）； 观察可得：表1中b、c与之间的关系是________；（填勾股定理不得分） (2)根据表2的规律写出勾股数（16，________，________）； 观察可得：表2中b、c与之间的关系是________；（填勾股定理不得分） (3)老师告诉小明一组勾股数，但他回家后只记得其中最大的数是145，你知道这组勾股数可能是多少吗？（请用勾股定理的形式直接写出结果，例如） 12．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）课堂上学习了勾股定理后知道：直角三角形三边长是整数时我们称之为“勾股数”．王老师给出一组数让学生观察：；；；；，学生发现这些勾股数的勾都是奇数，且从起就没有间断过，于是王老师提出以下问题让学生解决．若两直角边为（），斜边为． (1)请你根据上述的规律写出下一组勾股数：、 、 ； (2)当（为奇数，且）时，若 ， 时可以构造出勾股数（用含的代数式表示），并证明你的猜想； (3)构造勾股数的方法很多，请你寻找当时， ． 13．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）法国数学家费尔马早在17世纪就研究过形如的方程，显然，这个方程有无数组解，我们把满足该方程的正整数的解叫做勾股数，如就是一组勾股数． (1)在研究勾股数时，古希腊的哲学家柏拉图曾指出：如果n表示大于1的整数，，，，那么，以x，y，z为三边的三角形为直角三角形(即x，y，z为勾股数)，请你加以证明； (2)探索规律：观察下列各组数，，，…，直接写出第5个数组为______． 14．（24-25八年级上·江苏南京·期中）阅读材料：勾股定理本身就是一个关于、、的方程，我们知道这个方程有无数组解，满足该方程的正整数解通常叫做勾股数组，我国古籍《周髀算经》中记载的“勾三股四弦五”中的“3，4，5”就是一组最简单的勾股数．为了进一步了解勾股数的奥秘，数学刘老师给出下面的两个表格．（以下，，为的三边，且） 表1               表2 (1)请你根据上述表格的规律写出勾股数：11、________、________； (2)当（为奇数，且）时，若________，________时可以构造出勾股数（用含的代数式表示）；并证明你的猜想； (3)构造勾股数的方法很多，请你寻找当或时，________．（写出所有满足条件的）． 15．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）据我国古代某数学著作记载，将一根直尺折成一个直角，两端连接得一个直角三角形，如果勾是三，股是四，那么弦就等于五．后人概括为“勾三、股四、弦五”． (1)观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；…．发现这些勾股数的“勾”都是奇数，且从3起就没有间断过，计算，与，，并根据你发现的规律，分别写出能用7，24，25中的勾表示股和弦的算式． (2)根据（1）的规律，用含n（n为奇数且）的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦．猜想它们之间的两种相等关系，并对其中一种猜想加以说明． (3)继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…．可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过，运用类似上述探索的方法，直接用含m（m为勾，m为偶数且）的代数式来表示它们的股和弦． 地 城 考点02 利用勾股定理解三角形 一、选择题 1．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，与均为直角三角形，且，，，点E是的中点，则的长为（　　） A．3 B．5 C．4 D．6 2．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，四边形、、分别是以的三边为一边的正方形，过点作的垂线，交于点，交于点，连接、．则下列结论： ①；②；③；④． 其中正确的结论是（    ） A．①②③ B．①③④ C．①③ D．①②③④ 3．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，，在上取点，使，作于E，连接，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，直角中，，点是三条角平分线的交点，的面积记为，的面积记为，的面积记为，下列关于，，之间的大小关系，正确的是（   ） A． B． C． D．无法确定 5．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，中，，，．分别以为边在的同侧作正方形，四块阴影部分的面积分别为，则等于（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 6．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为m和，过锐角顶点画一条线段把该纸片剪成两个三角形，若剪成的两个三角形都为等腰三角形，则m和n满足的等式是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，是的角平分线，过点作，分别交及的外角的平分线于点、．若，则的值为（   ） A．36 B．49 C．25 D．16 8．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．在复习二次根式时，老师提出了一个求代数式最小值的问题，如：“当时，求代数式的最小值”，其中可看作两直角边分别为和2的的斜边长，可看作两直角边分别是和4的的斜边长．于是构造出如图，将问题转化为求的最小值，运用此方法，请你解决问题：已知，均为正数，且．则的最小值是（） A． B． C． D．6 9．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，中，，，，D、E、F分别是、、边上的动点，则的周长的最小值是（    ） A．3.5 B．4.5 C．4.8 D．6 10．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）已知：在中，，，则边上的高为（   ） A． B． C． D． 11．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，，分别以三角形的三边为边向外作等边三角形，若等边三角形的面积分别用，，表示，则，，之间的大小关系为（    ） A． B． C． D． 12．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，，，，点C为线段上一动点，则的最小值为（   ） A．4 B．4.8 C．5 D．6 二、填空题 13．（24-25八年级上·江苏南京·期中），，，，以为边向外作正，则 . 14．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，，于点D，E是的中点，则的长为 ． 15．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，若，，则 ． 16．（24-25八年级上·江苏南京·期中）若直角三角形的两小边为、，则第三边为 ． 17．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，若，且，，，则 ． 三、解答题 18．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，，，动点从点出发，沿以每秒个单位长度的速度向终点运动，连接，设点的运动时间为秒． (1)当时，求的面积； (2)当是等腰三角形时，求的值． 19．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）数学实验活动：两个三角形纸片的摆放． 将两个全等的三角形纸片和进行摆放，其中点与点重合，点落在内部．已知，，． (1)如图①，当时，过点作交延长线于点，与交于点，求的长； (2)如图②，当时，与交于点，求的长． 20．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）定义：如图1，点把线段分割成和，若以为边的三角形是一个直角三角形，则称点是线段的勾股分割点． (1)如图1，已知点是线段的勾股分割点，且线段是线段和中最长的，若，则线段的长为 ； (2)如图2，已知点在线段上，且，点在上，且，是线段的勾股分割点，求线段的长； (3)如图3，在中，，点在斜边上，且，求证：点是线段的勾股分割点． 21．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，四边形中，，，分别是的中点． (1)求证：； (2)当，，时，求的长． 22．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，的高，交于点P． (1)求证：． (2)若，，求． 23．（24-25八年级上·江苏常州·期中）【阅读教材】苏科版八年级上册第69页《折纸与证明》．折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法．例如，在中，（如图1），怎样证明呢？ 分析：把沿的平分线翻折，因为，所以点落在上的点处，即，据以上操作，易证明，所以，又因为，所以． 【感悟与应用】 (1)如图1，在中，若且，则_____； (2)如图2，在四边形中，平分，，，， ①求证：； ②求的长 24．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）（1）问题发现：如图①，和都是等边三角形，点B、D、E在同一条直线上，连接． ①的度数为______；②线段之间的数量关系为______； （2）拓展探究：如图②，和都是等腰直角三角形，，点B、D、E在同一条直线上，为中边上的高，连接，试求的度数及判断线段之间的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图③，和都是等腰三角形，，点B、D，E在同一条直线上，请直接写出的度数； （4）拓展探究：如图④，以等腰的腰为直角边作，且， ，连接，求的最大值． 25．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）在中，，，点D为线段上的一点，点E在线段上，点F在线段的延长线上，，，过点E作，交于点P，交的延长线于点G．    (1)如图1，求证：； (2)如图2，延长交于点H，连接，若，求证：； (3)如图3，若，的面积为6，求的面积． 地 城 考点03 勾股定理的证明与弦图 一、选择题 1．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积为64，小正方形的面积为9，若用，表示直角三角形的两直角边（），下列四个说法：①；②；③；④．其中正确的是（    ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 2．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，以的两直角边为边向外作正方形，其面积分别为，，若斜边的长为10，则的值为（   ） A．8 B．32 C．64 D．100 3．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，图1是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为22，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为（   ） A．38 B．40 C．42 D．44 二、填空题 4．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为 ． 5．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形拼成的大正方形中，连接、．若的面积是的倍，小正方形的面积是，则大正方形的面积 ． 6．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成．如图，直角三角形的直角边长为，斜边长为，若，，则每个直角三角形的面积为 ． 7．（24-25八年级上·江苏南京·期中）我国数学家赵爽利用一幅“弦图”，证明了勾股定理，后人称该图为“赵爽弦图”．如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．如果该大正方形面积为81，小正方形面积为9，用表示直角三角形的两直角边，下列四个推断：①；②；③；④．其中所有正确推断的序号是 ． 8．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．连结，交于点P，若．则的值是 ． 三、解答题 9．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形． (1)弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a．较短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理； (2)如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓线的周长为80，，求该飞镖状图案的面积； (3)如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为、、，若，求． 10．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位， 体现了数学研究中的继承和发展．现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”．中，，若，，请你利用这个图形解决下列问题： (1)试说明：； (2)如果大正方形的面积是15，小正方形的面积是4，求的值． 11．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角和如图2放置，，显然．（对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半） (1)请用a，b，c分别表示出四边形，梯形的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理． (2)【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，在中，，是边上的高，，求的长度； (3)如图4，在中，是边上的高，，求的长． 12．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理，该图中蕴含着丰富的数形关系．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．直角三角形的两条直角边长分别为．若，小正方形面积为10，求大正方形面积． 13．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，，，垂足分别为，，点在上，连接，交于点，，． (1)判断：与的位置关系，并说明理由； (2)连接，，若，，，通过用不同方法计算四边形的面积（即“算两次”思想），验证勾股定理． 14．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）义务教育教科书《数学》（苏科版）八年级上册第81页“探索”中指出：把一个直立的火柴盒放倒（如图所示）后变成，通过不同的方法计算梯形的面积，可以验证勾股定理．请写出验证过程． 15．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）勾股定理体现了数与形的完美结合，小明在学习了教材中介绍的拼图证法以后突发灵感，发现新的拼图方法：两个全等的直角三角板和直角三角板，顶点在边上，顶点、重合，连接、.设、交于点．，，，．请你回答以下问题： (1)填空：______°，______（用含字母的代数式来表示）； (2)请用两种方法计算四边形的面积，并以此为基础证明勾股定理． 16．（24-25八年级上·江苏常州·期中）勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，图1中的2个全等的直角三角形可以拼成不同的图形，用来证明勾股定理． (1)把两个全等的直角和如图2放置，其三边长分别为a，b，c，，可得．请用a，b，c分别写出梯形，四边形，的面积，再根据这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理． (2)若图1中，，图3中方格纸中的小正方形的边长为1，请你用两种不同的方式将图1中两个全等的直角三角形放入图3的两个五边形中，并涂上阴影，则图3（1）中空白部分的面积为________，图3（2）中空白部分的面积为________，从而得到． (3)用（2）中4个全等的直角三角形（，）拼成如图4中的形状，则这个图形外围轮廓（实线）的周长为________． 17．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列三个问题： (1)如图1是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请验证勾股定理：； (2)如图2，在中，，是边上的高，，，求的长度． 18．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，E为上一点，，，，，交于点F，且． (1)试说明； (2)连接，，若设，，，利用此图证明勾股定理． 19．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）我们已经知道，通过不同的方法表示同一图形的面积，可以探求相应的等式，如图①所示，四个形状大小完全相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，四个直角三角形的两条直角边长分别为、，斜边长为． (1)请利用图①完成勾股定理的证明． (2)通过不同的方法表示同一几何体的体积，也可以探求相应的等式．图②是棱长为的正方体，被如图所示的分割线分成8块．试一试，你能从中得到什么等式． (3)已知，，利用上面的等式求． 20．（24-25八年级上·江苏南京·期中）已知直角三角形的两条直角边分别为a、b，斜边为c．请用两种不同的方法证明：． 21．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）用下面的图形验证勾股定理（赵君卿图．虚线代表辅助线）： 22．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，于C，，交与点，垂足为，连接，已知． (1)填空：把图中的两个全等三角形用符号表示出来____________________； (2)利用图中阴影部分面积完成勾股定理的证明． 已知：如图，在中，，，，，求证：． 地 城 考点04 勾股定理与折叠问题 一、选择题 1．（24-25八年级上·江苏南京·期中）已知，如图长方形中，，，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为，则的面积为（   ） A．54 B．90 C．108 D．216 二、填空题 2．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）如图，在中，，点为边上一点，将沿翻折得到，若点在边上，，则的长为 ． 3．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，将三角形纸片沿折叠，使点落在边上的点处．，，则的值为 ． 4．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，，，，，，垂足为，将边沿翻折，使点落在上的点处，则线段的长为 ． 三、解答题 5．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，直角三角形中，，，是的上的一点，若将沿折叠，点恰好落在所在直线上点处． (1)求边的长； (2)求的长； (3)在所在直线上找一点，使得以点、、为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出的长． 6．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）作图并计算 (1)如图1，、是公路同侧的两个村庄，村到公路的距离，村到公路的距离，且．为方便村民出行，计划在公路边新建一个公交站点，要求该站到村庄、的距离相等．在图中作出点的位置，并求得点距点的距离．(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)； (2)如图2，在，，沿着过点的直线折叠三角形，使点落在上点处．作出折痕和点，折痕与交于点．尺规作图，不写作法，保留作图痕迹若，，，求的面积． 7．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，点E在长方形纸片的边上，已知，，将其折叠，使点D与点B重合，折痕为． (1)求证：； (2)求折叠后的长． 8．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，把长方形纸片沿折叠后，点D与点B重合，点C落在点的位置． (1)若，则______，______； (2)判断的形状，并说明理由； (3)若，，求的面积． 9．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，将长方形纸片折叠，使点C与点A重合，点D落在点处，折痕为． (1)求证：； (2)若，，求的长． 10．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）如图1，已知长方形，，点P是射线上的动点，连接，是由沿翻折所得到的图形． (1)当点Q落在边上时， _____； (2)当直线经过点D时，求的长； (3)如图2，点M是的中点，连接． ①的最小值为_____； ②当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出的长． 地 城 考点05 勾股定理的应用 一、选择题 1．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”意思是：“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分还有3尺，拉着绳索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽，如图，问绳索长多少？”设绳索长x尺，可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，长方体的底面边长分别为和，高为．若一只蚂蚁从点P开始经过4个侧面爬行一圈到达点Q，则蚂蚁爬行的最短路径长为（    ） A．20 B．22 C．24 D．25 3．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在杯外壁点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁与C相对的A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，圆柱形玻璃容器高，底面圆的周长为，在外侧距下底的点A处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距上口的点B处有一只苍蝇，则蜘蛛捕获苍蝇所走的最短路线长度是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，一圆柱高9厘米，底面周长是24厘米，一只蚂蚁沿表面从点爬到点，则爬行的最短路程是 ． 6．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，一支长为的铅笔放在长方体笔筒中，已知笔筒的三边长度依次为，，，那么这根铅笔露在笔筒外的部分长度的范围是 ． 7．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图①，直角三角形的两个锐角分别是和，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为和的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为3，则次操作后图形中所有正方形的面积和为 ． 8．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）淮安某大酒店为了迎接“淮扬美食文化节”，要在高5米，长13米的一段台阶面上铺上地毯，台阶的剖面如图，则地毯的长度至少需要 米． 9．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，一圆柱高，底面半径是，一只蚂蚁绕着圆柱向上螺旋式爬行，假设蚂蚁绕圆柱外壁从点A 爬到点B，圆周率π取近似值3，则蚂蚁爬行路线的最短路径长为 ． 10．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）葛藤是一种多年生草本植物，为获得更多的雨露和阳光，其茎蔓常绕着附近的树干沿最短路线盘旋而上，如图，如果把树干看成圆柱体，它的底面周长是分米，当一段葛藤绕树干沿最短路线盘旋圈升高为分米时，这段葛藤的长为 分米． 11．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题，老师对其进行改编：“今有葭生方池中央，出水一尺，引葭七尺赴岸，适与岸齐，问水深几何？”题意为：有一个底面为正方形的池塘，在池塘正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，拉动7尺后它的顶端恰好碰到池边的水面．则水深是 尺． 12．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，圆柱形容器高，底面周长，在杯口点B处有一滴蜂蜜，此时蚂蚁在杯外壁底部与蜂蜜相对的A处，若蚂蚁刚出发时发现B处的蜂蜜正以每秒钟沿杯内壁下滑，3秒钟后蚂蚁吃到了蜂蜜，求蚂蚁的平均速度至少是 ． 13．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，一架梯子斜靠在墙上，梯子顶端与墙角的距离长为4米，梯子的长为5米，则梯子与墙角的距离为 米． 三、解答题 14．（24-25八年级上·江苏常州·期中）2024年9月第13号台风“贝碧嘉”登陆，使我国长三角很多地区受到严重影响，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即距离台风中心小于或等于区域内都会受台风影响）．如图，线段是台风“贝碧嘉”中心从上海市（记为点B）向西北方向移动到常州市（记为点D）的大致路线，无锡市惠山区（记为点C）大致在线段上，南通市记为点A，且．若A，C之间相距，A，B之间相距． (1)判断南通市（记为点A）是否会受到台风“贝碧嘉”的影响，并说明理由． (2)若台风“贝碧嘉”中心的移动速度为，则台风影响南通市（记为点A）持续时间有多长？ 15．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）某条路规定小汽车的行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在这条路的直道上行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方的C处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为．这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：） 16．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图，一架长为的云梯斜靠在一面墙上，水平地面． (1)若云梯放置在底端距墙脚的距离时，求消防员达到救火的高度的长． (2)在演练中，高的墙头有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员，经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全．在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达高的墙头去救援被困人员？ 17．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）今年第6号台风“烟花”登陆我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向由向移动，已知点为一海港，且点与直线上的两点的距离分别为，，又，经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响．已知台风中心的移动速度为． (1)求的度数． (2)海港是否受台风影响？若受影响，求出影响时长；若不受影响，说明理由． 18．（24-25八年级上·江苏常州·期中）2024年第13号台风“贝碧嘉”于9月16日17时前后经过常州，给当地造成了巨大损失．如图，一棵垂直于地面并且高9米的银杏树被台风折断，树顶A落在离树底部C的6米处，求这棵树在离地面多高处被折断． 19．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）张同学在深入研究课本82页第2题时发现：如图（1），一架梯子斜靠在竖直墙上，梯子底端点B距离墙角O的距离是，此时梯子到达的垂直高度是，通过计算可以得到梯子的长为______m，爱动脑筋的张同学发现，梯子的中点为M，当梯子底端从B向右滑动到点D的过程中，中点M到O的距离______．（填变大、不变、变小）张同学继续研究发现，在梯子沿着墙滑动过程中，的角平分线 交于点H． （1）如图（2），过点B作，交的延长线于点E，连接，在滑动的过程中，线段，有何数量关系，并说明理由； （2）在滑动的过程中，面积的最大值为______． 20．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）小丽在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其做了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小丽用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，（图中的、、、在同一平面上），测得，．求的长． 21．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图是小明家中的三个房间甲、乙、丙的截面图，他将一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距离地面的垂直距离记作，如果梯子的底端不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子的顶端距离地面的垂直距离记作． (1)当小明在甲房间时，梯子靠在对面墙上，顶端刚好落在对面墙角处，若米，米，则甲房间的宽度 米． (2)当他在乙房间时，测得米，米，且，求乙房间的宽； (3)当他在丙房间时，测得米，且，，求丙房间的宽． 22．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，A、B是公路l同侧的两个村庄，A村到公路l的距离，B村到公路l的距离，且．为方便村民出行，计划在公路边新建一个公交站点P，要求该站到村庄A、B的距离相等．请求出点P与点C之间的距离． 地 城 考点06 勾股定理逆定理及其应用 一、选择题 1．（24-25八年级上·江苏南京·期中）满足下列条件的中，不是直角三角形的是（   ） A． B．，， C． D． 2．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）下列条件不能判定△ABC是直角三角形的是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）已知的三边分别为，下列条件无法判定是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）已知的三条边分别为、、，三个内角分别为、、，则满足下列条件的不是直角三角形的是（    ） A．，， B． C． D． 5．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）下列几组数，不能作为直角三角形三边长的是（   ） A．3，4，5 B．5，12，13 C．20，30，40 D．15，20，25 二、填空题 6．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）定义：如果一个点能与另外两个点构成直角三角形，则称这个点为另外两个点的勾股点．当这个点是直角的顶点时，这个点又称为强勾股点．在中，，D是的中点，P是射线上一个动点，当P是中A、C两个顶点的强勾股点时，则写出的长 ． 7．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）一个三角形的三边长为7、24、25，则最长边上的中线长为 ． 8．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图是的网格，每个小正方形的边长为1，A、B、C、D是小正方形的顶点，则的值为 ． 9．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）若三角形三边长为，，，则它的面积是 ． 10．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在“”的正方形网格中，的度数为 ． 三、解答题 11．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）校园内有一处池塘，数学实践小组的同学想利用所学知识测量池塘两端之间的距离，他们的操作过程如下：①沿延长线的方向，在池塘边的空地上选点，使米；②在的一侧选点，恰好使米，米；③测得米．请根据他们的操作过程，求出两点间的距离． 12．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点． (1)在图①中画一个以格点为顶点，面积为6的等腰三角形； (2)在图②中画一个以格点为顶点，面积为6的直角三角形； (3)在图③中画一个以格点为顶点，面积为5的等腰直角三角形． 13．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，，，，，，求这块地的面积． 14．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）小李家有一块菜地如图，已知直角三角形的斜边长比直角边的长大，另一直角边长为，，． (1)求的长； (2)求整个菜地的面积．（参考数据，，结果保留一位小数） 15．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）为进一步落实立德树人的根本任务，培养德智体美劳全面发展的社会主义接班人，某校开展劳动教育课程，并取得了丰硕成果．如图，这是该校开垦的一块作为学生劳动实践基地的四边形荒地（图中的阴影部分）．经测量，，，，且． (1)试说明：； (2)该校计划在此空地（阴影部分）上种植花卉，若每种植花卉需要花费元，则此块空地全部种植花卉共需花费多少元？ 16．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图所示，在每个边长都为1的小正方形组成的网格中，点A、B、P均为网格的格点． (1)线段的长度等于__________； (2)以点A、B、P为顶点的面积为__________； (3)仅用无刻度直尺在线段上作一个点Q，使得点Q满足． 17．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图，在正方形网格中，每的个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）．     (1)是_______三角形；_______． (2)仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图任务； ①）在图1中画出关于直线的对称图形（不写画法）； ②在图2中画出到三个顶点距离相等的点E． 18．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图，已知． (1)请用不带刻度的直尺和圆规在边上作一点D，使；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若，求证：． 19．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）已知：如图，在，于点D，，， (1)求的长； (2)试说明． 20．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、在小正方形的顶点上． (1)______（是、不是）直角三角形． (2)在图中画出与关于直线成轴对称的． (3)的面积为______． 21．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，，垂足为，且，．点从点沿射线向右以个单位/秒的速度匀速运动，同时点从点沿线段向点以个单位/秒的速度匀速运动，当点到达终点时，点也立即停止运动，连接、，设点运动的时间为秒． (1)当为何值时，是的中线？ (2)当时，判断的形状，并说明理由； (3)是否存在的值，使是以为腰的等腰三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 22．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中为直角，工人师傅量得零件各边尺寸为，，，．请计算这个零件的面积． 23．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）随着中国科技、经济的不断发展，信号的覆盖的广泛性和稳定性都有更好的表现．如图，有一辆汽车沿直线方向，由点向点行驶，已知点为某个信号源，且点到点和点的距离分别为和，且，信号源中心周围及以内可以接收到信号． (1)汽车在从点向点行驶的过程中，能接收到信号吗？为什么？ (2)若汽车的速度为，请问有多长时间可以接收到信号？ 24．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，在四边形中，，，，，．求四边形的面积． 25．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）有一块四边形空地，如图，经测量，米，米，米，米．求这块四边形空地的面积． 试卷第1页，共3页 1 / 42 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 勾股定理与逆定理 6大高频考点概览 考点01 勾股数 考点02 利用勾股定理解三角形 考点03 勾股定理的证明与弦图 考点04 勾股定理与折叠问题 考点05 勾股定理的应用 考点06 勾股定理逆定理及其应用 地 城 考点01 勾股数 一、选择题 1．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（   ） A．1，1，2 B．1，，2 C．3，4，5 D．，， 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股数， 根据定义逐项判断即可，满足的三个正整数，即为勾股数． 【详解】因为，所以这三个数不是勾股数，则A不符合题意； 因为不是正整数，所以B不符合题意； 因为，且都是正整数，所以C符合题意； 因为不是正整数，所以D不符合题意． 故选：C． 2．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）下列四组数中，是勾股数的是（   ） A．1，2，3 B．4，5，6 C．9，12，15 D．1，2，5 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股数，解答此题要用勾股数的定义，如果是正整数，且，那么叫做一组勾股数．根据勾股数的定义判断即可． 【详解】解；A.，不是勾股数，不符合题意； B.，不是勾股数，不符合题意； C.，是勾股数，符合题意； D. ，不是勾股数，不符合题意； 故选择：C． 3．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）下列各组数中是勾股数的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股数、勾股定理逆定理等知识点，已知三角形的三边满足，且、、为正整数，则三角形是直角三角形，称、、为勾股数． 根据勾股数的定义和勾股定理逆定理逐项分析即可解答． 【详解】解：A、因为，则A选项不是勾股数，不符合题意； B、因为、、不是整数，则B选项不是勾股数，不符合题意； C、因为，则C选项不是勾股数，不符合题意； D、因为，是勾股数，故符合题意； 故选：D． 4．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）下列各组数中，不是勾股数的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】此题主要考查了勾股数，熟练掌握勾股数的定义是解答本题的关键． 根据勾股数的定义逐项判断即可解答． 【详解】解：A、，是勾股数，故A选项不符合题意； B、，是勾股数，故B选项不符合题意； C、，是勾股数，故C选项不符合题意； D、，不是勾股数，故D选项符合题意； 故选：D． 5．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）下列各组数是勾股数的是（   ） A．4，5，6 B．5，12，13 C．0.3，0.4，0.5 D．8，24，25 【答案】B 【分析】本题考查了勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数．一组勾股数必须同时满足两个条件：①三个数都是正整数，②两个较小正整数的平方和等于最大的正整数的平方，这两个条件同时成立，缺一不可． 【详解】解：，故A选项错误； ，故B选项正确； ，但不是正整数，故C选项错误； ，故D选项错误； 故选：B． 6．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）下列数组中的数字，刚好是勾股数的一组是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股数，根据勾股数的特点：三个数为正整数且符合勾股定理的一组数为勾股数，据此即可判断求解，掌握勾股数的特点是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴不是一组勾股数，该选项不合题意； 、三个数是小数，不是一组勾股数，该选项不合题意； 、三个数是分数，不是一组勾股数，该选项不合题意； 、∵且三个数为正整数， ∴是一组勾股数，该选项符合题意； 故选：． 7．（24-25八年级上·江苏常州·期中）下列各组数据为勾股数的是（   ） A．1，2，3 B．1，，2 C．9，40，41 D．，， 【答案】C 【分析】本题考查了勾股数，解答此题要用到勾股定理的逆定理和勾股数的定义，满足且，，为正整数．根据勾股数的定义进行分析，从而得到答案． 【详解】解：A、，故错误； B、不是正整数，故错误； C、，且9，40，41都是正整数，满足要求，故正确； D、，，不是正整数，故错误； 故选：C． 8．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）下列各组数中，是勾股数的是（    ） A．6，8，10 B．10，15，18 C． D．0.3，0.4，0.5 【答案】A 【分析】本题主要考查勾股数的定义，根据“满足勾股定理且为正整数的数，叫做勾股数”，即可求解． 【详解】解：A、是勾股数，故本选项符合题意； B、，故不是勾股数，故本选项不符合题意； C、，，不是正整数，则不是勾股数，故本选项不符合题意； D、不是正整数，则不是勾股数，故本选项不符合题意； 故选：A． 二、填空题 9．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：3、4、5；5、12、13；7、24、25；…这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如6、8、10；8、15、17；…若此类勾股数的勾为12，则其弦是 ． 【答案】37 【分析】本题考查勾股定理，根据勾为偶数，弦与股相差为2，设弦为，则：股为，利用勾股定理，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设弦为，则：股为， 由勾股定理，得：， 解得：； 故答案为：37． 三、解答题 10．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）小明在探究勾股数的规律时关注到这样一组勾股数：3、4、5；5、12、13；7、24、25…他发现这些勾股数数都是由一个大于1的奇数和两个连续的正整数组成． (1)小明根据他的发现写出了这样一组数：9、40、41，这是一组勾股数吗，请给出证明． (2)为了进一步探究这组勾股数的构成规律，小明设这样的勾股数为m、n、（m为大于1的奇数，且），他猜想是否可以用m表示出n．若可以，请帮小明完成他的猜想，若不可以，请说明理由． (3)当奇数时，请直接写出这组勾股数． 【答案】(1)9、40、41是一组勾股数，见解析 (2)，见解析 (3)17、144、145 【分析】本题考查勾股数，列代数式规律型：数字的变化类，关键是掌握勾股数的定义． （1）满足的三个正整数，称为勾股数，由此即可判断； （2）由勾股数的定义得到，于得到； （3）由（2）的结论即可得到答案． 【详解】（1）解：9、40、41是一组勾股数，理由如下： ，， ， 、40、41是一组勾股数； （2）解：可以用表示出，理由如下： ， ， ； （3）解：当奇数时，， 这组勾股数是17，144，145． 11．（24-25八年级上·江苏南京·期中）【探索勾股数】与直角三角形三条边长对应的3个正整数，称为勾股数，《周髀算经》中记载的“勾三股四弦五”中的“3，4，5”就是一组最简单的勾股数，显然，这组数的整数倍，如等都是勾股数．当然，勾股数远远不止这些，如等也都是勾股数．怎样探索勾股数呢？即怎样一组正整数才能满足关系式．设为一组勾股数，观察下表回答问题： 表1 表2 a b c a b c 3 4 5 6 8 10 5 12 13 8 15 17 7 24 25 10 24 26 9 40 41 12 35 37 (1)根据表1的规律写出勾股数（11，________，________）； 观察可得：表1中b、c与之间的关系是________；（填勾股定理不得分） (2)根据表2的规律写出勾股数（16，________，________）； 观察可得：表2中b、c与之间的关系是________；（填勾股定理不得分） (3)老师告诉小明一组勾股数，但他回家后只记得其中最大的数是145，你知道这组勾股数可能是多少吗？（请用勾股定理的形式直接写出结果，例如） 【答案】(1)60；61； (2)63；65； (3)或 【分析】本题考查了勾股数，数字的变化类-规律型． （1）观察表1中的数据，可得，，先将代入得，再根据，可求得b、c的值； （2）观察表1中的数据，可得，，先将代入得，再根据，可求得b、c的值； （3）利用表1与表2的规律分别计算验证即可． 【详解】（1）解：根据表格中的数据可知：当a为大于1的奇数，b、c的数量关系，b、c与之间的关系是：， ∴当时，， ∵， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：60，61，； （2）解：根据表格中的数据可知：当a为大于4的偶数，此时b、c的数量关系是， b、c与之间的关系是， ∵， ∴， ∵， ∴，， 故答案为：63，65，； （3）解：由题意得， 如果满足表1的规律，那么，， ∴， ∴，符合题意； 如果满足表2的规律，那么，， ∴， ∴，符合题意； 综上所述，这组勾股数可能为或． 12．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）课堂上学习了勾股定理后知道：直角三角形三边长是整数时我们称之为“勾股数”．王老师给出一组数让学生观察：；；；；，学生发现这些勾股数的勾都是奇数，且从起就没有间断过，于是王老师提出以下问题让学生解决．若两直角边为（），斜边为． (1)请你根据上述的规律写出下一组勾股数：、 、 ； (2)当（为奇数，且）时，若 ， 时可以构造出勾股数（用含的代数式表示），并证明你的猜想； (3)构造勾股数的方法很多，请你寻找当时， ． 【答案】(1)， (2)，，证明见解析 (3)或或 【分析】（）观察勾股数，找出规律即可求解； （）根据所提供的例子发现股是勾的平方减去的二分之一，弦是勾的平方加的二分之一，据此可得，然后计算验证即可； （）由勾股定理可得，再根据勾股定理可得，然后根据列举法即可解答； 本题考查了勾股数，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】（1）解：∵；；；；， ∴为奇数，且时，勾股数为、、， ∴、、， 故答案为：、； （2）解：观察发现，当(为奇数，且)时，股是勾的平方减去的二分之一，弦是勾的平方加的二分之一， ∴当，时可以构造出勾股数， 证明：∵，， ∴， ∵为奇数，且， ∴、、是正整数， ∴、、三个数组成的数是勾股数； （3）解：由勾股定理可得， 当时，则有， 即， 当时，解得，， ∵， ∴该种情况不合题意，舍去； 当时，解得； 当时，解得； 当时，解得； 综上，的值为或或， 故答案为：或或． 13．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）法国数学家费尔马早在17世纪就研究过形如的方程，显然，这个方程有无数组解，我们把满足该方程的正整数的解叫做勾股数，如就是一组勾股数． (1)在研究勾股数时，古希腊的哲学家柏拉图曾指出：如果n表示大于1的整数，，，，那么，以x，y，z为三边的三角形为直角三角形(即x，y，z为勾股数)，请你加以证明； (2)探索规律：观察下列各组数，，，…，直接写出第5个数组为______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查勾股定理的证明，勾股数的规律探究，掌握勾股定理的等量关系是证明勾股定理的基础，根据已知的勾股数得到各组数据的规律是解题的关键． （1）计算，根据勾股定理的逆定理，可得答案． （2）先找出每组勾股数与其组数的关系，找出规律，再根据此规律进行解答． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， ， ∴， ∴以x，y，z为三边的三角形为直角三角形(即x，y，z为勾股数)； （2）∵①，，； ②，，； ③，，； ④，，； 则⑤，，， ∴第5组勾股数是：． 14．（24-25八年级上·江苏南京·期中）阅读材料：勾股定理本身就是一个关于、、的方程，我们知道这个方程有无数组解，满足该方程的正整数解通常叫做勾股数组，我国古籍《周髀算经》中记载的“勾三股四弦五”中的“3，4，5”就是一组最简单的勾股数．为了进一步了解勾股数的奥秘，数学刘老师给出下面的两个表格．（以下，，为的三边，且） 表1               表2 (1)请你根据上述表格的规律写出勾股数：11、________、________； (2)当（为奇数，且）时，若________，________时可以构造出勾股数（用含的代数式表示）；并证明你的猜想； (3)构造勾股数的方法很多，请你寻找当或时，________．（写出所有满足条件的）． 【答案】(1)， (2)，，证明见解析 (3)，， 【分析】本题考查了勾股数，整式的乘法； （1）根据表格找到规律，即可求解； （2）根据勾股定理可以写乘，根据平方差公式因式分解，即可求解． （3）根据（2）的方法，得出，结合，解方程组，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴勾股数：，， （2）解：根据表，，，，…… ∴，且， ∴当时，又， ∴，， 故答案为：，． 证明：∵，， ∴ ∴ ∴； （3）解：当时，∵， ∵， ∴，，，，…… ∴，，，（舍去）， 当时， 同理可得，，， 故答案为：，，． 15．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）据我国古代某数学著作记载，将一根直尺折成一个直角，两端连接得一个直角三角形，如果勾是三，股是四，那么弦就等于五．后人概括为“勾三、股四、弦五”． (1)观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；…．发现这些勾股数的“勾”都是奇数，且从3起就没有间断过，计算，与，，并根据你发现的规律，分别写出能用7，24，25中的勾表示股和弦的算式． (2)根据（1）的规律，用含n（n为奇数且）的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦．猜想它们之间的两种相等关系，并对其中一种猜想加以说明． (3)继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…．可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过，运用类似上述探索的方法，直接用含m（m为勾，m为偶数且）的代数式来表示它们的股和弦． 【答案】(1)股：，弦： (2)它们之间的关系为：①弦股；②勾股弦；说明见解析 (3)股：，弦： 【分析】本题是研究勾股数，考查学生观察、分析、类比和猜想解决问题的能力．属于探索性题目，有利于培养同学们的发散思维能力． （1）通过计算，发现规律为：股是勾的平方减1的一半，弦是勾的平方加1的一半，从而写出结果； （2）由（1）可知，用来表示所有这些勾股数的勾，则其股是的平方减1的一半，弦是的平方加1的一半； （3）根据以上探索规律，偶数开头的各组数字，其股是勾的平方的四分之一减1，其弦是勾的平方的四分之一加1． 【详解】（1）解：，；，； 表示7、24、25这一组数的股与弦的算式股：，弦：； （2）解：当为奇数且时，勾、股、弦的代数式分别为：，，， 猜想他们之间的关系为：①弦股；②勾股弦； 证明：①弦股； ②勾股弦； （3）解：用为偶数，且的代数式来表示，股：，弦：． 地 城 考点02 利用勾股定理解三角形 一、选择题 1．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，与均为直角三角形，且，，，点E是的中点，则的长为（　　） A．3 B．5 C．4 D．6 【答案】B 【分析】延长交的延长线于点F，先证明，得出，，则，再在中利用勾股定理求出的长，然后在中利用勾股定理求出的长，即可得出结论． 本题考查了勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，准确添加辅助线，求出的长是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交的延长线于点F， ∵， ∴， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， 在中，由勾股定理得： ， ∴， 故选：B． 2．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，四边形、、分别是以的三边为一边的正方形，过点作的垂线，交于点，交于点，连接、．则下列结论： ①；②；③；④． 其中正确的结论是（    ） A．①②③ B．①③④ C．①③ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．由“”可证，故①正确；由平行线间的距离处处相等，可得，故②正确；同理可证，故③正确；由勾股定理可得，故④错误，即可求解． 【详解】解：∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴，故①正确； ，， ∴，故②正确； ，， ∴，故③正确； ， ∴ ， ∴，故④错误， 综上可知，正确的有①②③， 故选A． 3．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，，在上取点，使，作于E，连接，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半；过点作交的延长线于点，证明得出，取的中点，连接，，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半得出，勾股定理求得，进而根据两点之间线段最短，求得的最值，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作交的延长线于点， ∵， ∴ ∴， 又∵， ∴ ∴ 取的中点，连接， 又∵ ∴ 在中，， ∵ ∴， 当在上时，取得最小值，最小值为， 故选：A． 4．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，直角中，，点是三条角平分线的交点，的面积记为，的面积记为，的面积记为，下列关于，，之间的大小关系，正确的是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】此题考查角平分线的性质和勾股定理，关键是根据角平分线的性质得出和和的高相等解答．根据角平分线的性质和勾股定理解答即可． 【详解】解：点是三条角平分线的交点， 和和的高相等，高设为h， 的面积记为，的面积记为，的面积记为， ，， ， ， ， 故选：B． 5．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，中，，，．分别以为边在的同侧作正方形，四块阴影部分的面积分别为，则等于（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理以及全等三角形，利用已知条件通过三角形全等进行转化是解题关键．设空白部分的面积分别为a、b、c，证明得出，即可推出结果． 【详解】解：如图，设空白部分的面积分别为a、b、c， 则，，， ∵四边形、四边形都是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵，， ∴， 即等于12， 故选：A． 6．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为m和，过锐角顶点画一条线段把该纸片剪成两个三角形，若剪成的两个三角形都为等腰三角形，则m和n满足的等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】考查了等腰三角形的性质，勾股定理，关键是熟练掌握等腰三角形的性质，根据勾股定理得到等量关系． 作图，根据等腰三角形的性质和勾股定理可得，整理即可求解． 【详解】解：如图，    根据题意得，， ∴． 故选：D． 7．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，是的角平分线，过点作，分别交及的外角的平分线于点、．若，则的值为（   ） A．36 B．49 C．25 D．16 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理、等腰三角形的判定以及平行线的性质等知识．先证，再由勾股定理得，然后证，，则，即可得出结论． 【详解】解：∵是的角平分线，是的外角的平分线， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故选：A． 8．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．在复习二次根式时，老师提出了一个求代数式最小值的问题，如：“当时，求代数式的最小值”，其中可看作两直角边分别为和2的的斜边长，可看作两直角边分别是和4的的斜边长．于是构造出如图，将问题转化为求的最小值，运用此方法，请你解决问题：已知，均为正数，且．则的最小值是（） A． B． C． D．6 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，两点之间线段最短等知识，根据题中所给的思路，将可以可看作两直角边分别是和的的斜边长，可以看作两直角边分别是和的的斜边长，故问题转化为求的最小值，连接，当， ，共线时，的最小值为，再利用勾股定理计算出即可，解题的关键是理解题中所给的思路，根据题干中的思路进行解答． 【详解】解：如图： 可以看作两直角边分别是和的的斜边长，可以看作两直角边分别是和的的斜边长，故问题转化为求的最小值， 连接，当， ，共线时，的最小值为， ∵， ∴的最小值为 故选：C． 9．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，中，，，，D、E、F分别是、、边上的动点，则的周长的最小值是（    ） A．3.5 B．4.5 C．4.8 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称的性质、勾股定理、等腰三角形的性质，作关于直线的对称点，关于直线的对称点，连接、、、、、、，推出、、共线，结合，得出当、、、共线时，且时，的值最小，最小值为，再由勾股定理结合等面积法得出的长即可得解． 【详解】解：如图，作关于直线的对称点，关于直线的对称点，连接、、、、、、， ， ∴，，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴、、共线， ∵， ∴当、、、共线时，且时，的值最小，最小值为， 在中，，，，则， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为，即的周长的最小值是， 故选：C． 10．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）已知：在中，，，则边上的高为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，过点作于，由三线合一可得，再根据勾股定理计算求解，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于，则， ∵， ∴， ∴， ∴边上的高为， 故选：． 11．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，，分别以三角形的三边为边向外作等边三角形，若等边三角形的面积分别用，，表示，则，，之间的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理、等边三角形的性质以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和等边三角形的性质是解答本题的关键． 过点作于点，由勾股定理得，再由等边三角形的性质得，，进而由勾股定理得，然后由三角形面积得，同理，，即可得出结论． 【详解】解：过点作于点， ， ， 是等边三角形，， ，， ， ， 同理：，， ， 故选：A． 12．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，，，，点C为线段上一动点，则的最小值为（   ） A．4 B．4.8 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理和垂线段最短，根据勾股定理得，根据垂线段最短，可知当时，最小，根据面积法即可求出答案． 【详解】解：∵，， ∴， 当时，最小， 此时 解得， ∴的最小值为4.8． 故选：B． 二、填空题 13．（24-25八年级上·江苏南京·期中），，，，以为边向外作正，则 . 【答案】/ 【分析】如图，以为边向下作等边，连接，作交的延长线于，利用全等三角形的性质证明，即可解决问题． 【详解】解：如图，以为边向下作等边，连接，作交的延长线于， 都是等边三角形， ， ， ， ， 在中，， ，， 在中，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 14．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，，于点D，E是的中点，则的长为 ． 【答案】3.5 【分析】此题主要考查了直角三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，熟练掌握直角三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，灵活运用勾股定理是三角形的面积公式进行计算是解决问题的关键． 先由勾股定理求出，再由直角三角形斜边中线的性质得，然后由三角形的面积公式求出，进而由公股定理即可求出的长． 【详解】解：在中，， 由勾股定理得：， ∵E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 故答案为：3.5． 15．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，若，，则 ． 【答案】89 【分析】本题考查勾股定理的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键． 在和中，根据勾股定理得，进一步得，再根据，，然后根据等量代换即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 在和中，根据勾股定理得：，， ∴， ∵，， ∴ ． 故答案为：89． 16．（24-25八年级上·江苏南京·期中）若直角三角形的两小边为、，则第三边为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理直接计算，即可求解． 【详解】解：∵直角三角形的两小边为、， ∴第三边， 故答案为：． 17．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，若，且，，，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查了全等三角形的性质，勾股定理，根据，得出，因为，则，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：5． 三、解答题 18．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，，，动点从点出发，沿以每秒个单位长度的速度向终点运动，连接，设点的运动时间为秒． (1)当时，求的面积； (2)当是等腰三角形时，求的值． 【答案】(1) (2)当为等腰三角形时，或或 【分析】本题考查等腰三角形的性质与判定，勾股定理，分类讨论动点的运动情况是解题的关键． （1）过点作，垂足为点，勾股定理求得，进而根据等面积法求得，再根据三角形的面积公式计算即可求解； （2）依题意，，分三种情况讨论，当时，当时，当时，结合图形分别求解． 【详解】（1）解：过点作，垂足为点， ∵在中，，，， ∴， 在中， 即， ， 当时， ∴的面积为： （2）依题意得， 当时，， 当时，， ， ∴ ∴ ∴ 解得：； 当时，过点作，垂足为，则 在中，， ∴ ∴ ∴， 当或或时，为等腰三角形． 19．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）数学实验活动：两个三角形纸片的摆放． 将两个全等的三角形纸片和进行摆放，其中点与点重合，点落在内部．已知，，． (1)如图①，当时，过点作交延长线于点，与交于点，求的长； (2)如图②，当时，与交于点，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理； （1）根据等角对等边可得，进而证明，根据全等三角形的性质，即可求解； （2）根据全等三角形的性质得出，，进而根据已知证明，得出，设，在中，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， 由勾股定理可得， 则， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得：， 即． 20．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）定义：如图1，点把线段分割成和，若以为边的三角形是一个直角三角形，则称点是线段的勾股分割点． (1)如图1，已知点是线段的勾股分割点，且线段是线段和中最长的，若，则线段的长为 ； (2)如图2，已知点在线段上，且，点在上，且，是线段的勾股分割点，求线段的长； (3)如图3，在中，，点在斜边上，且，求证：点是线段的勾股分割点． 【答案】(1) (2)或 (3)见解析 【分析】本题是三角形的综合题，考查了新定义“勾股分割点”、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，本题综合性强，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． （1）由勾股分割点的定义知，代入计算可得； （2）分两种情况：最长和最长，利用勾股定理即可解决问题； （3）过点A作，且．先证，得，，再证，得，然后在中，由勾股定理得，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵点M，N是线段的勾股分割点，且线段是线段和中最长的，， ∴， 故答案为：； （2）解：当最长时，， 设，则， ∴， 解得：， 即； 当最长时，， 设，则， ， 解得：， 即； 综上所述，线段的长为或； （3）证明：如图，过点A作，且， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴点M，N是线段的勾股分割点． 21．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，四边形中，，，分别是的中点．    (1)求证：； (2)当，，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． （1）利用直角三角形斜边中线以及等腰三角形的性质即可解决问题． （2）在中，利用勾股定理即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，连接、，   ，为中点， ， ， ， ， 是中点， ； （2）解：，，、分别是边、的中点， ，， ． ． 22．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，的高，交于点P． (1)求证：． (2)若，，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，熟知等腰三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）由等边对等角得到，再证明，得到，则可证明，进而可证明； （2）由全等三角形的性质得到，，则由勾股定理可得，证明，可设，则，再由勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，都是的高， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴． 23．（24-25八年级上·江苏常州·期中）【阅读教材】苏科版八年级上册第69页《折纸与证明》．折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法．例如，在中，（如图1），怎样证明呢？ 分析：把沿的平分线翻折，因为，所以点落在上的点处，即，据以上操作，易证明，所以，又因为，所以． 【感悟与应用】 (1)如图1，在中，若且，则_____； (2)如图2，在四边形中，平分，，，， ①求证：； ②求的长 【答案】(1) (2)①见解析②15 【分析】（1）等边对等角，结合三角形的外角，求出的度数，三角形的内角和定理求出的度数； （2）①在上截取，连接，由（1）同理可证，得到，，进而得到得，，根据，即可证明； ②作于点，结合等腰三角形性质设，结合勾股定理建立方程 求解，即可解题． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：①在上截取，连接， 平分， ，又， ， ，， ， ， ， ， ； ②作于点， ， ， 设， ，，， ，， ， 即， 解得， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、角平分线定义、三角形的内角和定理和三角形的外角、等腰三角形的判定与性质，解题的关键在于通过作辅助线证明三角形全等． 24．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）（1）问题发现：如图①，和都是等边三角形，点B、D、E在同一条直线上，连接． ①的度数为______；②线段之间的数量关系为______； （2）拓展探究：如图②，和都是等腰直角三角形，，点B、D、E在同一条直线上，为中边上的高，连接，试求的度数及判断线段之间的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图③，和都是等腰三角形，，点B、D，E在同一条直线上，请直接写出的度数； （4）拓展探究：如图④，以等腰的腰为直角边作，且， ，连接，求的最大值． 【答案】（1）①；②；（2），理由见解析；（3）；（4） 【分析】（1）①由可证，根据全等三角形的性质求出的度数； ②根据全等三角形的性质解答即可； （2）根据得到，根据直角三角形的性质得到，得到线段、、之间的数量关系； （3）根据解答即可； （4）过C作，且，取的中点F，连接，，，证明，得到，根据等腰直角三角形的性质得到，勾股定理求出，当A、F、E三点共线时，最大，即最大，的最大值为． 【详解】解：（1）①∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，即，， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：； ②由①得， ∴， 故答案为：； （2），理由如下： ∵和都是等腰直角三角形，， ∴，，，， ∴，即，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵为中边上的高， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）∵和都是等腰三角形，， ∴，，，， ∴，即，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （4）如图，过C作，且，取的中点F，连接，，，则， ∵为等腰三角形， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形，点F为的中点，， ∴，， 又∵， ∴当A、F、E三点共线时，最大，即最大， ∴的最大值为． 【点睛】此题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 25．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）在中，，，点D为线段上的一点，点E在线段上，点F在线段的延长线上，，，过点E作，交于点P，交的延长线于点G．    (1)如图1，求证：； (2)如图2，延长交于点H，连接，若，求证：； (3)如图3，若，的面积为6，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)2 【分析】（1）证明，，进而证明，问题即可解决； （2）首先证明，得到；再证明，问题即可解决； （3）连接，过点作于点, 先求得,再得,从而得出再证明,可得,再求得,设，由勾股定理求得，即，再求解即可． 【详解】（1）解：证明：， ，即； ， ， ， 又， ； 在和中， ， ， ， 又， ； （2）证明：在与中， ， ， ， ， ； ， ； 在与中， ， ， ； （3）解：如图，连接，过点作于点,   , ， 在中，, , 即, , , , 在和中 , , 在中，, , , , , ， , 在中，, ， 在中，, , 在中，, 设, 则在和中， , 设, 则, , 即, , , , 解得（负值舍去）， , 设， 在和中，， ， ， 解得：， ， , . 【点睛】该题主要考查了全等三角形的判定及其性质，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，直角三角形的性质；解题的关键是深入分析、大胆猜测、合理推断、科学论证． 地 城 考点03 勾股定理的证明与弦图 一、选择题 1．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积为64，小正方形的面积为9，若用，表示直角三角形的两直角边（），下列四个说法：①；②；③；④．其中正确的是（    ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理、完全平方公式等知识．根据大正方形的面积和勾股定理可判断①；根据小正方形面积得到小正方形的边长可判断②；根据大正方形的面积直角三角形面积小正方形的面积可判断③；根据①③结合完全平方公式特点即可判断④． 【详解】解：①，表示直角三角形的两直角边（），大正方形的面积为64， 由勾股定理可知， 故①正确； ②小正方形的面积为9， 小正方形的边长为3， ， 故②正确； ③大正方形的面积直角三角形面积小正方形的面积， ， 故③正确； ④，， 即， ， 有， 或（不合题意，舍去）， 故④错误． 综上所述，其中正确的是①②③， 故选：B． 2．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，以的两直角边为边向外作正方形，其面积分别为，，若斜边的长为10，则的值为（   ） A．8 B．32 C．64 D．100 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题关键．设直角边，则，再利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：设直角边， 则， ∵斜边的长为10， ∴， ∴， 故选：D． 3．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，图1是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为22，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为（   ） A．38 B．40 C．42 D．44 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，设直角三角形的两直角边为，，斜边为，根据图1，结合已知条件得到，，进而求出的值，再进一步求解即可. 【详解】解：如图，直角三角形的两直角边为，，斜边为， 图1中大正方形的面积是22， ， 小正方形的面积是4， ， ， 图2中最大的正方形的面积； 故选：B． 二、填空题 4．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为 ． 【答案】5 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，熟练应用勾股定理是解题关键． 设大正方形的边长为c，根据大正方形的面积为13，则再利用勾股定理得，然后根据，的，最后根据，进而求出答案． 【详解】解：∵图中四个直角三角形全等，直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，设大正方形的边长为c， ∴， ∵大正方形的面积为13， ∴， ∵ ∴， ∴，即， 由图可知小正方形的边长为：， ∴小正方形的面积为：． ∴， 小正方形的面积为5． 故答案为：5． 5．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形拼成的大正方形中，连接、．若的面积是的倍，小正方形的面积是，则大正方形的面积 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设，，则，依题意，，根据题意得出，，进而求得，即可求解． 【详解】解：设，，则 依题意， ∵的面积是的倍， ∴，即 ∴ 即（负值舍去） ∵小正方形的面积是， ∴ ∴ ∴ ∴大正方形的面积 故答案为：． 6．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成．如图，直角三角形的直角边长为，斜边长为，若，，则每个直角三角形的面积为 ． 【答案】6 【分析】本题考查勾股定理的证明、解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，求出、的值．根据勾股定理可知，再根据，，即可得到、的值，然后即可计算出每个直角三角形的面积． 【详解】解：由图可得， ， 且、均大于0， 解得， 每个直角三角形的面积为， 故答案为：6． 7．（24-25八年级上·江苏南京·期中）我国数学家赵爽利用一幅“弦图”，证明了勾股定理，后人称该图为“赵爽弦图”．如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．如果该大正方形面积为81，小正方形面积为9，用表示直角三角形的两直角边，下列四个推断：①；②；③；④．其中所有正确推断的序号是 ． 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据所给图形，分别表示出各部分的面积，再结合各部分图形面积之间的关系即可解决问题． 【详解】解：由题可知，大正方形的面积为， 大正方形的边长为， ，故①正确； 小正方形面积为9， 小正方形的边长为 ，故②正确； ，故③正确； （舍负），故④错误； 故答案为：①②③． 8．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．连结，交于点P，若．则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了“赵爽弦图”，多边形的面积，勾股定理等知识点，首先要求学生正确理解题意，然后会利用勾股定理和三角形全等的性质解题．先证明，则，所以两三角形面积的差是中间正方形面积的一半，小正方形的边长为，进而可得答案． 【详解】解：如图， ∵四边形是正方形， ， ， “赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形， ， ， 同理可得， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ，， ． 故答案为：． 三、解答题 9．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形． (1)弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a．较短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理； (2)如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓线的周长为80，，求该飞镖状图案的面积； (3)如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为、、，若，求． 【答案】(1)见解析 (2)120 (3)9 【分析】本题考查了勾股定理的证明，正方形的性质，一元二次方程． （1）依据图1中的大正方形的面积可以用四个三角形面积和中间小正方形面积之和表示，也可以用直角三角形斜边的边长表示，即可得； （2）可设，根据勾股定理列出方程可求x，再根据直角三角形面积公式计算即可求解； （3）设每个三角形的面积都为y，则，，即可得，根据，即可得． 【详解】（1）解：根据题意得， ， 则； （2）解：∵四个全等的直角三角形，外围轮廓线的周长为80， ∴， 设，则， 由勾股定理可得，， ， ， 解得：， ∴， ∴该飞镖状图案的面积是； （3）解：设每个三角形的面积都为y， ∴，， ∴， 又∵， ∴． 10．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位， 体现了数学研究中的继承和发展．现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”．中，，若，，请你利用这个图形解决下列问题： (1)试说明：； (2)如果大正方形的面积是15，小正方形的面积是4，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)26 【分析】此题考查了勾股定理的证明和应用． （1）大正方形的面积=四个直角三角形的面积+小正方形的面积，据此列式计算即可得到结论； （2）由大正方形的面积=四个直角三角形的面积+小正方形的面积列式求出，由题意知，即可求出的值． 【详解】（1）由图形可知，大正方形的面积=四个直角三角形的面积+小正方形的面积． ， ， ． （2）由图形可知，大正方形的面积=四个直角三角形的面积+小正方形的面积． 大正方形的面积是15，小正方形的面积是4， ， ， 由题意知， ． 11．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角和如图2放置，，显然．（对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半） (1)请用a，b，c分别表示出四边形，梯形的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理． (2)【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，在中，，是边上的高，，求的长度； (3)如图4，在中，是边上的高，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了梯形，证明勾股定理，勾股定理的应用，构造直角三角形是解题的关键． （1）表示出三个图形的面积进行加减计算即可证明结论； （2）计算出的面积，再根据三角形的面积进行计算即可； （3）利用勾股定理求出，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 化简得：； （2）解：在中，，， ， 是边上的高， ， ； （3）解：设， 在中， ， ， ， 在中， ， ， ， ． 12．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理，该图中蕴含着丰富的数形关系．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．直角三角形的两条直角边长分别为．若，小正方形面积为10，求大正方形面积．    【答案】大正方形的面积为26． 【分析】本题考查勾股定理．由题意可知：中间小正方形的边长为：，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出大正方形的面积． 【详解】解：由题意可知： 中间小正方形的面积为：， ， ， 大正方形的面积． 13．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，，，垂足分别为，，点在上，连接，交于点，，． (1)判断：与的位置关系，并说明理由； (2)连接，，若，，，通过用不同方法计算四边形的面积（即“算两次”思想），验证勾股定理． 【答案】(1)，理由见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查了勾股定理的证明，全等三角形的判定与性质，正确表示出四边形面积的两种方法是解题的关键． （1）根据证明得出，即可推出结论； （2）连接、，由，得出，，，．再根据四边形的面积的两种表示方法得出等式整理即可得出结论． 【详解】（1）证明：，理由如下： ∵，， ， 在和中， ． ， ， ． ． ， ∴． （2）解：如图，连接、， ∵， ，，，． ． ， ． ． 即． 14．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）义务教育教科书《数学》（苏科版）八年级上册第81页“探索”中指出：把一个直立的火柴盒放倒（如图所示）后变成，通过不同的方法计算梯形的面积，可以验证勾股定理．请写出验证过程． 【答案】见解析 【分析】本题考查了勾股定理的证明，熟练的利用面积法进行证明是解本题的关键．根据，列出等式并整理可证． 【详解】证明：连接， 由图形可知， 则 ． ∴． 15．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）勾股定理体现了数与形的完美结合，小明在学习了教材中介绍的拼图证法以后突发灵感，发现新的拼图方法：两个全等的直角三角板和直角三角板，顶点在边上，顶点、重合，连接、.设、交于点．，，，．请你回答以下问题： (1)填空：______°，______（用含字母的代数式来表示）； (2)请用两种方法计算四边形的面积，并以此为基础证明勾股定理． 【答案】(1)90， (2)见解析 【分析】本题考查了勾股定理的证明，列代数式，熟练掌握数形结合思想的运用是解答本题的关键． （1）根据全等的性质得到，然后利用互余的性质证明即可； （2）结合（1）小问的结论用两种面积算法证明即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∴， ∴ ， 故答案为：90，； （2）解：方法一： ； 方法二： ． 根据上面的方法可得出， ∴． 16．（24-25八年级上·江苏常州·期中）勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，图1中的2个全等的直角三角形可以拼成不同的图形，用来证明勾股定理． (1)把两个全等的直角和如图2放置，其三边长分别为a，b，c，，可得．请用a，b，c分别写出梯形，四边形，的面积，再根据这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理． (2)若图1中，，图3中方格纸中的小正方形的边长为1，请你用两种不同的方式将图1中两个全等的直角三角形放入图3的两个五边形中，并涂上阴影，则图3（1）中空白部分的面积为________，图3（2）中空白部分的面积为________，从而得到． (3)用（2）中4个全等的直角三角形（，）拼成如图4中的形状，则这个图形外围轮廓（实线）的周长为________． 【答案】(1)见解析 (2)作图见解析，25，25 (3)20 【分析】本题考查了勾股定理的证明和应用，掌握三角形和正方形面积计算公式是解决问题的关键． （1）由题意可知，，，，得到，然后代入整理求解即可； （2）根据题意画出图形，然后表示出图（1）中空白面积和图（2）中空白面积，进而求解即可； （3）首先根据勾股定理求出，然后由，得到，然后证明出，证明出，得到，设，则，根据勾股定理求出，得到，进而求解即可． 【详解】（1）证明：由题意可知，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图所示，    ∵，， ∴图3（1）中空白面积； 图3（2）中空白面积． ∴； （3）如图所示，    ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则， ∴中，， ∴， 解得， ∴， 同理可得，， ∴这个图形外围轮廓（实线）的周长． 故答案为：20． 17．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列三个问题： (1)如图1是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请验证勾股定理：； (2)如图2，在中，，是边上的高，，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查勾股定理的证明以及应用； （1）用不同方法表示出外面大正方形的面积，再根据面积相等列出等式，整理即可证明出结论； （2）先根据勾股定理先求出，再根据等面积法即可求出的长度． 【详解】（1）解：∵外面大正方形的面积， 外面大正方形的面积里面小正方形的面积个直角三角形的面积， ， 整理，得； （2）在中，，，， 由勾股定理，得， 是边上的高， ， ． 18．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，E为上一点，，，，，交于点F，且． (1)试说明； (2)连接，，若设，，，利用此图证明勾股定理． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理的证明， （1）根据证明，可得答案； （2）根据，可得答案． 【详解】（1）证明：如图， ，， ． 又， ． ，， ． 在和中， ， ． ，． 又， ； （2）证明：， ， ， ． 19．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）我们已经知道，通过不同的方法表示同一图形的面积，可以探求相应的等式，如图①所示，四个形状大小完全相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，四个直角三角形的两条直角边长分别为、，斜边长为．    (1)请利用图①完成勾股定理的证明． (2)通过不同的方法表示同一几何体的体积，也可以探求相应的等式．图②是棱长为的正方体，被如图所示的分割线分成8块．试一试，你能从中得到什么等式． (3)已知，，利用上面的等式求． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了勾股定理的证明、完全平方公式的几何应用，能正确表示出各个部分的面积和体积是解此题的关键． （1）两种方法表示出图中大正方形的面积为或，即可得解； （2）表示出图形的体积为或，即可得解 （3）根据（2）可得，代入计算即可得解． 【详解】（1）证明：图中阴影部分小正方形的边长可表示为， 图中大正方形的面积为或， ， 即； （2）解：图形的体积为：或， ， ； （3）解：，，， ， 解得：． 20．（24-25八年级上·江苏南京·期中）已知直角三角形的两条直角边分别为a、b，斜边为c．请用两种不同的方法证明：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，对于方法1，根据三个直角三角形其面积和等于直角梯形的面积列出等式，再整理即可；对于方法2，根据四个全等的直角三角形面积加上小正方形的面积等于大正方形的面积． 【详解】方法1：如图，有三个直角三角形其面积分别为ab，ab和，直角梯形的面积为． 由图形可知： ， 整理得， ∴． 故结论为：直角边长分别为a、b，斜边为c的直角三角形中． 方法2：先做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边分别为a，b，斜边为c，然后按图1的方法将它们摆成正方形． 由图1可以得到， 整理，得． 所以． 21．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）用下面的图形验证勾股定理（赵君卿图．虚线代表辅助线）： 【答案】见解析 【分析】本题考查了勾股定理的证明．熟练掌握利用面积证明勾股定理是解题的关键． 由中间的小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，列出等式化简即可证明勾股定理． 【详解】解：根据题意，中间小正方形的面积为；整理得，， ∴在直角三角形中斜边的平方等于两直角边的平方和． 22．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，于C，，交与点，垂足为，连接，已知． (1)填空：把图中的两个全等三角形用符号表示出来____________________； (2)利用图中阴影部分面积完成勾股定理的证明． 已知：如图，在中，，，，，求证：． 【答案】(1)，； (2)证明见解析． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理的证明等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，学会利用面积法证明勾股定理． （1）由，，得到，进一步得到，证明即可． （2）利用即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，即 ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， 故答案为：，； （2）证明：∵，， ， 地 城 考点04 勾股定理与折叠问题 一、选择题 1．（24-25八年级上·江苏南京·期中）已知，如图长方形中，，，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为，则的面积为（   ） A．54 B．90 C．108 D．216 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解题的关键； 设，利用勾股定理建立方程，解方程求出，利用三角形面积计算公式即可解答． 【详解】解：根据折叠的性质得 ， 设， ， ， 在，， 由勾股定理， ， 解得：， ， ， ． 故选：A． 二、填空题 2．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）如图，在中，，点为边上一点，将沿翻折得到，若点在边上，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理等知识；由勾股定理求出，由折叠的性质得出，，，得出，，设，则，在中，由勾股定理得出方程，可求长，进而求得的长． 【详解】解：由折叠可知：，，， 在中，由勾股定理得：， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ， ，， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，将三角形纸片沿折叠，使点落在边上的点处．，，则的值为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了翻折变换，勾股定理，由折叠的性质可得，根据，，求出，根据勾股定理可求的值． 【详解】解：将三角形纸片沿折叠，使点落在边上的点处， ， ，， 在中，， 在中，， ， 故答案为：9． 4．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，，，，，，垂足为，将边沿翻折，使点落在上的点处，则线段的长为 ． 【答案】// 【分析】本题考查了翻折变换，等面积法以及勾股定理，解决本题的关键是熟练运用等面积法．首先根据折叠可得，，利用等面积法得到的值，在中利用勾股定理求得，然后即可求解． 【详解】解：在中，，，， ， ， ， 根据折叠的性质可知，， ， 在中，， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题 5．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，直角三角形中，，，是的上的一点，若将沿折叠，点恰好落在所在直线上点处． (1)求边的长； (2)求的长； (3)在所在直线上找一点，使得以点、、为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出的长． 【答案】(1)10 (2) (3)或或或 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，等腰三角形的性质： （1）直接利用勾股定理进行求解即可； （2）折叠的性质，得到，，设，在中利用勾股定理，进行求解即可； （3）分，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：直角三角形中，，， ∴； （2）∵折叠， ∴，， ∴， 设， ∴， 在中，， ∴， 解得：； ∴； （3）由（2）可知：； 当点、、为顶点的三角形是等腰三角形时： ①当时： 则：； ②当时： 则：，或 ③当时： 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， ∴， ∴； 综上：或或或． 6．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）作图并计算 (1)如图1，、是公路同侧的两个村庄，村到公路的距离，村到公路的距离，且．为方便村民出行，计划在公路边新建一个公交站点，要求该站到村庄、的距离相等．在图中作出点的位置，并求得点距点的距离．(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)； (2)如图2，在，，沿着过点的直线折叠三角形，使点落在上点处．作出折痕和点，折痕与交于点．尺规作图，不写作法，保留作图痕迹若，，，求的面积． 【答案】(1)图见解析； (2)图见解析； 【分析】（1）连接，作的垂直平分线交于，点即为所求, ，设，根据勾股定理可得，即可解得的长； （2）作的角平分线交于点，过点作于，再证明，根据三角形面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：连接，作的垂直平分线交于，如图： 点即为所求； 设，则， 在中，， 在中，， ， ∴， ∴， 解得， ∴． （2）如图所示：作的角平分线交于点，过点作于， ∵平分，，， ∴， ∴ 【点睛】本题考查作垂线，作角平分线，折叠的性质, 勾股定理及应用；熟练掌握基本作图是解题的关键． 7．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，点E在长方形纸片的边上，已知，，将其折叠，使点D与点B重合，折痕为． (1)求证：； (2)求折叠后的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，等角对等边，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据平行线的性质以及折叠的性质可得，根据等角对等边即可得出结论； （2）在中，，根据勾股定理列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）证明：在长方形中，， ∴， 由折叠可知，， ∴， ∴； （2）解：在长方形中，，由折叠知， 设，那么， 在中，， 即． 解得，即， ∴． 8．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，把长方形纸片沿折叠后，点D与点B重合，点C落在点的位置． (1)若，则______，______； (2)判断的形状，并说明理由； (3)若，，求的面积． 【答案】(1)， (2)是等腰三角形，见解析 (3) 【分析】此题考查了勾股定理、折叠的性质、等腰三角形的判定等知识． （1）根据平行线的性质和折叠的性质即可求出答案； （2）由折叠可知，由得到，则，即可得到结论； （3）设的长为x，则，，由勾股定理得，解得，，则，利用三角形面积公式即可求出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 由折叠可知，， ∴； 故答案为：， （2）是等腰三角形， 由折叠可知：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （3）设的长为x，则，， 在中，由勾股定理得：， ∴ 解得，， ∴ ∴． 9．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，将长方形纸片折叠，使点C与点A重合，点D落在点处，折痕为． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)的长为． 【分析】（1）利用全等判定方法证明全等三角形即可； （2）过点F作交于G，先用勾股定理求出，设，用x表示出的长，进而在中用勾股定理列出方程，最后利用即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是长方形， ， 由折叠知，， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：如图，过点F作交于G， 又， ∴四边形是矩形， ，， 在中，， ， ， 设，则， ， ， ， 在中，， ， 即， 解得：， ． 的长为． 【点睛】本题考查了翻折变换，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握翻折变换的性质、全等三角形的判定和性质，学会作垂直辅助线构造直角三角形，以及在直角三角形中运用勾股定理是解题的关键． 10．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）如图1，已知长方形，，点P是射线上的动点，连接，是由沿翻折所得到的图形． (1)当点Q落在边上时， _____； (2)当直线经过点D时，求的长； (3)如图2，点M是的中点，连接． ①的最小值为_____； ②当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出的长． 【答案】(1)； (2)或； (3)①；②或或． 【分析】本题考查折叠问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，综合性强，难度大，属于压轴题．利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）根据折叠的性质和勾股定理进行求解即可； （2）分点在线段上，点在线段的延长线上，两种情况，进行讨论求解； （3）①连接，勾股定理求出的长，折叠求出的长，根据，求出最小值即可； ②分和两种情况，再分点在线段上，点在线段的延长线上，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：当点Q落在边上时，如图所示， ∵长方形，，， ∴，， ∵翻折， ∴， ∴， 在中，； 故答案为：； （2）当直线经过点D时，分两种情况： 当点在线段上时，如图： ∵翻折， ∴，，， ∴， ∴， 设，则：，， 在中，，即：， ∴； ∴； ②当在线段的延长线上时： ∵翻折， ∴，， ∴， 设，则：，， 在中，，即：， ∴； ∴； 综上：或； （3）①连接， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵翻折， ∴， ∵， ∴当三点共线时，的值最小， 即：； 故答案为：； ②当时，如图： ∵翻折， ∴， 设，则：， 在中，，即：， 解得：， 即：； 当，点在线段上时，如图： ∵，， ∴， ∴，点在上， 由（1）知：， ∴， ∴； 当点在的延长线上时：如图：此时点在上，连接， ∵翻折， ∴， ∵， ∴； 综上：或或． 地 城 考点05 勾股定理的应用 一、选择题 1．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”意思是：“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分还有3尺，拉着绳索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽，如图，问绳索长多少？”设绳索长x尺，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理得应用，设绳索长x尺，由题意并结合勾股定理即可列出方程，熟练掌握勾股定理是解此题的关键． 【详解】解：设绳索长x尺， 由题意并结合勾股定理可得：， 故选：A． 2．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，长方体的底面边长分别为和，高为．若一只蚂蚁从点P开始经过4个侧面爬行一圈到达点Q，则蚂蚁爬行的最短路径长为（    ） A．20 B．22 C．24 D．25 【答案】D 【分析】本题考查的是勾股定理的应用．先得到长方体侧面展开图，再利用勾股定理计算即可． 【详解】解：长方体侧面展开图如图所示． 由题意，得，． 在中，， 故选：D． 3．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在杯外壁点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁与C相对的A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆柱的侧面展开图，两点之间线段最短，勾股定理．掌握两点之间线段最短和勾股定理的应用是解题关键．将圆柱形玻璃杯侧面展开，连接．结合两点之间线段最短可知长即为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离．再根据勾股定理求出长即可． 【详解】解：将圆柱形玻璃杯侧面展开，如图，连接． ∴． 根据两点之间线段最短可知长即为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离． ∵高为，底面周长为， ∴，， ∴． 故选B． 4．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，圆柱形玻璃容器高，底面圆的周长为，在外侧距下底的点A处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距上口的点B处有一只苍蝇，则蜘蛛捕获苍蝇所走的最短路线长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查平面展开-最短路径问题，画出正确的平面展开图，作出辅助线构造直角三角形利用勾股定理求解是解题关键． 先把圆柱沿过B点的母线剪开，然后展开如图，点为点A展开后的对应点，根据两点之间线段最短得到最短路线长度为 的长度，然后根据勾股定理计算的长即可． 【详解】解：把圆柱沿过B点的母线剪开，然后展开如图，点为点A展开后的对应点， 作于， 由题意得：，， ， ∴， 在中，． 故选D． 二、填空题 5．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，一圆柱高9厘米，底面周长是24厘米，一只蚂蚁沿表面从点爬到点，则爬行的最短路程是 ． 【答案】15厘米 【分析】该题目主要考查勾股定理的应用，理解题意，构造直角三角形是解题关键．根据题意将圆柱展开，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：根据题意，将圆柱展开如下： ， 厘米， ∴最短路程为15厘米， 故答案为：15厘米． 6．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，一支长为的铅笔放在长方体笔筒中，已知笔筒的三边长度依次为，，，那么这根铅笔露在笔筒外的部分长度的范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由题意知，当铅笔垂直于笔筒底部放置时，铅笔露在笔筒外的部分长度x最大，最大值为，由勾股定理得，长方体的对角线长为，当铅笔沿着长方体的对角线放置时，铅笔露在笔筒外的部分长度x最小，最小值为，然后作答即可． 【详解】解：由题意知，当铅笔垂直于笔筒底部放置时，铅笔露在笔筒外的部分长度x最大，最大值为， 由勾股定理得，长方体的对角线长为， 当铅笔沿着长方体的对角线放置时，铅笔露在笔筒外的部分长度x最小，最小值为， ∴这根铅笔露在笔筒外的部分长度x的范围是， 故答案为：． 7．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图①，直角三角形的两个锐角分别是和，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为和的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为3，则次操作后图形中所有正方形的面积和为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了图形规律，直角三角形的性质、勾股定理、正方形的性质等知识，根据图形找到规律是解题的关键．根据题意分别计算出图①、图②的面积，得出规律即可求解． 【详解】图①中的直角三角形斜边长为3， 如图可知， ，， 图①中正方形的和为， 图②中所有正方形面积和， 即1次操作后的图形中所有正方形的面积和为， 则2次操作后的图形中所有正方形的面积和为， ， ∴次操作后的图形中所有正方形的面积和为， 故答案为： 8．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）淮安某大酒店为了迎接“淮扬美食文化节”，要在高5米，长13米的一段台阶面上铺上地毯，台阶的剖面如图，则地毯的长度至少需要 米． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用—求台阶上地毯长度，利用平移解决实际问题等知识点，利用平移的知识，把要求的所有线段平移到一条直线上进行计算是解题的关键． 根据题意，结合图形，先把台阶的横竖面向上向左平移，构成一个矩形，再求矩形的长，则可求出地毯的长度至少需要多少米． 【详解】解：如图，利用平移线段，把台阶的横竖面向上向左平移，构成一个矩形， 则矩形的长为：（米）， 地毯的长度为：（米）， 故答案为：． 9．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，一圆柱高，底面半径是，一只蚂蚁绕着圆柱向上螺旋式爬行，假设蚂蚁绕圆柱外壁从点A 爬到点B，圆周率π取近似值3，则蚂蚁爬行路线的最短路径长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆柱的平面展开最短路径问题，将圆柱展开为长方形，利用勾股定理求对角线的长即为最短路径的长．先画出圆柱展开图形，最短路程是的长，是底面圆周长的一半，则，是高，根据勾股定理计算． 【详解】解：如图所示， ， 由勾股定理得：， 故答案为：． 10．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）葛藤是一种多年生草本植物，为获得更多的雨露和阳光，其茎蔓常绕着附近的树干沿最短路线盘旋而上，如图，如果把树干看成圆柱体，它的底面周长是分米，当一段葛藤绕树干沿最短路线盘旋圈升高为分米时，这段葛藤的长为 分米． 【答案】 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用．根据题意画出图形，利用圆柱侧面展开图，结合勾股定理求出即可． 【详解】解：圆柱的侧面展开图如下，则分米，分米， （分米）， 这段葛藤的长分米， 故答案为：． 11．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题，老师对其进行改编：“今有葭生方池中央，出水一尺，引葭七尺赴岸，适与岸齐，问水深几何？”题意为：有一个底面为正方形的池塘，在池塘正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，拉动7尺后它的顶端恰好碰到池边的水面．则水深是 尺． 【答案】 【分析】本题考查主要考查了勾股定理得应用，根据勾股定理正确列出方程是解题的关键． 如图，设水深是尺，得到尺，尺，然后在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，设水深是尺， 由题意可知，尺，尺， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴水深是尺， 故答案为：． 12．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，圆柱形容器高，底面周长，在杯口点B处有一滴蜂蜜，此时蚂蚁在杯外壁底部与蜂蜜相对的A处，若蚂蚁刚出发时发现B处的蜂蜜正以每秒钟沿杯内壁下滑，3秒钟后蚂蚁吃到了蜂蜜，求蚂蚁的平均速度至少是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是平面展开-最短路径问题， 先将圆柱的侧面展开，找到蚂蚁走的最短距离，再根据勾股定理得到蚂蚁所走的路程，于是得到结论． 【详解】解：假设在杯内壁点处吃到蜂蜜， 如图，圆柱的侧面展开，点与关于点对称，连接，则为蚂蚁走的最短距离， 由题意可得：，，， ∴， ∴， ∴蚂蚁的平均速度至少是， 故答案为：． 13．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，一架梯子斜靠在墙上，梯子顶端与墙角的距离长为4米，梯子的长为5米，则梯子与墙角的距离为 米． 【答案】3 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，在中，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：由题意得，米，米， ∴米， 故答案为：3． 三、解答题 14．（24-25八年级上·江苏常州·期中）2024年9月第13号台风“贝碧嘉”登陆，使我国长三角很多地区受到严重影响，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即距离台风中心小于或等于区域内都会受台风影响）．如图，线段是台风“贝碧嘉”中心从上海市（记为点B）向西北方向移动到常州市（记为点D）的大致路线，无锡市惠山区（记为点C）大致在线段上，南通市记为点A，且．若A，C之间相距，A，B之间相距． (1)判断南通市（记为点A）是否会受到台风“贝碧嘉”的影响，并说明理由． (2)若台风“贝碧嘉”中心的移动速度为，则台风影响南通市（记为点A）持续时间有多长？ 【答案】(1)南通市会受到台风“贝碧嘉”的影响，见解析 (2) 【分析】（1）过点作于点，求得最短距离，与影响半径比较大小，判断解答即可． （2）以点A为圆心，为半径作圆，交于点E、F，根据，，得到，根据勾股定理得到，继而得到，求时间即可． 本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，正确构造直角三角形，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． 【详解】（1）解：过点作于点， ∵，A，C之间相距，A，B之间相距． ∴， 根据题意，得， ∴， ∵， ∴南通市会受到台风“贝碧嘉”的影响． （2）解：以点A为圆心，为半径作圆，交于点E、F， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴台风影响南通市持续时间为． 答：台风影响南通市持续时间为． 15．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）某条路规定小汽车的行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在这条路的直道上行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方的C处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为．这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：） 【答案】没有超速 【分析】根据勾股定理，求得，计算出速度，与限速比较解答即可． 本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：在中，， 根据勾股定理可得， ∴小汽车的速度为． ， ∴这辆小汽车没有超速． 16．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图，一架长为的云梯斜靠在一面墙上，水平地面． (1)若云梯放置在底端距墙脚的距离时，求消防员达到救火的高度的长． (2)在演练中，高的墙头有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员，经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全．在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达高的墙头去救援被困人员？ 【答案】(1)24米 (2)能 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，灵活运用勾股定理解决实际问题是解题的关键． （1）先说明，再根据勾股定理求出的长即可； （2）设米，运用勾股定理求得的长，然后与云梯长度的比较即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∴． 答：的长为24米． （2）解：设米，则． ∵， ∴能达到． 17．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）今年第6号台风“烟花”登陆我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向由向移动，已知点为一海港，且点与直线上的两点的距离分别为，，又，经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响．已知台风中心的移动速度为． (1)求的度数． (2)海港是否受台风影响？若受影响，求出影响时长；若不受影响，说明理由． 【答案】(1) (2)海港受台风影响，时间为5小时 【分析】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用． （1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而得出的度数； （2）利用三角形面积得出的长，进而得出海港C是否受台风影响，利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【详解】（1）解：，，， ， 是直角三角形，； （2）解：海港受台风影响． 过点作于， 是直角三角形， ， ， ， 以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， 海港受台风影响； 当，时，正好影响港口， ， ， 台风的速度为40米/小时， （小时）． 答：台风影响该海港持续的时间为5小时． 18．（24-25八年级上·江苏常州·期中）2024年第13号台风“贝碧嘉”于9月16日17时前后经过常州，给当地造成了巨大损失．如图，一棵垂直于地面并且高9米的银杏树被台风折断，树顶A落在离树底部C的6米处，求这棵树在离地面多高处被折断． 【答案】这棵树在离地面米高处被折断 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据图示知大树折断部分、下部、地面恰好构成直角三角形，标注相应点后，则有，，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：设离地面高度x米处折断，则，， ∵ ∴， ∴    ． ∴ 答：这棵树在离地面2.5米高处被折断． 19．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）张同学在深入研究课本82页第2题时发现：如图（1），一架梯子斜靠在竖直墙上，梯子底端点B距离墙角O的距离是，此时梯子到达的垂直高度是，通过计算可以得到梯子的长为______m，爱动脑筋的张同学发现，梯子的中点为M，当梯子底端从B向右滑动到点D的过程中，中点M到O的距离______．（填变大、不变、变小）张同学继续研究发现，在梯子沿着墙滑动过程中，的角平分线 交于点H． （1）如图（2），过点B作，交的延长线于点E，连接，在滑动的过程中，线段，有何数量关系，并说明理由； （2）在滑动的过程中，面积的最大值为______． 【答案】5；不变；（1）；（2） 【分析】本题考查了全等三角形判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，垂线段最短； 题干由勾股定理求解出，由直角三角形斜边中线的性质得出结论； （1）延长、交于点，证明，得，由直角三角形斜边中线的性质即可得出结论； （2）过点作，由垂线段最短可得，由此得出在滑动的过程中，点与的中点重合时，，面积的最大据此得出结论. 【详解】解：依题意得：，，， 如图： ∴， ∵的中点为M， ∴， 故中点M到O的距离不变； （1）结论： 如图，延长、交于点， ∵， ， 又∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， （2）如图，过点作， ∴，即， ∵， 故在滑动的过程中，点与的中点重合时，，面积的最大， ， 即面积的最大值为. 20．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）小丽在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其做了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小丽用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，（图中的、、、在同一平面上），测得，．求的长． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用，根据题意，结合勾股定理建立方程是正确解决本题的关键． 设的长为，由建立方程即可求解． 【详解】解∶设的长为，则， ， ， ，， 中，，即， 解得， 答∶ 的长为． 21．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图是小明家中的三个房间甲、乙、丙的截面图，他将一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距离地面的垂直距离记作，如果梯子的底端不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子的顶端距离地面的垂直距离记作． (1)当小明在甲房间时，梯子靠在对面墙上，顶端刚好落在对面墙角处，若米，米，则甲房间的宽度 米． (2)当他在乙房间时，测得米，米，且，求乙房间的宽； (3)当他在丙房间时，测得米，且，，求丙房间的宽． 【答案】(1) (2)米 (3)丙房间的宽是米 【分析】（1）根据勾股定理即可得到结论; （2）证明△△，从而得到米，，即可求出结果； （3）根据以及的度数可得到为等边三角形，表示出的长，可得结果； 此题考查了勾股定理的应用，全等三角形的应用，等边三角形的判定，根据以及的度数可得到为等边三角形是解题的关键． 【详解】（1）解：在中，，米，米， ， ， 甲房间的宽度米， 故答案为：3.2； （2）， ， ， ． 在△与△中， ， △△， 米， ， ； （3）过点作垂线，垂足点，连接． 设，且． 梯子的倾斜角为， △为等腰直角三角形，△为等边三角形，梯子长度相同），． ， ． ， △为等边三角形， ． △△， ， 米， 即丙房间的宽是1.6米． 22．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，A、B是公路l同侧的两个村庄，A村到公路l的距离，B村到公路l的距离，且．为方便村民出行，计划在公路边新建一个公交站点P，要求该站到村庄A、B的距离相等．请求出点P与点C之间的距离． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理及应用，一元一次方程的应用等，设，根据勾股定理可得，即可解得的长． 【详解】解：设，则， 在中，， 在中，， ， ∴， ∴， 解得， ∴． 地 城 考点06 勾股定理逆定理及其应用 一、选择题 1．（24-25八年级上·江苏南京·期中）满足下列条件的中，不是直角三角形的是（   ） A． B．，， C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，以及勾股定理逆定理．根据三角形内角和定理，以及勾股定理逆定理，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、， 设，，， ， ， ，，， 不是直角三角形，符合题意． B、，，， ，即, 为直角三角形．不符合题意； C、， ， ， ， ， 为直角三角形．不符合题意； D、， ， ， 为直角三角形．不符合题意． 故选：A． 2．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）下列条件不能判定△ABC是直角三角形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由三角形内角和定理以及勾股定理的逆定理分别进行判断即可．本题考查了勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理等知识，熟练掌握勾股定理的逆定理和三角形内角和定理是解题的关键． 【详解】解：A、∵，， ∴， ， ， ∴不是直角三角形，故选项A符合题意； B、设，则，， ∵， ∴， ∴是直角三角形，故选项B不符合题意； C、∵，， ∴ ∴为直角三角形，故选项C不符合题意； D、∵， ∴， ∴是直角三角形，且，故选项D不符合题意； 故选：A． 3．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）已知的三边分别为，下列条件无法判定是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，能熟记勾股定理的逆定理和三角形内角和定理是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边a、b的平方和等于第三边c的平方，那么这个三角形是直角三角形，三角形的内角和等于180°． 根据勾股定理的逆定理判定选项A和选项B即可；根据三角形的内角和定理求出的度数，即可判断选项C；根据三角形内角和定理求出的度数，即可判断选项D． 【详解】解：设中，的对边是a，的对边是b，的对边是c， A．∵， ∴， ∴最大角， ∴不是直角三角形，故本选项符合题意； B．∵ ∴， ∴∠， ∴是直角三角形，故本选项不符合题意； C．∵，， ∴， ∴是直角三角形，故本选项不符合题意； D．∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：A． 4．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）已知的三条边分别为、、，三个内角分别为、、，则满足下列条件的不是直角三角形的是（    ） A．，， B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内角和性质以及勾股逆定理，如果选项是边的条件，则运用勾股逆定理来验证，如果选项是角的条件，则运用内角和180度来列式计算，即可作答． 【详解】解：A、∵，则是直角三角形，故该选项是不符合题意； B、∵，则，则是直角三角形，故该选项是不符合题意； C、∵， ∴设，那么，则，则不是直角三角形，故该选项是符合题意； D、∵， ∴， ∵， ∴故该选项是符合题意； 故选：C． 5．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）下列几组数，不能作为直角三角形三边长的是（   ） A．3，4，5 B．5，12，13 C．20，30，40 D．15，20，25 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，根据三角形两短边的平方和等于长边的平方的三角形为直角三角形逐项分析即可得解，熟练掌握勾股定理逆定理是解此题的关键． 【详解】解：A、∵，∴3，4，5能作为直角三角形三边长，故不符合题意； B、∵，∴5，12，13能作为直角三角形三边长，故不符合题意； C、∵，∴20，30，40不能作为直角三角形三边长，故符合题意； D、∵，∴15，20，25能作为直角三角形三边长，故不符合题意； 故选：C． 二、填空题 6．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）定义：如果一个点能与另外两个点构成直角三角形，则称这个点为另外两个点的勾股点．当这个点是直角的顶点时，这个点又称为强勾股点．在中，，D是的中点，P是射线上一个动点，当P是中A、C两个顶点的强勾股点时，则写出的长 ． 【答案】4或16 【分析】本题是三角形综合题，考查了勾股定理及逆定理的应用，新定义“强勾股点”，直角三角形斜边中线的性质等知识；解题关键是对新定义概念的性质运用，并注意运用分类讨论的思想． 分两种情况：点是两个顶点的强勾股点时，且点在内，点是两个顶点的强勾股点时，且点在外，由新定义“强勾股点”画出图形，根据勾股定理可得出答案； 【详解】解：∵是的中点， ， 若点是两个顶点的强勾股点时，且点在内，如图， ∵为的中点，， ， ， ， ； 若点是两个顶点的强勾股点时，且点在外，如图， ∵为的中点， ， ， 综上所述，的长为4或16． 故答案为：4或16． 7．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）一个三角形的三边长为7、24、25，则最长边上的中线长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理的逆定理，根据勾股定理逆定理判断出三角形是直角三角形，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可． 【详解】解：∵， ∴该三角形是直角三角形， ∴这个三角形最长边上的中线的长为． 故答案为：． 8．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图是的网格，每个小正方形的边长为1，A、B、C、D是小正方形的顶点，则的值为 ． 【答案】/45度 【分析】本题考查了格点作图，等腰三角形的判定和性质，勾股定理与网格．取格点，得到，利用勾股定理及其逆定理求得是等腰直角三角形，据此即可求解． 【详解】解：取格点，连接，，如图， 由网格的性质，知， ∴， ∵，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）若三角形三边长为，，，则它的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、三角形的面积公式．首先根据可知这个三角形是直角三角形且为斜边的长度，然后再根据三角形的面积公求解． 【详解】解：三角形三边长为，，， 又， 这个三角形是直角三角形，且为斜边的长度， 这个三角形的面积为 故答案为：． 10．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在“”的正方形网格中，的度数为 ． 【答案】/45度 【分析】先标注格点，连接，，证明，，，再进一步解答即可． 【详解】解：标注格点，连接，， 由网格特点可得：， ∴， 由勾股定理可得： ，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查的是平行线的性质，勾股定理及其逆定理的应用，等腰三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 三、解答题 11．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）校园内有一处池塘，数学实践小组的同学想利用所学知识测量池塘两端之间的距离，他们的操作过程如下：①沿延长线的方向，在池塘边的空地上选点，使米；②在的一侧选点，恰好使米，米；③测得米．请根据他们的操作过程，求出两点间的距离． 【答案】米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，勾股定理的逆定理，正确得出三角形是直角三角形是解题的关键．先判定三角形为直角三角形，推出三角形为直角三角形，再根据勾股定理求出的长即可． 【详解】解：米，米，米， ， 是直角三角形，且， ， 米， 在中，由勾股定理得， 米， ，两点间的距离为米． 12．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点． (1)在图①中画一个以格点为顶点，面积为6的等腰三角形； (2)在图②中画一个以格点为顶点，面积为6的直角三角形； (3)在图③中画一个以格点为顶点，面积为5的等腰直角三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理； （1）根据网格的特点，作出底边和高分别为和的等腰三角形； （2）根据网格的特点，作出直角边分别为和的直角三角形，即可求解． （3）根据网格的特点，作出直角边为的等腰直角三角形，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求 （2）解：如图所示，即为所求 （3）解：如图所示，即为所求 ∵， ∴ ∴是等腰直角三角形 ∴的面积为，则即为所求 13．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，，，，，，求这块地的面积． 【答案】这块地的面积为 【分析】此题主要考查勾股定理和勾股定理的逆定理等知识点，难度不大，解答此题的关键是连接，求出三角形的面积，再减去三角形的面积即可． 连接，由，，，利用勾股定理可求出的长，再根据，，利用勾股定理的逆定理可证，即可求出这块地的面积． 【详解】解：连结， 在中，，，， ∴， ， 在中 ，，， ∴， ∴， ∴ ， 答：这块地的面积为 14．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）小李家有一块菜地如图，已知直角三角形的斜边长比直角边的长大，另一直角边长为，，． (1)求的长； (2)求整个菜地的面积．（参考数据，，结果保留一位小数） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）设的长为，则的长为，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可； （2）由勾股定理的逆定理得是直角三角形，，再由，列式计算即可． 【详解】（1）解：设的长为，则的长为， 在中，由勾股定理得：， 解得：， 答：的长为； （2）解：∵，， ∴， ∴是直角三角形，， 由（1）可知，， ∴ ， 答：整个菜地的面积约为． 15．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）为进一步落实立德树人的根本任务，培养德智体美劳全面发展的社会主义接班人，某校开展劳动教育课程，并取得了丰硕成果．如图，这是该校开垦的一块作为学生劳动实践基地的四边形荒地（图中的阴影部分）．经测量，，，，且． (1)试说明：； (2)该校计划在此空地（阴影部分）上种植花卉，若每种植花卉需要花费元，则此块空地全部种植花卉共需花费多少元？ 【答案】(1)见解析； (2)此块空地全部种植花卉共需花费元． 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理、勾股定理、等腰三角形的三线合一定理． 根据可得，利用勾股定理的逆定理可证是直角三角形，且；      过作于点，根据等腰三角形的三线合一定理可得，利用勾股定理可求，根据可求种植花卉的面积，再根据每种植花卉需要花费元，求出总费用即可． 【详解】（1）证明：， ， 是直角三角形，且；                              （2）解：如图，过作于点， ，， ， 在中，由勾股定理得：， ，， （元）， 答：此块空地全部种植花卉共需花费元．   16．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图所示，在每个边长都为1的小正方形组成的网格中，点A、B、P均为网格的格点． (1)线段的长度等于__________； (2)以点A、B、P为顶点的面积为__________； (3)仅用无刻度直尺在线段上作一个点Q，使得点Q满足． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的性质与判定，网格中求三角形面积，熟知勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求解即可； （2）利用割补法求解即可； （3）取格点C、D，连接交于Q，点Q即为所求． 【详解】（1）解：由网格的特点和勾股定理可得； （2）解：； （3）解：如图所示，取格点C、D，连接交于Q，点Q即为所求； 可证明是等腰直角三角形，则， 可证明，则可证明． 17．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图，在正方形网格中，每的个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）．     (1)是_______三角形；_______． (2)仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图任务； ①）在图1中画出关于直线的对称图形（不写画法）； ②在图2中画出到三个顶点距离相等的点E． 【答案】(1)等腰直角，34 (2)见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的性质与判定： （1）利用勾股定理及其逆定理可证明，据此可得答案； （2）①根据轴对称图形的特点作图即可；②只需要作出的中点E即可． 【详解】（1）解：由题意得，，，， ∴，， ∴是等腰直角三角形； （2）解：①如图所示，即为所求； ②如图所示，即为所求； 18．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图，已知． (1)请用不带刻度的直尺和圆规在边上作一点D，使；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查尺规作图，垂直平分线的性质，勾股定理的逆定理： （1）作线段的垂直平分线，与线段交于点D，由垂直平分线的性质可得，则； （2）根据勾股定理的逆定理证明． 【详解】（1）解：如图所示．      则点D就是所求作的符合条件的点． （2）证明：∵直线l是线段的垂直平分线， ．      ， ．     ． ． 19．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）已知：如图，在，于点D，，， (1)求的长； (2)试说明． 【答案】(1)16 (2)见解析 【分析】本题考查勾股定理的应用，以及勾股定理的逆定理的应用，直角三角形两锐角互余，熟练掌握相关知识点是解题关键． （1）应用勾股定理，求出，再运用勾股定理即可求出； （2）判断出，即可判断为直角三角形，再利用直角三角形两锐角互余即可证明． 【详解】（1）解：∵， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得； （2）证明：， ， 在中， ， ， ， ， ， ， 20．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、在小正方形的顶点上． (1)______（是、不是）直角三角形． (2)在图中画出与关于直线成轴对称的． (3)的面积为______． 【答案】(1)不是 (2)见解析 (3)4 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，作图一轴对称变换，解题的关键是熟练掌握勾股定理及其逆定理． （1）利用勾股定理求出，，，由于，则不是直角三角形； （2）根据轴对称的性质即可画出； （3）利用网格，用矩形的面积减去三个直角三角形的面积求解即可． 【详解】（1）解：由勾股定理得，，，， ， 不是直角三角形， 故答案为：不是； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：． 21．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，，垂足为，且，．点从点沿射线向右以个单位/秒的速度匀速运动，同时点从点沿线段向点以个单位/秒的速度匀速运动，当点到达终点时，点也立即停止运动，连接、，设点运动的时间为秒． (1)当为何值时，是的中线？ (2)当时，判断的形状，并说明理由； (3)是否存在的值，使是以为腰的等腰三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)当时，是直角三角形，理由见解析； (3)当或时，是以为腰的等腰三角形 【分析】（1）由题意得，，根据中线的定义即可求解； （2）由勾股定理求出的值，根据勾股定理逆定理即可证得结论； （3）分类讨论：①当，②，根据题意和勾股定理列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， ∵是的中线 ∴ 解得 即时，是的中线； （2）解：当时，是直角三角形， 理由如下： 当时，， ∴ 在中，， 在中，， ∴ ∴ ∴是直角三角形； （3）解：存在， ①当时 ∵， ∴， 由知； ②时， 在中，， ∵ ∴ 解得：， 综上所述：或． 当或时，是以为腰的等腰三角形 【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，中线定义，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键． 22．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中为直角，工人师傅量得零件各边尺寸为，，，．请计算这个零件的面积． 【答案】144 【分析】本题考查了勾股定理及逆定理，关键是根据勾股定理的逆定理判断的形状．连接，根据勾股定理的逆定理，可判断的形状，再由即可得出结论． 【详解】解：连接， 是直角，，， ， 在中，，，， ， 是直角三角形， ． 23．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）随着中国科技、经济的不断发展，信号的覆盖的广泛性和稳定性都有更好的表现．如图，有一辆汽车沿直线方向，由点向点行驶，已知点为某个信号源，且点到点和点的距离分别为和，且，信号源中心周围及以内可以接收到信号． (1)汽车在从点向点行驶的过程中，能接收到信号吗？为什么？ (2)若汽车的速度为，请问有多长时间可以接收到信号？ 【答案】(1)能，理由见详解 (2)秒 【分析】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形的面积． （1）过点C作于点D，根据，，的长，可得出，进而可得出，再结合三角形的面积公式，即可求出的长，再和相比即可得出答案． （2）设点E，F在直线上，且利用勾股定理，可求出长，进而可得出，的长，再利用时间等于路程除以速度，即可求出结论 【详解】（1）解：汽车在从点A向点B行驶的过程中，能接收到信号，理由如下∶ 过点C作于点D，如下图1所示： ∵，，，， ∴， ∴， ∵ ∴ ∵， ∴汽车在从点A向点B行驶的过程中，能接收到信号 （2）解：设点E，F在直线上，且，如图2所示． 在中，，， ∴， 同理∶， ∴， ∴(秒)． 答∶有秒可以接收到信号 24．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，在四边形中，，，，，．求四边形的面积． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理和逆定理的应用，理解：在一个三角形中，两条较短边的平方和等于最长边的平方，这个三角形就是直角三角形． 根据勾股定理求出，再利用勾股定理的逆定理得到是直角三角形，然后根据直角三角形的面积公式求解． 【详解】解：，，， ，， ，， 是直角三角形，， 四边形的面积． 25．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）有一块四边形空地，如图，经测量，米，米，米，米．求这块四边形空地的面积． 【答案】84平方米 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、勾股定理逆定理，作于，由等腰三角形的性质可得米，由勾股定理可得米，再由勾股定理逆定理得出，最后由计算即可得解． 【详解】解：如图，作于， ， ∵米，米， ∴米， ∴米， ∵，即， ∴为直角三角形，即， ∴（平方米）． 试卷第1页，共3页 123 / 123 学科网（北京）股份有限公司 $$