2025年学科素养月度测评数学（一）B版（全国通用）-【衡水真题密卷】2025年高考数学学科素养月度测评

2024一2025学年度学科素养月度测评（一） 题 数学 本试卷总分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡 上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.已知集合A={xx<1},B={yy=1gx},则AUB= () A.(0,1) B.(0,+∞) C.(-∞，1) D.R 2.若全集U是实数集R,集合M={x|x=2k-1,k∈N},N={1,2,5,7,8},则图中阴影 部分表示的集合为 () U A.{2,8} B.{1,5,7} C.{2,7,8} D.{1,2,5,8} 3.已知命题p:Hx>1,|x|>1,则命题p的否定为 () A.3x>1,|x|≤1 B.3x≤1，x|≤1 C.Va>1,lx|<1 D.Hx≤1，|x|>1 4.设a,b是非零向量，则“存在实数入，使得b=λa”是“|a十b|=|a|十b|”的 ( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.若对于Vx∈[1,2]，不等式m十2-x2≤0恒成立，则实数m的取值范围是 A.m≤-1 B.m≤0 C.m≤1 D.m≤2√2 6.若ab≠1，且3a2-7a-2=0,2b2+7b-3=0,则2- ( 7 A.一3 2 C.3 7 D. 3 数学试题（一）第1页（共4页） 真题密卷·学手 7.在数学探究课上，某同学发现借助多项式运算可以更好地理解“韦达定理”.若x1,x2,x 班级 为方程ax3十bx2+cx十d=0(a≠0)的3个实数根，设ax3+bx2+cx十d=a(x-x1)· (x一x2)·(x一x3),则一a(x1十x2十x3)为x2的系数，a(x1x2十x1x3十x2x3)为x的 姓名 系数，-Q1x为常数项，于是有十十=-名，十十1二 得分 x1x2x3= .实际上任意实系数n次方程都有类似结论.设方程(x一1)十(x-1)3 2 7(x一1)2十5=0的四个实数根分别为x1,x2,x3,x4,则 A.x1十x2十x3+x4=-1 B.x1x2x3x4=-5 C.x1x2x3x4=5 D.x1十x2十x3十x4=3 8.已知函数y=-x2+bx十c只有一个零点，不等式-x2+bx十c-m>0的解集为(xo, xo十2)，则m= () A.-4 B.-3 C.-2 D.-1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知关于x的一元二次不等式ax2十bx十c≥0的解集为{x|x≤一3或x≥2}，则下列 说法正确的是 () A.b>0且c<0 B.4a+2b+c=0 C.不等式bx+c>0的解集为{x|x<6》 D.不等式x-bz十a<0的解袋为x-言长<引 10.已知x2十xy十y2=3,下列说法正确的有 A.x的取值范围是[一1,2] B.x十y的取值范围是[一2,2] C.xy的取值范围是[一3,1] D.x+2y的取值范围是[一25,23] 斗素养月度测评 数学试题（一）第2页（共4页） B 11.一般地，若函数f(x)在区间[a,b]上的值域是[ka,kb],则称[ka,kb]为f(x)的“k 倍跟随区间”，若函数f(x)在区间[a,b]上的值域也是[a,b],则称[a,b]为f(x)的 “跟随区间”，下列结论正确的是 () A.若[1，b]为f（x)=x2一2x十2的“跟随区间”，则b=2 B函数f(x)=1+上存在“跟随区间” C若函数了)=m一中市存在"跟随区间，则m∈【子d D.二次函数f(x)=一2x2+x存在“3倍跟随区间” 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 2.设集合A=3∈NxEZ,则集合A的真子集个数为 183.两数y=-sinx十点sinx+的最小值为 14.已知△ABC的边长分别为a,bc,且满足h=c2,则的取值范围为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)记全集U=R,已知集合A={xa-1≤x≤a十5，a∈R},B={x|-1<x<4}. (1)若a=2,求(CuA)∩(CuB); (2)若AU(CuB)=R,求a的取值范围. 16.(15分)已知命题p:Hx∈R,不等式2x2+4x+7-m>0恒成立；命题q:3x∈R,使 x2-2mx十m+2<0成立. (1)若命题p为真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题p,q中恰有一个为真命题，求实数m的取值范围. B 数学试题（一）第3页（共4页） 真题密卷 17.(15分)1若>0，y>0,且2+8-1，求： y (i)xy的最小值； (iⅱ)x十y的最小值； ②求f)=红+9与（>)的最小值 18.(17分)已知函数f(x)为二次函数，f(x)的图象过点0,2，对称轴为x=-, f(x)在R上的最小值为： (1)求f(x)的解析式； (2)当x∈[m一2，m],m∈R时，求f(x)的最小值（用m表示）. 19.(17分)对于函数y=mx2+nx十t(m≠0)，若存在xo∈R,使得mx+nxo十t=xo成 立，则称xo为函数y=mx2+n.x十t(m≠0)的不动点. (1)求函数y=x2一x一3的不动点； (2)若函数y=2x2-(3十a)x十a一1有两个不相等的不动点x1,x2,且x1,x2>0,求 x1+x2的最小值； x2 x1 (3)若对任意实数b,函数y=ax2+(b+1)x+b一1(a≠0)恒有不动点，求a的取值 范围. 学科素养月度测评 数学试题（一）第4页（共4页）2024一2025学年度学科素养月度测评（一) 数学 姓名： 准考证号 填涂范例 考场号： 正确填涂■ 错误填涂☑ ☒ 图 血 )①))①))①①) D 0000000 0 座位号： I B 3I3I3】3I3I3】3I3I 缺考 (填涂说明：缺考考生由监考员用2B ④ 4④4I4④4④4④4④4④4 姓名××× 准考证号×××××× 标记 口 铅笔填涂准考证号及左边缺考标记) 6 贴条形码区 ] mm I maa I 开考15分钟以后，缺考考生由监考员粘贴条形码， ⊙ 8 8I8 8]8 8]8 8] 考场号×× 座位号×× 并用2B铅笔填涂上方的缺考标记 ⑨ 选择题 单项选择题 1 A B C D 3 A B CD 5ABCD 7B☒D) 2B田W) 4IB☒C四 6四田☑D 8 A B C D 多项选择题 9)BI) 10A四B☒四D) 11四BH四) 非选择题 12 13. 14 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 答题纸·数学（一）第1页（共5页) B 请在各题目的答题区域内作答超出答题区域的答案无效 15.(13分) 16.（15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 答题纸·数学（一）第2页（共5页） 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 答题纸·数学（一）第3页（共5页） 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 18.（17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 B 答题纸·数学（一）第4页（共5页） B ■■■■■■■■■■■■■■■■■■ 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 19.(17分) 烨 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 答题纸·数学（一）第5页（共5页)·数学· 参考答案及解析 参芳答案及解析 2024一2025学年度学科素养月度测评（一）数学 一、选择题 由题中所给方法知，一a(x1十x2十x3十x4)x3= 1.D【解析】因为B={y|y=lgx}=R,又A={x bx3,所以x1十x2十x3十x4= x<1},所以AUB=R. a 2.A【解析】因为全集U是实数集R,集合M= ax1x2x34=e,所以x1x2.xx4= -=-2. {x|x=2k-1,k∈N*),所以M∩N={1,5,7}, 所以图中阴影部分所表示的集合为集合N去掉 8.D【解析】函数y=-x2+bx十c只有一个零 M∩N中的元素，即{2,8}. 点，则△=b2十4c=0, 3.A【解析】命题p:Hx>1,|x|>1是全称量词 不等式一x2+bx十c一m>0的解集为(xo,x0十2)， 命题，其否定是存在量词命题，所以命题p的否 即x2-bx一c十m<0的解集为(x0,x0十2)， 定为：]x>1,x≤1，故A正确. 设方程x2一bx一c十m=0的两根分别为x1,x2, 4.B【解析】若“|a十b|=|a十b|”,平方得 则x1十x2=b,x1x2=-c十m,且|x2-x1|=2, |a|2+2a·b+|b|2=a2+2a|×b|+|b|2, 所以(x2-x1)2=(x2十x1)2-4x1x2=4,则 即a·b=a|X|b,即a·b=|a×|b|cosa,b) b8-4(-c+m)=4, =la|×|b|, 整理得b2+4c一4m=4,所以m=-1. 则cosa,b〉=1，即(a,b〉=0，即a,b同向共线， 二、选择题 则存在实数入使得b=入a； 9.AB【解析】对于A,由题意得-3,2为一元二次 反之当(a,b〉=π时，存在入<0，满足b=Aa,但 方程ax2十bx十c=0的两个根，且a>0,故-3 “|a十b|=|a|+|b”不成立， +2=、6 即“存在实数入，使得b=λa”是“|a十b=a+ -3X2=后，即6=a>0,c=-6a< |b”的必要不充分条件. 0,故A正确； 5.A【解析】令函数f(x)=m+2一x2,显然 对于B,2为一元二次方程ax2+bx十c=0的根， f(x)在[1,2]上单调递减，f(x)mx=f(1)= 故4a十2b十c=0,故B正确； m+1,因为Vx∈[1,2]，不等式m+2-x2≤0 对于C,由A可知，bx十c>0→ax-6a>0,解得 恒成立，于是m+1≤0，所以m≤-1. x>6,故C错误； 对于D,cx2-bx十a<0→-6ax2-ax十a<0, 6.B【解析】由2b2+76-3=0,得b≠0，则2十6 7 1 又a>0,故6x2+x-1>0,解得x>3或x< 6=0,所以 3 37 -7×6 、 2,故D错误 -2=0, 因为3a2-7a-2=0,ab≠1， 10.BCD【解析】对于A,因为x2十xy十y2=3,即 所以a和是方根3x-7z-2=0的两个根， y2+xy十x2一3=0，将其看成关于y的一元二 次方程，所以△=x2-4(x2-3)≥0，解得-2≤ 所以a·=号即名=号 。12 x≤2，故A错误； 对于B,令x十y=t,则y=t一x,将其代入x 7.D【解析】由(x-1)4+(x-1)3-7(x-1)2+5=0, +xy+y2=3,得x2+x(t-x)十(t-x)2=3, 得(x-1)2(x2-2x+1+x-1-7)+5=0, 整理得x2一tx十t2一3=0，将其看成关于x的 即x4-3x3-4x2十13x-2=0,即a=1,b= 一元二次方程，显然有解，所以△=t2一4(t2 -3,c=-4,d=13,e=-2, 3)≥0，解得一2≤t≤2，故B正确； B 真题密卷 学科素养月度测评（一） 对于C,因为x2十y≥2|xy|,令m=xy,由x2 三、填空题 +xy+y2=3,得3-xy=x2+y2≥2|xy,即 12.63【解析】由A= 3-m≥2m,两边平方，得(3-m)2≥4m2,解 {是NxeZ可知x+3 得-3≤m≤1，故C正确； 是12的正因数，即x+3可取1,2,3,4,6,12，故 对于D,令x十2y=n,则x=n一2y,将其代入 3的值依次取12,6,4,3,2,1，即A=1,2, 12 x2+xy+y2=3,得(n-2y)2+(n-2y)y+y9 3,4,6,12},故集合A的真子集有26-1= =3,整理得3y2-3ny十n2-3=0,将其看成关 63个. 于y的一元二次方程，所以△=9n2一4X 3(n2-3)≥0，解得-2√3≤n≤2√5，故D正确. -5【解析】令1=sinx,-1≤1≤1， 13.4 11.AD【解析】对于A,若[1，b]为f(x)=x2 2x十2的“跟随区间”，因为f(x)=x2-2x十2 所以y=++-(- +2, 的对称轴为x=1,所以b2一2b十2=b,解得b= 结合二次函数图象知，当t=一1，即x= 2或b=1(舍)，故A正确； 2kπ(k∈Z)时，y有最小值， 对于B,假设fC)=1计是存在“限随区间T0,b小， y=-1-8+员-号-5。 因为f(x)=1十】在单调区间上递减， 14.(1,2+5)【解析】a+c-a+ac-a2十ac- (f(a)=b, b ab 则有f(b)=a,无解，故不存在，故B错误； (e）°+8令：=>0，则店=4+，又a a≠b, b<c<a+b→(a-b)2<c2=ab<(a+b)2→a 对于C,f(x)=m一√x十I在定义域上单调递 +b2<3ab=3c2, 减，若存在“跟随区间”[a,b](一1≤a<b), 则有广a)=b'即a=m-6+, 所a拉-(+（后=+ c2 f(b)=a,'b=m-√a+1, 两式相减得a-b=√a+1-√b+1, 即(a-b)(a+1+√b+I)=a+1-(b+1)= <<)八，又周为>0，所以51<< 2 a-b,又因为-1≤a<b,所以√a+I+√b+1 √5+1 =1,所以0≤√a+I<√b+1≤1，所以m=b+ 2 √a+I=b+1-b+I,设Wb+I=t,t∈ 四、解答题 (分1]，则m=-1,即2-1-m=0在区间 15.解：(1)由a=2,得A={x|1≤x≤7}，(2分) 方法1：CuA={x|x<1或x>7},CuB={x (号1上有一个实截报，所以 A=1+4m>0, x≤-1或x≥4)，所以(CuA)∩(CB)={x -m≥0， x≤-1或x>7}. (6分) 解得-<m≤0，故C错误： 方法2：AUB={x|-1<x≤7}， (4分) 所以(CuA)∩(CuB)=Cu(AUB)={x|x≤ 对于D,若存在“3倍跟随区间”，设定义域为 -1或x>7. (6分) [a,b],则值域为[3a,3b],当a<b≤1时，易得 (2)依题意，CB={x|x≤-1或x≥4}， 函数在定义域上单调递增，则a,b是方程 (8分) 2x2+x=3x的两个不相等的实数根，解得 因为AU(GB)=R,所以a-1区-1·(q0分) a+5≥4， x=0或x=一4，故存在定义域为[一4,0]使得 解得一1≤a≤0，故a的取值范围为[-1,0]. 值域为[-12,0]，故D正确. (13分) B ·2· ·数学· 参考答案及解析 16.解：(1)命题p:Hx∈R,不等式2x2+4x十7 m>0恒成立为真命题， 值为可得fe)ac-日》+子a>0,将 则△1=16-8(7-m)=8m-40<0,解得m< (0,2)代入f(x)可得a=1,故f(x)= 5,即实数m的取值范围为(-∞，5).(5分) +)+ (6分) (2)命题g:]x∈R,使x2-2mx+m+2<0 成立， 当q为真命题时，△2=4m2-4(m+2)=4m2 (2f)的对称轴为x=司， 4m-8>0,即4(m十1)(m-2)>0,解得m< -1或m>2,所以m∈(-∞，-1)U(2,+∞). 当m≤-2时，f(z)在[m一2，m]上单调递减， (8分) 故f)m=fm)-(m+》°+ (10分)》 当命题p,q中恰有一个为真命题时， ①若p为真命题，g为假命题， 当一 <m<号时，fx)在[m-2,-上单 即n 。解得-1≤m≤2； (11分) 调通减，在（←-分m]上单闲递增， ②若p为假命题，g为真命题， 即m≥5， 解得m≥5. (13分) (14分) m<-1或m>2, 综上，m∈[-1,2]U[5,+∞). (15分) 当m≥时，f()在m一2m]上单调递增，故 17.解：(1)(1)由x>0,y>0及基本不等式，可得 2+8-1≥2y 2.8 f)=m-2》=m-y+ 3 (16分) x y 故xy≥64，当且仅当2y=8x,即x=4,y=16 a+》+ 7 时等号成立， 71 3 所以xy的最小值为64. (4分) 综上，f(x)min= 4,-2<m<2, （)因为x>0,y>0,2+8 1， 3）2 7 21 所以+y-(+(任+)兰+12 (17分) 19.解：(1)由题意知x2-x-3=x,即x2-2x 22y.十10=18，当且仅当=8x ,即x 3=0,则(x一3)(x十1)=0， y 解得x1=一1，x2=3,所以不动点为一1和3. =6,y=12时等号成立，所以x十y的最小值 (4分) 为18. (9分) ②)由f)=4红+95>5)，可得f）) (2)依题意，2x2-(3十a)x十a-1=x有两个不 相等的正实数根， 45》2220≥240 9 即方程2x2-(4十a)x十a-1=0有两个不相 x-5 等的正实数根， 20=32, (12分) (4+a)2-8(a-1)>0, 当且仅当4(x-5)= x-5,即x=13 9 时等号成 所以告>0… 解得a>1,(6分) a-1 立，故f(x)=4x十 9 -5x>5)的最小值为32. 2>0, (15分) 所以1+=+x2-,十x)-21x 18.解：(1)设函数f(x)=a(x-h)2+k,(2分) x1x2 1 (x1十x2)2 由对称轴为x=一2，函数f(x)在R上的最小 一2 x1X2 ·3· B 真题密卷 学科素养月度测评（一） 安y (a+4)2 4 2= (a-1+5)2 所以+的最小值为8. (12分) 2= a-1 a-1 -2 2(a-1) (3)由题知，a.x2+(b+1)x十b-1=x(a≠0)， 2 2 所以a.x2+bx+b-1=0, (a-1)2+10(a-1)+25 -2=a1 2(a-1) 由于函数y=ax2+(b+1)x十b-1(a≠0)恒有 2 不动点， 25 2(a-1)+3, (9分) 所以△=b2-4a(b-1)≥0， (14分) 因为a>1,所以a-1>0,所以a。1+ 25 即b2-4ab+4a≥0恒成立， 2十2(a-1) 又因为b是任意实数， a-125 所以△'=(-4a)2-16a≤0， (16分) +3≥2 √22(a-1) 十3=8， 即a(a-1)≤0(a≠0)，解得0<a≤1，所以a 当且仅当2=2(a二10，即a=6时等号成立， 的取值范围是(0,1]. (17分) B ·4 ·数学· 参考答案及解析 精典评析 TIANSHUJIAOYU 1.若a6≠1，且3a-7a-2=0,20+6-3=0,则后 () A号 2 c.3 n号 【试题解读】 第1题，通迹认真观察两个方程的特点，构造同物式，得以口与弓为根的方程，直接用市达定理可得。 此题旨在考察学生的观察能力，灵活应变能力，并达到以提升思维深度来减少计算量的目的。但对于数学 学习一般的同学来讲，完全可以采取常规计算得结果。 2.在数学探究课上，某同学发现借助多项式运算可以更好地理解“韦达定理”.若x1,x2,x3为方程ax3十bx2 十cx十d=0(a≠0)的3个实数根，设ax3十bx2十cx十d=a(x-x1)·(x-x2)·(x-x3),则-a(x1十 x2十x3)为x2的系数，a(x1x2十x1x3十x2x3)为x的系数，一ax1x2x3为常数项，于是有x1十x2十x ax1x:十xx十xx1=0x1xx= -d.实际上任意实系数n次方程都有类似结论.设方程 (x一1)4十(x一1)3一7(x-1)2十5=0的四个实数根分别为x1,x2,x3,x4,则 () A.x1十x2十x3十x4=-1 B.x1x2x3x4=-5 C.I1222324=5 D.x1十x2十x3十x4=3 【试题解读】 第2题以教材必修一中的阅读材料高次方程的韦达定理为背景，提醒广大师生要重视教材，深挖教材。 3.一般地，若函数f(x)在区间[a,b]上的值域是[ka,b],则称[ka,b]为f(x)的“k倍跟随区间”，若 函数f(x)在区间[a,b]上的值域也是[a,b],则称[a,b]为f(x)的“跟随区间”，下列结论正确的是 () A.若[1，b]为f(x)=x2一2x+2的“跟随区间”，则b=2 B.函数f(x)-1+存在“跟随区间” C若前最了)=M-V币存在“限随区间则a∈[】 1 D.二次函数f()=一2x十x存在“3倍跟随区间” 【试题解读】 第3题是现在比较热门的函数新定义问题，考察了与函数有关的定义域、值域问题，构造方程思想以 及一元二次方程根的分布问题，考察的知识，点比较多，有的选项比较复杂，但是有些选项直接利用题目给 出定义比较容易处理，是一道综合性的题目。 ·5. B 真题密卷 学科素养月度测评（一） 命题要素细日表 题号 分值 题型 考查内容 难度 1 5 单选题 集合的并集运算 易 2 5 单选题 用Venn图表示集合间的关系 易 3 5 单选题 命题的否定 易 5 单选题 充分条件与必要条件 中 5 单选题 全称量词的使用 易 6 5 单选题 韦达定理的应用 中 5 单选题 多项式的运算和韦达定理的应用 中 5 单选题 求解不等式的参数 中 6 多选题 解不等式 中 10 6 多选题 不等式基本性质的应用 中 11 6 多选题 函数的应用 中 12 5 填空题 求集合的子集个数 易 三 13 5 填空题 利用换元和函数的单调性求解最值 中 14 5 填空题 基本不等式 难 15 13 解答题 集合的运算 易 16 15 解答题 根据命题真假求解参数 中 四 17 15 解答题 基本不等式的应用 中 18 17 解答题 函数的值域与最值 中 19 17 解答题 函数的应用 难 B ·6.2024一2025学年度学科素养月度测评（一) 数学 姓名： 准考证号 填涂范例 考场号： 正确填涂■ 错误填涂☑☒ 短 物 ①①)①)①m)0 o00000卫DD 座位号 2 K 33333 B 3 4④4I4四4④4④4I4④4I4▣ 姓名××× 准考证号×××××× 缺考 标记 口 (填涂说明：缺考考生由监考员用2B 铅笔填涂准考证号及左边缺考标记) 66 666 666 贴条形码区 7刀刀刀7刀刀 1177 开考15分钟以后，缺考考生由监考员粘贴条形码， 8 88 88 8888 考场号×× 座位号×× 并用2B铅笔填涂上方的缺考标记 选择题 单项选择题 1四B田 3 A B CIDD 5 A B CD 7 A B C I 2四B四 4☒田四 6四田四 8 A B C D 多项选择题 9IB田C四 10AIB田CMDD 11四团 非选择题 12 13 14 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 答题纸·数学（一）第1页（共5页）》 B 请在各题目的答题区域内作答超出答题区域的答案无效 15.(13分) 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 答题纸·数学（一）第2页（共5页） 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 答题纸·数学（一）第3页（共5页） 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 18.（17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 答题纸·数学（一）第4页（共5页） B ■■■■■■■■■■■■■■■■■■ 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 19.(17分) $ 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 答题纸·数学（一）第5页（共5页)