2025年学科素养月度测评数学（五）B版（全国通用）-【衡水真题密卷】2025年高考数学学科素养月度测评

2024一2025学年度学科素养月度测评 数学（五） 姓名： 准考证号 填涂范例 考场号 正确填涂■ 错误填涂☑ ☒ 图 ) )①))①))①①) D 卫工0DD卫卫 0 座位号： 2 刀 3I333I333I3 缺考 (填涂说明：缺考考生由监考员用2B 图 ④ 4④4I4④4④4④4④4④4 姓名××× 准考证号×××××× 标记 口 铅笔填涂准考证号及左边缺考标记) 6 贴条形码区 ] mm I maa I 开考15分钟以后，缺考考生由监考员粘贴条形码， ⊙ 8 8I8 8]8 8]8 8] 考场号×× 座位号×× 并用2B铅笔填涂上方的缺考标记 ⑨ 选择题 单项选择题 1 A B C D 3 A B CD 5ABCD 7AB C D 2B田WD 4A CD 6四田☑D 8 A B C D 多项选择题 9)BI) 10A四B☒四D) 11四BH四) 非选择题 12 13. 14 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 答题纸·数学（五）第1页（共5页） B 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 15.(13分) 16.（15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 答题纸·数学（五）第2页（共5页） 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 答题纸·数学（五）第3页（共5页） 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 18.（17分) oi- B D --0 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 B 答题纸·数学（五）第4页（共5页） B ■■■■■■■■■■■■■■■■■■ 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 19.(17分) 烨 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 答题纸·数学（五）第5页（共5页)2024一2025学年度学科素养月度测评 光题 数学（五） 本试卷总分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡 上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.数据4,2,5,2,6,0的上四分位数是 A.2 B.4 C.5 D.6 2.已知向量a满足|a|=2,b在a方向上的投影向量为一3a,则a·b= ( A.12 B.-12 C.6 D.-6 3.已知母线长为10的圆台的侧面积为100π，且其上底面的半径r与下底面的半径R满足 R=4r,则R= () A.2 B.4 C.8 D.12 4.某地为了解中学生的睡眠时间，根据初中和高中学生的人数比例采用分层抽样的方法， 抽取了40名初中生和20名高中生，调查发现初中生每天的平均睡眠时间为8小时，方 差为2，高中生每天的平均睡眠时间为7小时，方差为1.根据调查数据，估计该地区中学 生睡眠时间的总体方差约为 ) A.1.3 B.1.5 C.1.7 D.1.9 5.十进制计数法简单易懂，方便人们进行计算.其他进制也可以表示数，如十进制下68= 1×72+2×71+5×7°，用七进制表示68这个数就是125，个位数为5，那么用七进制表示 十进制的611，其个位数是 () A.1 B.2 C.5 D.6 6.玩积木有利于培养儿童的想象力和创造力.一小朋友在玩四棱柱形积木（四个侧面有各 不相同的图案)时，想用5种颜色给积木的12条棱染色，要求侧棱用同一种颜色，每条棱 只涂一种颜色，相交的棱不同色，且在积木的6个面中，除侧棱的颜色相同外，再无两棱 同色，则不同的染法总数为 ) A.216 B.360 C.720 D.1080 7.设Am=(1十x)”,Bm=A1十A2十…十Am,则B2o24中x3前的系数为 A.C2023 B.C2024 C.Co23 D.C2o25 数学试题（五）·第1页（共4页） 真题密卷·学手 8.如图，从1开始出发，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向 班级 右或向右上或向右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如从1移动到11：1→2→ 3→5→7→8→9→10→11就是一条移动路线.从1移动到数 468 字n(n=2,3,…,11)的不同路线条数记为rm,从1移动到11 11 姓名 的事件中，跳过数字n(n=2,3,…,10)的概率记为pm,则下 列结论正确的是 -------------- 24 ①rg=34②rn+1>rm③p5=89 ④pg>p10 得分 A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④ 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知三项式2子0 ,则 A.展开式中x8y-2的系数为45 B.展开式中二项式系数最大的项是第5项 C.展开式中各项系数之和为1 D.展开式中系数最大的项是第5项或第7项 10.已知A,B,C是一个随机试验中的三个事件，且0<P(A)<1,0<P(B)<1,则下列说 法正确的是 () A.若A与B互斥，则A与B不相互独立 B.若A与B相互独立，则A与B不互斥 C.若P(AB)·P(BA)=P(AB),且P(AB)≠0，则A与B相互独立 D.若P(ABC)=P(A)·P(B)·P(C),则A,B,C两两独立 11.下列物体中，能够被整个放入棱长为1（单位：m)的正四面体容器（容器壁厚度忽略不 计)内的有 ( ) A.直径为0.4m的球体 B.底面边长为0.5m,高为0.4m的正三棱柱 C.底面直径为0.01m,高为1.1m的圆柱体 D.底面直径为0.25m,高为0.45m的圆柱体 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.根据国家“乡村振兴战略”提出的“推动城乡义务教育一体化发展，高度重视农村义 务教育”，某师范大学4名毕业生主动申请到某贫困山区的乡村小学工作，若将这4 名毕业生分配到该山区的3所不同的乡村小学，每名毕业生只能去一所学校，每所 学校至少分配1人，则不同分配方案的种数为 13.大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作注时介绍了“勾股圆方图”，即“赵爽弦 图”.如图是某同学绘制的赵爽弦图，其中四边形ABCD,EFGH均为正方形，AD= AE=2,则FB·A五= 6 斗素养月度测评 数学试题（五）·第2页（共4页） B 14.已知编号为1,2,3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3 号球；2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2号 球.若第一次先从1号盒子内随机抽取一个球，将取出的球放人与球同编号的盒子中， 第二次从该盒子中任取一个球，则第二次抽到3号球的概率为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)据统计，截至2023年十月底，中国网络购物用户规模近8亿人.据统计M社区 100户居民的网上购物情况如图所示： 年龄超过45岁居民统计表年龄不超过45岁居民统计表 人数 人数440人 30人 20 10人 喜欢不喜欢 喜欢不喜欢 (1)根据小概率值α=0.001的×2独立性检验，能否认为M社区的居民喜欢网上购物 与年龄有关联？ (2)用频率估计概率，现从M社区居民中随机抽取20位，记其中喜欢网上购物的居民 人数为X,P(X=k)表示20位居民中有k位居民喜欢网上购物的概率，求当k取 何值时，P(X=)取得最大值， n (ad-bc)2 附：x2=a+b)e+2)a十c)6+dn=a+6+c+d, 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 16.(15分)某学校对高三(1)班50名学生第一次模拟考试的数学成绩和化学成绩进行统计 得到数据如下：数学成绩的方差为sf=10,化学成绩的方差为号=8,2x=500500,其 中x:,y:(i∈N且1≤i≤50)分别表示这50名学生的数学成绩和化学成绩，y关于x的 线性回归方程为y=0.4x十t. (1)求y与x的样本相关系数r; (2)从概率统计规律来看，本次考试高三(1)班学生的数学成绩？服从正态分布N(u,o2), 用样本平均数x作为4的估计值，用样本方差s?作为。2的估计值，试估计该校800 名高三学生中，数学成绩位于区间(96.84,106.32)内的人数. 2(x:-x)(y:一y） 附：①在回归方程y=a十ix中：b= ,a=y-bx; (x:-x) =1 含-0-y） ②样本相关系数r= 2x,-x)220y:-y)2 A = 1 ③若7N(μ，o2),则P(u-o≤n≤十o)≈0.6827，P(u-2o≤n≤H十2o)≈0.9545； ④√10≈3.16. B 数学试题（五）·第3页（共4页） 真题密卷·学无 17.(15分)Matlab是一种数学软件，应用于数据分析、无线通信、深度学习、图象处理与计 算机视觉、信号处理、量化金融与风险管理、人工智能机器人和控制系统等领域，推动了 人类基础教育和基础科学的发展.某学校举行了Matlab相关专业知识考试，试卷中只 有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为p,乙同学答对每题的概率都为q(p>q), 且在考试中每人各题答题结果互不影响.已知每题甲，乙同时答对的概率为？，恰有一 人答对的概率为2 (1)求p和g的值； (2)试求两人共答对3道题的概率， 18.(17分)如图所示，在半圆柱OO1与四棱维A-BCDE拼接而成的组合体中，F是半圆弧 BC上（不含B,C)的动点，FG为圆柱的一条母线，点A在半圆柱的下底面所在平面内， OB=200=2,AB=AC=22. (1)求证：CG⊥BF (2)若DF∥平面ABE,求平面FOD与平面GOD夹角的余弦值. (3)求点G到直线OD距离的最大值. 19.(17分)在三维空间中，立方体的坐标可用三维坐标(a1,a2,a3)表示，其中a:∈{0,1}， i=1,2,3,而在n维空间中(n≥2，n∈N),以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可 表示为n维坐标(a1,a2,a3,…,am),其中a:∈{0，l}(1≤i≤n,i∈N).现有如下定义： 在n维空间中两点间的曼哈顿距离为两点(a1,a2,a3,…,am)与(b1,b2,b3,…,bm)坐标 差的绝对值之和，即为a1一b1+a2-b2十a3-b3|十…十am一bm. (1)求出n维“立方体”的顶点数； (2)在n维“立方体”中任取两个不同顶点，记随机变量X为所取两点间的曼哈顿距离. ①求X的分布列与数学期望； ②求X的方差. 斗素养月度测评 数学试题（五）·第4页（共4页）·数学· 参考答案及解析 参考答案及解析 2024一2025学年度学科素养月度测评 数学（五） 一、选择题 7.D【解析】依题意，B2o24=A1十A2十…十A2024 1.C【解析】将数据从小到大排列得0,2,2,4,5， =(1+x)+(1十x)2十…十(1十x)2024,又A。 6,因为6×75%=4.5，所以上四分位数是第5个 =(1十x)n的通项为T,+1=Cmx',r=0,1,…,n, 数据5. 故B224中x3前的系数为C十C十Cg+…十 2.B【解析】因为b在a方向上的投影向量为 C24=(C4+C)十Cg+…+C824=Cg+Cg+C8 -3a,所以1 bcox a,b》日=-3a,而a=8, 十…十C824=…=C224十C8024=C2o25· 所以|bcos〈a,b)=-6,所以a·b= 8.A【解析】由题意可知r2=1,r3=2,rm+1=rm十 labcos(a,b)=-12. rm-1(n≥3)，则r4=3,r6=5,r6=8,r7=13,rg= 3.C【解析】因为该圆台的侧面积为100π，母线长 21,rg=34,r10=55,r1=89,故①正确；显然rm+1 l=10,R=4r,所以π(r+4r)X10=100π，解得r >rm,故②正确； =2,则R=8. 4.D【解析】该地区中学生每天睡眠时间的平均 数为铝×8+器 +20×7=23 小时，该地区中学生每天 9109101011 3 9000ù0i1 睡鼠时网的方是为铝×2+(8门 40 20 11 60 1-5的所有路线 11 5-11的所有路线 1+-月门-日≈1.9 如上树状图所示，分别计算得1一5的路线共有5 条，5一11的路线共有13条，利用分步乘法计数 5.D【解析】由题意知，个位数应为611除以7的 原理可得，经过数字5的路线共有5×13=65条， 余数，因为61=(7-1)1=C9·711·(-1)0+ 89-6524 C·710·(-1)1+…+C8·71·(-1)10+ 又71=89，则力=896g0-8对故回正确：同理 C出·70·（一1）11，所以611除以7的余数 为6. 可得p,= 89 f=80p=89-55X134 89-34×221 89 891 6.D【解析】如图：分3步进行分析：①要求侧棱用 即p9<p10,故④错误. 同一种颜色，则侧棱有5种选色方法，②对于上 二、选择题 底ABCD,有4种颜色可选，则有A4种染色方 9.AD【解析】Tk+1=C(-1)x10-y,当k=2 法，③对于下底A1B1C1D1,每条边与上底和侧 时，T3=Cx8y-2,系数为45，故A正确；由组合 棱的颜色不同，有3×3×1×1=9种染色方法， 数性质可知，中间项二项式系数C。最大，所以展 则共有5×24×9=1080种染色方法. 开式中二项式系数最大的项是第6项，故B错 D 误；令x=1,y=1,得展开式中各项系数之和 B 为(1一1)10=0，故C错误；当飞为奇数时，系数为 负数，当为偶数时，系数为正数，所以当=4 D 或k=6时，系数最大，即展开式中系数最大的项 是第5项或第7项，故D正确. 数学答案（五）·第1页（共7页） B 真题密卷 学科素养月度测评（五） 10.ABC【解析】对于A,若A与B互斥，则A与B △B,C1D1为底面，另一底面落在平面BCD上 不能同时发生，即P(AB)=0,因为A∩B表示A 的正三棱柱，如图所示， 与B都不发生，则A∩B的对立事件为A与B至 少有一个发生，所以P(A∩B)=1一P(AUB), B P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)= P(A)+P(B),所以P(A∩B)=1-P(A)-P(B), 因为P(A)·P(B)=[1-P(A)]·1-P(B)] =1-P(A)-P(B)+P(A)·P(B),所以 易知，此正三棱柱的底面边长为0,5m,高为多 P(A∩B)≠P(A)·P(B),由此可知，A与B 不相互独立，故A正确；对于B,若A与B相互 6 >0.4,故底面边长为0.5m,高为0.4m 独立，则P(AB)=P(A)·P(B),因为0< 的正三棱柱可以放入棱长为1m的正四面体 P(A)<1,0<P(B)<1,所以0<P(A)·P(B)< 内，故B正确；对于C,正四面体内任意两点的 1,则P(AB)≠0，所以A与B不互斥，故B正 距离不可能超过正四面体的棱长，故高为1.1m 确；对于C,若P(A|B)·P(B|A)=P(AB), 的圆柱体不能放入棱长为1m的正四面体内， 则PA1B·PeA-·0 故C错误；对于D,如图所示，不妨设圆柱底面 的圆心O与底面BCD的中心重合，另一个底面 P(AB),因为P(AB)≠0，所以P(AB)= 所在的平面与正四面体三条棱AB,AC,AD的 P(A)·P(B),所以A与B相互独立，故C正 交点分别为B2,C2,D2,则该圆柱的上底面圆恰 确；对于D,抛掷一枚质地均匀的骰子，事件A 好是△B2C2D2的内切圆. 表示出现的点数为1,3,4，事件B表示出现的 点数1,5,6，事件C表示出现点数1,2,3,5，事 B D 件ABC表示出现点数1，则P(ABC)=6, 1 Pa)P8)PC)-音x×g-日满 B D 足P(ABC)=P(A)·P(B)·P(C),事件 C AB袁示出现点数1，P(AB)-行，但PAB) 设AB2=B2C2=C2D2=D2B2=x(0<x<1), 那么圆柱的底面半径是正三角形B2C2D2的内 合≠PA)PB)-音×g所以AB不 切国半径，故圆柱底面半径r,= 6x.又因为正 相互独立，故D错误. 11.ABD【解析】设棱长为1m的正四面体为 四面体AB,CD:的高为 3x,从而圆柱的高 A-BCD,设其各西的面积为S,高为A=5 内 6√6 h2= 3一3x,故圆柱高与底面半径的关系为 切球半径为.对于A,根据等体积法，正四面体 的体积V=号S=4X行s,从而一A- 1 1 √6 -227.可知当圆柱底面直径为0.25m h=3 0.2,故直径为0.4m的球体可以放入棱长为 时，高为 -√2×0.25>0.45，故底面直径为 1m的正四面体内，故A正确；对于B,设棱 0.25m,高为0.45m的圆柱体可以放入棱长为 AB,AC,AD的中点分别为B1,C1,D1,考虑以 1m的正四面体内，故D正确】 B 数学答案（五）·第2页（共7页） ·数学· 参考答案及解析 三、填空题 根据小概率值α=0.001的独立性检验，我们推 12.36【解析】依题意，有2人去同一所学校，所以 断H。不成立，即认为M社区的居民喜欢网上 不同分配方案的种数为CA=6×6=36. 购物与年龄有关联，此推断犯错误的概率不大 13.16【解析】以D为坐标原点，建立如图所示的平 于0.001. (6分) 面直角坐标系，因为AD=AE=2,所以F(一2,0)， (2)根据题意，M社区的居民中，喜欢网上购物 B(2,2),A(0,2),H(4,2),所以FB=(4,2), Ai=(4,0),所以FB·Ai=16. 的频率P=0-号-0.6， 603 (7分) 现从M社区居民中随机抽取20位，记其中喜欢 网上购物的居民人数为X,则X~B(20,0.6), 故P(X=k)=C0.6*(0.4)20-0, (9分) P(X=)C0.6*(0.4)20-& 则P(X=k-D C010.60-(0.4)21==2 21-k_63-3 k 2k ,其中k=1,2,…,20, 14.日【解析)记第一次抽到i号球的事件分别为 当1≤k≤12时，t 63-3张>1，则有P(X=k)> 2k 1 A:(=1,2,3),则PA1)=2,P(A:)= P(X=k一1)， PA,)=子记第二次在i号会内耥到3号球的 当13≤≤20时，4=633<1，则有P(X=)< 2k P(X=k-1), 事件分别为B,(=1,2,3),则P(BA1)=4, 1 故当k=12时，P(X=k)取得最大值.(13分) P(B:A,)-,P(BA,)-石记第二次抽 16.解：(1)因为s号= 13(x:-x)2=10, 50-1 到3号球为事件B,则P(B)=P(A1B1)十 =20.-)=8, 50:=1 P(A2B2)+P(AB3)=P(A1)·P(B1|A1)+ P(A2)·P(B2|A2)+P(A3)·P(B3Ag)= 所以8a,-29=50,80,50=40, 1 (3分) 11 到3号球的概率为48 (x-)0:-y） 2(x,-x)0y:-y） 又6= =1 x-) 500 四、解答题 =1 =0.4, 15.解：(1)零假设为H。:M社区的居民喜欢网上购 物与年龄没有关联， 所以2(x,-x)0.-y)=200, (5分) =1 根据题意，由统计图可得2×2列联表： (x-x)0:-) 所以r= =1 200 喜欢 不喜欢 合计 层c,0列 √/500×400 45岁以上 20 30 50 i=1 不超过45岁 40 10 50 5 合计 60 40 100 5 (7分) 100×(20×10-40×30)2 50 则x2 ≈16.67 (2)因为2c,-x)=总x4-50=50. i=1 50×50×60×40 >10.828, (4分) x:=500500, -1 数学答案（五）·第3页（共7页） B 真题密卷 学科素养月度测评（五） 所以500500-50x2=500,解得x=100,即= 18.(1)证明：取弧BC的中点H,则OH⊥BC,以O 100, (10分) 为坐标原点，直线OB,OH,OO1分别为x,y,之 因为σ2=s=10,所以。≈3.16，所以数学成绩 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 服从正态分布N(100,10), (11分) 连接OA,在△ABC中，BC=4,AB=AC= 因为P(96.84<<106.32)=P(μ-a<<μ十2o) 2√2，OB=OC,则AO⊥BC,AO=2, 于是0(0,0,0)，A(0,-2,0),B(2,0,0), =P(u-o<n≤u)+P(u<<μ+2o) C(-2,0,0),D(-2,0,1), (2分) 1 =2Pu-a<C4+o)+2Pu-2a<u+2a) 设F(x,y,0),则G(x,y,1),其中x2+y2=4, y>0,CG=(x十2，y,1),BF=(x-2,y,0), 1 号×0.6827±7×0.9545≈0.8186 因此CG·BF=x2-4+y2=0,所以CG⊥BF, 所以该校高三学生的数学成绩位于区间 即CG⊥BF. (5分) (96.84,106.32)上的人数大约有800× 0.8186≈655人 (15分) 1 g=2, 17.解：(1)由题意可得 p(1-g)+g1-p)=i2 (2)解：由BE⊥平面ABC,ACC平面ABC,得 (4分) BE⊥AC, 又AB2+AC2=BC2,则AB⊥AC,又AB∩BE 3 2 pq= 2 4 3 =B,AB,BEC平面ABE, 即 解得 或 (6分) 17 3 所以AC⊥平面ABE,即AC=(-2,2,0)为平 q3 9=41 面ABE的一个法向量， (7分) 2 因为p>q,所以力=49=3 3 (7分) DF=(x十2y,-1),由DF∥平面ABE,得 DF.AC=-2x-4+2y=0, (2)甲同学答对题目个数X=1,2, x=0, 又x2+y2=4,y>0,解得 此时 p0X-1=x+x-8 y=2, F(0,2,0),G(0,2,1), 3.39 P(X=2)=4X4=16 设n=(a,b,c)是平面FOD的法向量， n·0F=2b=0, 乙同学答对题目个数Y=1,2, 则 取a=1,得n=(1,0,2), n·OD=-2a+c=0, 2、1,1、24 PY=1)=3×3+3X3=g, (9分) 设m=(e,f,g)是平面GOD的法向量， pw-2-号x-g (10分) |m·OG=2f+g=0, 则 取e=1,得m= 设二人共答对3道题为事件E, m·oD=-2e+g=0, 所以P(E)=P(X=1)P(Y=2)+ (1,-1,2), (11分) 则平面FOD与平面GOD夹角的余弦值为 341945 P(X=2)P(Y=1)=8Xg+16×g=12 n·m 5√/30 I cos(n,m)= nm5×√6 61 所以两人共答对3道题的概率为2： (15分) (13分) 数学答案（五）·第4页（共7页） ·数学· 参考答案及解析 (3)解：OD=(-2,0,1),OG=(x,y,1), 72 则点G到直线OD的距离d= 倒序相加，得2E(X)=2(C+C+C+… n·2n c- /OG·OD12 +C1十C)= 2m-1’ 5 20-1·n 所以E(X)=2-1 (10分) 当=时，即点F的坐标为层，四。小时， ②D(X)=E(X2)-E2(X)=-E2(X)+1X 点G到直线OD的距离取最大值为√5.(17分) +x+… C C (13分) 19.解：(1)对于n维坐标(a1,a2,a3,…,an),a:∈ {0,1}(1≤i≤n,i∈N), 设(1十x)”=C%十xCW+x2C%十x3C%十… 共有2"种不同的点，即共有2”个顶点.(3分) 十x"Ca, (2)①对于随机变量X=k(1≤k≤n,k∈Z),在坐 两边求导，得n(1+x)n-1=Ch+2xC%+3x2C 标(a1,a2,a3,…,an)与(b1,b2b3,…,bn）中有k 十…十nxn-1C0, 个坐标值不同，剩下（一k)个坐标值相同，此时 两边乘以x,得nx(1十x)-1=xC,+2x2C%十 3x3C%+…+nx"C%, 对应情况数有2C·2·2”-=C·21种， 两边求导，得n(1十x)”-2(1十n.x)=C+22xC 所以P(X=k)= %·2-1C (5分) +32x2C+…+n2x"-1C%, C-2"-1 令x=1,得C%+22C%+32C%+…+n2C%= 则X的分布列为 n(n+1)·2m-8, X 1 … n C 所以D(X)=-E(X)+(n+1)·22 2n-1 2m-1 2m-1 2m-1 21·”)+nn+1):2 1·Ch,2·C% =- 所以E(X)= n·Ca 2"-1/ 2-1 2-1T2-1 十+2-1' =n·2"-2(20-n-1) (2"-1)2 (17分) (7分) 数学答案（五）·第5页（共7页） B 真题密卷 学科素养月度测评（五） 精典评析 TIANSHUJIAOYU ★十进制计数法简单易懂，方便人们进行计算.其他进制也可以表示数，如十进制下68=1×7+2×7+ 5×7°，用七进制表示68这个数就是125，个位数为5，那么用七进制表示十进制的61，其个位数是 () A.1 B.2 C.5 D.6 【试题解读】 第5题以数学文化为背景考查利用二项式展开式解决整除和余数问题，对激发学生热爱祖国文化，树 立良好的价值观以及培养数学兴趣起到积极作用. ★设Am=(1十x)”,Bn=A1十A2十…十Am,则B2o24中x3前的系数为 () A.C2023 B.C2024 C.C8023 D.C2025 【试题解读】 第？题利用组合数的性质计算求出指定项的系数，很自然的把二项式通项与二项式系数的性质结合 在一起，培养学生的逻辑推理以及数学运算能力 ★如图，从1开始出发，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或向右上 或向右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如从1移动到11：1→ 2 4 6810 2→3→5→7→8→9→10→11就是一条移动路线.从1移动到数字 911 n(n=2,3,…,11)的不同路线条数记为rm,从1移动到11的事件中，跳过 数字n(n=2,3,…,10)的概率记为pn,则下列结论正确的是 ①rg=34②rm+1>rm @p,- ④pg>p10 A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④ 【试题解读】 第8题是概率与数列综合题，考查了数列的递推公式、分步计数原理、计算古典概型的概率等知识，并 利用树状图等基本方法解决综合问题 ★(17分)在三维空间中，立方体的坐标可用三维坐标(a1,a2,a3)表示，其中a:∈{0,1}，i=1,2,3,而 在n维空间中(n≥2，n∈N),以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为n维坐标 (a1,a2,a3,…,am),其中a:∈{0，l}(1≤i≤n,i∈N).现有如下定义：在n维空间中两点间的曼哈顿距离 为两点(a1,a2,a3,…,am)与(b1,b2,bg,…,bn)坐标差的绝对值之和，即为a1一b1十|a2一b2|十|a3一b +…+lam-bn. (1)求出n维“立方体”的顶点数； (2)在n维“立方体”中任取两个不同顶点，记随机变量X为所取两点间的曼哈顿距离. ①求X的分布列与数学期望； ②求X的方差. 【试题解读】 第19题考查概率与统计新定义，是概率、数列与导数的综合问题，并考查了离散型随机变量的分布 列、数学期望公式、方差公式、二项式定理以及导数、倒序相加求和、赋值法求和，很好的考查了学生的数学 建模、数据分析、数学转化与化归以及解决数学问题的综合能力. B 数学答案（五）·第6页（共7页） ·数学· 参考答案及解析 命题要素细目表 题号 分值 题型 考查内容 难度 1 5 单选题 上四分位数 易 2 5 单选题 投影向量 易 3 单选题 圆台侧面积的相关计算 易 4 单选题 方差的计算 易 5 单选题 用七进制表示十进制的具体数值 中 6 单选题 计数原理的实际应用 中 7 5 单选题 利用组合数的性质计算指定项的系数 中 8 5 单选题 概率与数列的综合 难 9 6 多选题 二项式展开式的相关计算 易 二 10 6 多选题 互斥事件与独立事件 易 11 6 多选题 立体几何容器问题 难 12 5 填空题 分组分配问题 易 三 13 5 填空题 平面向量的综合应用 中 14 5 填空题 条件概率与全概率公式 难 15 13 解答题 二项分布、独立性检验 易 16 15 解答题 相关系数的计算、正态分布 中 四 17 15 解答题 概率的相关计算与应用 中 18 17 解答题 立体几何综合 中 19 17 解答题 概率、数列与导数的综合 难 数学答案（五）·第7页（共7页） B2024一2025学年度学科素养月度测评 数学（五） 姓名： 准考证号 填涂范例 考场号： 正确填涂■ 错误填涂☑☒ 短 物 ①)①)I) o00000000 座位号 K 33333 B 3 缺考 (填涂说明：缺考考生由监考员用2B 4④4I4四④4④4印4④4④4四 姓名××× 准考证号×××××× 标记 口 铅笔填涂准考证号及左边缺考标记) 66 666 66 贴条形码区 7I刀刀7I刀 1177 开考15分钟以后，缺考考生由监考员粘贴条形码， 8 88 88 8888 考场号×× 座位号×× 并用2B铅笔填涂上方的缺考标记 选择题 单项选择题 1四B田 3 A B CIDD 5 A B CD 7 A B C I 2四四 4☒田四 6四田四 8 A B C D 多项选择题 9IB田CD 10A四B田CMDD 11四团 非选择题 12 13. 14 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 答题纸·数学（五）第1页（共5页） B 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 15.(13分) 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 答题纸·数学（五）第2页（共5页） 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 答题纸·数学（五）第3页（共5页） 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 18.（17分) G oi- B D 0 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 B 答题纸·数学（五）第4页（共5页） B ■■■■■■■■■■■■■■■■■■ 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 19.(17分) $ 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 答题纸·数学（五）第5页（共5页)