2025年数学素养月度测评（五）A版（全国通用）-【衡水真题密卷】2025年高考数学学科素养月度测评

2024一2025学年度学科素养月度测评 数学（五）》 姓名： 准考证号 填涂范例 考场号 正确填涂■ 错误填涂☑ ☒ 图 ) )①))①))①①) D 0000000 0 座位号： 2 刀 3I3I33I3I33I3 缺考 (填涂说明：缺考考生由监考员用2B 图 ④ 4④4I4④4④4④4④4④4 姓名××× 准考证号×××××× 标记 口 铅笔填涂准考证号及左边缺考标记) 6 贴条形码区 ] mm I maa I 开考15分钟以后，缺考考生由监考员粘贴条形码， ⊙ 8 8I8 8]8 8]8 8] 考场号×× 座位号×× 并用2B铅笔填涂上方的缺考标记 ⑨ 选择题 单项选择题 1 A B C D 3 A B CD 5ABCD 7B☒D) 2B田W) 4IBC四 6四田☑D 8 A B C D 多项选择题 9)BI) 10A四B☒四D) 11四BH四D 非选择题 12 13. 14 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 答题纸·数学（五）第1页（共5页） A 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 15.(13分) 16.（15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 答题纸·数学（五）第2页（共5页） 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 答题纸·数学（五）第3页（共5页） 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 18.(17分) D C A D w B 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 答题纸·数学（五）第4页（共5页） A ■■■■■■■■■■■■■■■■■■ 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 19.(17分) 烨 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 答题纸·数学（五）第5页（共5页)2024一2025学年度学科素养月度测评 光题 数学（五） 本试卷总分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡 上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.数据4,2,5,2,6,0的上四分位数是 A.2 B.4 C.5 D.6 2.已知向量a满足|a|=2,b在a方向上的投影向量为一3a,则a·b= A.12 B.-12 C.6 D.-6 3.已知母线长为10的圆台的侧面积为100π，且其上底面的半径r与下底面的半径R满足 R=4r,则R= () A.2 B.4 C.8 D.12 4.某地为了解中学生的睡眠时间，根据初中和高中学生的人数比例采用分层抽样的方法， 抽取了40名初中生和20名高中生，调查发现初中生每天的平均睡眠时间为8小时，方 差为2，高中生每天的平均睡眠时间为7小时，方差为1.根据调查数据，估计该地区中学 生睡眠时间的总体方差约为 ) A.1.3 B.1.5 C.1.7 D.1.9 5.中国南北朝时期的著作《孙子算经》，对同余除法有较深的研究.设a,b,m(m>0)为整 数，若a和b同时除以m所得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为a三b(modm). 若a=C3o十C+…+C38,a=b(mod10),则b的值可以是 ) A.2021 B.2022 C.2023 D.2024 6.把8个相同的篮球分发给甲、乙、丙、丁4人，不同的分发种数有 A.70种 B.99种 C.110种 D.165种 7.设An=(1十x)”,Bn=A1十A2十…十Am,则B2o24中x3前的系数为 A.C2023 B.C2024 C.C3023 D.C2025 8.如图，从1开始出发，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向 右或向右上或向右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如从1移动到11：1→2→ 3→5→7→8→9→10→11就是一条移动路线.从1移动到数 6810 字n(n=2,3,…,11)的不同路线条数记为rm,从1移动到11 的事件中，跳过数字n(n=2,3,…,10)的概率记为pm,则下 列结论正确的是 24 ①rg=34②rm+1>rm ③ps一89 ④pg>p10 A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④ 数学试题（五）·第1页（共4页） 真题密卷·学无 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 班级 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 3已知二现武（广则 姓名 A.展开式中x8y-2的系数为45 ------------ B.展开式中二项式系数最大的项是第5项 得分 C.展开式中各项系数之和为1 D.展开式中系数最大的项是第5项或第7项 10.已知A,B,C是一个随机试验中的三个事件，且0<P(A)<1,0<P(B)<1,则下列说 法正确的是 () A.若A与B互斥，则A与B不相互独立 B.若A与B相互独立，则A与B不互斥 C.若P(AB)·P(BA)=P(AB),且P(AB)≠0，则A与B相互独立 D.若P(ABC)=P(A)·P(B)·P(C),则A,B,C两两独立 11.下列物体中，能够被整个放入棱长为1（单位：）的正四面体容器（容器壁厚度忽略不 计)内的有 () A.直径为0.4m的球体 B.底面边长为0.5m,高为0.4m的正三棱柱 C.底面直径为0.01m,高为1.1m的圆柱体 D.底面直径为0.25m,高为0.45m的圆柱体 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.甲、乙、丙、丁4名老师分到3所不同的乡村学校支教，若每名老师只去一所学校， 每所学校都有老师去，且甲不和别的老师去同一所学校，则不同的支教分派方案有 种。 13.已知正方形ABCD的边长为2，四个半圆的圆心均为正方形ABCD各边的中点（如 图)，若P在BC上，且AP=λAB十AD,则λ十4的最大值为 14.已知编号为1,2,3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3 号球；2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2号 球.若第一次先从1号盒子内随机抽取一个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中， 第二次从该盒子中任取一个球，则第二次抽到3号球的概率为。 斗素养月度测评 数学试题（五）·第2页（共4页） A 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)据统计，截至2023年十月底，中国网络购物用户规模近8亿人.据统计M社区 100户居民的网上购物情况如图所示： 年龄超过45岁居民统计表年龄不超过45岁居民统计表 人数A 人数440人 30人 20 10人 喜欢不喜欢 喜欢不喜欢 (1)根据小概率值a=0.001的X2独立性检验，能否认为M社区的居民喜欢网上购物 与年龄有关联？ (2)用频率估计概率，现从M社区居民中随机抽取20位，记其中喜欢网上购物的居民 人数为X,P(X=k)表示20位居民中有k位居民喜欢网上购物的概率，求当k取 何值时，P(X=k)取得最大值. n(ad-bc)2 附：x2=a+b)c+d)a十c)6+dn=a+b+c+d. 0.0500.010 0.001 3.841 6.635 10.828 16.(15分)某学校对高三(1)班50名学生第一次模拟考试的数学成绩和化学成绩进行统计 得到数据如下数学成锁的方老为10，化学成绩的方卷为=8，三z:5080,其 中x:,y:(i∈N且1≤i≤50)分别表示这50名学生的数学成绩和化学成绩，y关于x的 线性回归方程为y=0.4x十t. (1)求y与x的样本相关系数r; (2)从概率统计规律来看，本次考试高三(1)班学生的数学成绩？服从正态分布N(4,σ2)， 用样本平均数x作为4的估计值，用样本方差s?作为σ2的估计值，试估计该校800 名高三学生中，数学成绩位于区间(96.84,106.32)内的人数 附：①在回归方程y=a+6x中：6= 2(x:-x)(y:一y ,a=y-bx; 2(x:-x)2 i=1 (x:-x)0y:-y) i=1 ②样本相关系数r= 二； ,-x)22y:-y) W1 i✉1 ③若7~N(u,o2),则P(μ-o≤≤+o)≈0.6827，P(u-2o≤n≤+2o)≈0.9545； ④√/10≈3.16. A 数学试题（五）·第3页（共4页） 真题密卷·学禾 17.(15分)Matlab是一种数学软件，应用于数据分析、无线通信、深度学习、图象处理与计 算机视觉、信号处理、量化金融与风险管理、人工智能机器人和控制系统等领域，推动了 人类基础教育和基础科学的发展.某学校举行了Matlab相关专业知识考试，试卷中只 有两道题日，已知甲同学答对每题的概率都为，乙同学答对每题的概率都为q(p>q), 且在考试中每人各题答题结果互不影响.已知每题甲、乙同时答对的概率为？，恰有一 人答对的概率为2： (1)求和g的值； (2)试求两人共答对3道题的概率. 18.(17分)如图所示，四棱台ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD为菱形，且∠BAD=120°， 底面与顶面的对角线交点分别为O,01,AB=2A1B,=2,BB1=DD,=√33， 2,AA1与 底面夹角的余弦值为 37 D A B D----- R (1)证明：OO1⊥平面ABCD, (2)现将顶面绕OO1旋转0角，旋转方向为自上而下看的逆时针方向，使得底面与DC1 夹角徐正弦值为求此时0的值6<》 (3)根据(2)中结论，求旋转后AA1与BB1夹角的余弦值， 19.（17分)在三维空间中，立方体的坐标可用三维坐标(a1,a2,a3)表示，其中a:∈{0,1}， i=1,2,3,而在n维空间中(n≥2，n∈N),以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可 表示为n维坐标(a1,a2,a3,…,am),其中a:∈{0,1}(1≤i≤n,i∈N).现有如下定义： 在n维空间中两点间的曼哈顿距离为两点(a1,a2,a3,…,an)与(b1,b2,b3,…,bm)坐标 差的绝对值之和，即为a1-b+|a2-b2十|a3-b3|十…+am一bml. (1)求出n维“立方体”的顶点数； (2)在维“立方体”中任取两个不同顶点，记随机变量X为所取两点间的曼哈顿距离. ①求X的分布列与数学期望； ②求X的方差. 斗素养月度测评 数学试题（五）·第4页（共4页）2024—2025学年度学科素养月度测评 数学(五) 姓名： 准考证号 填涂范例 考场号： 正确填涂m 错误填涂e 中 口 m 座位号： 2 2 2 2122 2 2 x×x 准考证号xxxxxx 缺考 (填涂说明：缺考考生由监考员用2B 标记 铅笔填涂准考证号及左边缺考标记 贴条形码区 口 开考15分钟以后，缺考考生由监考员粘贴条形码， 8 8 8 8 818 8 8 考场号 座位号 x× 并用2B铅笔填涂上方的缺考标记 选择题 单项选择题 1囚B m 5四Bc m 4A B Cm 6 B1CD 多项选择题 10 B m 11 C m 非选择题 12. 13. 14. 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 答题纸·数学(五)第1页(共5页) A 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 15.(13分) 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 答题纸·数学（五）第2页（共5页） 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 答题纸·数学（五）第3页（共5页） 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 18.(17分) D D 0 B 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 答题纸·数学（五）第4页（共5页） ■■■■■■■■■■■■■■■■■■ 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 19.(17分) $ 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 答题纸·数学（五）第5页（共5页)·数学· 参考答案及解析 参考答案及解析 2024一2025学年度学科素养月度测评 数学（五） 一、选择题 法.因此把8个相同的篮球分发给甲、乙、丙、丁4 1.C【解析】将数据从小到大排列得0,2,2,4,5， 人时，不同的分发种数有4+42十84+35= 6,因为6×75%=4.5，所以上四分位数是第5个 165种. 数据5. 7.D【解析】依题意，B2o24=A1十A2十…十A2024 2.B【解析】因为b在a方向上的投影向量为 =(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)22,又A -3a,所以lcosa,b>合-3a,61a=2. =(1十x)”的通项为T,+1=Cx',r=0,1,…,n, 故B2o24中x3前的系数为Cg十C+Cg+…十 所以|bcos〈a,b〉=-6，所以a·b= C324=(C4+C)+Cg+…+C3o24=Cg+Cg+C8 lalb cos(a,b)=-12. 十…十C8024=…=C4024十C2024=C1025 3.C【解析】因为该圆台的侧面积为100π，母线长 8.A【解析】由题意可知r2=1,r3=2,rm+1=rm十 l=10,R=4r,所以元(r+4r)×10=100π，解得r rm-1(n≥3)，则r4=3,r5=5,r6=8,r7=13,r8= =2,则R=8. 21,rg=34,r10=55,r11=89,故①正确；显然rm+1 4.D【解析】该地区中学生每天睡眠时间的平均 >rm,故②正确； 数为铝×8+ ×723 20 0 小时，该地区中学生每天 睡眠时网的方老为8×2+®-)门 40 20 60 109101011 +收-3月-吕1.9 9i00010i11 0ù11 5.C【解析】a=C30十C3。十…十C38=230-1=81 1-5的所有路线 11 5-11的所有路线 -1=(10-2)10-1=C1010+C10109×(-2)+ 如上树状图所示，分别计算得1一5的路线共有5 C。108×(-2)2+…+C18(-2)10-1= 条，5一11的路线共有13条，利用分步乘法计数 10[10°+C0108×(-2)+…+C8(-2)]+1024-1 原理可得，经过数字5的路线共有5×13=65条， =10[109+C0108×(-2)+…+C(-2)9+102 89-6524 +3,所以a除以10的余数为3，选项中除以10 又r1=89,则p,= 89 一89，故⑧正确；同理 的余数为3的数只有2023. 可得p,=89-34X221 89-55×134 6.D【解析】当8个相同的篮球只分给其中1人 89 89'p10= 89 89 时，有4种分法；当8个相同的篮球分给其中的2 即g<p10,故④错误. 人时，先从4人里面选出2人，再将8个相同的篮 二、选择题 球排成一排，在形成的7个空里面选出1个空插9.AD【解析】T+1=C(一1)x10-y,当k=2 入1个“隔板”即可，此时有CC}=42种分法；当 时，T3=Cx8y,系数为45，故A正确；由组合 8个相同的篮球分给其中的3人时，先从4人里 数性质可知，中间项二项式系数C。最大，所以展 面选出3人，再将8个相同的篮球排成一排，在形 开式中二项式系数最大的项是第6项，故B错 成的7个空里面选出2个空插入2个“隔板”即 误；令x=1,y=1,得展开式中各项系数之和 可，此时有CC号=84种分法；当8个相同的篮球 为(1一1)10=0，故C错误；当为奇数时，系数为 分给其中的4人时，每人至少一个，此时将8个相 负数，当为偶数时，系数为正数，所以当=4 同的篮球排成一排，在形成的7个空里面选出3 或=6时，系数最大，即展开式中系数最大的项 个空插入3个“隔板”即可，此时有C=35种分是第5项或第7项，故D正确. 数学答案（五）·第1页（共8页） A 真题密卷 学科素养月度测评（五） 10.ABC【解析】对于A,若A与B互斥，则A与B 的正三棱柱，如图所示， 不能同时发生，即P(AB)=0,因为A∩B表示A 与B都不发生，则A∩B的对立事件为A与B至 B 少有一个发生，所以P(A∩B)=1-P(AUB), P(AUB)=P(A)+P(B)-P (AB)= P(A)+P(B),所以P(A∩B)=1-P(A)一P(B), 因为P(A)·P(B)=[1-P(A)]·[1-P(B)] =1-P(A)-P(B)+P(A)·P(B),所以 易知，此正三被柱的底面边长为0,5m,高为分 P(A∩B)≠P(A)·P(B),由此可知，A与B 6>0.4,故底面边长为0.5m,高为0.4m 不相互独立，故A正确；对于B,若A与B相互 独立，则P(AB)=P(A)·P(B),因为0< 的正三棱柱可以放入棱长为1m的正四面体 P(A)<1,0P(B)<1,所以0<P(A)·P(B)< 内，故B正确；对于C,正四面体内任意两点的 1,则P(AB)≠0，所以A与B不互斥，故B正 距离不可能超过正四面体的棱长，故高为1.1m 确；对于C,若P(AB)·P(B|A)=P(AB), 的圆柱体不能放入棱长为1m的正四面体内， PAI P8Aa·2- 故C错误；对于D,如图所示，不妨设圆柱底面 的圆心O与底面BCD的中心重合，另一个底面 P(AB),因为P(AB)≠0，所以P(AB)= 所在的平面与正四面体三条棱AB,AC,AD的 P(A)·P(B),所以A与B相互独立，故C正 交点分别为B2,C2,D2,则该圆柱的上底面圆恰 确；对于D,抛掷一枚质地均匀的骰子，事件A 好是△B2C2D2的内切圆 表示出现的点数为1,3,4，事件B表示出现的 点数1,5,6，事件C表示出现点数1,2,3,5，事 B 件ABC表示出现点数1，则P(ABC)= 6 PA)P)·P0)-音×后×音有满 足P(ABC)=P(A)·P(B)·P(C),事件 AB表示出现点教1PCAB)=日但PAB) 设AB2=B2C2=C2D2=D2B2=x(0<x<1), 后≠PA)PB)=×名-所以A,B不 那么圆柱的底面半径是正三角形B2C2D2的内 相互独立，故D错误. 切圆半径，故圆柱底面半径，= 6x.又因为正 11.ABD【解析】设棱长为1m的正四面体为 3工，从而圆柱的高 A-BCD,设其各面的面积为S,高为=5】 四面体A-B,C,D,的高为 √6√6 h2= 切球半径为r.对于A,根据等体积法，正四面体 3 一3x,故圆柱高与底面半径的关系为 1 1,6 的体积V=3S%=4×3Sr,从而r=4h=2 h:=6 3 -2√2r2.可知当圆柱底面直径为0.25m 0.2,故直径为0.4m的球体可以放入棱长为 1m的正四面体内，故A正确；对于B,设棱 时，高为6-2×0.25>0.45，故底面直径为 AB,AC,AD的中点分别为B1,C1,D1,考虑以 0.25m,高为0.45m的圆柱体可以放入棱长为 △B1C1D1为底面，另一底面落在平面BCD上 1m的正四面体内，故D正确. A 数学答案（五）·第2页（共8页） ·数学· 参考答案及解析 三、填空题 PA)= 4,记第二次在i号盒内抽到3号球的 12.18【解析】完成这件事，可分为3个步骤：第1 步，先从3所不同的乡村学校中选1所安排甲 李件分到为B,=1,2.3》,则P(B,A)= 去，则有C种方法；第2步，将乙、丙、丁3位老 师分成两组，3人中选2人1组，另1人自己1 PB,A,)=子，P(B,A,)=行记第二次轴 组，有C种方法；第3步，将两组老师分配到另 外2所学校中去，有A种方法，由分步计数原 到3号球为事件B,则P(B)=P(A:B1)十 理得，不同的支教分派方案有CCA经=3×3X P(A2B2)+P(A3B3)=P(A1)·P(B1|A1)+ 2=18种. P(A2)·P(B2A2)+P(Aa)·P(B3A3)= 13.3+2【解析】知图，以线段BC所在直线为z 2 4 轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直 到3号球的概率为48： ,11 角坐标系.设P(cos0,sin0),0∈[π，2π]，又 A(-1,2),B(-1,0),C(1,0),D(1,2),则AP 四、解答题 =(cos0+1,sin0-2),AD=(2,0),AB= 15.解：(1)零假设为H。:M社区的居民喜欢网上购 (0,-2),因为AP=AB十AD,即 物与年龄没有关联， (cos0+1,sin0-2)=入(0，-2)+μ(2,0)， 根据题意，由统计图可得2×2列联表： cos 0+1 |c0s0+1=24,解得 2 喜欢 不喜欢 合计 所以 sin0-2=-2x, a=2-sin 0 所以 45岁以上 20 30 50 2； 不超过45岁 40 10 50 tu2 sin 0 cos 0+11 2 (cos 0-sin 0+3) 合计 60 40 100 2 2 =名2s0+)+3],周为e2,所 100×(20×10-40×30)250 则x2= 3 ≈16.67 50×50×60×40 >10.828, (4分) 4 =2元时， 根据小概率值a=0.001的独立性检验，我们推 c0s(0+)取得最大值1，则入十以的最大值 断H。不成立，即认为M社区的居民喜欢网上 为3+2 购物与年龄有关联，此推断犯错误的概率不大 2 于0.001. (6分) (2)根据题意，M社区的居民中，喜欢网上购物 的领率P品 -=0.6, (7分) 现从M社区居民中随机抽取20位，记其中喜欢 网上购物的居民人数为X,则X~B(20,0.6), 故P(X=k)=C00.6(0.4)20-, (9分) P(X=k)C0.60(0.4)20- 3 14.投【解析】记第一次抽到号球的事件分别为 则pX=-)c0.64-0.404=2× 926,其中k=1,2,…,20, 21-k63-3k A,(i=1,2,3),则PA:)=2,P(A2)= k 数学答案（五）·第3页（共8页） 真题密卷 学科素养月度测评（五） 当1≤≤12时，4=633张>1，则有P(X=)> 1 2k =2 17.解：(1)由题意可得 P(X=k-1), p(1=g)+g1一)=2， 当13≤≤20时，4-633<1，则有PX=k)< 2k (4分) 3 2 P(X=k一1)， 9=2’ 4 3 故当k=12时，P(X=k)取得最大值.(13分) 即 解得 17 2或 (6分) 3 16解：0因为-08c,-2)-10, p+q=12' q3 9= 4 (7分) 1 因为P≥9所以力--子 5020:一y)2=8, (2)甲同学答对题目个数X=1,2, 所以2a,-)=50,86:-)=40, 339 (3分) P(X=2)=4×4=16 (:-x)(0:-) 2(x,-x)0y:-y) 乙同学答对题目个数Y=1,2, 又6= =1 500 2、1,124 1=1 =0.4, PY=2)= 2、24 33=9 (10分) 所以2(c,-x)(0y:-y)=200, (5分) 设二人共答对3道题为事件E, i=1 2(x,-x)0:-) 所以P(E)=P(X=1)PY=2)十 200 所以r= √/500×400 Px=2rY-1-g×后+8×g-B =1 √5 所以两人共答对3道题的概率为是 (15分) (7分) 18.(1)证明：过点A1作A1E⊥AC于点E,取AO (2)因为(x,-x)= 2x-50.x2=500, 的中点F,连接FO1,如图。 D sai=5o050, 所以500500-50.x2=500,解得x=100,即μ= 100, (10分) 因为σ2=s=10,所以。≈3.16，所以数学成绩 7服从正态分布N(100,10), (11分) 由题意得AC=2A1C1=2,BD=2B1D1=2√3， 因为P(96.84<<106.32)=P(4-o<7<μ+2o) 所以F0=子 =P(u-o<n≤)+P(μ<n<u+2o） 在四棱台ABCD-AB1C1D1中，易得BD∥BD1, -3P-357ato)+jP(a-25a+3) 又因为BB1=DD1且BD≠B1D1,所以四边形 BDD1B1为等腰梯形. (1分) 1 1×0.6827士2×0.9545≈0.8186， 因为O,O1分别是BD和B1D1的中点，所以 OO1⊥BD, 所以该校高三学生的数学成绩位于区间 (96.84,106.32)上的人数大约有800× 又因为B,=DD,=Y,易得等腰郴形 0.8186≈655人. (15分) BDD1B1的高OO1=3. A 数学答案（五）·第4页（共8页） ·数学· 参考答案及解析 因为在菱形ABCD中，AC⊥BD,且AC,OO1C 1 平面ACC1A1,AC∩OO1=O, 因为在旋转过程中0C1一2不变，且点C所 所以BD⊥平面ACC1A1,又因为A1EC平 在终边对应的角大小为π，逆时针旋转日角后点 面ACC1A1, 所以A1E⊥BD,又因为A1E⊥AC,且AC, G的坐标为（合as(a+0)2sin(x+8),3),即 BDC平面ABCD,AC∩BD=O, 所以A1E⊥平面ABCD,因此∠A1AE即AA1 C(←2cos0,-2sin0,3, 与底面的夹角. (3分) 由题意得A1O1∥AO,且A1O1=AF,所以四边 所以DC-(-7os0w-7in0,3), 形AA1O1F为平行四边形，所以AA1∥O1F. (9分) 则cos∠A1AE=cos∠0，F0=7 所以底面与DC1夹角的正弦值sin0,= 37 在△O1FO中，由余弦定理可得cos∠O1FO= IDCi·nl =37,解得F0,=7 FO2+FO3-OO3√37 DCn 2FO·FO1 2· os0+(-n0)°+9 所以FO2十O0?=FO?,由勾股定理得O01⊥ 6√43 AC. (5分) 43 又因为OO1⊥BD,AC,BDC平面ABCD, AC∩BD=O, 解得sin0=3 ’ (11分) 所以OO1⊥平面ABCD (6分) 又因为9<受所以0=子 (12分) (2)解：因为AC⊥BD,所以以O为原点，OA,OB, OO1方向分别为x,y,之轴的正方向，建立如图 (3)解：由(2)得点A1所在终边对应的角为0，所 所示的空间直角坐标系，易得平面ABCD的一 以旋转后点A1的坐标为（分cos0,了n0,3), /1 个法向量n=(0,0,1), 即A任 同理因为点B,所在终边对应的角为，所以旋转后 点马的坐标为停+o(0) (14分) 旋转前坐标分别为A(1,0,0),A1(号，0,3， B00)B.0,53,D0,-,0, 所以a-()丽-(，35， 因此旋转后AA1与BB1夹角的余弦值为 c(-30,3 AA1·BB1 9 4√195 c0s02= 点C1旋转过程的俯视图如图所示： AA BB /39.45 65 (17分) 19.解：(1)对于n维坐标(a1,a2,a3,…,am),a:∈ {0,1}(1in,i∈N), 共有2”种不同的点，即共有2”个顶点.(3分) (2)①对于随机变量X=k(1≤k≤n,k∈Z),在坐 旋转C 标(a1,a2,a3,…,am)与(b1,b2,b3,…,bn)中有k 数学答案（五）·第5页（共8页） A 真题密卷 学科素养月度测评（五） 个坐标值不同，剩下(n一)个坐标值相同，此时 CI C2 C 2二+4×2二1十…+n2 2"-1’ (13分) 对应情况数有2C·2·2=C·2-1种， 设(1十x)”=C%+xCW十x2C+x3C十… C·2-1C 所以P(X=k)= 十x"Cm, C 2”-1’ (5分) 两边求导，得n(1十x)"-1=Ch十2xC%十3x2C 则X的分布列为 十…+n.x-1C%, X 1 2 … 两边乘以x,得nx(1十x)-1=xC”十2x2C2+ C CR … 3x3C8+…+nx"Ch, 2m-1 2m-1 24-1 两边求导，得n(1十x)”-2(1+nx)=C+22xC% 1·C,2·C% n·Ca 所以E(X)= +32x2C%+…+n2xm-1Cm, 2-1十2-1 +… 2”-1, 令x=1,得C+22C?+32C?+…+n2Cm= (7分) n(n+1)·2-2, n 倒序相加，得2E(X)=2一(C+C+C十… 所以D(X)=-E(X)+n(n+1)·2- 2n-1 C4C) 2+a2 2m-1 2m-1·n 所以E(X)=2-1 (10分) n·2"-2(2"-n-1) (2"-1)2 (17分) ②D(X)=E(X2)-E2(X)=-E2(X)+1X A 数学答案（五）·第6页（共8页） ·数学· 参考答案及解析 精典评析 TIANSHUJIAOYU ★中国南北朝时期的著作《孙子算经》，对同余除法有较深的研究.设a,b,m(m>0)为整数，若a和b 同时除以m所得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为a=b(modm).若a=C。十C3。十…十C8, a=b(mod10),则b的值可以是 () A.2021 B.2022 C.2023 D.2024 【试题解读】 第5题以数学文化为背景考查利用二项式展开式解决整除和余数问题，对激发学生热爱祖国文化，树 立良好的价值观以及培养数学兴趣起到积极作用」 ★设An=(1十x)”,Bn=A1十A2十…十Am,则B224中x3前的系数为 () A.C2o23 B.C24 C.C823 D.C2o2s 【试题解读】 第7题利用组合数的性质计算求出指定项的系数，很自然的把二项式通项与二项式系数的性质结合 在一起，培养学生的逻辑推理以及数学运算能力. ★如图，从1开始出发，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或向右上 或向右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如从1移动到11：1→2 46810 →3→5→7→8→9→10→11就是一条移动路线.从1移动到数字n 357911 (n=2,3,…,11)的不同路线条数记为rm,从1移动到11的事件中，跳过数 字n(n=2,3,…,10)的概率记为卫m,则下列结论正确的是 ①r,=34②r+1>r。③p=89 24 ④p,>p10 A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④ 【试题解读】 第8题是概率与数列综合题，考查了数列的递推公式、分步计数原理、计算古典概型的概率等知识，并 利用树状图等基本方法解决综合问题。 ★(17分)在三维空间中，立方体的坐标可用三维坐标(a1,a2,a3)表示，其中a:∈{0,1}，i=1,2,3,而 在n维空间中(n≥2，n∈N),以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为n维坐标 (a1,a2,a3,…,am),其中a:∈{0，l}(1≤i≤n,i∈N).现有如下定义：在n维空间中两点间的曼哈顿距离 为两点(a1,a2,a3,…,an)与(b1,b2,b3,…,bn)坐标差的绝对值之和，即为a1一b1|+|a2-b2|+|a3一b3 +…+lam-bm. (1)求出n维“立方体”的顶点数； (2)在n维“立方体”中任取两个不同顶点，记随机变量X为所取两点间的曼哈顿距离. ①求X的分布列与数学期望； ②求X的方差， 【试题解读】 第19题考查概率与统计新定义，是概率、数列与导数的综合问题，并考查了离散型随机变量的分布 列、数学期望公式、方差公式、二项式定理以及导数、倒序相加求和、赋值法求和，很好的考查了学生的数学 建模、数据分析、数学转化与化归以及解决数学问题的综合能力. 数学答案（五）·第7页（共8页） A 真题密卷 学科素养月度测评（五） 命题要素细目表 题号 分值 题型 考查内容 难度 1 5 单选题 上四分位数 易 2 单选题 投影向量 易 3 单选题 圆台侧面积的相关计算 易 4 单选题 方差的计算 易 5 单选题 利用二项式展开式解决整除和余数问题 中 6 单选题 隔板法解决实际问题 中 7 单选题 利用组合数的性质计算指定项的系数 中 8 5 单选题 概率与数列的综合 难 9 6 多选题 二项式展开式的相关计算 易 二 10 6 多选题 互斥事件与独立事件 中 11 6 多选题 立体几何容器问题 难 12 5 填空题 分组分配问题 易 三 13 5 填空题 平面向量的综合应用 中 14 5 填空题 条件概率与全概率公式 隆 15 3 解答题 二项分布、独立性检验 易 16 15 解答题 相关系数的计算、正态分布 中 四 17 15 解答题 概率的相关计算与应用 中 18 17 解答题 正四棱台综合、旋转问题 难 19 17 解答题 概率、数列与导数的综合 难 A 数学答案（五）·第8页（共8页）