2025年数学素养月度测评（四）A版（全国通用）-【衡水真题密卷】2025年高考数学学科素养月度测评

·数学· 参考答案及解析 参芳答案及解析 2024一2025学年度学科素养月度测评（四）数学 一、选择题 1.B【解析】若a⊥b,则a·b=0,即1×m十2×3 A正-Ai+B脏-A啦-}A店+名AC-号A+ =0,解得m=-6. 名花. 2.C【解析】在空间中，三条直线最多可确定3个 平面，例如三棱锥的三个侧面. Pn-1 1 1 7.C【解析】由题意P一2P2… 3.D【解析】由图可得tana=3,tanB=),则 P,1 P1、 1 卫2所28X…以1 11 22 tan(a+8)=1-tan atan =2 ≥2-2a,所以n6n+1D≤2024，即nm+1D≤ 2 4048.令f(n)=n(n十1)，显然f(n)单调递增， 4.D【解析】根据题意，将直观图还原，可得原平 其中n∈N*,又f(63)=4032<4048<f(64)= 面图形为等腰三角形，如图所示，其中AD⊥BC, 4160,所以n的最大值为63. AD=2A'D'=4,BC=B'C'=2,所以原平面图 8.D【解析】如图，设E,F分别为BC,C1D1的中 形约面积为SAL=号BC·AD-方×2X4=4 ,点，则三棱锥M-AA1N与三棱柱AEM-A1NF外 接球相同.在△EAM中，AE=AM=√5，ME=√2， 由余弦定理得cos∠EAM=AM十AE一ME 2AM·AE 后，所以sin∠EAM-3 4 .设△EAM的外接圆半 B DC 径为r,在△EAM中，由正弦定理得2r= 0 ME W25√ 5.A【解析】设AB的中点为M,因为DA+DB+ sin∠EAM3 3,故△EAM的外接圆半 5 号D-0.所以元-2(Di+D.所以币 径，=5 ,设三棱柱AEM-A,NF的外接球半 6 4DM,所以点D是线段CM靠近点M的五等分 5v22 43 去片二- 径为R,由勾股定理得R2=12+ =5,所以△ABC的面积 6）=18,则三 是△ABD的面积的5倍。 棱锥MAA1N外接球的表面积S=4πR2=4π× 4386π 189· D B M B 6.A【解标】由题意成-号动=写×号威+B时) -后(-遮+花-=-}+花，所以 ·1 A 真题密卷 学科素养月度测评（四） 二、选择题 9.BD【解析】对于A,若lCa,mCB,a∥B,则l∥ a m或l与m异面，故A错误；对于B,因为m∥a, 1w],所以a∈[反-1，号)，所以1-a)∈ 则]aCa,使m∥a,又m∥l,可得a∥l,又因为 aCa,l中a,所以l∥a,故B正确；对于C,当a⊥ (分，2-]，所以日<1-a)≤2-2)=6 B,mCa时，m⊥B或m∥B或mCB或m与B相 交，故C错误；对于D,若l⊥a,m∥l,则m⊥a, 一4√2，即S≤6一4√2，故C正确，D错误. 又mCB,所以a⊥B,故D正确. 三、填空题 10.BD【解析】当a,b方向相同，与c方向相反 12.20【解析】a4十as=2a5=0,即a5=0,则S5= 时，满足a·c=b·c,此时a十b十c有最小值 5(a1十a5)_55、 =2a1=2×8=20. |c-(a|+b|)=1,故A错误；当a,b,c方 2 向相同时，满足a·c=b·c,此时|a十b十c有最 13.2【解析】如图所示，延长BF和CD交于点P, 由△FDP∽△BCP,且F为AD的中点，可得 大值a+|b|+c|=5,故B正确；a·c=b·c, 有(a-b)·c=0,即(a-b)⊥c,则|a-b十cl= PD DF 1 PC-BC=2,即PC=2PD,连接EP交SD √Ta-b2十c下，当a,b方向相同时， 于点Q,连接EB,FQ,则过点B,E,F的截面即 a一b的最小值为0，a一b+c|的最小值为 为平面BEQF,取CD的中点G,连接EG,因 3,故C错误；当a,b方向相反时，a一b|的最 为E为SC的中点，所以EG∥SD,且EG= 大值为2，|a一b十c|的最大值为√13，故D DQ PD 正确. 2SD,所以△DPQAGPE,可得EC-PG 11.BC【解析】设三角形的斜边长为a,则acos x 号*0号比=0将n器-2肿1=2 十asin x+a=1(*),所以S=f(x)=2 acos x· asin·8=2a2sin2x.对于A,当x=6时，由 ()式得，a=35,所以S=f(x)= D G F 2x3点)x5-456, 3 2 ，故A错误；对于 3 14.1【解析】因为AnAn+1||A+1Am+2|=n(n=1,2, B,sin2x的对称轴为2x=2十x,k∈Z即x 3),所以|A1A21|A2A=1,|A2A|AA4|=2, |A3A|A4A5|=3,由题意设A1A2|=x,则 12πk乙，当k=0时，x三开，所以f(x)的图象 AA1-AA1-2,A=2设 关于直线x=至对称，放B正确；对于C,D,S A1(0,0),如图所示， 4a2 sin xcos x,因为sin xcos x≤ (sin x+cos x)2 yA 4 A A 当且仅当sinx=cosx时，等号成立，又由（￥） 1-a 式可得，sinx十cosx=V2sin(x十交)=} 4 a 所以5≤X血s=ax) A 4 1 =(1一a),因为x为锐角，所以x∈(0,2)，所以 则A2(x,0),A3(x,),A4(-x,),A5(-x, A ·2· ·数学· 参考答案及解析 因为CE⊥PC,所以CE⊥EF,又因为CE⊥BD, 22),所以AA=x+红≥2 4x EF∩BD=E,所以CE⊥平面BFD,所以点C =1,当且仅当x2 4x,即x 到平面FBD的距离为CE=1,故点P到平面 2 时取等号，所 FBD的距离为1. (15分) 以|A1A|的最小值为1. 17.(1)证明：连接CE,使CE与AD的交点为O,在 四、解答题 菱形ACDE中，CE⊥AD,因为AB⊥平面 5,解：①)a在b方向上的投影向量的坐标为b ACDE,CEC平面ACDE,所以CE⊥AB,又 AB∩AD=A,AB,ADC平面ABD,所以 1 61X3+2X2)63 (-1)2+22 5 (-1,2)= CE⊥平面ABD, (3分) (》 因为G,O分别为BD,AD的中点，所以GO= (5分) 1 (4分) (2)若a十b与mc十b的夹角为锐角， AB,G0∥AB, 则(a十b)·(mc+b)=(2,4)·(4m-1,m十2)= 又EF=名AB,EF∥AB,所以G0=EF, 2×(4m-1)+4(m+2)=12m+6>0,得m> GO∥EF,所以四边形GOEF为平行四边形， (8分) (6分) 若(a+b)∥(mc+b),则2(m+2)=4(4m-1), 所以FG∥EO,所以FG⊥平面ABD.(7分) 解得m号， (11分) (2)解：在菱形ACDE中，因为AC=AD,所以 △ACD和△ADE都是正三角形，取ED的中 经验证满足同向共线， (12分) 点H,连接AH,则AH⊥AC,又AB⊥平面 所以实数m的取值范用为加>一且加≠ ACDE,所以AB⊥AC,AB⊥AH,即AB,AC, AH两两相互垂直. (9分) (13分) 16.(1)证明：因为AP⊥BD,PC⊥BD,AP∩PC 以A为坐标原点，AB,AC,AH所在直线分别 =P,所以BD⊥平面APC,又ACC平面 为x,y,之轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设AB=2a(a>0),则C(0,2,0),B(2a,0,0), APC,所以BD⊥AC (2分) 因为四边形ABCD是圆柱底面的内接四边形， D01,),Fa,-1w.c(e,日）则 且AC为其直径，所以BE=ED,AB=AD, BC=CD,∠ABC=∠ADC=90°，又因为 BC=(-2a,2,0),C元=(0，-1,3)，FG= AC=BC+CD,所以AC=2BC, (5分) o,》 (10分) 在R△ADC中，m∠nAC-,所以∠BAC 设平面BCD的法向量为m=(x,y,之)， =30°，所以∠BAD=60°，△BAD是等边三角形. |m·BC=-2ax+2y=0, 则 取x=1,则m= (7分) m·CD=-y+3x=0, (2)解：因为AC=4,由(1)知，在Rt△ABC中， AE=3,EC=1,所以CE:EA=1:3,因为 a w3,1 (13分) PF:FA=1:3,所以PC∥EF, (10分) 记直线FG与平面BCD所成角为0，则sin0= 又因为PC中平面BFD,EFC平面BFD,所以 cos<FG,m>= FG·m √5 PC∥平面BFD,所以点P到平面FBD的距 FGm 3 离等于点C到平面FBD的距离. (12分) Nai+4X/3 ·3 A 真题密卷 学科素养月度测评（四） 7,解得a=1,即AB的值为2. (15分) 所以Tn 2c:-cw+a k= k=1 (12n-13)·22+1+26 9 n+十3(4n+3) (12分) 1 1 (3)证明：由1)知6，一2—121+21-≤ G 1 司，当且仅当=1时取等号， (15分) 则6≤1+++…+2 1 1 18.(1)解：设等差数列{am}的公差为d,等比数列 2-)<2, {bn}的公比为g,由a4=7,a1=1,得a1+3d= 1十3d=7,解得d=2,则am=1+2(n-1)= 即空。<2GEN)恒皮立 (17分) 2n-1, (2分) 19.解：(1)集合M={(xy,z)|z=0}表示xO平面上 由a1十b3=a,a2b3=4a3十b2,得b1q2+1=9, 所有的点，P={(xyz)||x≤1，y≤1，|z≤1 3b1g2=20十b1q,解得b1=q=2,则bn=2”, 表示（士1，士1，士1）这八个顶点形成的正方体内所 (4分) 有的点，而P∩M可以看成正方体在xOy平面上的 所以2b。,=23十23+…+2-1= 23(1-4-1) 1-4 截面内所有的点，发现它是边长为2的正方形，因此 三2 22m+1-8 S=4.对于Q={(xyz)|x|+y|+z≤2}， 3 (5分) 当x,y,之>0时，x十y十之=2表示经过 (2)解：当n是奇数时，cm=(2n-1)2",当n是 (2,0,0),(0,2,0),(0,0,2)的平面在第一象限 (2n+1)2 4n2+4n+1 偶数时，c,=(2m-1)(2n+3)-4m2+4n-3 的部分.由对称性可知Q表示（士2,0,0），(0， 士2,0)，(0,0，士2)这六个顶点形成的正八面体 1+（2m+3)-(2m-1) =1+（1- 1 (2m-1)(2m+3) 2n-12n+3’ 内所有的点.而Q∩M可以看成正八面体在 xOy平面上的截面内所有的点，它是边长为 则2c41=1×2+5×2+9×2+…十 2√2的正方形，因此S2=8. (6分) (4n-3)×2-1,所以4之c4-1=1×2+5×2+ (2)记集合Q,P∩Q中所有点构成的几何体 =1 9X2+十(4n-3)×2+1,两式相减得-32c- 的体积分别为V1,V2.考虑集合Q的子集 k=1 =2+4(23+25+…十22m-1)-(4n-3)X22m+1 Q'={(xy,z)|x十y十z≤2，x≥0，y≥0，z≥0}， 即为三个坐标平面与x十y十之=2围成的四面 =2+4× 23(1-4-1) 1-4 -(4n-3)×22m+1 体，四面体四个顶点分别为(0,0,0)，(2,0,0)， =-（12n-13)22m+1+26 3 0.2,0,00,2》,此四面体的体积为。'-号×2× 所以2c21-1=12m-13)2+1+26 (9分) 9 (侣×2x2-子由对称性知，=8。-翠考虑 +(】-+份)十 到P的子集P构成的几何体是棱长为1的正方体， 即P'={(x,y,z)|0≤x≤1,0≤y≤1,0≤z≤1}， =n十 Q'={(x,y,z)|x十y十z≤2，x≥0，y≥0，z≥0}， An 显然P'∩Q'为两个几何体公共部分，记 (11分) Q1(1,1,0),Q2(1,0,1),Q3(0,1,1),Q4(1,1,1).容 A ·数学· 参考答案及解析 易验证Q1,Q2,Q3在平面x十y十之=2上，同时 ①如图所示，即为T所构成的图形.其中正方体 也在P'的底面上.则P'∩Q'为截去三棱锥 ABCD-IJML即为P所构成的区域.E-ABCD Q4-Q1Q2Q3所剩下的部分.P'的体积为Vp'= 构成了一个正四棱锥，其中E到面ABCD的距 1×1×1=1,三棱锥Q4-Q1Q2Q3的体积为 离为1，VE-ABCD= Va,eae,=吉X1x2×IX1)=后故PnQ 1 3X1X2x2=V,=V。+ 4 6VgAWcD-8+6X3-16. (13分) 15 的体积Vrne=V,'-V,o,Q,=1-百=6.由对 ②由题意面EBC方程为x十之一2=0，由题干 20 20 定义知其法向量n1=(1,0,1), (14分) 系性知v,=8Yrna3综上，V,-3V,3 面ECD方程为y十之一2=0，由题干定义知其 (10分) 法向量n2=(0,1,1), (15分) (3) n1·n2 1 故cos<n1m:>=Tn1n:-2 (16分) 由图知两个相邻的面所成角为钝角，故W相邻 两个面所成角为经由图可知w共有12个面， H G 24条棱. (17分) ·5· A 真题密卷 学科素养月度测评（四） 精典评析 TIANSHUJIAOYU ★法布里一贝罗研究多光束干涉在薄膜理论中的应用时，用光波依次透过层薄膜.记光波的初始功 P61 率为P,光波经过第及层薄膜后的功率为P,假设在经过第飞层薄膜时光波的透过率T:一P,一2示，其 中=1,2,3，…，n,为使得 ≥2，则n的最大值为 () P A.31 B.32 C.63 D.64 【试题解读】 第7题以数学文化为背景，考查利用累乘法求数列的通项公式，从而解数列不等式，再利用二次函数 特征求得，体现了数列、不等式与函数性质的综合 ★在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M,N分别为CD,B1C1的中点，则三棱锥MAA1N 外接球的表面积为 () B. 2π 3 c.76x 9 D.0 【试题解读】 第8题是立体几何客观题的考查热，点一多面体与球体内切外接问题，考察了球的表面积、正弦定理、 余弦定理、勾股定理的知识，本题求解的关键是把三棱锥的外接球转化为三棱柱的外接球，利用底面外接 圆的半径和三棱柱的高，可得外接球的半径，从而得到外接球的面积 ★(17分)在空间直角坐标系O-xy之中，任何一个平面的方程都能表示成Ax十By十Cx+ D=0,其中A,B,C,D∈R,A2十B2+C2≠0，且n=(A,B,C)为该平面的法向量.已知集合 P={(x,y,之)|x≤1，|y|≤1，之≤1)，Q={(x,y,x)1|x|+|y|+|z|≤2}，T= {(x,y,z)|x|+1y≤2，ly|+|之|≤2，之|+|x|≤2}. (I)设集合M={(x,y,z)之=O},记P∩M中所有点构成的图形的面积为S1,Q∩M中所有点构成的图 形的面积为S2,求S1和S2的值. (2)记集合Q中所有点构成的几何体的体积为V1,P∩Q中所有点构成的几何体的体积为V2,求V1和V2 的值 (3)记集合T中所有点构成的几何体为W. ①求W的体积V3的值； ②求W的相邻（有公共棱）两个面所成二面角的大小，并指出W的面数和棱数. 【试题解读】 第19题考查立体几何新定义，本题解题的关键是利用新定义求出法向量，然后利用向量求法得到所 要求的二面角余弦值，考察立体几何面面角的向量求法、锥体体积的有关计算以及利用割补法求解体积. A ·6· ·数学· 参考答案及解析 命题要素细目表 题号 分值 题型 考查的主要知识内容与知识点 难度 1 5 单选题 平面向量垂直的坐标运算 易 2 5 单选题 空间中的线面关系 易 5 单选题 三角函数 易 4 5 单选题 斜二测画法 易 5 5 单选题 平面向量与三角形的综合 中 6 单选题 平面向量的运算 中 7 单选题 函数与数列的综合 中 8 单选题 立体几何外接球表面积 难 9 多选题 空间中直线、平面的位置关系 易 二 10 多选题 平面向量的运算 中 11 多选题 三角函数与现实情境的综合 难 12 填空题 等差数列 易 三 13 填空题 立体几何 中 14 5 填空题 平面向量与基本不等式 0 15 13 解答题 平面向量的坐标运算 易 16 15 解答题」 圆柱与三棱锥 中 四 17 15 解答题 多面体线面垂直、根据线面角正弦值求边长 中 18 17 解答题 等差数列、等比数列 中 19 17 解答题 集合与立体几何的综合 难 ·7 A2024一2025学年度学科素养月度测评（四) 数学 姓名： 准考证号 填涂范例 考场号： 正确填涂■ 错误填涂☑☒ 短 物 ①)①)I) o00000000 座位号 2 K 33333 B 3 姓名××× 准考证号×××××× 缺考 口 (填涂说明：缺考考生由监考员用2B 4④4I4四4④4④4I4④4I4▣ 标记 铅笔填涂准考证号及左边缺考标记) 66 666 66 6 贴条形码区 7I刀刀7I刀 1177 开考15分钟以后，缺考考生由监考员粘贴条形码， 8 88 88 8888 考场号×× 座位号×× 并用2B铅笔填涂上方的缺考标记 选择题 单项选择题 1四B田 3 A B CIDD 5 A B CD 7 A B C I 2四四 4☒田四 6四田四 8 A B C D 多项选择题 9IB田CD 10A四B田CMDD 11四团 非选择题 12 13 14 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 答题纸·数学（四）第1页（共5页） 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 15.(13分) 16.(15分) B D 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 答题纸·数学（四）第2页（共5页） 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 17.(15分) D G ② 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 答题纸·数学（四）第3页（共5页） 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 答题纸·数学（四）第4页（共5页） ■■■■■■■■■■■■■■■■■■ 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 19.(17分) $ 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 答题纸·数学（四）第5页（共5页)2024一2025学年度学科素养月度测评（四) 数学 姓名： 准考证号 填涂范例 考场号 正确填涂■ 错误填涂☑ ☒ 图 血 )①))①))①①) D 卫工0D0D卫 0 座位号： I B 33】3I333I3 缺考 (填涂说明：缺考考生由监考员用2B ④ 4④4I4④4④4④4④4④4 姓名××× 准考证号×××××× 标记 口 铅笔填涂准考证号及左边缺考标记) 6 贴条形码区 ] mm I maa I 开考15分钟以后，缺考考生由监考员粘贴条形码， ⊙ 8 8I8 8]8] 8]8 8] 考场号×× 座位号×× 并用2B铅笔填涂上方的缺考标记 ⑨ 选择题 单项选择题 1 A B C D 3 A B CD 5ABCD 7B☒D) 2B田W) 4IB☒C四 6四田☑D 8 A B C D 多项选择题 9)BI) 10A四B☒四D) 11四BH四) 非选择题 12 13. 14 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 答题纸·数学（四）第1页（共5页） A 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 15.(13分) 16.（15分) B D 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 答题纸·数学（四）第2页（共5页） 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 17.(15分) D G ② 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 答题纸·数学（四）第3页（共5页） 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 答题纸·数学（四）第4页（共5页） A ■■■■■■■■■■■■■■■■■■ 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 19.(17分) 烨 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 答题纸·数学（四）第5页（共5页)密 2024一2025学年度学科素养月度测评（四） 卺题 数学 本试卷总分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡 上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.若向量a=(1,2),b=(m,3),且a⊥b,则实数m= A.6 B.-6 C.3 D.-3 2.在空间中，下列命题是真命题的是 () A.三条直线最多可确定1个平面 B.三条直线最多可确定2个平面 C.三条直线最多可确定3个平面 D.三条直线最多可确定4个平面 3.如图，a,β是九个相同的正方形拼接而成的九宫格中的两个角，则tan(a十β)=（) a A.-√5 B③ 3 C.3 D.1 4.用斜二测画法画出的水平放置的△ABC的直观图如图所示，其中D'是BC'的中点，且 A'D'∥y'轴，B'C'∥x'轴，A'D'=B'C'=2,则S△ABc= () y'x B'D'C A.√2 B.2 C.2√2 D.4 数学试题（四）·第1页（共4页） 真题密卷·学手 5.已知△ABC所在平面内的一点D满足DA+D+D心=0，则△ABC的面积是 班级 △ABD的面积的 A.5倍 B.4倍 姓名 C.3倍 D.2倍 6.如图，在△ABC中，D是AC的中点，E在BD上，且DE=2EB,则 得分 AA店-号a店+6AC RA正-号a+ad C.AE-5AB+1AC 61 6 D.A正-A正+8aC 7.法布里一贝罗研究多光束干涉在薄膜理论中的应用时，用光波依次透过层薄膜.记光波 的初始功率为P。,光波经过第k层薄膜后的功率为P。,假设在经过第k层薄膜时光波的 P=1 透过率T平2其中k,23n,为使得B≥2，则%的最大值为《 A.31 B.32 C.63 D.64 8.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M,N分别为CD,B1C1的中点，则三棱锥 M-AA1N外接球的表面积为 () 56π A.9 22π B.3 6π C. 86π D. 9 9 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知a,3是两个不同的平面，l,m是两条不同的直线，则下列说法正确的是 () A.若lCa,mC3,a∥3，则1∥m B.若m∥l,m∥a,l中a,则l∥a C.若a⊥B,mCa,则m⊥3 D.若l⊥a,m∥l,mC3,则a⊥B 10.若平面向量a,b,c满足a=1,b=1,c=3,且a·c=b·c,则 () A.a十b十c的最小值为2 B.a+b+c的最大值为5 C.a一b十c的最小值为2 D.a-b十c的最大值为√I3 斗素养月度测评 数学试题（四）·第2页（共4页） A 11.把一个三阶魔方看成棱长为1的正方体，若顶层旋转x(x为锐角)，记表面积增加量为 S=f(x),则 Ag)= B.∫()的图象关于直线x=平对称 C.S的最大值为6一4√2 图1 图2 D.S的最大值为3-2√2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.记Sm为等差数列{am}的前n项和，若a1=8,a4十a6=0,则S5= 13.已知四棱锥S-ABCD的底面为平行四边形，E,F分别是SC,AD的中点，过B,E,F三 点的平面与棱SD的交点为Q,且SQ=λQD,则λ= 14.已知A1,A2,A3,A4,A5五个点满足AmAm+1·Am+1Am+2=0(n=1,2,3), |AnAm+1Am+1Am+2=n(n=1,2,3),则|A1A5|的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知平面向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1). (1)求a在b方向上的投影向量的坐标； (2)若a十b与c十b的夹角为锐角，求实数m的取值范围. 16.(15分)如图，四边形ABCD是圆柱底面的内接四边形，AC是圆柱底面的直径，PC是 圆柱的母线，E是AC与BD的交点，AP⊥BD,AC=BC十CD, (1)证明：△BAD是等边三角形. (2)若AC=4,设点F在线段AP上，PF:FA=1:3,求点P到平面FBD的距离. BS A 数学试题（四）·第3页（共4页） 真题密卷·学 17.(15分)在如图①所示的平面图形中，四边形ACDE为菱形，现沿AC进行翻折，使得 AB⊥平面ACDE,过点E作EF∥AB,且EF=-AB,连接FD,FB,BD,所得图形如 图②所示，其中G为线段BD的中点，连接FG. (1)证明：FG⊥平面ABD. (2)若AC=AD=2,直线FG与平面BCD 所成角的正弦值为7，求AB的值。 ① 18.(17分)已知数列{am}为等差数列，数列{bm}为等比数列，且a4=7,a1=1,a1十b3= a2,a2b3=4a3+b2(n∈N*). (1)求6。 2 anbn,n为奇数， (2)已知cn= an+1 求数列{cm}的前2n项和T2· ,n为偶数， anan+2 (3求证：26,2eN. 19.（17分)在空间直角坐标系O-xyz中，任何一个平面的方程都能表示成Ax+By+C2十 D=0,其中A,B,C,D∈R,A2+B2十C2≠0，且n=(A,B,C)为该平面的法向量.已知 集合P={(xyz)|x|≤1，y|≤1，z≤1}，Q={(x,y,之)x|+y|+z≤2}，T= {(x,y,z)|lx|+|y≤2，ly|+|z|≤2，z|+x|≤2). (1)设集合M={(x,y,之)之=0}，记P∩M中所有点构成的图形的面积为S1,Q∩M 中所有点构成的图形的面积为S2,求S1和S2的值. (2)记集合Q中所有点构成的几何体的体积为V1,P∩Q中所有点构成的几何体的体 积为V2,求V1和V2的值. (3)记集合T中所有点构成的几何体为W. ①求W的体积V3的值； ②求W的相邻（有公共棱）两个面所成二面角的大小，并指出W的面数和棱数. 斗素养月度测评 数学试题（四）·第4页（共4页）