2025年数学素养月度测评（七）A版（全国通用）-【衡水真题密卷】2025年高考数学学科素养月度测评

·数学· 参考答案及解析 参芳答案及解析 2024一2025学年度学科素养月度测评数学（七） 一、选择题 即0.45a=a×0.4-1,解得n=6,故当血药浓度 1.A【解析】由A∩B={1},得a2=1,解得a=士1. 为峰值浓度的1.024%时，给药时间为b6=2X 当a=1时，B={3,1},满足题意；当a=-1时， 6+1=13. B={1,1},不满足集合元素互异性，故a=1. 7.B【解折】由了)=0，将=o倍+），脚 cos x 2D【解标】由2’≤1，计≤，将得>2或 mx=o受+》， 长-1，成使2一1成立的-个必要不充分条件 则f)的零点印为方程mx=co(受+）的 构成的集合是A,则(-∞，-1]U(2,十∞)是A的 一个真子集，结合选项可知A可为（一∞，一1]U[2, 根，作出画数)=o个督+）和y=mx的因象。 +∞)： 3.C【解析】由y=ae2-2十x,得y'=ae2-2十1，所 如图，可知两个函数图象均关于(：，0)中心对称且 以a十1=4，解得a=3, 8+b=2+a, 6=-3, 所以a十b=0. 在（货，2）上有两个交点，故f)在区间 (一元，2π)上有4个零点，4个零点的和为2元 4.C【解析】一侧的种植方法有C%A?=20×2=40 种，另一侧的种植方法有A=2种，再由分步乘 法计数原理得不同的种植方法共有40×2= 80种. 5.B【解析】由x十y=1,可得x+y十1=2，即2十 8.B【解析】不妨设△ABC的斜边为c,0=A≤B,则 1十y)=1,又因为x,y为非负实数，所以x>0,y十1 0E0,引则AC-c0,BC=c血.对于折交后 的四面体A-BCD,有CD=ccos0Xsin0= csin 0cos 0,AD ccos X cos0 ccos20,BD cn0Xsn9=Gr0,则Y=专×Sa X BD- 4,当且仅当y 3+22 2x=1十y即x=22-2,y=3-2/2 1、 X csindcos0 X ccos20 X csin20= 时等号成立，所以 11 2x 1+y 的最小值为3+22 1 4 sin0o0 6.B【解析】设检测第n次时，给药时间为bn,则 {bn}是以3为首项，2为公差的等差数列，所以 bn=3十2(n-1)=2n+1,设在给药时间为(2n十 1)小时的时候，患者血药浓度为am,血药浓度峰 值为a,则数列{am}是首项为a,公比为0.4的等 比数列，所以am=aX0.4m-1,令an=0.01024a, 数学答案（七）·第1页（共8页） A 真题密卷 学科素养月度测评（七） 对于折叠后的四面体A-BCE,作BG⊥CE于点 G,由E为AB中点，得CE=BE=AE=2c, 1 又eo,引则20eo引0+∈（乐引， 故sn29e0,山，sm0+）∈（慢，即v≥ 又∠cBG=8-∠BcG=2-(g-0）=9, V2≥V1. BG=csin 0X cos 0=csin 0cos 0, 二、选择题 11 9.BC【解析】去掉一个最低评分和一个最高分后， 剩下评分的平均值有可能变小、不变或变大，故 1 ccos 0Xcsin Ocos-sin; A错误；剩下评分的极差一定会变小，故B正确； 剩下评分的波动性变小，则方差变小，故C正确； B 剩下评分的中位数不变，故D错误. 10.ABC【解析】设之1=a十bi(a,b∈R),z2=c+ dic,d∈R),因为1十4=1a,所以+2=1， 之122 1 1 对于折叠后的四面体ABCF,作BH⊥CF于点H, 之1之2 之2 之1 ctdi+atbi 则∠ACF=∠BCF=开，由SAx=SAO十SAC, c-di a-bi c-di (c+di)(c-di)(a+bi)(a-bi)c2+d+ 1 csin 0X ccos 0-2X csin 0 X CF Xsin a-bi a+62,因为=2=1，所以a2+62=1, 2×cos0 X CF X sin子，整理得CF= 1 +=1,所a=+8 √2 csin Ocos0 π√2 n0+os9,又BH=csin9Xm4-之csin0,则 c-di+a-bi=a+c-(b+d)i=1,即a+c=1且 b十d=0,所以z1十x2=a+bi十c十di=a十c十 w2csin0cos0、 (b+d)i=1,故B正确；所以|之1+之2|=1，故A正 sin 0cos 0 确；因为（之1十之2）3=z+之十3z7之2十3z1之号= √2c3sin20cos20 sin- 2 z1十z2十321z2(21十z2)=z十z+3(之1十之2)2， 12(sin 0+cos 0)' 所以z3十z8=(之1十z2)3一3(z1十之2)2=1-3X B 1=一2，故D错误；又z十z|=2,故C正确. 11.ABD【解析】已知f(n)为正整数，且单调递增. 因为f(1)≠1（若f(1)=1,则f(f(1))= f(1)=3,矛盾)，所以f(1)=2或f(1)= k(k≥3且∈N*).若f(1)=k(k≥3且k∈ V Gc'sin20cos20 N*),令n=1,则f(f(1)=3,即f(k)=3;再 则V -=2sin 0cos 0=sin 20, 令n=k,则f(f(k))=2k+1,即f(3)=2k+1, 2sin'0cos0 因为≥3，所以f(k)≥f(3),即3≥2k+1,解得 V:12'sin0cos0 1 ≤1，这与≥3矛盾，所以f(1)≥3不成立. sin 0+cos 0 所以f(1)=2,所以f(f(1))=3,即f(2)=3; V,√2c3sin0cos20 √2 12(sin 0+cos 0) f(f(2)=5,即f(3)=5;f(f(3))=7,即f(5)= 7;又因为f(n)为正整数，且单调递增，所以f(4)= =sing+》, 6;f(f(4)=9,即f(6)=9,…,可得下表： A 数学答案（七）·第2页（共8页） ·数学· 参考答案及解析 n 12345678910111213141516 =m-2b+m- f(n)23567911121314151719212324 n 17181920212223242526272829303132 xa-xab+8+a-名 1 f(n)25262728293031333537394143454748 =√18x2+18x+9+√18x2+12x+4 n 33343536373839404142434445464748 f(n)49505152535455565758596061626365 =3√2 ++++ 故A,B正确；因为f(2)=3,f(2)=6=3×2, =3√2 f(2)=12=3×2,f(24)=24=3X2°，…，所以 ++++》+， f(2)=3×2"1,故D正确；因为f(2025)> f(1024)+1000=f(2)+1000=3×512+1000= +}+++}+写表示点 2536,故C错误. P0与点A(日，2》B(号-》的距 三、填空题 离之和.如图，点A关于x轴的对称点为 12(-区，》【解铜因为点A的多标为(：》可 A(号，》，遂接AB, ∠0-所以∠0P-+吾-可得 5π 5π1 2yp=in6=2,所以点P的坐 为-》 则|PA|+IPB|=|PA'|+|PB|≥|A'B|= ++(--医s仅 A',P,B三点共线时等号成立， 13.y2=32(x十3)【解析】不妨设F1(-c,0),F2(c,0), 1 N(zoo)(x>0,yo>0).由tan∠NFF2=4, 所以fr)的最小值为3W2×②-VB. 6 四、解答题 y01 ∠Np,F=45,则有2+c4'解得= 3 15.解：(1)因为a2+43S=(b+c)2, y0=c一x0, 所以45×2 sinA=b2+c2-a2+2bc, -号义Smn=号E% 1 5c2-10,解 2 即3sinA=b+c2-a +1, (4分) 得c=5,又|O1F2|=8,则有O1(-3,0),故抛物线 2bc 方程为y2=32(x十3). 所以5snA=cosA+1,放sin(A-）-=7 14.√13【解析】由a|=3√2，|b|=6,|a+b|=3 又A∈(0，x), √2，得a+b2=a2+2a·b十b2=18,即18+ 所以A-吾-看所以A=号 (6分) 2a·b+36=18, 解得a·b=-18,fm一)b+a-0 (2)由正弦定理，得mAsin B一sinC' b C 数学答案（七）·第3页（共8页） A 真题密卷 学科素养月度测评（七） b+c 所以A sin B十sinC'且A、? 3b+c=4, 以菱形ABCD的中心O为坐标原点，OB,O心 的方向分别为x,y轴的正方向，建立如图所示 (8分) 的空间直角坐标系， 所以a=6十c)sinA 设AA1=h,则A1(0,-√3，h),B1(1,0,2), sin B+sin C 23 C1(0,W3,h),D1(-1,0,5) snB+sn爱-B 25 sin B3 2cosB士2sinB 2√3 (11分) sin(B+) sin(+) 因为四边形A1B1C1D1为平行四边形，所 因为△ABC为锐角三角形， 以A1B-D1C, 0B<，0<C=-B<,所以<B 3 即(1,5,2-h)=(1,3,h-5),所以2-h=h -5,解得h=2' 7 所以B+c(后，》， 所以A,B=15,-）: 即m(B+6)(, AD=(1w,8)月 (10分) 设平面A1B1C1D1的法向量为n1=(x,y,之)， 可得a∈ 。4W3 2,3 ,即a的取值范围为a∈ x+3y- 3 A1B1·n1=0, 2=0， 则 (13分) A1D1·n1=0, +6+=0, 16.(1)证明：因为四边形ABCD为菱形，所以BC 令之=2，得n1=(3,0,2), (12分) ∥AD, 易知平面ABCD的一个法向量为n2=(0,0,1), 又ADC平面A1ADD1,BC寸平面A1ADD1, (13分) 所以BC∥平面A1ADD1, 则|cosn1,n2)川=T n1·n2 2_2W13 又BB1∥AA1,AA1C平面A1ADD1,BB1丈平 nn2√3X113, 面A1ADD1,所以BB1∥平面A1ADD1,(3分) 所以平面A1B1C1D1与平面ABCD夹角的余弦值 因为BB1∩BC=B,BB1,BCC平面BCC1B1, (15分) 所以平面BCC1B1∥平面A1ADD1,(4分) 芳2酒 又平面A1B1C1D1∩平面BCC1B1=B1C1,平 17.解：(1)当a=0时，f(x)=2ln(x十1)-x2 面A1B,C1D1∩平面A1ADD1=A1D1, 2x(x>-1), 所以B1C1∥A1D1, (5分) x+12-2=-2(x+2) 则f(x)= (1分) x+1 同理可得A1B1∥C1D1, (6分) 所以当x∈(-1,0)时，f(x)>0,f(x)单调递增；当 所以四边形AB,C1D1为平行四边形.(7分) x∈(0，十∞)时，f'(x)<0,f(x)单调递减.(4分) (2)解：由题意得BD=2,AC=2√5 此时f(x)存在极大值，极大值为f(0)=0.(5分) 数学答案（七）·第4页（共8页） ·数学· 参考答案及解析 (2)f(x)=(a.x+2)ln(x+1)-x2-2x, 8n2-72=0, f(x)-aln(x+D+az+2_ x+12-2, △=0，即8m2-n2+9=0①， (6分) 又1过1，》，则1-ma@, 1 令g(x)=x-ln(x+1)(x>-1),g'(x)=1- x+1 联立①②可得m=-3, 则1：x=一3y+9,即得 n=9, =中 点P(9,0). (8分) 当x∈(-1,0)时，g'(x)<0,g(x)单调递减；当x∈ (0,十∞)时，g'(x)>0,g(x)单调递增， 设原点00,0)，南5aam=号×9×号-12， 所以g(x)≥g(0)=0,所以x≥ln(x+1). (7分) SAMPR=24, ①当a≤2时，因为x≥0，ln(x+1)≥0， 故S△MPR=2S△OPM, 从而R到1的距离为O到1距离的2倍，即R 所以f(x)≤2n(x+1)+2+2 -2x-2= 在1关于O对称的直线上， x+1 又R在C上，从而M,R关于O对称， 2ln(x+1)-2x≤0， 所以f(x)在[0，十∞)上单调递减，f(x)≤f(0)= 故直线MR的方程为y=x (10分) 0恒成立 (10分) (3)设D(x1y1),E(x2y2),DP=λPE, ②当a>2时，令h(x)=f'(x), 则(9-x1,-y1)=入(x2-9,y2), 则h'(x)= a a-2 -2,显然h'(x)在 所以：=9+9以-21‘③ x+1T(x+1)2 ay2=-y1, [0,十∞)上单调递减， (8x+9y=72, 由 又h'(0)=2a-4>0,h'(a)= a a-2 8(x2)2+9(y2)2=72λ2， ail+(ati) 得8+ 1+λ 1+λ1-λ -2<0, =72④， 所以3xo∈(0，a),使得h'(xo)=0, 结合③④，得-5λ十λx2=4, (14分) 所以当x∈(0，xo)时，h'(x)>0,f(x)单调递增， 又P(9,0),F(1,0),N(5,0),E(x2y2), 此时f'(x)>f'(0)=0,f(x)在(0，xo)上单调 递增， 直线NE的方程为y-0一，5红一日 所以3x∈R,使得f(x)>f(0)=0,与f(x)0恒 又MF⊥x轴，直线NE与MF交于点Q,则 成立矛盾 43y2=-Ay2=y1, 综上，a∈(-∞，2] (15分) x0=1,故yQ=5-x2 18解：1)设C的熊距为2c,由题窟知点M1,） 放DQLy轴，从而|TQ|-合|DF≤2(a+ 在C上，且MF⊥x轴，则c=1, (1分) c)=2,当D位于椭圆左顶点时取等号， 故TQ的最大值为2. (17分) 将-e代入C若+若-1a>60中， 19.(1)解：若n=2,则随机变量X的取值为1或2， 得y=士，即：8 1 ,即23 (2分) 又p1十p2=1,故p1=p2=2: 又a2-b2=c2=1,解得a2=9,b2=8, (3分) H(X)=- p:logaPi 所以C的方程为写+号-1. (4分) =-(p1 log2P1+p2 log2p2) (2)由题意知，过点M且与C有且只有一个公共 =-(7+2os2)-1. 点的直线的斜率不为0，故设l:x=my十n与 所以随机变量X的信息熵为1. (4分) c:号+若-1联立，得(8m+9》+16y+ （2)解：由题意，当≥2时=2， 数学答案（七）·第5页（共8页） A 真题密卷 学科素养月度测评（七） 1 1 n-k+2 2.log:pog (3)证明：由题意，H(X)=Hm(p1,p2,…, 2n-+2, 面A,®-（安+号）s(层+》， p.)-p:log:p: H(Y)=Hm(q1,92,…,qm)=- 0,1g:g H(Xp logs P 而且2p,=1,2g,-1,之2p4,=1,13分) i-1j-1 =-(侵+2》s(+》-2p,1gp 所以H(XY)=Hmn（p1q1,p192,,p19m, p291,…,p29m,…,巾n91,…,巾n9m） -一份+s(g+》+会+++层 2 =-22p.q:1oapq,) (7分) 令s++, 22pg,oga+1g:g） 2 2-1十2m = 之2p,q,logP:- i=15=1 22p:q,1o84 =1=11 2q,②p:lgep)-2p:(2a,log:g,） 2n111 两式相减，得2S.=2一2十2十2交+…+2云 之p:logp:- = q;1og:91 j=1 =Hn(p1,p2,…,pn)十Hm(q1,q2,…,qm) =H(X)十H(Y). (17分) 所烈8名告是 故H(X)=- 信+g+》+2 (10分) A 数学答案（七）·第6页（共8页） ·数学· 参考答案及解析 精典评析 TIANSHUJIAOYU ★函数f(x)=sinx cos xcos[ 受+）在区间（一x,2)上的所有零点之和为 A.元 B.2x C.3元 D.4π 【试题解读】 第7题考查函数零，点个数与其对应方程的根、函数图象的交点个数之间的关系，有助于培养学生利用 数形结合思想解决数学问题的能力， ★已知△ABC为直角三角形，C为直角顶点，分别以AB边上的高CD,中线CE,∠C的内角平分线 CF为折线，将△ABC折成直二面角，记折叠后的四面体A-BCD,A-BCE,A-BCF的体积分别为V1,V2, V3,则 () A.V1≥V2≥V3 B.V3≥V2≥V1 C.V2≥V3≥V1 D.V1≥V3≥V2 【试题解读】 第8题考查三角变换、空间几何体体积的综合应用，解决问题的关键在于借助直角三角形的边与角， 结合锥体体积公式表示出各四面体的体积，并通过作商法比较大小，增强了学生逻辑推理的核心素养，以 及转化与化归的数学思想. ★(I7分)在信息论中，熵(entropy)是接收的每条消息中包含的信息的平均量，又被称为信息熵、信源熵.若 把信息嫡定义为概率分布的对数的相反数，设随机变量X的所有取值为1,2,3，·，n(n∈N*),P(X=i)=p:, 定义信息熵：HX)=H,p:…,p)=一2p:1gp,2p,=1,i=12,…m (1)若n=2,且1=p2,求随机变量X的信息熵. （2)若p:=+日p:=1=2p,k=2,3,求随机变量X的信息简 (3)设X和Y是两个独立的随机变量，求证：H(XY)=H(X)+H(Y). 【试题解读】 第19题是统计新定义题，利用随机变量分布列的性质及错位相减法求和解题，考查了学生数学运算、 逻辑推理的核心素养，以及综合应用数学知识的能力. 数学答案（七）·第7页（共8页） A 真题密卷 学科素养月度测评（七） 命题要素细日表 关键能力：I.逻辑思维能力Ⅱ.运算求解能力Ⅲ.空间想象能力V.数学建模能力V.创新能力 核心素养：①数学抽象②逻辑推理③数学建模④直观想象⑤数学运算⑥数据分析 关键能力 核心素养 预估难度 题号 题型 分值 考查内容 IⅡⅢINV①②③④⑤⑥等级系数 1 单选题 5 集合交集运算 易 0.85 2 单选题 不等式与必要不充分条件 易 0.85 3 单选题 5 切线方程 易 0.80 4 单选题 5 排列组合 易 0.80 单选题 基本不等式的应用 中 0.70 6 单选题 5 现实背景下的数列应用与运算 WNN 中 0.65 7 单选题 5 三角函数与数形结合 中 0.65 单选题 三角变换与三棱锥体积运算 难 0.45 9 多选题 6 数据统计 W 易 0.75 二 10 多选题 6 复数运算 中 0.60 11 多选题 函数运算 难 0.40 填空题 5 坐标与三角变换 易 0.75 三 13 填空题 现实背景下的双曲线与抛物 0.55 线运算 1 中 14 填空题 向量的运算与最值 难 0.35 15 解答题 13 解三角形 易 0.75 16 解答题 15 线面关系证明与二面角余 0.55 弦值 中 四 17 解答题 15 函数的基本性质与参数求解 中 0.50 18 解答题 17 椭圆与直线的综合运算 中 0.50 19 解答题 17 新定义统计题 难 0.30 A 数学答案（七）·第8页（共8页）2024一2025学年度学科素养月度测评 数学（七） 姓名： 准考证号 填涂范例 考场号： 正确填涂■ 错误填涂☑☒ 短 物 ①)①)①I) o00000000 座位号 K 33333 B 3 缺考 (填涂说明：缺考考生由监考员用2B 4④4I4四④4④4印4④4④4四 姓名××× 准考证号×××××× 标记 口 铅笔填涂准考证号及左边缺考标记) 66 666 66 6 贴条形码区 7I刀刀7I刀 1177 开考15分钟以后，缺考考生由监考员粘贴条形码， 8 88 88 8888 考场号×× 座位号×× 并用2B铅笔填涂上方的缺考标记 选择题 单项选择题 1四B田 3 A B CIDD 5 A B CD 7 A B C I 2四四 4☒田四 6四田四 8 A B C D 多项选择题 9IB田CD 10A四B田CMDD 11四团 非选择题 12 13 14. 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 答题纸·数学（七）第1页（共5页） 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 15.(13分) 16.(15分) D B 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 答题纸·数学（七）第2页（共5页） 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 答题纸·数学（七）第3页（共5页） 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 答题纸·数学（七）第4页（共5页） ■■■■■■■■■■■■■■■■■■ 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 19.(17分) $ 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 答题纸·数学（七）第5页（共5页）2024一2025学年度学科素养月度测评 数学（七）》 姓名： 准考证号 填涂范例 考场号 正确填涂■ 错误填涂☑ ☒ 图 ) )①))①))①①) D 0000000 0 座位号： 2 刀 3I3I33I3I33I3 缺考 (填涂说明：缺考考生由监考员用2B 图 ④ 4④4I4④4④4④4④4④4 姓名××× 准考证号×××××× 标记 口 铅笔填涂准考证号及左边缺考标记) 6 贴条形码区 ] mm I maa I 开考15分钟以后，缺考考生由监考员粘贴条形码， ⊙ 8 8I8 8]8 8]8 8] 考场号×× 座位号×× 并用2B铅笔填涂上方的缺考标记 ⑨ 选择题 单项选择题 1 A B C D 3 A B CD 5ABCD 7B☒D) 2B田W) 4IBC四 6四田☑D 8 A B C D 多项选择题 9)BI) 10A四B☒四D) 11四BH四D 非选择题 12 13. 14 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 答题纸·数学（七）第1页（共5页） A 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 15.(13分) 16.（15分) D C 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 答题纸·数学（七）第2页（共5页） 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 答题纸·数学（七）第3页（共5页） 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 答题纸·数学（七）第4页（共5页） A ■■■■■■■■■■■■■■■■■■ 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 19.(17分) 烨 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 答题纸·数学（七）第5页（共5页）2024一2025学年度学科素养月度测评 题 数学（七） 本试卷总分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡 上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.设集合A={a2,0},B={a+2,1},若A∩B={1},则a= ( A.1 B.-1 C.0 D.士1 2.使不等式2 3 一≤1成立的一个必要不充分条件是 A.(-∞，-1)U(2,+∞) B.(-∞，-1]U(2,+∞) C.(-∞，-1)U[2,+∞) D.(-∞，-1]U[2,+∞) 3.若曲线y=aex-2十x在点(2,2+a)处的切线方程为y=4x+b,则a十b= A.3 B.-3 C.0 D.1 4.将6棵高度不同的景观树种植在道路两侧，要求每一侧种植3棵，且每一侧中间的景观 树都要比两边的高，则不同的种植方法共有 () A.20种 B.40种 C.80种 D.160种 5.已知非负实数xy满足x+y=1,则2十1十 1 一的最小值为 A. +2√2 3+2√2 2 C.2 4 D.3 6.血药浓度检测可使给药方案个体化，从而达到临床用药的安全、有效、合理.某医学研究 所研制的某种新药进入了临床试验阶段，经检测，患者A在给药3小时的时候血药浓度 达到峰值，此后每2小时检测一次，每次检测血药浓度降低到上一次检测时血药浓度的 40%,当血药浓度为峰值浓度的1.024%时，给药时间为 () A.11小时 B.13小时 C.17小时 D.19小时 .函数f)=sinx一c0 o(号+）在区间（一，2m)上的所有零点之和为 () A.元 B.2π C.3π D.4π 数学试题（七）·第1页（共4页） 真题密卷·学手 8.已知△ABC为直角三角形，C为直角顶点，分别以AB边上的高CD,中线CE,∠C的 班级 内角平分线CF为折线，将△ABC折成直二面角，记折叠后的四面体A-BCD,A-BCE, A-BCF的体积分别为V1,V2,V3,则 ) 姓名 A.V1≥V2≥V3 B.V3≥V2≥V1 C.V2≥V3≥V1 D.V1≥V3≥V2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 得分 9.在学校组织的“青春如火，初心如炬”主题演讲比赛中，有8位评委对每位选手进行评分 (评分互不相同)，将选手的得分去掉一个最低评分和一个最高评分，则 A.剩下评分的平均值变大 B.剩下评分的极差变小 C.剩下评分的方差变小 D.剩下评分的中位数变大 10.已知复数之1，之2满足之1=之2=1,1十之2=之1之2，则 A.z1+z2=1 B.z1+z2=1 C.xi+之8=2 D.之3十x3=2 11.已知增函数f(x)的定义域为正整数集，f(x)的取值也为正整数，且满足f(f()= 2n+1(n∈N*),则 () A.f(1)=2 B.f(4)=6 C.f(2025)=2536 D.Hn∈N*,都有f(2m)=3·2m-1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知点A的坐标为仁，3 22 ,将OA绕坐标原点0逆时针旋转2至OP,则点P的坐标 为 13.应用抛物线和双曲线的光学性质，可以设计制造反射式天文望远镜，这种望远镜的特 点是镜筒可以很短但观察天体运动又很清楚.某天文仪器厂设计制造的一种反射式望 远镜，其光学系统的原理（中心截口示意图）如图所示，其中一个反射镜PO1Q弧所在 的曲线为抛物线，另一个反射镜MO2N弧所在的曲线为双曲线的一个分支.已知F1, F2是双曲线的两个焦点，同时F2又是抛物线的焦点，且∠NF2F1=45°，tan∠NF1F2 =4,△NF1F2的面积为10，O1F2=8,则抛物线的方程为 斗素养月度测评 数学试题（七）·第2页（共4页） A 14.已知a=a+b=3E,b=6,则f(x)=a-2b十a-b(x∈R)的最小 值为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(13分)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,△ABC的面积为S,且a2+ 43S=(b+c)2. (1)求A; (2)若△ABC为锐角三角形，且b+c=4,求a的取值范围. 16.(15分)如图，在六面体ABCD-A1B,C1D1中，AA1∥BB1∥CC1∥DD1,且底面 ABCD为菱形. D B (1)证明：四边形A1B1C1D1为平行四边形 (2)若AA1⊥平面ABCD,AA1=CC1,∠BAD=60°，DD1=5,AB=BB1=2,求平面 A1B1C1D1与平面ABCD夹角的余弦值. 17.(15分)已知函数f(x)=(ax+2)1n(x十1)-x2一2x. (1)当a=0时，求f(x)的单调区间与极值； (2)若当x≥0时，f(x)≤0恒成立，求实数a的取值范围. A 数学试题（七）·第3页（共4页） 真题密卷 1&17分)已知椭周C:号+名-1a>6>0)的有盒点为F,点Mh,)在C上，且 2 MF⊥x轴，过点M且与C有且只有一个公共点的直线与x轴交于点P. (1)求C的方程； (2)点R是C上异于M的一点，且△MPR的面积为24，求直线MR的方程； (3)过点P的直线交C于D,E两点(D在E的左侧)，N为FP的中点，直线NE交直 线MF于点Q,T为DF的中点，求TQ的最大值. 19.(17分)在信息论中，熵(entropy).是接收的每条消息中包含的信息的平均量，又被称为信息 熵、信源熵.若把信息熵定义为概率分布的对数的相反数，设随机变量X的所有取值为1,2， 3,…,nm∈N),P(X=i)=p:,定义信息熵：H(X)=Hn(p1,p2,…,pn)=-之p:log2p1, i=1 2p:=1,=1,2,,m (1)若n=2,且p1=p2,求随机变量X的信息熵. 1,1. 1 (2)若p1=2十2p2=2云，p+1=2p,k=2,3,…n,求随机变量X的信息熵. (3)设X和Y是两个独立的随机变量，求证：H(XY)=H(X)十HY). 学科素养月度测评 数学试题（七）·第4页（共4页）