2025年数学素养月度测评（六）A版（全国通用）-【衡水真题密卷】2025年高考数学学科素养月度测评

2024一2025学年度学科素养月度测评 数学（六）》 姓名： 准考证号 填涂范例 考场号 正确填涂■ 错误填涂☑ ☒ 图 ) )①))①))①①) D 0000000 0 座位号： 2 刀 3I3I33I3I33I3 缺考 (填涂说明：缺考考生由监考员用2B 图 ④ 4④4I4④4④4④4④4④4 姓名××× 准考证号×××××× 标记 口 铅笔填涂准考证号及左边缺考标记) 6 贴条形码区 ] mm I maa I 开考15分钟以后，缺考考生由监考员粘贴条形码， ⊙ 8 8I8 8]8 8]8 8] 考场号×× 座位号×× 并用2B铅笔填涂上方的缺考标记 ⑨ 选择题 单项选择题 1 A B C D 3 A B CD 5ABCD 7B☒D) 2B田W) 4IBC四 6四田☑D 8 A B C D 多项选择题 9)BI) 10A四B☒四D) 11四BH四D 非选择题 12 13. 14 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 答题纸·数学（六）第1页（共5页） A 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 15.(13分) 16.（15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 答题纸·数学（六）第2页（共5页） 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 答题纸·数学（六）第3页（共5页） 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 18.（17分) C 1号方2号万 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 答题纸·数学（六）第4页（共5页） A ■■■■■■■■■■■■■■■■■■ 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 19.(17分) 烨 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 答题纸·数学（六）第5页（共5页）2024一2025学年度学科素养月度测评 数学（六） 姓名： 准考证号 填涂范例 考场号： 正确填涂■ 错误填涂☑☒ 短 物 ①)①)①I) o00000000 座位号 K 33333 B 3 缺考 (填涂说明：缺考考生由监考员用2B 4④4I4四④4④4印4④4④4四 姓名××× 准考证号×××××× 标记 口 铅笔填涂准考证号及左边缺考标记) 66 666 66 6 贴条形码区 7I刀刀7I刀 1177 开考15分钟以后，缺考考生由监考员粘贴条形码， 8 88 88 8888 考场号×× 座位号×× 并用2B铅笔填涂上方的缺考标记 选择题 单项选择题 1四B田 3 A B CIDD 5 A B CD 7 A B C I 2四四 4☒田四 6四田四 8 A B C D 多项选择题 9IB田CD 10A四B田CMDD 11四团 非选择题 12 13 14 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 答题纸·数学（六）第1页（共5页）》 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 15.(13分) 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 答题纸·数学（六）第2页（共5页） 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 答题纸·数学（六）第3页（共5页） 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 18.(17分) C 1号方2号万 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 答题纸·数学（六）第4页（共5页） ■■■■■■■■■■■■■■■■■■ 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 19.(17分) $ 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 答题纸·数学（六）第5页（共5页）密真 2024一2025学年度学科素养月度测评 题 数学（六） 本试卷总分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡 上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 ,y2 Q已知方程。十表示的曲线是椭圆，则实数的取值范围是 ( A.(4,6) B.(6,8) C.(4,8) D.(4,6)U(6,8) x2 y2 2.已知双曲线C:a-6 =1的焦距为4√3，则C的渐近线方程是 A,y=士x B.y=士√5x C.y=/3 Dy=t只 B已知椭圆C+1a>>0的右焦点为F,短轴长为23，点M在C上，若MF 大值是最小值的3倍，则C的焦距为 () A.3 B.4 C.1 D.2 4将范物线)=mx(m>0》签其顶点逆时针旋转90<0受)后，其准线方程为y-怎 2√3 ,则实数m= 3 A. 1 B.一4 C.2 D.-2 数学试题（六）·第1页（共8页） 真题密卷 5.(x2+x十y)5的展开式中x3y3的系数是 班级 A.5 B.10 C.20 D.60 姓名 6.已知A(2,0),P为圆C:x2十y2=1上的动点，且动点Q满足OP=OA十OQ,记点Q的 轨迹为E,则 () 得分 A.E为一条直线 B.E为椭圆 C.E为与圆C相交的圆 D.E为与圆C相切的圆 7.已知过圆锥曲线的焦点且与焦点所在的对称轴垂直的弦被称为该圆锥曲线的通径，清代数学 家明安图在《割圆密率捷法》中，也称圆的直径为通径.已知圆(x一2)2+(y十1)2=4的一条直 径与抛物线x2=2y(p>0)的通径恰好构成一个正方形的一组邻边，则p= （) 1 A.2 B.1 C.2 D.4 ，y2 Q是椭圆M:。干2=1(0<b<3)上的动点，若动点Q到定点P(2,0 |PQ的最小值为1，则M的离心率的取值范围是 () 2 B.0,2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.若某等腰直角三角形的两个顶点恰为椭圆C的两个焦点，另一个顶点在C上，则C的 离心率可能为 () 1 √2 A.2 B C.2-1 D.5-1 2 学科素养月度测评 数学试题（六）·第2页（共8页） A 10.某校团委为评价5个社团暑期开展活动的情况，在各社团中分别抽取部分社员进行调 查.若各社团被抽取的社员人数的平均数为8，方差为4，则各社团被抽取的社员人数的 最大值可能为 () A.13 B.12 C.11 D.10 11.如图所示的曲线Γ被称为双纽线，该曲线在生活中应用非常广泛，其代数形式可表示为坐标中 (0为坐标原点)动点P到点F,(一1,0)，F,(1,0)的距离满足：PF1PF,=寻FF,,则 A.OP的最大值是√2 B.若(xo,yo)是T上一点，且在第一象限，则yo>√2xo C.T与y=tanx有1个交点 D.△OPF,面积的最大值是4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 x2 y2 3 12.若双曲线C:。示=1(a>0,b>0)的-个焦点为F(5,0),一条渐近线方程为y 4， 则a+b= 13.已知P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(x3,y3)是抛物线C:y2=2x上三个不同的点，它们 的横坐标x1,x2,x3成等差数列，F为C的焦点，若P2F=2,则y1y3的取值范围是 14.如图是一个3×3的九宫格，小方格内的坐标表示向量，现不改变这些向量坐标，重新 调整位置，使得每行、每列各三个向量的和为零向量，则不同的填法种数为 (-1,1) (0,1) (1,1) (-1,0) (0,0) (1,0) (-1,-1) (0,-1) (1,-1) A 数学试题（六）·第3页（共8页） 真题密卷 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(13分)“脆皮大学生”问题使得更多的人开始关注青少年身体素质.身体健康指数H与体质 测试成绩Y有一定的相关关系，随机收集某大学20名大学生的数据得到登(H,一H)Y,一 Y)=38,2H,=80,2Y,=1256,H与Y的方差满足D(H)=DY)=2. 20 (1)求H与Y的相关系数r的值； (2)建立Y关于H的线性回归方程，并预测H=6时体质测试成绩. 2(H:-H)Y:-Y) = 参考公式：相关系数r= 三，回归方程立=a+H中斜 H:-H)2/2Y:-D N=1 2(H:-H)Y:-Y 率和截距的最小二乘估计公式分别为：6= ,a=Y-bH. 含1，- 学科素养月度测评 数学试题（六）·第4页（共8页） 16.(15分)已知抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F,过点F且互相垂直的两条动直线 分别与E交于点A,B和点C,D,当AB=CD时，AB|=8. (1)求E的方程； (2)设线段AB,CD的中点分别为M,N,若直线AB的斜率为正，且 FN1 FM=8,求直 线AB和CD的方程. 数学试题（六）·第5页（共8页） 真题密卷 17.(15分)已知点F(2,0)和圆C:(x+2)2+y2=36,M为圆C上的一动点，线段MF的 垂直平分线与线段MC相交于点S,记点S的轨迹为曲线E. (1)求E的方程， (2)点N(0,1),若E与x轴的左、右交点分别为A,B,过点T(1,0)的直线1与E交于 P,Q两点，直线AP,BQ相交于点D,问：是否存在一点D,使得|DM十DN取 得最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由， 学科素养月度测评 数学试题（六）·第6页（共8页） Y 18.(17分)如图所示，在研究某种粒子的实验装置中，有A,B,C三个腔室，粒子只能从A 室出发经B室到达C室，粒子在A室不旋转，在B室和C室都旋转，且只有上旋和下 旋两种状态，粒子间的旋转状态相互独立.粒子从A室经过1号门进入B室后，等可 能的变为上旋或下旋状态，粒子从B室经过2号门进入C室后，粒子的旋转状态发生 改变的概率为力(0<p<1).现有两个粒子从A室出发，先后经过1号门，2号门进入 C室，记C室两个粒子中，处上旋状态粒子的个数为X. A B 1号门2号门 (1)已知两个粒子通过1号门后，恰有1个处上旋状态1个处下旋状态，若这两个粒子 通过2号门后仍然恰有1个处上旋状态1个处下旋状态的概率为8，求P; (2)求X的分布列和数学期望； 1 (3)设力=3，若两个粒子经过2号门后都处上旋状态，求这两个粒子通过1号门后都 处上旋状态的概率. A 数学试题（六）·第7页（共8页） 真题密卷 19.(17分)在平面内，若直线1将多边形分成两部分，多边形在1两侧的顶点到直线1的距 x2 y2 离之和相等，则称1为多边形的一条“等线”.已知0为坐标原点，双曲线E:a一62= 1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,E的离心率为2，点P为E右支上一动点， 直线m与曲线E相切于点P,且与E的渐近线交于A,B两点，当PF2⊥x轴时，直线 y=1为△PF1F2的等线. (1)求E的方程. (2)若y=√2x是四边形AF1BF2的等线，求四边形AF1BF2的面积. (3)设O心-O,点G的轨迹为曲线I,证明：r在点G处的切线n为△AFF,的等线。 学科素养月度测评 数学试题（六）·第8页（共8页）·数学· 参考答案及解析 参考答案及解析 2024一2025学年度学科素养月度测评数学（六） 7.C【解析】因为圆(x-2)2十(y十1)2=4的一条直径与 一、选择题 抛物线x2=2y(p>0)的通径恰好构成一个正方形的 k-4>0, 一组邻边，而抛物线x2=2py(p>0)的通径与y轴垂 1,D【解析】由题意得8->0， 解得4<k<8且卡 直，所以圆(x一2)2十(y十1)2=4的这条直径与x轴 k一4≠8-k, 6,所以k的取值范围是(4,6)U(6,8) 垂直，且圆的直径的上端点就是抛物线通径的右端点， 62=6, 因为圆(x一2)2+(y+1)2=4的圆心为(2，一1)，半径 a=√6， 2.A【解析】由题意得2c=43,解得b=6,即C的 为2，所以该圆与x轴垂直的直径的上端点为(2,1)，即 c2=a2+b2, 抛物线x2=2y（p>0)经过点(2,1)，则4=2p,即 c=23, p=2. 方程为公一1，所以C的渐近线方程是y三士x. 3.D【解析】依题意，C短轴长为2√3，即b=√3，即a2 c2=b2=3,又|MF|的最大值是最小值的3倍，即a+c =3(a-c),所以a=2c,所以a=2,c=1,所以C的焦 距为2c=2. 4.A【解析】因为抛物线y=mx2(m>0)旋转后对应的准线 8.D【解析】设Q(3cos0,bsin0),则|PQ2=(3cos0-2)2 方程为y=3,2 3- ,且点0,0)到直线)y=52g +b2sin20=(3cos0-2)2+b2(1-os20)=(9-b2)cos20- 3- 3 12cos0+4+b2,令t=cos0∈[-1,1]，则|PQ2= 的距离为1，由x2=1y -1,解得m不 (9-b2)t2-12t十4+b2,注意到0<b<3,则9-b2>0,可知 Am 5.C【解析】依题意，(x2+x十y)5的展开式中x3y3项 f(t)=(9-b2)t2-12十4十b2的图象开口向上，对称轴为 是5个多项式x2+x十y中取3个用y,余下2个取1 1g0当)1，即0<3时0)在[-1，上的 6 6 个用x2,最后1个用x的积，即Cy3·Cx2·x= 20x3y3,所以(x2+x+y)5的展开式中x3y3的系数 最小值为fg即了()-06)(g) 是20. 6.D【解析】设P(xoy),由O=OA+Od,可得O 1风)+4+=，基理得公-0+9=0，解得=3，不 OP-OA,所以，点Q的坐标为(x一2，y),设点Q的坐标 符合题意；当。6≥，即3<9时f6)在[1，刃上的最 |x'=x0-2,x0=x'+2, 为(x'y),则 ”即 把P ly'=yo, (yo=y', 小值为f(1)=1,符合题意.综上所述，3b29,可得M的离 (x'+2,y)代入圆C,则点Q的轨迹E的方程 心率e=C= c9-b2(。√6 为(x'+2)2+y=1,即E是圆心为(-2,0)，半径为1的 ,所以M的离心率的 圆，由于两圆的圆心距和两圆的半径和相等，因此两圆外 切，即E为与圆C相切的圆. 聚作E用足6 数学答案（六）·第1页（共7页） A 真题密卷 学科素养月度测评（六） 二、选择题 题意，故B正确；若x5=11,例如5,7,8,9,11，满足题 9,BC【解析】在等腰直角△AEF中，在不影响离心率的情 意，故C正确；若x5=10,则(x1一8)2十(x2一8)2十(x3- 况下不坊设∠A=2AE=AF=k,k>0,且C的焦点位 |x1十x2十x3十x4=30, 8)2+(x4-8)2=16,可得 可知 x+x+x8+x=240, 于x轴上.当C以E,F为焦点时，根据椭圆和等腰直角三 该方程组无正整数解，故D错误. 角形对称性可知，点A为C的上顶点，则2a=2k,a=; 11.ACD【解析】对于A,由双纽线的对称性可知：当P运动 √2」 到x轴上时，OP|最大，不妨设此时P在x轴的正半轴 2cV2,c=2 k,离心率e=C 2 a k 2i 上，设此时|OP|=t,由PE,PF=|FF,=1, 得(1十t)(t一1)=1，解得t=√2， 故|OP的最大值是V2,故A正确； 对于B,设P(xy),则√(x-1)2+y2·√(x+1)2+y2=1, 0 令x=1,则|y√4十y=1,解得y2=√5-2，而此时 2x2=2,不满足y>√2x,故B错误； 当C以A,E或A,F为焦点时，2a=k+√2k=(1十√2)k, 对于C,联立√(x-1)2+y2·√(x十1)2+y=1与 y=x,则√(x-1)2+x2·√(x十1)2+x2=1,解得 a=1+y,2x=kc=冬，离心率e=&1十2 k x=0, 2 2 故直线y=x与曲线T只有一个交点，而当x∈(0,2)时， 2-1， tanx>x,由A易知双纽线中x∈[-√2w2],根据对称 性，只需研究x∈[0W2]上T与y=tanx的交点情况，显 然只有原点这1个交点，故C正确； 对于D,由√/(x-1)2+y2·√(x+1)2+y2=1, 可得x4+(2y2-2)x2+2y2+y=0,令x2=t, 则t十(2y2-2)t十2y2十y=0,该方程有实数根， 常上，C的病心率为号我区-1 故△=(2y2-2)2-4(2y2+y4)≥0， 解得y≤子，即≤， 1 10.BC【解析】因为x=5(x1十x2十x十x4十x)=8, Sm,-21or,ln=3×1×1=313pl≤ 所以x1十x2十x3十x4十x5=40, 且s2=5[z1-8)2+(xe-82+x,-82+(x-8》2+ 故D正确 (x5-8)2]=4, 三、填空题 则(x1-8)2十(x2-8)2十(x3-8)2十(x4-8)2十 at,又y= 12.7【解析】C的渐近线方程为y=士 4x为C (x5-8)2=20, 不妨设x5最大，若x5=13, 的一条晰近线，所以日-，设C的丰袋距为6，因为 则(x1-8)2十(x2-8)2+(x3-8)2十(x4-8)2=-5 F(5,0)为其一个焦点，所以c=5,又a2+b2=c2,所以 不成立，故A错误；若x5=12,例如7,7,7,7,12，满足 a=4,b=3,所以a十b=7. A 数学答案（六）·第2页（共7页） ·数学· 参考答案及解析 13.（一3,3)【解析】因为P,F=2,故x2十2=2，故x2= 16,解：1)由题意可知F(?,0小，直线AB的斜率存在且 2放十1=3，所以号+要-3，即疗十时-6，若 3 不为0，此时直线AB,CD均与E相交， 2+2 x1=x3,则x1=x3=x2,此时P1(x1,y1),P2（x2,y2), P(x3y)中必有两个点相同，这与题设矛盾， 故x1≠x3,故y≠y,由基本不等式可得y?十y=6> O 2√y1y,即-3<y1y3<3. B 14.72【解析】 D 3 4 5 6 设AB:x=my+2,m≠0，AG1),B). 8 9 首先对3×3的九宫格每个位置标注数字，第一步先排 则CD:x=一 + (0,0),一共9个位置，因此有C种排法，根据对称性 知，(0,0)所在的行和列只能排(1,1)，(-1，一1)， 联立 z=my y2pmy-p=0, (1,一1)，（一1,1），不妨设(0,0)在位置1，第二步排位 ly2=2px, 置2，则从(1,1)，(-1，-1)，(1，一1)，(-1,1)中选 则y1+y2=2pm,y1y2=-p2, (3分) 一个，因此有C4种排法，则位置3的坐标也已确定，第 可得AB|=√1+m√/4m2+42=2p(1十m2), 三步排位置4，则从(1,1)，(-1，一1)，(1，一1)， (5分) (一1,1)剩余的两个中挑一个，因此有C2种排法，接 若|AB=CD|,根据抛物线的对称性可得此时直线 着排位置7，位置7是(1,1)，(-1，-1)，(1，-1)， AB的倾斜角为，即m=1, (-1,1)中剩余的最后一个，相当于(0,0)所在的行和 列都已确定，则使得每行、每列各三个向量的和为零 可得|AB|=2p(1+1)=4p=8,解得p=2, 向量，其它四个位置的向量排法是唯一的，因此按分 所以E的方程为y2=4x. (7分) 步乘法计数原理知有CgCC2=72种排法. (2)由(1)可知F(1,0), 四、解答题 AB:=my+1,CD:<=-1 +1, 15.解：(1)由题意知D(H)= 2(H,-H)2=2, (2分) 且y1+y2=4m,y1y2=-4, 201 所以2(H,-H)2-40,同理2(Y,-Y)2=40, (4分) 则y1十y2=2m,1。=2m2十1' 2 (H-F)(.-Y) 即M(2m2+1,2m), (10分) 38 =0.95. (7分) √H-√-n 40 同理可得N+1,2引， (11分) m 由题意可知：m>0, (2)由题意6= 2(H,-I)Y-D =0.95, 则|FM|=√1+m2|2m-0|=2m√1+m2, (H,-H) i=1 Y=2Y=62.8,H=2; Iw=1+|-2-o= 2√/1+m2 m2 m m2 20:台1 H:=4, 20:=1 (10分) 2√1+m 则a-Y-bH=59,即立=0.95H+59, (11分) 因为 FN m2 11 FM 2mV1+mm=8,解得m=2, 当H=6时，立=64.7，即可预测H=6时体质测试成 绩为64.7. (13分) 则AB:x=2y十1，CD:x= 2y+1, 数学答案（六）·第3页（共7页） A 真题密卷 学科素养月度测评（六） 即AB:x-2y-1=0,CD:2x+y-2=0. (15分)1 18.解：(1)设A=“两个粒子通过2号门后仍然恰有1个 处上旋状态1个处下旋状态”， 事件A发生即通过2号门时，两个粒子都不改变或都 改变旋转状态， 故Pa)=p+1>=名解得p-或、4分) 1 (2)由题知X=0,1,2, 17.解：(1)由题意可得|SC+|SF|=|SC+|SM= 当X=2时分3类情形， IMC|=6>|CF|=4, (2分) ①两个粒子通过1号门后均处上旋状态，通过2号门 所以点S的轨迹是以C,F为焦点的椭圆， (3分) 后均不改变状态； 故2a=6,2c=4,即a=3,c=2,b=√5， ②两个粒子通过1号门后一个处上旋状态一个处下旋状 故E的方程为后写+号-1。 (5分) 态，通过2号门后处上旋状态的粒子不改变状态，处下 旋状态的粒子改变状态； ③两个粒子通过1号门后均处下旋状态，通过2号门 后均改变状态， 所以PCX=》=+1-+1-p)=, (6分) (2)存在点D,使得DM+|DN|取得最小值，且最 同理P(X=1)=Cp1-p)+2[p+1-p)门+ 小值为√401-6. (6分) 由题意可知直线1的斜率不为0，故设直线1的方程为 4Cp1-p)=2' (8分) x=my+1,P(x1,y1),Q(x2,y2), (9分) (x=my+1, P(X=0)-1-P(X=1)-P(X=2)-}, 联立2+y=1 得(5m2+9)y2+10my-40=0, 故所求的分布列为 9+5 =1, 0 1 2 10m 40 所以y1十y2=一 m2+9'y1y2= 5m2+9' 2 故my1y2=4(y1+y2), (8分) 由(1)得，A(-3,0),B(3,0), 1 .1 1 所以E(X)=0×4+1×2+2×4=1. (11分) 2z+3,80y兰5红-3,0分 故APy= (3)设A:=“两个粒子通过1号门后处上旋状态的粒 设D(xo,y),将D(xo,y0)代人AP,BQ方程可得 子个数为i个”，i=0,1,2, x0+3y2(x1+3)_y2(my1+4)_y1y2+4y2 B=“两个粒子通过2号门后处上旋状态的粒子个数 xo-3y1(x2-3)y1(my2-2)my1y2-2y1 为2个”， 40y1+y2)+4y2=2, (12分) 4(y1+y2)-2y1 则PA,)=PA,)=(2》°-，PA,)-c(》- 解得xo=9,故点D在定直线x=9上， (13分) 4 N(0,1)关于x=9的对称点N(18,1),且C(-2,0), PBA,)=日，P(BA)= 9P(BA:)=g,13分) 故|DM|+|DN|=|DM|+|DN'|≥|MN'|≥ 1 1.1 P(B)-P (A )P (BIA ) 2 =0 9 |CN'|-6=√(18+2)2+1z-6=√40I-6, 141 故|DM|+|DN|的最小值为√40I-6. (15分) 4×9=4 (15分) A 数学答案（六）·第4页（共7页） ·数学· 参考答案及解析 故P(A2B)= P(A2B)P(A2)P(BA2) √3 -3 P(B) P(B) 所以yB=一√3xB=一 =√6-3， y。√3x0+y x0十 1.4 4X94 3 (17分) 1 所以|yA一yB|=6,所以SABCD= 2|Rr· 4 lyA-yB=2yA-yB=12. (11分) 19.（1)解：因为直线y=1为△PF,F,的等线，所以2-1 (3)证明： a =2.e=后-2c=a+62, 解得a=1,6-5,所以E的方程为-兰-1.日分) (2)解：设P(xo,yo),切线m:y-yo=k(x-xo), 代入2-苦=1，得8-9)+20-)x (k2x+y6-2kxoy0+3)=0,故[2k(kx0-y0)]2+ 设G(xy),由0心=O应，所以x。=3xy。=3y,故 4(3-b2)(k2x6+y8-2kx0y0+3)=0, 该式可以看作关于k的一元二次方程(x号-1)k2 曲线下的方程为9x2-3y2=1(x>0), 2xoyok+y8+3=0, 9z0z-3yy=1,即x- 由(*)知切线n:3x一 3 3 所以=工y。 xoyo 3x0 ,即m的方程为 1+)-1 3,即3xx-yy-1=0. (13分) 易知A与F2在n的右侧，F1在n的左侧，分别记 xyy =1(*), (6分) F1,F2,A到n的距离为d1,d2,dg, 3 由(2)知xA= 1 当m的斜率不存在时，也成立。 yo A=3.1 yo xo- Xo- 渐近线方程为y=士√3x,不妨设A在B上方， 3 √3 3 1 联立得xA= 、1 y。B ,故xA十xB= 3x0 3y0 yo yo o x0十 xo- √5 5 所以d3= √3 1 1 √9x6+y8 =2x0, 2y0 2x0- 3 3 8x。3y。xo十g 3 所以P是线段AB的中点，因为F1,F2到过O的直 to- yo 线距离相等， √3 √/9x6+y日 √9x6十y日 则过O点的等线必定满足：A,B到该等线距离相等， 且分居两侧，所以该等线必过点P,即OP的方程为 9xy y=√2x, (8分) 由xo≥1，得d1= |-6x0-16x0+1 y=2x, x=√3， √9x6十y √9x6+y -y2,解得 由 故P(,√6) -3=1,y=6 6x。-1 6x0-1 d2= √9x6十y名√9x6+y6 所以yA=x4=3 3 因为d2十d3= 6z。-1 2 6xo十1 —=√6十3， =d, 9x6+y8√9x6+y√9x6+y 3 所以直线n为△AF1F2的等线. (17分) 数学答案（六）·第5页（共7页） A 真题密卷 学科素养月度测评（六） 精典评析 TIANSHUJIAOYU ★将抛物线)=mm>0)绕其顶点逆时针旋转9(0<0<受）后，其准线方程为)-。25， 3x-3,则实数m=(） A号 B.一4 C.2 D.-2 【试题解读】 第4题从动态旋转出发，考查了对抛物线定义的理解以及点到直线的距离公式，令人耳目一新. ★已知A(2,0),P为圆C:x2十y2=1上的动点，且动点Q满足O币=OA+O反，记点Q的轨迹为E,则（) A.E为一条直线 B.E为椭圆 C.E为与圆C相交的圆 D.E为与圆C相切的圆 【试题解读】 第6题集中考查了对向量、代数、几何的理解与运用，通过运用向量坐标，相关点法求轨迹方程，从而达到判断几 何图形的关系的目的，体现了数学中的转化与化归思想以及数学逻辑思维在解决问题中的应用. ★已知过圆锥曲线的焦点且与焦点所在的对称轴垂直的弦被称为该圆锥曲线的通径，清代数学家明安图在《割圆密率捷 法》中，也称圆的直径为通径.已知圆(x一2)2+(y十1)=4的一条直径与抛物线x2=2y(p>0)的通径恰好构成一个正方形 的一组邻边，则p= () A.2 1 B.1 C.2 D.4 【试题解读】 第7题以数学文化为背景考查多个几何图形，起到了文化育人的目的 ★如图是一个3×3的九宫格，小方格内的坐标表示向量，现不改变这些向量坐标，重新调整位置，使得每行、每列 各三个向量的和为零向量，则不同的填法种数为 (-1,1) (0,1) (1,1) (-1,0) (0,0) (1,0) (-1,-1) (0,-1) (1,-1) 【试题解读】 第14题是分步计数原理与组合知识的综合，同时应用了对称性来解决问题，充分考查了基础知识和基本方法的 掌握程度，在解决问题时需要具备较强的思维能力 ★(17分)在平面内，若直线1将多边形分成两部分，多边形在1两侧的顶点到直线1的距离之和相等，则称1为多 边形的一条“等线，已知0为坐标原点，双曲线E:君若=1(a>06>0)的左，右熊点分别为R,R,B的离心率为 2,点P为E右支上一动点，直线m与曲线E相切于点P,且与E的渐近线交于A,B两点，当PF2⊥x轴时，直线 y=1为△PF1F2的等线. (1)求E的方程. (2)若y=√2x是四边形AF1BF2的等线，求四边形AF1BF2的面积， (3)设0元-O庐，点G的轨迹为线工，证明，r在点G处的切线n为△AF,F,的等线。 【试题解读】 第19题考查圆锥曲线新定义，考查了函数与方程思想，代数与几何的相互转化，解题的关键是利用给定的定义和 条件，结合所得结论解决问题，充分考查了学生解决数学问题的综合能力， A 数学答案（六）·第6页（共7页） ·数学· 参考答案及解析 命题要素细日表 题号 分值 题型 考查内容 难度 1 5 单选题 椭圆的定义 易 2 5 单选题 给定条件求双曲线的渐近线 易 5 单选题 求椭圆中的最值问题 易 4 5 单选题 抛物线的旋转和定义 易 5 5 单选题 两个二项式乘积展开后的系数问题 中 6 5 单选题 轨迹问题—圆，判断圆与圆的位置关系 中 7 5 单选题 根据抛物线上的点求标准方程，抛物线的通径问题 中 8 5 单选题 根据函数最值求参数，求椭圆的离心率 难 9 6 多选题 求椭圆的离心率 易 10 6 多选题 根据平均数、方差求参数 中 11 6 多选题 由方程研究曲线的性质 难 12 5 填空题 给定双曲线的焦点和渐近线求标准方程 易 三 13 5 填空题 条件等式求最值 中 14 5 填空题 排列组合综合 难 15 13 解答题 相关系数的计算，求直线回归方程 易 16 15 解答题 抛物线的焦点弦 中 四 17 15 解答题 轨迹问题—椭圆，求椭圆中的最值问题 中 18 17 解答题 全概率公式 难 19 17 解答题 新定义—一圆锥曲线 难 数学答案（六）·第7页（共7页） A