2025年数学素养月度测评（二）A版（全国通用）-【衡水真题密卷】2025年高考数学学科素养月度测评

2024一2025学年度学科素养月度测评（二) 数学 姓名： 准考证号 填涂范例 考场号： 正确填涂■ 错误填涂☑ ☒ 图 血 )①))①))①①) D 0000000 0 座位号： I B 3I3I3】3I3I3】3I3I 缺考 (填涂说明：缺考考生由监考员用2B ④ 4④4I4④4④4④4④4④4 姓名××× 准考证号×××××× 标记 口 铅笔填涂准考证号及左边缺考标记) 6 贴条形码区 ] mm I maa I 开考15分钟以后，缺考考生由监考员粘贴条形码， ⊙ 8 8I8 8]8 8]8 8] 考场号×× 座位号×× 并用2B铅笔填涂上方的缺考标记 ⑨ 选择题 单项选择题 1 A B C D 3 A B CD 5ABCD 7B☒D) 2B田W) 4IBC四 6四田☑D 8 A B C D 多项选择题 9)BI) 10A四B☒四D) 11四BH四D 非选择题 12 13. 14 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 答题纸·数学（二）第1页（共5页) A 请在各题目的答题区域内作答超出答题区域的答案无效 15.(13分) 16.（15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 答题纸·数学（二）第2页（共5页） 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 答题纸·数学（二）第3页（共5页) 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 答题纸·数学（二）第4页（共5页） A ■■■■■■■■■■■■■■■■■■ 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 19.(17分) 烨 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 答题纸·数学（二）第5页（共5页)密真 2024一2025学年度学科素养月度测评（二） 题 数学 本试卷总分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡 上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 f(1+△x)-f(1) 1.设函数f(x)=e一1，则1im ( AT- △x A.e B.2 C.e-1 D.1 2.函数f(x)=lnx十cos5的导数f'(x)= 3 A c. 1 B.sin 3 父 -sin 3 D.- 3.函数f(x)=x3cosx的部分图象为 ( 4 2 2 -2 -2 -4 -4 A B -2 -4 -4 C D 4.已知A是函数f(x)=x-2lnx图象上的动点，B是直线x十y十2=0上的动点，则A, B两点间距离AB的最小值为 () A.4√2 B.4 C.2√2 D.√5 数学试题（二）第1页（共4页） 真题密卷·学手 5.北京时间2020年11月24日4时30分，中国在文昌航天发射场用长征五号遥五 班级 运载火箭，成功将嫦娥五号月球探测器送入地月转移轨道，发射取得圆满成功.在 不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v(km/s)和燃料的质量M(kg)、火箭 (除燃料外)的质量mkg)的函数关系是0=2001n+M).按照这个规律，当 姓名 m 1000M=8m时，火箭的最大速度为v1;当1000M=4m时，火箭的最大速度为 252 u.则u1-w≈（参考数据：ln25≈0.004） ) 得分 A.8.0 km/s B.8.4 km/s C.8.8 km/s D.9.0 km/s 6.已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数，且当x∈[0，+∞)时，f(x)十xf'(x)>0,若a =0.7f(0.7),b=(1og0.76)f(1og0.76),c=6°.6f(6.6),则a,b,c的大小关系是( ) A.c>a>b B.a>c>b C.b>a>c D.a>b>c 7.已知函数y=f(x)的定义域是（一∞，0）U(0,十∞)，对Hx1,x2∈(0，十∞)，x1≠x2,都有 f,）/a》<0,若两数y=了2x+1)的图象关于点-0对称，且f2)=2, x2-x1 则不等式f(x)>x的解集为 ( A.(-2,0)U(0,2) B.(-2,0)U(2,+∞) C.(-∞，-2)U(0,2) D.(-∞，-2)U(2,+∞) 8.已知函数f(x)=sin(πx)十einx,则下列说法正确的是 A.f(x)<1+e恒成立 B.f(x)在[0，π]上单调递增 C.f(x)在[一π，0]上有3个零点 D.f(x)是周期函数 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列说法正确的是 ( A.已知f(x)是奇函数，则有f(0)=0 B函数y=2二-的单调减区间是(-0，》U(分，十∞ C.定义在R上的函数f(x),若f(3)≠f(一3)，则f(x)不是偶函数 D.已知f(x)在R上是增函数，若a十b>0,则有f(a)-f(-a)>f(-b)一f(b) 10.已知两数fz)}-a2:-x,则下列说法正确的是 A.若于)在区间0,2)上单调递减，则。的取值范围为（经，十∞】 B,若fx)在区间(0,2)上有极小值，则a的取值范围为-∞，】 3 C.当a=0时，若经过点M(2,m)可以作曲线y=f(x)的三条切线，则实数m的取值 2 范围为一2,3 D.若曲线y=fx)的对称中心为1，-》，则a=1 11.已知函数f(x)不恒为零，f'(x)为f(x)的导函数，对于Hx,y∈R,满足f(x十y)f(x一y)= f2(x)一f(y),且f(1)=1,f(2)=0,则 () A.f(x)是偶函数 B.f'(x十1)关于直线x=1对称 C.f(2n)=0,n∈N D2f)=-1 斗素养月度测评 数学试题（二）第2页（共4页） A 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知函数f(x)=sinx+f'(受cosx+2x,则f(牙)- 13.已知函数f)=e年十sm,则f(-2020)+f(2019)+…+f0-1D+f0+/1 +…+f(2020)= x2-(a十1)x十2a,x<1,给出下列四个结论： 14,设函数f(x)=alx-2,z2≥， ①当a<0时，函数f(x)有三个极值点； ②当0<a<1时，函数f(x)有三个极值点； ③Ha∈R,x=2是函数f(x)的极小值点； ④a∈R,z三a,都不是函数f)的极大值点， 其中结论正确的序号是 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知函数f(x)=ax3+bx2(x∈R)的图象过点P(-1,2),且在点P处的切线 恰好与直线3x+y十4=0平行. (1)求f(x)的解析式； (2)求f(x)在[-4,1]上的最大值和最小值. 16.(15分)已知函数f(x)=log:4·log:2(1≤x≤4)，g(x)=4+4-a·22-a· 2-x+1. (1)求f(x)的最大值； (2)设不等式f(x)≤0的解集为A,若对Hx1∈A,3x2∈[0,1]，使得x1= g(x2),求实数a的值. 数学试题（二）第3页（共4页） 真题密卷 17.(15分)杭州亚运会以“绿色，智能，节俭，文明”为办赛理念，展示杭州生态之美，文化之 韵，充分发挥国际重大赛事对城市发展的牵引作用，从而促进经济快速发展.筹备期 间，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放当地市场.已知该 种设备的年固定研发成本为50万元，每生产一台该设备需要另投人80万元，设该公司 一年内生产该设备x万台且全部售完，每万台的销售收人G(x)(万元)与年产量x(万 180-2x,0<x≤20， 台)满足如下关系式：G(x)= 70+20009000 xx(x+1)x>20. (1)写出年利润W(x)(万元)关于年产量x(万台)的函数解析式（利润=销售收入一成 本). (2)当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大？并求出最大利润. 18.(17分)已知函数fc)=21nx+0,a∈R (1)当a=0时，求f(x)的极值； (2)讨论f(x)在区间[1，e]上的单调性； (3)若fx)≤xe+1-1恒成立，求实数a的取值范围. 19.17分)若函数f)满足对Vz∈0,1Ua,-∞，c-1DF)-f<0恒成 立，则称f(x)为“反转函数”. ()若fx)=ax2-1是“反转函数”，求a的取值范围. (2)①证明：g(x)=lnx十二为“反转函数”. 必设aeN,证明2计日+行++ +n+1>3lnn+1). 学科素养月度测评 数学试题（二）第4页（共4页）·数学· 参考答案及解析 参芳答案及解析 2024一2025学年度学科素养月度测评（二）数学 一、选择题 又因为x∈[0，+∞)时，g'(x)=f(x)+ 1.A【解析】由题意得f'(x)=e,由导数定义 xf'(x)>0, _f(1+Az)-f(D-f()-e. 得 所以g(x)=xf(x)在[0，十∞)上是增函数， △x 所以g(x)=xf(x)是定义在R上的增函数， 2.A【解折】于)=1Bx十cos晋-1hz十2，剥 又由log.76<0<0.76<1<6.6, 所以g(1oga.76)<g(0.7)<g(6.6), ')= 即b<a<c. 7.C【解析】因为Hx1,x2∈(0，十∞)，x1≠x2, 3.B【解析】因为f(x)=x3cosx为奇函数，故排 除A,D:当0<x<7时，f)=cosx>0,故 都有2f)-f)<0, x2一x1 排除C. f(x2)f(x1) 4.C【解析】因为f(x)=x-2lnx(x>0),所以 所以工1<0，令2>x1>0, x2-x1 f)=1-是 x1T2 当f'(x)=-1时，x=1,又f(1)=1, 则fx)f(x) 所以f(x)过(1,1)点的切线为：y一1 -(x-1),即x+y-2=0. 令g(x)=f(x) ,则g(x)在(0，十∞)上单调 直线x十y-2=0与x十y十2=0的距离为： 递减， d=4=22,即|AB1的最小值为22. 又通数y=2x+1)的图象关于点(0)对格， 5.A【解析】由题知u=20001n1+M）, 则f(x)关于(0,0)对称，即f(x)为奇函数， 为偶函数， 当1000M=8m时，有 M 8 所以g(x)=fx m1000 则gr)=f四在(-o0,0)上单调递增，由f)> 所以，=200ln1+100/ 8 1008 x =2000ln 1000 x,可得当x>0时，f)>1, M 4 x 当1000M=4m时，有 m1000' 4 1004 又fe)-2则2 =1,所以当x>0时，f(x)>x 所以=200ln1+1000】 =2000ln 1000 的解集为0<x<2; 1008 可得u1-2=2000ln1004 252」 =2000l 257≈2000 当x<0时，f）<1,且f-2》-f②）=1，所 -2 2 ×0.004=8km/s. 以当x<0时，f(x)>x的解集为x<一2， 6.A【解析】令g(x)=xf(x),由y=f(x)是定 综上所述，不等式的解集为{x|x<一2或0<x 义在R上的偶函数， <2}. 得g(-x)=-xf(-x)=-xf(x)=-g(x), 8.A【解析】对于A,因为sinx∈[-1,1]，所以 g(0)=0, f(x)=sin(xx)十eimx≤1十eimr≤1十e,又因为 故g(x)=x∫(x)是定义在R上的奇函数， 当sin(πx)=1时，sinx恒不为l,即eimx恒不为 A 真题密卷 学科素养月度测评（二） e时，两等号不同时成立，所以f(x)<1十e,故A f(x)在R上是增函数，若a十b>0,则a>-b, 正确； b>-a,则f(a)>f(-b),f(b)>f(-a),所 对于B,因为3π<π2<4π，所以sinπ2<0，故 以f(a)+f(b)>f(-b)+f(-a), f(π)=sinπ2+1<1=f(0),故B错误； 即f(a)一f(-a)>f(-b)-f(b),故D正确. 对于C,令f(x)=sin(元x)十emr=0→sin(元x) 10.BCD【解析】f'(x)=x2-2ax-1,令g(x)= =一eimr, x2-2ax-1, ih(x)=sin(x),g()=-exin*, 若f(x)在区间(0,2)上单调递减， 则g'(x)=一cos in, 则g(x)=x2-2ax-1≤0在区间(0,2)上恒 当x∈(-，-）时，0sx<0,所以g')> 成立， 0,g(x)单调递增， 即2a≥x- 恒成立， x 当x∈（←0）时，osx>0,所以g'x)K0, 即2a≥(-）又x-在区同0,2上 max g(x)单调递减， 调递增， 且g(-x)=-1,g( )=- 1 e8(0)=-1, 则2a≥2- 13 2=2 而h(x)∈[-1,1]， 3 在同一直角坐标系中作出函数图象如图：故两函数 所以a的取值范国为，+∞，故A错误； 图象有4个不同的交点，因此函数f(x)在[一π，0] 若f(x)在区间(0,2)上有极小值， 上有4个零点，故C错误； 则g(x)=x2-2ax-1在区间(0,2)上有零点， 且g(x)在零点左端小于零，在零点右端大于 h(x）=sin(πx) 零，则g(0)<0,g(2)>0, 解得a的取值范偶为(，），故B正确； g(x)=-esinx 对于D,由于y=sinπx为周期函数，且最小正周 当a=0时，f)=3x3-2,gx)=x-1,设 1 经过点M(2,m)作曲线y=f(x)的切线的切点 期为2=2，而y=e血：=en+0也为周期函数， 1 为(x03x03-x),则切线斜率为g(x=x0 且最小正周期为2π， 1, 由于2π为无理数，而2为有理数，则不存在整数 1,k2使得2k1=2πk2, 故切线为y (信-x）=a3-1-o 所以f(x)=sin(πx)十eimx不是周期函数，故D 又切线经过点M(2,m), 错误. 二、选择题 则m-(得xw-x）=红，-1D2-z)有三个 9.CD【解析】奇函数不一定过(0,0)，故A错误； 1,1 解，即m=一子x03+2x02-2有三个解， x一2十2= 2 y=2x-1=2x-1 2 ,所以 4(-》 令p(x)= -3x3+2x2-2,则p'(x)=-2x 十4x=-2x(x-2), 函载y=2z二的单调减区间是(-©，号)， 则当x1=0,x2=2时，函数p(x)取得极值， (（侵，十∞，故B错误； 0(0)=-2,9(2)=2 如果f(x)是定义在R上的偶函数，则f(3)= 则实数m的取值范国为(2，号），故C正确， f(-3),因为f(3)≠f(-3),所以f(x)不是偶 函数，故C正确； 若曲线y=fx)的对称中心为(1，-哥），则 A ·2· ·数学· 参考答案及解析 f(-2)+f(2+z)) 令x=1,可得f(3)+f(1)=0, 可得f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0, 1 3-x)-ax+x+32+x)'-a2+x)2 结合周期性可得2f(k)=2X0=0,故D错误。 (2+x)=解得a=1,故D正确 10 三、填空题 11.BC【解析】因为f(x)的定义域为R, 12.V2+【解析】函数fx)=simx+f'(受osx 对于A,令x=y=0,可得 十2红，求导得f'x)=sx-f'(受)snx十2，由 f(0)f(0)=f2(0)-f(0)=0,即f(0)=0, 令x=0,可得f(y)f(-y)=f(0)-f(y)= f(经)=ms7-f'(受)sn7+2,解得f(经)= -∫(y),因为f(y)不恒为零， 所以f(-y)=-f(y),即f(-x)=-f(x), 1,所以f(x)=sinx十c0sx+2a,则f(开)= 所以f(x)是奇函数，故A错误； 对于B,令1T可得f(2)f(2)=f(1 sn牙+o+=+ 4 +t)-f2(1-t)=0, 13.8082【解析】令g(x)=e+h(x)=sinx, 即f(1十x)=f(1-x),即f(x)=f(2-x), 则f(x)=g(x)十h(x), 可得f(x)=士f(2-x), 由于h(x)=sinx为奇函数， 令x=2,可得f(2十y)f(2-y)=-f(y),即 故h(-2020)+h(2020)=h(-2019)+h(2019)= f(2+x)f(2-x)=-f(x), =h(-1)+h(1)=h(0)=0, ①当f(x)=∫(2-x)≠0时， 4 4 有f(2十x)=一f(x)=f(-x),所以 其中g(-x)+g(x)= e+1十e+1= f(2+x)+f(2-x)=-f(x)+f(x)=0; 4(e+ex+2) ②当f(x)=-f(2-x)≠0时，有f(2十x)=f(x), e*+e-*+2 =4,g(0)=2, 可得f(2十x)+f(2-x)=f(x)-f(x)=0; 所以f(-2020)+f(-2019)+·+f(-1) ③当f(x)=f(2-x)=0时，结合f(-x)=-f(x), +f(0)+f(1)+·+f(2020) 有f(-x)=-f(2-x), =g(-2020)+g(-2019)+…+g(-1)+ 可得f(x)=-f(2+x)=0,所以f(2+x)+ g(0)+g(1)+…+g(2020) f(2-x)=0. =2020×4+2 综上，f(2十x)+f(2-x)=0, =8082. 两边同时求导得f'(2十x)=f'(2-x),可知f'(x) 14.②④【解析】对于①，不妨取a=一1，此时f(x) 关于直线x=2对称， |x2-2,x<1, 所以f'(x十1)关于直线x=1对称，故B正确； 对于C,由B可知：f(x)=士f(2一x), =-lx-2lx21, 作出函数f(x)的图象如图： ①若f(x)=f(2-x)=-f(x-2), 即f(x+2)=-f(x), 可得f(x十4)=-f(x+2)=f(x),可知4为 f(x)的周期； ②若f(x)=-f(2-x)=f(x-2), fx 即f(x+2)=f(x), 可得f(x十4)=f(x十2)=f(x),可知4为f(x) 此时f(x)有2个极值点x1=0,x2=2,故① 的周期.综上，4为f(x)的周期. 错误； 且f(2)=f(0)=0,所以f(2n)=0,n∈N,故C 正确； 对于@当0a<1时，日生1，作盘4 对于D,由B可知：f(2十x)十f(2-x)=0, 数f(x)的大致图象如图： 3 A 真题密卷 学科素养月度测评（二） -a+b=2, 由 解得 a=1, 3a-2b=-3, b=3, f) 所以f(x)=x3+3x2. (6分) (2)由(1)知：f'(x)=3x2+6x=3x(x+2),(7分) 由f'(x)<0得-2<x<0,由f'(x)>0 得x<-2或x>0. (8分) f6)在(，，1,2)上单递成，在 所以f(x)在（一4，一2）上单调递增，在（一2,0）上 单调递减，在(0,1)上单调递增， (10分) (士，小2十)上单网运0。 又f(-4)=-16,f(-2)=4,f(0)=0,f(1)= 4,所以f(x)在[-4,1]上的最大值为4，最小值 此时f(x)有3个极值点：1=a十1， 2x2=1,x3 为-16. (13分) x =2,故②正确； 16.解：1)fx)-log4l1o8e2=(ogx-2)· 对于③，由①的分析可知，a=一1时，x=2是函 (1og2x-1)=(10g2x)2-3log2x+2, (2分) 数f(x)的极大值点，故③错误； 因为1≤x≤4，所以0≤10g2x≤2， (3分) 对于0，由以上分布可如当a心1时，士<1， 当10g2x=0,即x=1时，f(1)=2,当1og2x=2, 即x=4时，f(4)=0, 且x=a为y=x2-(a十1)zx十2a的对 所以f(x)的最大值为2. (4分) 2 (2)由f(x)≤0，得1≤log2x≤2， 称轴， 即2≤x≤4，所以A=[2,4幻， (5分) 此时x=a十 2为函数f(x)的极小值点， 设t=2x+2x,当x∈[0,1]时，2x∈1,2]， te2,2]' (6分) 当a≥1时，a1,此时f(x)在(-∞，1D上 g(x)=4+4x-a·2-a·2x+1 单调递减，在[1,2]上也单调递减，在(2，十∞) =(22+2x)2-a(2x+2x)-1=t2-at-1, 上单调递增， (7分) 此时c=0十不是函数fr)的极大值点， 设h(t)=t2-at-1, 2 「2,5时，函数 由题意，A=2,4]是当t∈2,2 h(t)的值域的子集， (8分) ①当号≤2，即a<时，函数A在2，引上 单调递增， h(2)=3-2a≤2， 解得a=2; 1 则 (10分) 故Va∈R,z=a1都不是函数f(r)的板大值 2 四当号≥即a≥56时，函数)在2，引上 点，故④正确 四、解答题 单调递减， 15.解：(1)因为函数f(x)=ax3+bx2的图象过点 [h(2)=3-2a≥4， P(-1,2), 不等式组无解；(12分) 所以-a十b=2. (2分) 又因为f'(x)=3ax2+2bx,且f(x)在点P处 @当2<<，即4a<5时.两数)在 的切线恰好与直线3x十y十4=0平行， 所以f'(-1)=3a-2b=-3, (4分) 上单调递减，在 a 5 2’2 上单调递增， A ·4· ·数学· 参考答案及解析 则函数A)的最大值是A(2)与h()中的较 所以f(x)在(0，e)上单调递增，在(e,十∞)上 单调递减， (3分) 大者 所以f()在x=e处取得极大值f(e)三，无 令h(2)=3-2a≥4，得a≤-2， 极小值 (4分) 令A(）-0≥4，得≤日，均不合意。 (2)f'(x)=2-a-21nx (5分) (14分) 当x∈[1，e]时，2lnx∈[0,2]， 综上所述，实数a的值为) (15分) 若a≤0，则2-a-2lnx≥0，f'(x)≥0， 即f(x)在区间[1，e]上单调递增；(6分) 17.解：(1)依题意可得W(x)=G(x)一80x-50,(2分) 若a≥2,2-a-2lnx≤0，f'(x)≤0，即 180 -2x,0<x≤20， f(x)在区间1，e]上单调递减；(7分) 又G(x) 20009000 70+ x(x+1)x>20, 若0<a<2,令f'(x)>0,得x<e-, 所以当0<x≤20时，W(x)=x(180-2x)一 令f'(x)<0,得x>e-, (8分) 80x-50=-2x2+100x-50; (3分) 可知f(x)在区间(1，e-)上单调递增，在区间 2000 当x>20时，W(x)=x70+ 90007 (e-,e)上单调递减. x x(x+1) 综上所述，当a≤0时，f(x)在区间1，e上单 9000 80x一50=-10x x+1 +1950, (4分) 调递增； 当a≥2时，f(x)在区间1，e]上单调递减； (-2x2+100x-50,0<x≤20， 所以W(x) 9000 (5分) 当0<a<2时，f(x)在区间(1，e-)上单调递 10x x+1 +1950,x>20. 增，在区间(el-,e)上单调递减. (9分) (2)当0<x≤20时，W(x)=-2x2+100x-50 （3)方法1，根据题意可知2血x+a≤e十】 =-2(x-25)2+1200, (7分) x 1， 由函数图象开口向下，对称轴方程为x=25可 即a≤x2e十1-x-2lnx恒成立， (10分) 知函数在(0,20]上单调递增， ig(x)=z2e*+1-x-2In z(x>0), 所以当x=20时，W(x)max=1150; (9分) 则g'(x)=(2x十x)e-+2 x =(x十2)· 9000 当x>20时，W(x)=-10x x+1+1950 (11分) 10(x+1)+90007 +1960 x+1 令h(x)=x2e-1(x>0),则h'(x)= ≤-210x+1D.900 (x2+2x)e>0, (12分) x+1 +1960=1360,(13分) 所以h(x)在(0，十∞)上单调递增，易知h(0)<0 当且仅当10(x+1)-299时，即x=29时等 <h(1),即]xo∈(0,1)，使得h(xo)=xe0- 1=0, (14分) 号成立， (14分) 即当x∈(0，xo)时，h(x)<0,即g'(x)<0,此 因为1360>1150，所以当年产量为29万台时， 时g(x)单调递减， 该公司获得年利润最大1360万元. (15分) 当x∈(x,十∞)时，h(x)>0,即g'(x)>0, 18.解：(1)函数f(x)的定义域为(0，十∞)， 此时g(x)单调递增， (15分) 当a=0时，fz)=21 则g(x)≥g(xo)=xe。+1-(lneo十lnx8)= x' (1分) 2-ln1=2, (16分) f'(x)=21-lnx) 所以a≤2，即a∈(-∞，2] (17分) (2分) x2 由f'(x)=0,得x=e, 方法2：由21nx+a≤e+ x -1,得a≤x2e 由f'(x)>0,得0<x<e,由f'(x)<0,得x>e, +1-x-2lnx恒成立， (10分) ·5 A 真题密卷 学科素养月度测评（二） x2e*+1-x-2Inx=x2e*+1-In e*-Inx2= 以x+>2,所以a≤-2 1 x2e+1-ln(x2·e), (12分) 设x2e=t,则t>0,x2e+1-ln(x2·e2)=t 1 综上，a≤一 2,即a的取值范围为 +1-Int, 设h)=+1-in,则h')=,(4分) (,引 (6分) 当t∈(0,1)时，h'(t)<0,h(t)单调递减； (2)证明：①令a(x)=g)-g(2）=1nx+ x 当t∈(1，+o∞)时，h'(t)>0,h(t)单调递增， 所以h(t)mm=h(1)=2,所以a≤2，即a∈ -In =2n-x+6>0. x (-∞，2]. (17分) 19.(1)解：当x∈(0,1)时 期A)-至1--1少≤0>0. x2 -() 所以h(x)在(0，十∞)上单调递减，(7分) 所以当x∈(0,1)时，h(x)>h(1)=0,所以 得f)-f(2）>0, g(x)-g()>0,所以(x-1)· 工 所以f)>f(,所以a->- 17 gx)-g()<0: (9分) 即a(x2- ) 当x∈(1，+∞)时，h(x)<h(1)=0,所以 x 1 g(x)-g()<0, 所以a(x+ ),得a< 1 所以(x一 1 (2分) x+ x 1 所以gx)=lnx+左为“反转函数”. (11分) 1 因为y=x十在(0,1)上单调递减，所以x十 ②由①知，当x∈(1，十∞)时， 172: 2nx=x十<0，即2nx<x (12分) 所以a≤-2： 1 (3分) 所以21nn+1<n+1_n=2m+12m+n n 、nn+1n2+nn2+n 3 当x1,+∞)时，由x-D[)-f(】<0, n+1' (14分) 得f)- 所以对于Yn∈N,号[n(n十1)-n] 1 所以f)<f(),所以ax- 1<a x2一x,即 ∠n+' a(x2-2)K-x 1 1 x 所以g+++…+中>号n-a1叶 1 In 3-In 2+In 4-In 3+...+In(n+1)-Inn], 所以a<一 1’ (5分) (16分) x十 因为)y=工十1在1，十∞)上单调递增，所 整理得+++…十>号 n+>3ln(n+1). (17分) A ·6 ·数学· 参考答案及解析 精典评析 TIANSHUJIAOYU 1.已知函数y=f(x)的定义域是(-∞，0)U(0,十∞)，对Hx1,x2∈(0，十∞)，x1≠x2,都有 /）/<0,若函数y=了2x+1)的图象关于点(-20)对称，且f②)=2，则不等式 x2一x1 f(x)>x的解集为 () A.(-2,0)U(0,2) B.(-2,0)U(2,+∞) C.(-∞，-2)U(0,2) D.(-∞，-2)U(2,+∞) 【试题解读】 第1题通过综合考察构造函数，研究函数单调性，奇偶性，并利用函数性质解不等式。易错点：解不等 式要分类讨论符号并确定定义域的范围。 2.下列说法正确的是 () A.已知f(x)是奇函数，则有f(0)=0 B两数y一2x一的单调减区间是（←0，U(侵，十） C.定义在R上的函数f(x),若f(3)≠f(-3),则f(x)不是偶函数 D.已知f(x)在R上是增函数，若a十b>0,则有f(a)-f(-a)>f(-b)-f(b) 【试题解读】 第2题虽然很基础，但都是跟课本紧紧关联的，也是学生的易错，点：奇函数在零，点是否一定有定义，分 段函数的单调性，偶函数和增函数的理解，主要考查学生的基本功，同时也可以查漏补缺，弥补学生知识 漏洞。 3.(15分)已知函数fx)=lg:芹1og:21≤x≤4)，gx)=4十4-a…2-a·2+1. (1)求f(x)的最大值； (2)设不等式f(x)≤0的解集为A,若对Vx1∈A,3x2∈[0,1]，使得x1=g(x2),求实数a 的值. 【试题解读】 第3题考察对数运算，利用换元法构造函数求函数最值，以及分类讨论解决双变量问题，是重点也是 难，点，旨在考察学生的逻辑推理能力。 ·7… A 真题密卷 学科素养月度测评（二） 命题要素细目表 题号 分值 题型 考查内容 难度 1 5 单选题 导数的概念 易 2 5 单选题 初等函数的运算 易 3 5 单选题 函数的图象 易 5 单选题 函数切线的运用 中 5 单选题 对数函数的应用 6 单选题 构造函数比较大小 中 7 单选题 导数在研究函数中的应用 必 8 单选题 导数的综合运用 9 6 多选题 函数的基本性质 中 10 6 多选题 导数在研究函数中的应用 中 11 6 多选题 函数的应用 难 12 5 填空题 初等函数的运算求值 易 三 13 5 填空题 函数的奇偶性与单调性的应用 中 14 5 填空题 数形结合判断分段函数的极值点 难 15 13 解答题 导函数基本性质的应用 易 16 15 解答题 对数函数的应用 中 令 17 15 解答题 利用分段函数求解问题 为 18 17 解答题 导函数的综合运用 中 19 17 解答题 新定义函数与导数的结合 难 A ·8·2024一2025学年度学科素养月度测评（二) 数学 姓名： 准考证号 填涂范例 考场号： 正确填涂■ 错误填涂☑☒ 短 物 ①①)①)①m)0 o00000卫DD 座位号 2 K 33333 B 3 姓名××× 准考证号×××××× 缺考 口 (填涂说明：缺考考生由监考员用2B 4④4I4四4④4④4I4④4I4▣ 标记 铅笔填涂准考证号及左边缺考标记) 66 666 666 贴条形码区 7刀刀刀7刀刀 1177 开考15分钟以后，缺考考生由监考员粘贴条形码， 8 88 88 8888 考场号×× 座位号×× 并用2B铅笔填涂上方的缺考标记 选择题 单项选择题 1四B田 3 A B CIDD 5 A B CD 7 A B C I 2四B四 4☒田四 6四田四 8 A B C D 多项选择题 9IB田C四 10AIB田CMDD 11四团 非选择题 12 13 14 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 答题纸·数学（二）第1页（共5页）》 请在各题目的答题区域内作答超出答题区域的答案无效 15.(13分) 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 答题纸·数学（二）第2页（共5页） 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 答题纸·数学（二）第3页（共5页） 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 答题纸·数学（二）第4页（共5页） ■■■■■■■■■■■■■■■■■■ 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 19.(17分) $ 请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 答题纸·数学（二）第5页（共5页)