精品解析：2024年山西省吕梁市第四次多校联考九年级中考数学试卷

山西中考模拟百校联考试卷（四） 数学 注意事项： 1．本试卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷　选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 计算的结果是（ ） A. 1 B. 5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了有理数的减法运算，熟练掌握运算法则是解决本题的关键． 根据减法法则，减去一个数等于加上它的相反数，将原式转化为加法进行计算即可． 【详解】解：根据减法法则，． 故选：C ． 2. 腰鼓是中国传统民族乐器，历史悠久，在民间广泛流传．如图是一个腰鼓的示意图，则其视图描述正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三视图的有关知识，熟练掌握三视图的概念是解题的关键． 直接根据三视图的概念即可解答． 【详解】解：从正面看是． 故选：A． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，合并同类项，分式的乘除法，解题的关键是掌握基本知识，灵活运用所学知识解决问题．根据整数指数幂，二次根式的混合运算法则，分式的乘方运算法则，合并同类项法则一一计算判断即可． 【详解】解：A、，本选项错误，不符合题意； B、，本选项错误，不符合题意； C、，本选项正确，符合题意； D、与不是同类项，不能合并，本选项错误，不符合题意． 故选：C． 4. 第33届夏季奥林匹克运动会（即2024年巴黎奥运会）将于2024年7月26日开幕．下表是中国体育代表团近7届夏季奥运会获得金牌数量的统计结果（单位：块）： 1996亚特兰大 2000悉尼 2004雅典 2008北京 2012伦敦 2016里约 2020东京 16 28 32 48 38 26 38 那么中国体育代表团近7届夏季奥运会获得金牌数量的中位数是（ ） A. 48块 B. 38块 C. 28块 D. 32块 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中位数的定义，将中国体育代表团近7届夏季奥运会获得金牌数量按从小到大的顺序排列，然后根据中位数的定义解题即可；熟知中位数的定义是关键． 【详解】解：中国体育代表团近7届夏季奥运会获得金牌数量按从小到大的顺序排列如下： 根据中位数的定义可知：这组数据的中位数为 故选：D． 5. 如图1，四边形 是一张矩形纸片，点 是上一点，将矩形纸片 折叠得到图2，使得与重合．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，熟练掌握这两个性质定理是解题的关键．根据折叠的性质可得，，根据平角的定义可得，从而得出，求出的度数，再根据平行线的性质即可求出的度数． 【详解】解：如图 根据折叠的性质可得，， 矩形的对边平行 故选：B． 6. 已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，对于二次函数，其对称轴为直线； 则抛物线开口向上，反之，抛物线开口向下，据此即可求解． 【详解】解：由题意得：二次函数的对称轴为直线， ∵，且抛物线开口向下， ∴ 故选：C 7. 为了比较与的大小，小亮先画了一条数轴，然后在原点O处作了一条垂线段，且，点B表示的数是2，点C表示的数为3，连接，由推出，这里小亮用到的数学思想是（ ） A. 统计思想 B. 数形结合 C. 模型思想 D. 分类讨论 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、三角形的三边关系等知识点，根据题意可得，据此即可求解． 【详解】解：由题意得， ∴ 该过程利用数轴，结合勾股定理可得，用到了数形结合的数学思想． 故选：B． 8. 如图，四边形 内接于，是的直径，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，根据圆内接四边形的性质求出，根据圆周角定理得到，，再根据直角三角形的性质计算，得到答案．本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 四边形 内接于， ， ， ， ∵ ， 是的直径， ， ， 故选：B． 9. 《低空经济产业发展白皮书》指出，我国低空经济产业具有巨大的发展潜力，未来将对国民经济作出重要贡献．2023年我国低空经济规模为万亿元，预计2025年我国低空经济规模将达到万亿元．如果设这两年低空经济规模年平均增长率为 ，那么根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程与增长率问题，解题的关键是读懂题意，找出等量关系，列出方程．根据基数为a，末数为b，增长率（或下降率为x），时间间隔为n，则有，即可得到答案． 【详解】根据题意，这两年低空经济规模年平均增长率为 2023年低空经济规模为万亿元，预计2025年低空经济规模将达到万亿元 可列方程为． 故选：D． 10. 如图，在中，， ，， 是斜边的中点，以点 为圆心的半圆 与相切于点，交于点E，F，则阴影部分的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，根据切线的性质得到，得到，从而，根据相似三角形的性质得到，根据三角形和扇形的面积公式即可解答． 【详解】解：连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵O是斜边的中点， ∴， ∴， ∵， ，， ∴，，， ∴，， ∴，， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了切线的性质、扇形面积、直角三角形的性质、相似三角形的判定及性质等知识点，正确地作出辅助线是解题的关键． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据提公因式和平方差公式化简即可得正确答案． 【详解】解：原式= 故答案为： 【点睛】本题考查的是因式分解相关知识点，根据提公因式法和平方差公式解题是关键． 12. 根据物理学实验研究可知，在定量定温条件下，气体的体积与气体的压强成反比．如图是某潜艇沉浮箱的示意图，将压强为，体积为的空气压入气舱．若温度保持不变，气舱容积为，则气舱内的压强为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，关键是建立函数关系式，并会运用函数关系式解答题目的问题． 设出反比例函数解析式，把，坐标代入可得函数解析式，再将代入即可求得结果． 【详解】解：∵在定量定温条件下，气体的体积与气体的压强成反比 ∴设压强与体积的表达式为， 将，代入得：，解得：， ∴， 当气舱容积为，即时，． 故答案为：． 13. 如图是一个风车图案，它由4个全等的平行四边形叶片和1个正方形按如图方式拼接而成，以正方形的中心为原点O，对角线所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，其中一个平行四边形叶片的顶点A，B的坐标分别为，，则点D的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了图形与坐标，正方形的性质、平行四边形的性质，正确地求出点C的坐标及的长是解题的关键． 由正方形的性质得，，，所以，由轴，且，得，于是得到答案． 【详解】解： ∵四边形是正方形，，， ∴，，， ∴， ∴，， ∵图中的四个平行四边形全等， ∴， ∴轴，且， ∴． 故答案为：． 14. 如图是某公园休息区的1张石桌和4个石凳，甲、乙、丙、丁4位同学在公园游玩时，临时在该休息区休息，他们分别随机坐到这4个石凳上，则甲与乙恰好坐在相邻石凳的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查概率公式．根据概率公式直接解答即可． 【详解】解： 甲坐定一个位置，乙有3种等可能的坐法，其中有2种情况与甲相邻， 甲与乙恰好坐在相邻石凳的概率为：． 故答案为：． 15. 如图，在中，，点D是边上的一点，且，连接 ，过点C作交 的延长线于点E，则的长为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形等知识，由勾股定理可求的长，由三角形的面积公式可求 的长，由锐角三角函数可求的长，通过证明，可得，可求的长，由勾股定理可求的长，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 【详解】解：如图，过点 作于 ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：． （2）解方程组：． 【答案】（1）；（2）原方程组的解为 【解析】 【分析】本题考查有理数混合运算，解二元一次方程组． （1）先计算开方与乘方、去绝对值符号，再计算加减即可； （2）运用加减消元法求解即可． 【详解】（1）原式 ． （2），得． 解得． 将代入①，得． 解得． 原方程组的解为 17. “植”此青绿，共赴青山．2024年植树节，某学校计划采购一批银杏树苗和白杨树苗，经了解，每棵银杏树苗比每棵白杨树苗贵10元，用400元购买银杏树苗的棵数与用300元购买白杨树苗的棵数相同． （1）分别求每棵银杏树苗、白杨树苗的价格． （2）学校最终决定购买银杏树苗、白杨树苗共100棵，若用于购买两种树苗的总费用不超过3200元，那么最多可购买多少棵银杏树苗？ 【答案】（1）每棵银杏树苗的价格是40元，每棵白杨树苗的价格是30元 （2）最多可购买20棵银杏树苗 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用等知识点，弄清等量关系和不等关系并列出分式方程和不等式成为解题的关键． （1）设每棵银杏树苗的价格是x元，则每棵白杨树苗的价格是元． 根据等量关系“用400元购买银杏树苗的棵数与用300元购买白杨树苗的棵数相同”列出分式方程求解即可； （2）设购买m棵银杏树苗，则购买棵白杨树苗，根据用于购买两种树苗的总费用不超过3200元列出一元一次不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设每棵银杏树苗的价格是x元，则每棵白杨树苗的价格是元． 根据题意得．解得． 经检验，是原方程的解． ． 答：每棵银杏树苗的价格是40元，每棵白杨树苗的价格是30元． 【小问2详解】 解：设购买m棵银杏树苗．则购买棵白杨树苗， 根据题意，得． 解得． 答：最多可购买20棵银杏树苗． 18. 近年来，随着锂电池的广泛应用，我国已成为全球最大的锂电池生产基地．以下是2019年年我国锂电池产量的条形统计图与2019年年我国锂电池产量在全球锂电池产量中占比的折线统计图． 根据图中信息解答下列问题： （1）这五年我国锂电池产量在全球锂电池产量中占比的平均数是_____． （2）在2020年年中，我国锂电池产量增长率最高的年份是______年． （3）小敏观察我国锂电池产量统计图后认为：与2022年相比，2023年我国锂电池产量在全球锂电池产量中的占比下降了，因此，与2022年相比，2023年全球锂电池产量下降了．你同意她的说法吗？请通过计算说明理由．（结果精确到个位）． 【答案】（1） （2）2022 （3） 不同意她的说法，理由如下： 2022年的全球锂电池产量为， 2023年的全球锂电池产量为， ∵， ∴与2022年相比，2023年全球锂电池产量提高了． 【解析】 【分析】本题主要考查条形统计图、折线统计图、中位数等知识点，理解题意、能从统计图中获取数据是解题的关键． （1）根据平均数的计算方法列式计算即可； （2）根据折线统计图确定增长率最高的年份即可； （3）根据2022年、2023年我国锂电池产量与2022年、2023年我国锂电池产量在全球锂电池产量中的占比，求出这两年的全球锂电池产量，即可得出答案． 【小问1详解】 解：（1）这五年我国锂电池产量在全球锂电池产量中占比的平均数是：． 故答案为：． 【小问2详解】 解：由条形统计图得在2020年年中，我国锂电池产量增长率最高的年份是2022年． 故答案为：2022． 【小问3详解】 略 19. 项目化学习 项目主题：确定不同运动效果的心率范围， 项目背景：最大心率指人体在进行运动时心脏每分钟跳动的最大次数．某校综合与实践小组的同学以“探究不同运动效果的心率范围”为主题展开项目学习． 驱动任务：探究最大心率与年龄的关系． 收集数据：综合与实践小组的同学通过某医学杂志收集到不同年龄最大心率数据如下： 年龄x/周岁 12 17 22 27 32 37 42 47 最大心率y/（次/分） 208 203 198 193 188 183 178 173 问题解决： （1）根据表中的信息，可以推断最大心率y（次/分）是年龄x（周岁）的______函数关系（填“一次”“二次”或“反比例”）；求y关于x的函数表达式． （2）已知不同运动效果时的心率如下： 运动效果 运动心率占最大心率的百分比 燃烧脂肪 提升耐力 20周岁的小李想要达到提升耐力的效果，他的运动心率应该控制在______次/分至______次分；30周岁的小美想要达到燃烧脂肪的效果，她的运动心率应该控制在______次/分至______次/分． 【答案】（1）一次，y关于x的函数表达式为； （2）140，160，114，133 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握一次函数的判断及待定系数法求函数关系式是解题的关键． （1）根据“年龄增加5周岁，最大心率减少5次/分”即可判定函数类型，然后根据待定系数法即可求得函数解析式； （2）分别将和代入（1）中求得的函数关系式，再根据运动效果对应的运动心率占最大心率的百分比计算即可． 【小问1详解】 解：根据表中的信息可知，年龄增加5周岁，最大心率减少5次/分， ∴可以推断最大心率y（次/分）是年龄x（周岁）的一次函数关系． 故答案为：一次． 设y关于x的函数关系式为（k、b为常数，且）． 将和分别代入, 得，解得：， ∴y关于x的函数关系式为． 【小问2详解】 解：当时，，（次/分），（次/分）， ∴小李的运动心率应该控制在140次/分至160次/分； 当时，，（次/分），（次/分）， ∴小美的运动心率应该控制在114次/分至133次/分． 故答案为：140，160；114，133． 20. 五月五，赛龙舟．酷爱龙舟运动的小宇在参观汾河水上龙舟比赛时，想要测算龙舟的速度，如图，为河岸，起点线与河岸互相垂直，小宇在河岸上的点A处放置水平测角仪（大小忽略不计），起点线上一点C处为龙舟龙头，测得与河岸所成的角，龙舟沿与河岸平行的赛道出发龙头恰好到达点D处，测得与河岸所成的角，，且点A，B，C，D，M，N均在同一平面内，求该龙舟的平均速度．（结果精确到．参考数据：，，） 【答案】龙舟的平均速度约为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质等知识，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 如图：过点A作于点E，则，易得四边形是矩形，则有 、，，再在解直角三角形可得，进而得到，再说明可得，即，最后求出速度即可． 【详解】解：如图，过点A作于点E，则， 由题可知四边形是矩形， ， ，． 在中，，即．解得． ． ， ． ． ． ． 答：龙舟的平均速度约为． 21. 阅读与思考 下面是小明同学的一篇数学读书笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． 我在课外读物《怎样解题》中看到这样一个问题： 如图，给定不在同一直线上的三个点A，B，C，如何利用无刻度的直尺和圆规在点B，C之间画一条过点A的直线，且点B和点C到这条直线的距离相等？ 下面是我的解题步骤： 如图， 第一步：以点B为圆心，以的长为半径画弧； 第二步：以点C为圆心，以的长为半径画弧，两弧交于点D； 第三步：作直线，则点B和点C到直线AD的距离相等． 下面是部分证明过程： 证明：如图，连接，过点B作于点E，过点C作于点F，连接交于点O． 由作图可知， ∴四边形是平行四边形．（依据1） ∴．（依据2） …… 于是我得到了这样的结论：只要确定线段的中点，由两点确定一条直线即可确定问题中所求直线． 任务： （1）填空：材料中的“依据1”是指_______；“依据2”是指_______． （2）请将小明的证明过程补充完整． （3）尺规作图：请在图中，用不同于材料中的方法，在点B和点C之间作直线 ，使得点B和点C到直线 的距离相等．（要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法）． 【答案】（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形，平行四边形的对角线互相平分； （2）见解析； （3）见解析． 【解析】 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据平行四边形的判定与性质即可得出答案； （2）连接，过点 作于点E，过点C作于点F，连接交于点O，则，由作图得到四边形是平行四边形，得到，再证明，即可得出结论； （3）连接，作线段的垂直平分线垂足为 ，作直线 即可． 【小问1详解】 解：依据1是两组对边分别相等的四边形是平行四边形， 依据2是平行四边形的对角线互相平分， 故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，平行四边形的对角线互相平分； 【小问2详解】 证明：如图，连接，过点 作于点E，过点C作于点F，连接交于点O，则， 由作图可知， 四边形是平行四边形， ， 在和中， ， ， ； 【小问3详解】 解：如图，直线 即为所求． 22. 综合与探究 如图1，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接． （1）求A，B，C三点的坐标并直接写出直线的函数表达式． （2）如图2，点D是第三象限内二次函数图象上的一个动点，过点D作轴于点E，与直线交于点F，设点D的横坐标为m． ①当时，求m的值． ②）如图3，隐去线段与点F，连接 ，交于点P，连接 ，设，，．试探究：在点D运动的过程中，S是否存在最大值？若存在，请直接写出S的最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），，；直线的函数表达式为 （2）①m的值为；②存在．S的最大值为9 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的解析式的求法和几何图形结合的综合能力的培养，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题． （1）对于，当时，，令，则 ，，即可求解． （2）①设点，则点，当时，即，即可求出解；②由，即可求解． 【小问1详解】 将代入，得， 解得 ，． 点A在点B的左侧， ，． 将代入，得． ． 设直线的表达式为：， 将点A的坐标代入上式得：，则， 直线的函数表达式为． 【小问2详解】 ①设点，轴， ，E（m，0）． 点D，F在第三象限， ． E（m，0）， ． ， ． 解得（舍去），． m的值为． ②存在．理由：由（2）知，点，， ∵， 即 故S的最大值为9． 23. 综合与实践 问题情境 在数学活动课上，老师让同学们以“等边三角形的旋转”为主题开展活动，已知完全相同的等边三角形和等边三角形，点A，B，C分别与点D，E，F重合，点O是边， 的中点．固定 ，将绕点O顺时针旋转． 问题解决 （1）如图1，当点E落在边上时，试判断四边形的形状，并说明理由． （2）在旋转的过程中，连接，，试判断，的位置关系，并在图2与图3中选择一种情况进行证明． 问题拓展 （3）如图4，若 与都是等边三角形，但，其他条件不变，在旋转的过程中，当点E落在边上时，连接，，延长交于点N．已知，，请直接写出的长． 【答案】 （1）四边形是菱形；理由如下： ∵点O是边， 的中点， ∴，， ∵ 和是完全相同的等边三角形； ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形； （2）选择图2，连接，，延长，交于点M，如图所示： 由旋转可知：， ∵点O是边， 的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴． 选择图3，连接，，设，交于点G，如图所示： 根据旋转可知：， ∵点O是边， 的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ， ， ∴， ∴． （3）的长为 【解析】 【分析】（1）先证明四边形为平行四边形，再证明四边形为菱形即可； （2）选择图2，连接，，延长，交于点M，证明，得出，求出，得出； 选择图3，连接，，设，交于点G，证明，得出，求出，即可得出答案； （3）连接 ，，延长交于点M，证明，得出，证明为等腰直角三角形，得出，根据等边三角形的性质得出，根据勾股定理求出，得出，证明为直角三角形，求出即可． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）连接 ，，延长交于点M，如图所示： ∵点O是边， 的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵等边 中，， 为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴为直角三角形， ∴． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，菱形的判定，三角形相似的判定和性质，等腰直角三角形的性质，解直角三角形的相关计算，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定和性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西中考模拟百校联考试卷（四） 数学 注意事项： 1．本试卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷　选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 计算的结果是（ ） A. 1 B. 5 C. D. 2. 腰鼓是中国传统民族乐器，历史悠久，在民间广泛流传．如图是一个腰鼓的示意图，则其视图描述正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 第33届夏季奥林匹克运动会（即2024年巴黎奥运会）将于2024年7月26日开幕．下表是中国体育代表团近7届夏季奥运会获得金牌数量的统计结果（单位：块）： 1996亚特兰大 2000悉尼 2004雅典 2008北京 2012伦敦 2016里约 2020东京 16 28 32 48 38 26 38 那么中国体育代表团近7届夏季奥运会获得金牌数量的中位数是（ ） A. 48块 B. 38块 C. 28块 D. 32块 5. 如图1，四边形是一张矩形纸片，点是上一点，将矩形纸片折叠得到图2，使得与重合．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 为了比较与的大小，小亮先画了一条数轴，然后在原点O处作了一条垂线段，且，点B表示的数是2，点C表示的数为3，连接，由推出，这里小亮用到的数学思想是（ ） A. 统计思想 B. 数形结合 C. 模型思想 D. 分类讨论 8. 如图，四边形内接于， 是的直径，连接 ．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 《低空经济产业发展白皮书》指出，我国低空经济产业具有巨大的发展潜力，未来将对国民经济作出重要贡献．2023年我国低空经济规模为万亿元，预计2025年我国低空经济规模将达到万亿元．如果设这两年低空经济规模年平均增长率为 ，那么根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，， ，，是斜边的中点，以点为圆心的半圆与 相切于点 ，交于点E，F，则阴影部分的面积为（　　） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：_____________． 12. 根据物理学实验研究可知，在定量定温条件下，气体的体积与气体的压强成反比．如图是某潜艇沉浮箱的示意图，将压强为，体积为的空气压入气舱．若温度保持不变，气舱容积为，则气舱内的压强为________． 13. 如图是一个风车图案，它由4个全等的平行四边形叶片和1个正方形按如图方式拼接而成，以正方形的中心为原点O，对角线所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，其中一个平行四边形叶片的顶点A，B的坐标分别为，，则点D的坐标为________． 14. 如图是某公园休息区的1张石桌和4个石凳，甲、乙、丙、丁4位同学在公园游玩时，临时在该休息区休息，他们分别随机坐到这4个石凳上，则甲与乙恰好坐在相邻石凳的概率为________． 15. 如图，在中，，点D是边 上的一点，且，连接 ，过点C作交 的延长线于点E，则的长为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：． （2）解方程组：． 17. “植”此青绿，共赴青山．2024年植树节，某学校计划采购一批银杏树苗和白杨树苗，经了解，每棵银杏树苗比每棵白杨树苗贵10元，用400元购买银杏树苗的棵数与用300元购买白杨树苗的棵数相同． （1）分别求每棵银杏树苗、白杨树苗的价格． （2）学校最终决定购买银杏树苗、白杨树苗共100棵，若用于购买两种树苗的总费用不超过3200元，那么最多可购买多少棵银杏树苗？ 18. 近年来，随着锂电池的广泛应用，我国已成为全球最大的锂电池生产基地．以下是2019年年我国锂电池产量的条形统计图与2019年年我国锂电池产量在全球锂电池产量中占比的折线统计图． 根据图中信息解答下列问题： （1）这五年我国锂电池产量在全球锂电池产量中占比的平均数是_____． （2）在2020年年中，我国锂电池产量增长率最高的年份是______年． （3）小敏观察我国锂电池产量统计图后认为：与2022年相比，2023年我国锂电池产量在全球锂电池产量中的占比下降了，因此，与2022年相比，2023年全球锂电池产量下降了．你同意她的说法吗？请通过计算说明理由．（结果精确到个位）． 19. 项目化学习 项目主题：确定不同运动效果的心率范围， 项目背景：最大心率指人体在进行运动时心脏每分钟跳动的最大次数．某校综合与实践小组的同学以“探究不同运动效果的心率范围”为主题展开项目学习． 驱动任务：探究最大心率与年龄的关系． 收集数据：综合与实践小组的同学通过某医学杂志收集到不同年龄最大心率数据如下： 年龄x/周岁 12 17 22 27 32 37 42 47 最大心率y/（次/分） 208 203 198 193 188 183 178 173 问题解决： （1）根据表中的信息，可以推断最大心率y（次/分）是年龄x（周岁）的______函数关系（填“一次”“二次”或“反比例”）；求y关于x的函数表达式． （2）已知不同运动效果时的心率如下： 运动效果 运动心率占最大心率的百分比 燃烧脂肪 提升耐力 20周岁的小李想要达到提升耐力的效果，他的运动心率应该控制在______次/分至______次分；30周岁的小美想要达到燃烧脂肪的效果，她的运动心率应该控制在______次/分至______次/分． 20. 五月五，赛龙舟．酷爱龙舟运动的小宇在参观汾河水上龙舟比赛时，想要测算龙舟的速度，如图，为河岸，起点线与河岸互相垂直，小宇在河岸上的点A处放置水平测角仪（大小忽略不计），起点线上一点C处为龙舟龙头，测得 与河岸所成的角，龙舟沿与河岸平行的赛道出发龙头恰好到达点D处，测得与河岸所成的角，，且点A，B，C，D，M，N均在同一平面内，求该龙舟的平均速度．（结果精确到．参考数据：，，） 21. 阅读与思考 下面是小明同学的一篇数学读书笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． 我在课外读物《怎样解题》中看到这样一个问题： 如图，给定不在同一直线上的三个点A，B，C，如何利用无刻度的直尺和圆规在点B，C之间画一条过点A的直线，且点B和点C到这条直线的距离相等？ 下面是我的解题步骤： 如图， 第一步：以点B为圆心，以 的长为半径画弧； 第二步：以点C为圆心，以的长为半径画弧，两弧交于点D； 第三步：作直线，则点B和点C到直线AD的距离相等． 下面是部分证明过程： 证明：如图，连接，过点B作于点E，过点C作于点F，连接交于点O． 由作图可知， ∴四边形是平行四边形．（依据1） ∴．（依据2） …… 于是我得到了这样的结论：只要确定线段的中点，由两点确定一条直线即可确定问题中所求直线． 任务： （1）填空：材料中的“依据1”是指_______；“依据2”是指_______． （2）请将小明的证明过程补充完整． （3）尺规作图：请在图中，用不同于材料中的方法，在点B和点C之间作直线 ，使得点B和点C到直线 的距离相等．（要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法）． 22. 综合与探究 如图1，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接 ． （1）求A，B，C三点的坐标并直接写出直线 的函数表达式． （2）如图2，点D是第三象限内二次函数图象上的一个动点，过点D作轴于点E，与直线 交于点F，设点D的横坐标为m． ①当时，求m的值． ②）如图3，隐去线段 与点F，连接 ，交于点P，连接 ，设，，．试探究：在点D运动的过程中，S是否存在最大值？若存在，请直接写出S的最大值；若不存在，请说明理由． 23. 综合与实践 问题情境 在数学活动课上，老师让同学们以“等边三角形的旋转”为主题开展活动，已知完全相同的等边三角形和等边三角形，点A，B，C分别与点D，E，F重合，点O是边，的中点．固定 ，将绕点O顺时针旋转． 问题解决 （1）如图1，当点E落在边上时，试判断四边形的形状，并说明理由． （2）在旋转的过程中，连接， ，试判断， 的位置关系，并在图2与图3中选择一种情况进行证明． 问题拓展 （3）如图4，若 与都是等边三角形，但，其他条件不变，在旋转的过程中，当点E落在边 上时，连接， ，延长交于点N．已知，，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $