辽宁省朝阳市第一高级中学2025-2026学年高三上学期期初摸底考试数学练习卷

辽宁省朝阳市第一高级中学2025-2026学年上学期期初摸底考试练习卷答案 一、单选题 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解一元二次不等式求解集合A，根据指数函数单调性求解值域得集合B，然后利用交集运算求解即可. 【详解】， 则， 所以. 故选：D 2．“”是“”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】求出的解集，根据充要条件的定义即可得到结论. 【详解】令，所以的解集为：， 所以“”能推出“， 而“不能推出“”即“”，是“”的充分不必要条件； 故选：A 3．函数的图象大致为（    ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】求出函数的定义域及奇偶性，再由奇偶性在内函数值的正负判断即可. 【详解】依题意，函数的定义域为， ，则是奇函数，其图象关于原点对称，B不满足； 当时，，则，AD不满足，C满足. 故选：C 4．记为等比数列的前项和，若，则的公比为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】由等比数列前项和的性质，成等比，公比为，结合即可求公比. 【详解】设等比数列的公比为， 根据等比数列前项和的性质，成等比，且公比为， 又，即，所以， 解得. 故选：D. 5．已知直线是曲线的切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求得函数的导数，得到方程组，求得，，得到，令，结合导数求得函数的单调性和最大值，即可求解. 【详解】设直线与曲线的切线点的横坐标为， 由，可得， 则，可得，所以， 由，，则， 令，可得， 令，即，解得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以，即， 当时，， 所以，即的取值范围是. 故选：C. 6．已知等差数列中，，则数列的前2026项的和为（   ） A．1013 B．1014 C．2026 D．2028 【答案】C 【分析】先根据等差数列的性质求出数列的通项公式，再分析数列的规律，进而求出其前2026项的和. 【详解】设等差数列的首项为，公差为，则由，得 化简得，解得，， 又，故数列的通项公式为， 设数列的前项和为， 则， ， 从到共项，两两一组，可分为组， . 故选：. 7．已知函数及其导函数的定义域均为，记，函数的图象关于点对称．若对任意，有，则下列说法正确的是（   ） A．不为周期函数 B．的图象不关于点对称 C． D． 【答案】C 【分析】利用函数成中心对称的恒等式来证明新函数的对称性，再利用双对称来证明函数的周期性，从而就可以来判断各选项. 【详解】因为函数的图象关于点对称， 所以，即， 则的图象关于点对称，B选项错误． 由，得． 令，则， 由，得的图象关于直线对称． 又的图象关于点对称，则， 所以，即， 则可得的图象关于点对称， 故为周期函数，且周期为8，， 所以，，D选项错误． 又，则， 所以，由得：，故为周期函数，A选项错误． 由，两边求导得：， 由得：，令得：， 利用的周期为8，则，C选项正确． 故选：C． 8．已知关于的方程有4个不同的实数根，分别记为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】变形给定方程，构造函数，利用导数探讨方程取得两个不等根的的范围，再借助一元二次方程求解即得. 【详解】显然不是方程的根， 则方程的根即为方程的根， 令，得，设，求导得， 由，得或，由，得， 即函数在和上单调递减，在上单调递增，， 作出的大致图象，如图， 依题意，方程有两个不相等的实数根，设为，， 观察图象知，方程的每一个根，由得两个不同的值， 于是，且，由，解得， 不妨设， 则， 由，得， 所以的取值范围为. 故选：A 【点睛】思路点睛：涉及给定函数零点个数求参数范围问题，可以通过分离参数，等价转化为直线与函数图象交点个数，数形结合推理作答. 二、多选题 9．等差数列中，，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，则， 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，结合等差数列的性质、前n项和公式逐项分析判断即得. 【详解】等差数列中，， 对于A，，，A正确； 对于B，，则，， 则，，因此，即，B错误； 对于C，，则，C正确； 对于D，设的公差为，由，得，解得， 则，，D正确. 故选：ACD 10．已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由已知条件，结合基本不等式计算即可判断AB；根据，结合基本不等式计算即可判断C；根据，基本不等式计算即可判断D. 【详解】A：由，得， 即，得， 解得，当且仅当时等号成立，故A错误； B：由选项A的分析知，故B正确； C：由，得，即， 所以， 得，当且仅当时等号成立，故C正确； D：由，得，即， 所以，得， 当且仅当时等号成立，故D错误. 故选：BC 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 11．已知，则（    ） A．对恒成立 B．若函数有两个不同的零点，则k的取值范围是 C．方程恰有3个实根 D．若关于x的不等式恰有1个负整数解，则a的取值范围为 【答案】AD 【分析】对函数求导，判断其单调性，求出其最小值，可判断A选项；作出曲线的图象，根据图象可判断B选项；令，解得，数形结合可判断C选项；由直线过原点，再结合图象分析即可判断D选项． 【详解】对于A选项，， 当或时，，所以在，上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以在出取得极小值，， 在处取得极大值，，而时，恒有成立， 所以的最小值是，即，对恒成立，故A正确； 对于B选项，令，则，有两个不同的零点，等价于函数与直线有两个交点， 由A选项分析，函数的大致图象如下， 由图知，当或时， 函数与直线有两个交点，故B错误； 对于C选项，由，得，解得， 令，和，而， 由图象知，和分别有两解： 综上，方程共有4个根，故C错误； 对于D选项，直线过原点，且，， 记，，易判断，， 不等式恰有1个负整数解， 即曲线在的图象下方对应的值恰有1个负整数， 由图可得，即，故D正确． 故选：AD． 【点睛】思路点睛：A选项，将不等式恒成立问题，转化为最值问题，然后利用导数求出函数最值即可；B选项，将零点个数问题转化为图象交点个数问题，再利用导数画出函数的草图，数形结合分析即可；C选项，内嵌函数零点问题，先令，则可以求，求出满足题意的t,再利用，求出对应x的值即可；D选项, 设，数形结合进行分析，利用恰有1个负整数解的要求，发现直线的斜率会介于和之间，从而得解，所以，该题总的思路就是数形结合思想的灵活应用. 三、填空题 12．已知函数在上的最大值为，在上的最大值为，若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】作出的图象，分和两种情况讨论函数在上的最大值和在上的最大值，列出关系，解不等式即可得到答案. 【详解】由函数，作出的图象如下： 由题得：， 当时，函数在上的最大值为，即， 要使，则，令，解得：，，，， 由图可得，要使函数在上的最大值为，且， 则，或，解得：. 当时， 由图，在上最大值， 在上单调递增，最大值， 不可能成立， 综上，实数的取值范围是， 故答案为：. 13．数列是正项数列，若，且，，则 ． 【答案】3 【分析】首先求得，，结合得即可求解. 【详解】因为，，所以，， 即，， 又因为，所以，， 因为，，所以， 所以， 所以. 故答案为：3. 14．已知函数则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】由函数解析式可得在上单调递增，令，不等式为变为，利用单调性可得不等式的解集. 【详解】函数在上单调递增， 又在上单调递增，又， 所以在上单调递增. 设，可得在上单调递增. 又，所以原不等式可化为， 所以原不等式的解集为. 故答案为：. 四、解答题 15．设为奇函数，为常数. (1)求的值 (2)若对于上的每一个的值，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据函数为奇函数求参数值，注意验证是否符合题设. （2）将问题转化为在上恒成立，根据解析式判断的区间单调性，即可求的范围. 【详解】（1）由题设，， ∴， 即，故， 当时，，不成立，舍去； 当时，，验证满足. 综上：. （2）由，即， 又为增函数，由（1）所得解析式知：上递增， ∴在单调递增- 故，故. 16．已知数列满足．设． (1)求证：数列是等比数列，并求数列通项公式； (2)设数列，且对任意正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）由数列的递推式，两边同时加上2，结合等比数列的定义和通项公式，可得所求； （2）求得，推得递减，可得，由不等式恒成立思想，可得所求取值范围． 【详解】（1）由， 可得， 即数列是首项和公比均为3的等比数列， 则，即； （2）数列， 则， 可得递减，可得，对任意正整数，不等式恒成立， 可得，即的取值范围是. 17．已知函数 （1）若函数在内没有极值点，求实数a的取值范围； （2）若a=1时函数有三个互不相同的零点，求实数m的取值范围； （3）若对任意的，不等式在上恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】（1）解不等式组即得解； （2）等价于有三个互不相同的实数根，令，求出函数的单调区间即得解； （3）求出函数的单调区间和最大值即得解. 【详解】解：（1）由题知, 函数在内没有极值点，即在内没有实数根， 所以，解得. （2）当a=1时函数有三个互不相同的零点，则方程有三个互不相等的实数根，即有三个互不相同的实数根， 不妨令则 因为在和上均为减函数，在上为增函数， 所以的极小值为，极大值为，所以的范围为 （3）且a>0, 当或时，， 当时，， 所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为. 当时，，，又，所以. 又，又在上恒成立， 所以，即，即当时，恒成立， 因为在区间上的最小值为，所以. 18．在数列中，． (1)求数列的通项公式； (2)已知数列满足； ①求证：数列是等差数列； ②若，设数列的前n项和为，求证：． 【答案】(1) (2)①证明见解析 ；②证明见解析 【分析】（1）变形得到，结合，故，从而得到； （2）①化简得到，利用得到，同理可得，证明出是等差数列； ②求出，结合，得到公差，得到通项公式，所以，裂项相消法求和证明出结论. 【详解】（1）因为， 所以， 所以， 所以， 因为，所以n=1时，， 所以数列是各项为0的常数列，即， 所以． （2）①由得 所以① 所以② ②-①得：③ 所以④ ④-③得，所以 即 所以数列是等差数列． ②当时，由得，所以， 又，故的公差为1，所以， 所以， 即 ． 【点睛】方法点睛：常见的裂项相消法求和类型： 分式型：，，等； 指数型：，等， 根式型：等， 对数型：，且； 19．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若的极小值小于，求m的取值范围； (3)当时，证明：有2个零点． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义求得切线斜率，由点斜式即可得到切线方程； （2）函数求导后，根据参数的取值分类讨论，得到时，极小值，构造函数，求导推得，即可求得不等式的解集； （3）由得，令，则，令，求导判断在区间上单调递增，结合零点存在定理，推得，使得，求出的最小值为，由可得，，故得的最小值，由即可判断函数，即函数的零点个数. 【详解】（1）当时，，则， 所以，， 则曲线在点处的切线方程为， 整理得：． （2）函数的定义域为，且， ① 当时，易得，在上单调递减，则无极小值，不合题意； ② 当时，由，得，即在上单调递增； 由，得时，即在上单调递减， 所以的极小值为：， 因为的极小值小于，所以，即． 令，则， 所以当时，，当时，， 则在上单调递增，在上单调递减， 因为，所以由可得. （3）． 令，得， 令，则与有相同的零点， 且． 令，则， 因为，则，所以在区间上单调递增， 又，，所以，使得， 所以当时，，即；当时，，即， 所以在单调递减，在单调递增， 所以的最小值为． 由，得， 即.， 令，，则，则在单调递增． 因为，所以，则， 所以，从而，， 所以的最小值． 当趋近于0时，趋近于0或时，趋近于， 又因，所以， 所以有2个零点，故有2个零点． 【点睛】关键点点睛：求单调性及最值，需要引入隐零点，因为这个隐零点不好代入消元求值，需要再同构函数，则可得隐零点满足，，从而再代入隐零点即可求出的最小值，再结合两边的极限值，从而问题得证． 试卷第10页，共11页 试卷第1页，共11页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 辽宁省朝阳市第一高级中学2025-2026学年上学期 期初摸底考试数学练习卷 一、单选题 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．“”是“”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 3．函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 4．记为等比数列的前项和，若，则的公比为（   ） A．2 B． C． D． 5．已知直线是曲线的切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知等差数列中，，则数列的前2026项的和为（   ） A．1013 B．1014 C．2026 D．2028 7．已知函数及其导函数的定义域均为，记，函数的图象关于点对称．若对任意，有，则下列说法正确的是（   ） A．不为周期函数 B．的图象不关于点对称 C． D． 8．已知关于的方程有4个不同的实数根，分别记为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．等差数列中，，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，则， 10．已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 11．已知，则（    ） A．对恒成立 B．若函数有两个不同的零点，则k的取值范围是 C．方程恰有3个实根 D．若关于x的不等式恰有1个负整数解，则a的取值范围为 三、填空题 12．已知函数在上的最大值为，在上的最大值为，若，则实数的取值范围是 ． 13．数列是正项数列，若，且，，则 ． 14．已知函数则不等式的解集为 . 四、解答题 15．设为奇函数，为常数. (1)求的值 (2)若对于上的每一个的值，不等式恒成立，求实数的取值范围. 16．已知数列满足．设． (1)求证：数列是等比数列，并求数列通项公式； (2)设数列，且对任意正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围． 17．已知函数 （1）若函数在内没有极值点，求实数a的取值范围； （2）若a=1时函数有三个互不相同的零点，求实数m的取值范围； （3）若对任意的，不等式在上恒成立，求实数m的取值范围. 18．在数列中，． (1)求数列的通项公式； (2)已知数列满足； ①求证：数列是等差数列； ②若，设数列的前n项和为，求证：． 19．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若的极小值小于，求m的取值范围； (3)当时，证明：有2个零点． 试卷第2页，共3页 试卷第3页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$