第11章 整式的乘除（压轴题专项训练）数学沪教版五四制2024七年级上册

第11章 整式的乘除章节压轴训练 一、单选题 1．若，，则（ ） A．10 B．14 C．52 D．64 2．现有若干个长为，宽为的小长方形（如图1）．将其中2个小长方形摆放在边长为的正方形内（如图2），右下角阴影部分的面积为9；再将其中3个小长方形摆放在边长为的正方形内（如图3），记右上角的阴影部分面积为，右下角的阴影部分面积为．若，则的值为（　　） A．10 B． C．11 D． 3．的个位数字为（    ） A．1 B．3 C．7 D．9 4．关于x的二次三项式（a，b均为非零常数），关于x的三次三项式（其中c，d，e，f均为非零常数），下列说法中正确的个数有（    ） ①当时，； ②当为关于x的三次三项式时，则； ③当多项式M与N的乘积中不含项时，则； ④； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．已知实数，满足，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 6．已知实数，满足，则的值是（   ） A． B．0 C．115 D．2025 二、填空题 7．若规定符号的意义是：，则当时，的值为 ． 8．若，则（且，，是正整数）． （1）如果，那么 ； （2）如果，，那么 ． 9．已知有理数满足，，则 ． 10．定义：如果一个正整数能表示成两个正整数，的平方差，且，那么称这个正整数为“智慧数”．例如，就是一个“智慧数”，可以利用进行研究．若将“智慧数”从小到大排列，则第3个“智慧数”是 ，第个“智慧数”是 11．已知，则代数式的值为 ． 12．设实数满足，若，则的值是 ． 13．已知实数x，y满足，则的最大值与最小值的和为 ． 14．定义：如果一个正整数平方后得到的数，十位数字比个位数字大1，我们把这样的正整数称为“领先数”．例如，，那么11是领先数．若将领先数从小到大排列，则第4个领先数是 ；第36个领先数是 ． 15．为非零自然数，若为两个连续自然数之积，则的值是 ． 16．如图，正方形和三角形重叠部分是长方形，四边形和均为正方形．若长方形面积为4，，，，连接，，则阴影部分的面积为 ．         17．请同学运用计算，解决问题：已知x、y、z满足，求的最大值是 ． 18．规定两正数之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以．小慧在研究这种运算时发现：，例如：．证明如下：设，根据定义可得：，因为，所以，即，所以．请根据前面的经验计算： （1）的值为 ； （2）的值为 ． 三、解答题 19．若且，m，n是正整数，则 你能利用上面的结论解决下面的3个问题吗？试试看，相信你一定行！ (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值； (3)已知x满足，求x的值． 20．“数无形不立，形无数不彰”，我们常借助几何图形解释或分析代数问题如图，是一个面积为的图形，同时此图形中有个边长为的正方形，个边长为的正方形，个两边长分别为和的长方形，从而可以得到乘法公式． (1)如图，若，，则图中阴影部分的面积为 ． (2)若，求代数式的值． (3)观察图， ①从图中得到 ． ②根据得到的结论，解决问题：已知，，，求代数式的值． 21．我们在应用完全平方公式解题时，经常会对公式进行变形．比如：已知，则． 根据以上变形，回答下列问题： (1)若，求； (2)已知，则______； (3)已知长和宽分别为的长方形，它的周长为，面积为，求的值． 22．阅读下列材料：我们把形如的式子称为“行列式”，其运算法则为：．例如：．请你运用材料回答： (1)计算：___________． (2)已知，求的值． (3)若的三边长为，满足，，求的周长． 23．阅读与思考：若满足，求的值． 解：设，则． 所以． 请仿照上例解决下面的问题： (1)若满足，求的值； (2)若满足，求的值； (3)如图，点C是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积． 24．配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常常被用到恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一． 我们定义：一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“完全数”．例如，10是“完全数”．理由：因为．再如，（，是整数），所以也是“完全数”． 解决问题： （1）请你再写一个小于10的“完全数”______________；并判断40是否为“完全数”_______________； （2）若二次三项式（是整数）是“完全数”，可配方成（，为常数），则的值为_______________； 探究问题： （3）已知“完全数”（，是整数）的值为0，则的值为______________； （4）已知（，是整数，是常数），要使为“完全数”，试求出符合条件的值． 拓展结论：已知实数，满足，求的最小值是________________． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11章 整式的乘除章节压轴训练 一、单选题 1．若，，则（ ） A．10 B．14 C．52 D．64 【答案】C 【详解】解：由立方和公式可得 ∵， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴ 故选：C 2．现有若干个长为，宽为的小长方形（如图1）．将其中2个小长方形摆放在边长为的正方形内（如图2），右下角阴影部分的面积为9；再将其中3个小长方形摆放在边长为的正方形内（如图3），记右上角的阴影部分面积为，右下角的阴影部分面积为．若，则的值为（　　） A．10 B． C．11 D． 【答案】B 【详解】解：图2右下角阴影部分的面积为9， ， （负值舍去）， ， ， （负值舍去）， 由图可得，，， ， 故选B． 3．的个位数字为（    ） A．1 B．3 C．7 D．9 【答案】D 【详解】解：由题意知， …… ， ∵， ∴每4个3相乘为1个循环， ∵， ∴的个位数字为9， 故选：D． 4．关于x的二次三项式（a，b均为非零常数），关于x的三次三项式（其中c，d，e，f均为非零常数），下列说法中正确的个数有（    ） ①当时，； ②当为关于x的三次三项式时，则； ③当多项式M与N的乘积中不含项时，则； ④； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：∵， ∴当时，；故①正确； ∵，为关于x的三次三项式，且a，b均为非零常数， ∴， ∴；故②正确； ∵ ， 又多项式M与N的乘积中不含项， ∴， ∴；故③正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴；故④正确； 综上：正确的个数为4个； 故选D． 5．已知实数，满足，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， ， 则， ，， 的最小值为，最小值为， 当，时，满足， 解得：，， ， 故选：B． 6．已知实数，满足，则的值是（   ） A． B．0 C．115 D．2025 【答案】A 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ∵ ∴，解得：， 把代入可得： ． 故选：A． 二、填空题 7．若规定符号的意义是：，则当时，的值为 ． 【答案】9 【详解】解：根据题意，可得： ， ∵， ∴， ∴ ． 故答案为：9． 8．若，则（且，，是正整数）． （1）如果，那么 ； （2）如果，，那么 ． 【答案】 1 【详解】（1）解：∵， ∴，解得：， 故答案为：． （2）当，时， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了有理数的乘方的逆用，一元一次方程的其他应用，同底数幂相除的逆用，幂的乘方的逆用，解题关键是学会同底数幂相除的逆用，幂的乘方的逆用的运用求解． 9．已知有理数满足，，则 ． 【答案】1 【详解】解：∵，， ∴ ， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：1． 10．定义：如果一个正整数能表示成两个正整数，的平方差，且，那么称这个正整数为“智慧数”．例如，就是一个“智慧数”，可以利用进行研究．若将“智慧数”从小到大排列，则第3个“智慧数”是 ，第个“智慧数”是 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴， 当时， 由产生的“智慧数”为：8，12，16，20，24，28，32，36，40，44，48，52，56，60，64，68，72，76，80，， 当时， 由产生的“智慧数”为：15，21，27，33，39，45，51，57，63，69，75，81，， 当时， 由产生的“智慧数”为：24，32，40，48，56，64，72，80，， 当时， 由产生的“智慧数”为：35，45，55，65，75，85，， 当时， 由产生的“智慧数”为：48，60，72，84，， 当时， 由产生的“智慧数”为：63，77，91，， 当时， 由产生的“智慧数”为：80，96，， 综上，将上述产生的“智慧数”从小到大排列如下：8，12，15，16，20，21，24，27，28，32，33，35，36，39，40，44，45，48，51，52，56，57，60，63，64，65，68，69，，∴第3个“智慧数”是，第个“智慧数”是， 故答案为：，． 11．已知，则代数式的值为 ． 【答案】9 【详解】解：∵ ， ∴当时， 原式 ． 12．设实数满足，若，则的值是 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ， 又∵， ∴ ， ，，， ， 故答案为：． 13．已知实数x，y满足，则的最大值与最小值的和为 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴， 设， ∴， ∵x，y为实数， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 又∵， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴对于，当时，S有最大值， 当时，S有最小值， ∴的最大值与最小值的和为． 故答案为：． 14．定义：如果一个正整数平方后得到的数，十位数字比个位数字大1，我们把这样的正整数称为“领先数”．例如，，那么11是领先数．若将领先数从小到大排列，则第4个领先数是 ；第36个领先数是 ． 【答案】 39 439 【详解】解：令，，，…，，…，是领先数，且， 由题意可知，最小的领先数是11，即， 由定义可知，一个领先数平方后得到的数，十位数字比个位数字大1， 设， 则， ∵， 要保证是领先数，则的十位数字比个位数字大1， 则只需保证，为100的倍数，则， 的十位和个位必定和的相同， ∴， 即是领先数，同理，，，…，是领先数， 现计算50以内的正整数的平方，根据定义可得： ，，，， ∴，，，， ∴，，，， 则， 故答案为：39，439． 15．为非零自然数，若为两个连续自然数之积，则的值是 ． 【答案】2或6 【详解】； ∵ ， ∴ ∴或 解得或 时，， 时，， 故答案为：2或6 【点睛】本题考查整式的运算，运用整式乘法确定代数式的取值范围是解题的关键． 16．如图，正方形和三角形重叠部分是长方形，四边形和均为正方形．若长方形面积为4，，，，连接，，则阴影部分的面积为 ．         【答案】10 【详解】解：设长方形中，，， ∵四边形，四边形和均为正方形， ∴，则， ∵长方形面积为4，，，， ∴，，则， ∴，    连接，则阴影部分的面积 ， 故答案为：10． 【点睛】本题考查完全平方的几何背景，观察图形，求出，及的值是求解本题的关键． 17．请同学运用计算，解决问题：已知x、y、z满足，求的最大值是 ． 【答案】12 【详解】∵， ∴ ； ∵， ∴ ∴原式= ， ， ∴原式． 故原式的最大值是12； 故答案为：12． 【点睛】本题考查运用已知公式，及平方的非负性，掌握灵活运用题中给的公式是解题的关键． 18．规定两正数之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以．小慧在研究这种运算时发现：，例如：．证明如下：设，根据定义可得：，因为，所以，即，所以．请根据前面的经验计算： （1）的值为 ； （2）的值为 ． 【答案】 3 6 【详解】解：（1）； 故答案为：3； （2） ． 故答案为：6． 三、解答题 19．若且，m，n是正整数，则 你能利用上面的结论解决下面的3个问题吗？试试看，相信你一定行！ (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值； (3)已知x满足，求x的值． 【答案】(1)3 (2)3 (3) 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ； （3）解：， ， ， ， ， ， ， 20．“数无形不立，形无数不彰”，我们常借助几何图形解释或分析代数问题如图，是一个面积为的图形，同时此图形中有个边长为的正方形，个边长为的正方形，个两边长分别为和的长方形，从而可以得到乘法公式． (1)如图，若，，则图中阴影部分的面积为 ． (2)若，求代数式的值． (3)观察图， ①从图中得到 ． ②根据得到的结论，解决问题：已知，，，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3)①；②． 【详解】（1）因为，， ， 图中阴影部分的面积为：； 故答案为：． （2）因为， 设，， 所以，， 所以， ． （3）， 故答案为：； 因为，，， 所以 ， 因为，， ， 所以 ． 21．我们在应用完全平方公式解题时，经常会对公式进行变形．比如：已知，则． 根据以上变形，回答下列问题： (1)若，求； (2)已知，则______； (3)已知长和宽分别为的长方形，它的周长为，面积为，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：∵， ∴， 即． （2）解：∵， ∴， ∴， 即． ∴． （3）解：∵长和宽分别为的长方形，它的周长为，面积为， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 22．阅读下列材料：我们把形如的式子称为“行列式”，其运算法则为：．例如：．请你运用材料回答： (1)计算：___________． (2)已知，求的值． (3)若的三边长为，满足，，求的周长． 【答案】(1)6 (2)29 (3) 【详解】（1）解：由题意可得， ； 故答案为：6； （2）解：由题意可得， ， ∵， ∴原式； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， 解得，，， ∴的周长． 23．阅读与思考：若满足，求的值． 解：设，则． 所以． 请仿照上例解决下面的问题： (1)若满足，求的值； (2)若满足，求的值； (3)如图，点C是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3)3 【详解】（1）设，， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴的值为； （2）设，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）设，，则，，， ∵，， ∴，， ∴， ∴． 即阴影部分的面积为3． 24．配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常常被用到恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一． 我们定义：一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“完全数”．例如，10是“完全数”．理由：因为．再如，（，是整数），所以也是“完全数”． 解决问题： （1）请你再写一个小于10的“完全数”______________；并判断40是否为“完全数”_______________； （2）若二次三项式（是整数）是“完全数”，可配方成（，为常数），则的值为_______________； 探究问题： （3）已知“完全数”（，是整数）的值为0，则的值为______________； （4）已知（，是整数，是常数），要使为“完全数”，试求出符合条件的值． 拓展结论：已知实数，满足，求的最小值是________________． 【答案】解决问题：（1）；是“完全数”（2）4或；探究问题：（3）；（4）；拓展结论：1 【详解】解：解决问题：（1）4是“完全数”，理由：因为； 是“完全数”，理由：因为； 故答案为：；是“完全数”． （2）， ，或， 或， 故答案为：4或； 探究问题：（3）， ，， ； 故答案为：． （4）， 由题意得：， ； 拓展结论：， ； 当时，最小，最小值为1． 故答案为：1． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$