专题06 分式方程中的含参问题5大题型（压轴题专项训练）数学沪教版五四制2024七年级上册

专题05 分式方程中的含参问题 目录 典例详解 类型一、利用分式方程的解或同解求参数 类型二、利用分式方程解的范围求参数范围 类型三、利用分式方程有增根求参数 类型四、利用分式方程无解求参数 类型五、利用分式方程的整数解求参数 压轴专练 类型一、利用分式方程的解或同解求参数 若已知分式方程的解，则直接将解代入方程计算，求出参数即可； 若含参分式方程与其他方程同解，则先算出其他方程的解，再代入即可 【例1】已知关于的方程的解为，则处可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：已知关于x的方程的解为， 则， 那么， 检验： 当时，，则A不符合题意， 当时，，则B符合题意， 当时，，则C不符合题意， 当时，，则D不符合题意， 故选：B． 【例2】若关于x的分式方程与方程的解相同，则m的值为(  ) A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：解方程， 得，， 经检验是方程的解， 把代入方程， 得，， 故选：A． 【变式1-1】若关于的分式方程的解是，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：将代入分式方程 得： 解得： 故答案为：． 【变式1-2】若关于x的分式方程的解与方程的解相同，则 ． 【答案】2 【详解】解：方程， 去分母得：， 解得：， 经检验是分式方程的解， 把代入得：， 去分母整理得：， 解得：， 经检验是分式方程的解， 故答案为：2． 【变式1-3】已知关于的方程的解比的解多，求的值． 【答案】 【详解】解：解方程得， ∵关于的方程的解比的解多， ∴关于的方程的解为， ∴， 解得， ∴ 类型二、利用分式方程解的范围求参数范围 先将分式方程化为整式方程，用参数表示未知数；再根据解的范围列不等式，同时务必加上“分母不为0”的限制条件；联立不等式求解，最后检验参数范围是否满足所有条件，确保解的有效性。 【例3】若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是（　　） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】A 【详解】解：将分式方程的两边都乘以，得， 解得， 由于分式方程的解为正数， ∴， 即， 又因为分式方程的增根是， ∴， 解得， 综上所述，且． 故选：A． 【例4】已知关于x的方程的解是负数，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．或 【答案】C 【详解】解：去分母得，， 方程的解是负数， ， 解得： ， 的取值范围是且． 故选：C． 【变式2-1】若关于x的分式方程的解为正数，则a的取值范围是（   ） A．且 B． C．且 D． 【答案】C 【详解】解：， ， ， ， ， 关于x的分式方程的解为正数， ，解得， 当时，，此时分式方程无解， 故， a的取值范围是且， 故选：C． 【变式2-2】关于的方程的解是负数，则的取值范围是 【答案】且 【详解】解：， 解得：， ， ， ， ， 方程的解是负数， ， ，即， 的取值范围为且． 故答案为：且． 【变式2-3】分式方程的解大于1时，的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解： ， ∵，， ∴， 解得：且， 故答案为：且． 类型三、利用分式方程有增根求参数 先明确增根是使原分式分母为0的根；再将分式方程化为整式方程，把所有可能的增根代入整式方程，即可求出对应的参数值；最后验证参数是否确实让方程产生增根，确保结果符合“增根使分母为0且满足整式方程”的条件。 【例5】关于的方程有增根，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， ， ， ∵关于的分式方程有增根， ∴， 解得：， 故选：． 【例6】若分式方程有增根，则m的值为 ． 【答案】2或 【详解】解：方程两边同时乘以得：， ∵方程有增根， ∴， 当时，， 当时，， 解得， ∴m的值为2或， 故答案为：2或． 【变式3-1】当关于的方程的解为增根时，的值为 ． 【答案】 【详解】解： ， ∵关于的方程的解为增根， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式3-2】若关于的分式方程有增根，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：方程两边都乘以， 得， ∵方程有增根， ∴最简公分母，即增根是， 把代入整式方程，得， 故答案为：． 【变式3-3】关于的分式方程有增根，则的值是 ． 【答案】或6 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项：， 系数化为得：， 分式方程有增根， 或， 当时，， 经检验是分式方程的解， 当时，， 经检验是分式方程的解． 综上所述，的值是或 ． 故答案为：或 ． 类型四、利用分式方程无解求参数 需分两类情况：一是分式方程化为整式方程后，整式方程无解（如一次方程系数为0且常数项不为0），直接求参数；二是整式方程有解，但解均为分式方程的增根（即使分母为0的根），将增根代入整式方程求参数。最后综合两种情况得参数值。 【例7】若关于的分式方程无解，则的值是（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【详解】解：方程两边乘以，得， 整理得，， 当，即时，，此时方程无解； 当时，解得， ∵分式方程无解， ∴， 即， 解得； 综上，的值是或， 故选：． 【例8】已知关于x的分式方程无解，则a的值为 ． 【答案】5或 【详解】解： 当时，原分式方程无解，此时，； 当时，，代入上式得，； 当时，，代入上式无解； 综上a的值为5或， 故答案为：5或． 【变式4-1】已知关于的分式方程无解，则的值为 ． 【答案】3 【详解】解：去分母，得， ∵原分式方程无解， ∴当方程产生增根时方程无解， 即当时方程无解， 代入上述整式方程可得； 故答案为：3． 【变式4-2】小奕在做数学题，由于印刷问题，有一个数“”看不清楚：． (1)她把这个数“”猜成9，请你帮她求出这个分式方程的根； (2)小奕的爸爸说：“我看到标准答案是方程的增根是，原分式方程无解．”请你求出原分式方程中“”代表的数． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 方程两边同时乘以，得， 展开，得， 解方程，得． 检验：当时，． 所以，原分式方程的根是． （2）解： 方程两边同时乘以，得． ∵方程的增根是， ∴， 解得， 所以，原分式方程中“”代表的数是． 【变式4-3】已知关于x的分式方程，若该方程无解，求m的值． 【答案】或或． 【详解】解：， 去分母得：， ， ， 由分式方程无解，得到，即或， 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，方程无解，此时分式方程无解，解得． 故的值是或或． 类型五、利用分式方程的整数解求参数 先将分式方程化为整式方程，用参数表示未知数（如用k表示x）；再结合未知数是整数的条件，列出参数需满足的等式，确定参数可能的取值；同时排除使原分式分母为0的参数值，最后统计符合条件的参数个数，或根据整数解个数要求确定参数范围。 【例9】若关于x的分式方程有整数解，则整数m的值为 ． 【答案】3，4，0 【详解】解：方程两边乘以，得：， 整理得：； 由于方程有解，则，即， ∴； 由于方程有整数解，则， 解得：或或或， 当时，，此时方程无解； 综上，整数m的值为3，4，0． 【例10】若分式方程的解为正整数，求整数m的值． 【答案】 【详解】解：去分母，得． 去括号，得，解得． ∵方程的解是正整数，且， ∴，解得． 故整数的值为. 【变式5-1】若关于的分式方程的解为整数，则整数的值有 个． 【答案】3 【详解】解：解分式方程得且， ∵分式方程的解为整数， ∴的值为或， 解得m的值为，，，共3个． 故答案为：3． 【变式5-2】关于的方程有整数解，求此时整数的值． 【答案】或或 【详解】解：， 去分母得：（）， 解：， ∵有整数解， ∴或且， 解得：或或或且， ∴此时整数的值为或或． 【变式5-3】已知，关于x的方程：． (1)若方程无解，求m的取值； (2)若方程的解为整数，求整数m的取值． 【答案】(1)或或 (2)或 【详解】（1）解：去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 当时，得， 解得； 当时，得， 解得， ∴若方程有增根，的取值为或； ∵， ∴当时原分式方程无解， ∴， ∵当或时方程有增根， ∴若方程无解，的取值为或或； （2）解：∵， ∴， ∵方程的解为整数， ∴，， 当时，（舍去）； 当时，（舍去）； 当时，； 当时，； ∴或． 1．已知关于的分式方程无解，则所有满足条件的整数的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， 则， ∴， 则， ∴， 即， 关于的分式方程无解，，， 解得：，， 或， 解得：或， 所有满足条件的整数为或或0，共3个， 故选：C． 2．若关于的方程无解，则的值是（   ） A．2 B．0 C．2或 D．2或0 【答案】C 【详解】解：将分式方程的两边都乘以得， ， 即， 由于分式方程无解， 或分式方程有增根， 或， 即或， 故选C． 3．若关于的分式方程无解，则的值为（    ） A． B． C．或 D．以上都不是 【答案】C 【详解】解：， 方程两边同乘，得 整理，得， 当时，方程无解，此时； 当时，方程的解为， 关于的分式方程无解， ，即， ， 解得； 综上，的值为或， 故选：C． 4．解决分式问题时，常常采用逆向思维的方法，如：在讨论分式时，若将其转化为，则该分式值的变化只与分母有关．已知，，设． （1）当时，的值为 ； （2）若均为非零整数，则的值为 ． 【答案】 或 【详解】解：（1）由题意得 ， 去分母得， ， 解得：， 经检验：是此方程的解， 故答案为：； （2）由题意得 ， 均为非零整数， 当时，即，，此时； 当时，即，，此时； 当时，即，，此时； 当时，即，，此时； 故答案为：或． 5．若分式方程的解为正整数，则整数m的值为 ． 【答案】 【详解】解：， 去分母得：， 移项合并得：， 解得：， 由方程的解是正整数，得到为正整数，即或， 解得：或 当时，． 当时，，原方程分母为0，原方程无解． ∴． 故答案为：． 6．已知关于x的分式方程，若原分式方程的解为非负数，则m的取值范围为 【答案】且 【详解】解：， 去分母，得：， 移项得：， ∵分式方程的解为非负数， ∴且， 解得：且， 故答案为：且． 7．若关于y的分式方程的解为整数，且是一个完全平方式，则满足条件的整数a的值为 ． 【答案】 【详解】解：关于的分式方程的解是，且解为整数，a为整数， 或且， 解得或或或， 而当时，分式方程有增根， ， 或或， 是一个完全平方式， ， 或， 故 故答案为：． 8．当 时，解关于的方程会产生增根． 【答案】 【详解】解 ：去分母得： 解得：； 因为关于的方程会产生增根，则增根为， 故， 解得：； 故答案为： 9．关于的分式方程的解是负数，则的取值范围是 ． 【答案】且 【详解】解； 去分母得：， 解得， ∵关于的分式方程的解是负数， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴且， 故答案为：且． 10．关于x的分式方程的解是负数，求m的取值范围． 【答案】且 【详解】解：原方程两边同乘得： 则， 整理得， 原方程的解是负数， 且， ， 且， 解得：且． 11．（1）若解关于x的分式方程会产生增根，求m的值． （2）若方程的解是正数，求a的取值范围． 【答案】（1）或6；（2）且 【详解】解：（1）， 方程两边同乘以，得， 解得， ∵这个分式方程有增根， ∴或，即或， ∴或， 解得或， 所以的值为或6． （2）， ， 解得， ∵这个方程的解是正数， ∴， 解得， 又∵这个方程有解， ∴，即， ∴， 解得， 综上，的取值范围为且． 12．已知关于的分式方程． (1)当分式方程有增根时，求的值． (2)当分式方程的解为正数时，求的取值范围． (3)当分式方程有整数解，且时，直接写出所有满足条件的整数的和． 【答案】(1) (2)且 (3) 【详解】（1）解：分式方程去分母得：， 整理可得：， 当分式方程有增根时，即， 则， 解得：； （2）解：根据题意可得：且， 即，且， 解得：且； （3）解：当时， ∵， ∴， 当分式方程有整数解时，， 由于当分式方程有增根时，即，故需要舍去， 当时，， 当时，， 经检验，都符合题意， ∴它们的和是． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 分式方程中的含参问题 目录 典例详解 类型一、利用分式方程的解或同解求参数 类型二、利用分式方程解的范围求参数范围 类型三、利用分式方程有增根求参数 类型四、利用分式方程无解求参数 类型五、利用分式方程的整数解求参数 压轴专练 类型一、利用分式方程的解或同解求参数 若已知分式方程的解，则直接将解代入方程计算，求出参数即可； 若含参分式方程与其他方程同解，则先算出其他方程的解，再代入即可 【例1】已知关于的方程的解为，则处可能为（　　） A． B． C． D． 【例2】若关于x的分式方程与方程的解相同，则m的值为(  ) A． B． C． D． 【变式1-1】若关于的分式方程的解是，则的值为 ． 【变式1-2】若关于x的分式方程的解与方程的解相同，则 ． 【变式1-3】已知关于的方程的解比的解多，求的值． 类型二、利用分式方程解的范围求参数范围 先将分式方程化为整式方程，用参数表示未知数；再根据解的范围列不等式，同时务必加上“分母不为0”的限制条件；联立不等式求解，最后检验参数范围是否满足所有条件，确保解的有效性。 【例3】若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是（　　） A．且 B．且 C．且 D．且 【例4】已知关于x的方程的解是负数，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．或 【变式2-1】若关于x的分式方程的解为正数，则a的取值范围是（   ） A．且 B． C．且 D． 【变式2-2】关于的方程的解是负数，则的取值范围是 【变式2-3】分式方程的解大于1时，的取值范围是 ． 类型三、利用分式方程有增根求参数 先明确增根是使原分式分母为0的根；再将分式方程化为整式方程，把所有可能的增根代入整式方程，即可求出对应的参数值；最后验证参数是否确实让方程产生增根，确保结果符合“增根使分母为0且满足整式方程”的条件。 【例5】关于的方程有增根，则的值为（    ） A． B． C． D． 【例6】若分式方程有增根，则m的值为 ． 【变式3-1】当关于的方程的解为增根时，的值为 ． 【变式3-2】若关于的分式方程有增根，则的值为 ． 【变式3-3】关于的分式方程有增根，则的值是 ． 类型四、利用分式方程无解求参数 需分两类情况：一是分式方程化为整式方程后，整式方程无解（如一次方程系数为0且常数项不为0），直接求参数；二是整式方程有解，但解均为分式方程的增根（即使分母为0的根），将增根代入整式方程求参数。最后综合两种情况得参数值。 【例7】若关于的分式方程无解，则的值是（   ） A． B．或 C．或 D．或 【例8】已知关于x的分式方程无解，则a的值为 ． 【变式4-1】已知关于的分式方程无解，则的值为 ． 【变式4-2】小奕在做数学题，由于印刷问题，有一个数“”看不清楚：． (1)她把这个数“”猜成9，请你帮她求出这个分式方程的根； (2)小奕的爸爸说：“我看到标准答案是方程的增根是，原分式方程无解．”请你求出原分式方程中“”代表的数． 【变式4-3】已知关于x的分式方程，若该方程无解，求m的值． 类型五、利用分式方程的整数解求参数 先将分式方程化为整式方程，用参数表示未知数（如用k表示x）；再结合未知数是整数的条件，列出参数需满足的等式，确定参数可能的取值；同时排除使原分式分母为0的参数值，最后统计符合条件的参数个数，或根据整数解个数要求确定参数范围。 【例9】若关于x的分式方程有整数解，则整数m的值为 ． 【例10】若分式方程的解为正整数，求整数m的值． 【变式5-1】若关于的分式方程的解为整数，则整数的值有 个． 【变式5-2】关于的方程有整数解，求此时整数的值． 【变式5-3】已知，关于x的方程：． (1)若方程无解，求m的取值； (2)若方程的解为整数，求整数m的取值． 1．已知关于的分式方程无解，则所有满足条件的整数的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．若关于的方程无解，则的值是（   ） A．2 B．0 C．2或 D．2或0 3．若关于的分式方程无解，则的值为（    ） A． B． C．或 D．以上都不是 4．解决分式问题时，常常采用逆向思维的方法，如：在讨论分式时，若将其转化为，则该分式值的变化只与分母有关．已知，，设． （1）当时，的值为 ； （2）若均为非零整数，则的值为 ． 5．若分式方程的解为正整数，则整数m的值为 ． 6．已知关于x的分式方程，若原分式方程的解为非负数，则m的取值范围为 7．若关于y的分式方程的解为整数，且是一个完全平方式，则满足条件的整数a的值为 ． 8．当 时，解关于的方程会产生增根． 9．关于的分式方程的解是负数，则的取值范围是 ． 10．关于x的分式方程的解是负数，求m的取值范围． 11．（1）若解关于x的分式方程会产生增根，求m的值． （2）若方程的解是正数，求a的取值范围． 12．已知关于的分式方程． (1)当分式方程有增根时，求的值． (2)当分式方程的解为正数时，求的取值范围． (3)当分式方程有整数解，且时，直接写出所有满足条件的整数的和． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$