专题05 分式的混合运算及求值5大题型（压轴题专项训练）数学沪教版五四制2024七年级上册

专题05 分式的混合运算及求值 目录 典例详解 类型一、分式的求值 类型二、分式的规律题计算 类型三、分式值为整数时的求值问题 类型四、分式的混合运算压轴 类型五、分式中的最值问题 压轴专练 类型一、分式的求值 【例1】若，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】解：设， 则， 以上三式相加得：； 当时，则； 此时， 解得：， ∴； 当时，则， ∴， ∴； 综上，的值为或； 故选：C． 【例2】已知代数式满足． (1)化简； (2)若，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解方程得： ，， 当时，原分式没有意义， 当时，． 【变式1-1】已知，则分式的值为 ． 【答案】17 【详解】解：∵， ∴， 原式 ∴当时， 原式 ． 故答案为：17． 【变式1-2】已知，则的值为 ． 【答案】14 【详解】解：∵，当时，方程不成立， ∴， ∴方程两边同时除以，得， ∴， ∴； 故答案为：14． 【变式1-3】阅读下面的解题过程： 已知：，求的值． 解：由知，所以，即． 所以． 故的值为． 该题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的题目： 已知：，求的值． 【答案】 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. 类型二、分式的规律题计算 【例3】已知 ， ， ，…，（n为正整数，且，），则用含t的式子表示的结果为（   ） A．1 B．t C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意可得， ， ， ， ， …， 由上可得，上面的数据，每三个为一个循环， ∵， ∴． 故选：C． 【例4】阅读两位同学的探究交流活动过程： 小杰在做分式运算时发现如下一个等式，并对它进行了证明． ①． 小杰尝试写出了符合这个特征的其他几个等式：②； ③；④． 小杰邀请同学小俊，根据上述规律写出第⑥个等式和第个等式（用含的式子表示，为正整数）；小俊对第个等式进行了证明．请解答下列问题： (1)第⑥个等式是_______； (2)第个等式是_______； (3)请证明第个等式成立． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【详解】（1）解：由题干规律可知，第⑥个等式是； 故答案为：． （2）解：第个等式是； 故答案为：． （3）解：第个等式右边 ； 第个等式左边 ； 第个等式左边右边， 故第个等式成立． 【变式2-1】对于正数x规定，例如：，，则 …………（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：………… ………… +…+ . 故选：B 【变式2-2】观察以下等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式： ； (2)写出你猜想的第n个等式： (用含n的等式表示)，并说明等式的正确性． 【答案】(1) (2)（，且为整数），证明见解析 【详解】（1）解：∵第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： ∴第个等式：， 故答案为：； （2）解：由（1）归纳可得： 第n个等式：（，且为整数） 证明如下：左边右边， ∴成立. 【变式2-3】观察下列算式，第一个式子；第二个式子；第三个式子；第四个式子；…… 根据你发现的规律解决下列问题： (1)写出第n个式子：_______（n为正整数）． (2)_______（n，m为正整数且）． (3)若，试求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：第n个式子为： ， 故答案为：． （2）解：设， ， ∴， 令，则， 令，则， ∴ ， ， 故答案为：． （3）解：由题意，， 解得， 原式 ． 类型三、分式值为整数时的求值问题 先明确分式有意义的前提（分母不为0），再将分式化简（如分子因式分解）； 若分子是含参数的整式、分母是常数，或反之，需让分子能被分母整除（或分母能被分子整除），列出整除关系求参数；最后检验参数是否使分母不为0，确保分式有意义。 【例5】已知：，，设时，若是正整数，求的正整数值为（   ） A．12或14 B．15或13 C．12或15 D．12或13 【答案】C 【详解】解：∵， ∴. ∵x和y都是正整数， ∴是正整数， 即是4或8. 当时，； 当时，. 所以y的正整数值是12或15. 故选：C. 【例6】定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如： ； ， 则和都是“和谐分式”． (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是：________（填序号）； ①；②；③；④ (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：________； (3)当取什么整数时，“和谐分式”的值为整数？ 【答案】(1)①③④是“和谐分式” (2) (3)的值为4或2或14或时，“和谐分式”的值为整数 【详解】（1）解：①； ②； ③； ④， ①③④是“和谐分式”． 故答案为：①③④． （2）解： ， ． 故答案为：． （3）解：的值为整数， 当为整数时，的值也要为整数， 当或时，分式的值为整数， 或或或， 即当的值为4或2或14或时，“和谐分式”的值为整数． 【变式3-1】已知分式的值是正整数，则整数的值为 ． 【答案】或0或1 【详解】解： ， 分式的值是正整数，是整数， 或， 解得：或1或0， 故答案为：或0或1． 【变式3-2】若为正整数，且也为正整数，则的值为 ． 【答案】或/6或2 【详解】解：，该分式为正整数，也为正整数，且， ∴当时，，原式为正整数，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，原式为正整数，符合题意； 当时，，不符合题意； 综上所述，的值为或， 故答案为：或 ． 【变式3-3】数学活动课上，老师在黑板上写了两个代数式，，请同学们利用两个代数式提出问题，并解决问题． (1)嘉嘉：求的最小值； (2)琪琪：若的值为正整数，求整数的值． 【答案】(1)的最小值是． (2)整数的值为或． 【详解】（1）解： ∴当且仅当，即时取等号，的最小值是． （2）解： ∵分式有意义时，分母不为，即，解得． 当时，． ∵的值为正整数，为整数． 当，即时，； 当，即时，． ∴整数的值为或． 类型四、分式的混合运算压轴 【例7】淇淇利用计算机设计了一个循环程序如下，输入一个式子经过运算后会在显示屏上显示结果，并将本次显示结果作为输入的式子再次输入程序中，已知淇淇最初输入，则第1次显示结果为，第2次显示结果为，若将第2023次显示结果记为，2024次显示结果记为，则的值为（　　） A． B．1 C． D． 【答案】A 【详解】解：由题知， 因为最初输入， 所以第1次显示结果为； 第2次显示结果为； 第3次显示结果为； 第4次显示结果为； ， 由此可见，从第1次显示的结果开始按循环． 又因为，， 所以，， 则． 故选：A． 【例8】定义：如果两个分式与的差为1，则称是的“最友好分式”，如分式，，，则是的“最友好分式”． (1)已知分式，，请判断是否为的“最友好分式”，并说明理由． (2)已知分式，，且是的“最友好分式”．求（用含的式子表示） 【答案】(1)是的“最友好分式”，理由见解析 (2) 【详解】（1）解：是的“最友好分式”，理由如下： ∵，， ∴ ， ∴是的“最友好分式”． （2）解：∵，，且是的“最友好分式”， ∴， ∴， ∴ ． 【变式4-1】若都是正实数，且，求 ． 【答案】3 【详解】解：两边同乘a，得， 故， 同理可得，， ， 故 【变式4-2】对于任意实数x，y，z，定义运算“*”为： ，且，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设，则， 则， ， 则的值为． 故选：C 【变式4-3】计算 【答案】 【详解】解： ． 类型五、分式中的最值问题 【例9】若a为正整数，下列关于分式的值的结论正确的是（   ） A．有最大值是2 B．有最大值是 C．有最小值是1 D．有最小值，没有最大值 【答案】B 【详解】解：， 分式要有意义， ， 且， a为正整数， ∴a的最小值为2． 分式的值随着a的值的增大而减小， ∴当a取最小整数2时，原式有最大值，最大值，且原分式无最小值． 故选：B． 【例10】在学习《分式》一章后，小智同学对分式的某些变形进行了深入的研究，他发现有些分式可以转化为一个整式和一个真分式（即分子的次数小于分母的次数）的形式，例如：，而且他发现这样的变形可以优化计算． 参考小智的方法，完成下面的问题： (1)如果分式可以变形为（，为整数），求和的值； (2)求分式的最大值． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解： ， ，； （2）解： ， ， ， ， ， 原分式的最大值为． 【变式5-1】【方法策略】对于分式，求它的最大值． 解：原式． ， 的最小值是2． 的最大值是2． 的最大值是4． 即分式的最大值是4． 【问题解决】根据上述方法，求分式的最大值． 【答案】5 【详解】解：． ， 的最小值是1． 的最大值是3． 的最大值是5． 分式的最大值是5． 【变式5-2】阅读材料，并解决问题： 我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”，分子大于或等于分母的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；再如，这样的分式就是真分式．假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式（整式与真分式的和或差）的形式． 如：． 再如：． 解决问题： (1)分式是 ；（填“真分式”或“假分式”） (2)将分式化成带分式； (3)当a为何值时，分式有最大值？最大值是多少？ 【答案】(1)假分式 (2) (3)时，最大值为7 【详解】（1）解：分子，分母的次数相等，则是假分式， 故答案为：假分式； （2）解： （3）由（2）可得：， ∵， ∴， ∴当时，最大， ∴当时，有最大值，最大值为：． 【变式5-3】若一个多项式的值恒为非负数，我们则称这个多项式为“和美多项式”．例如多项式可做如下变形： ， ， ， 即的值恒为非负数，且当时，多项式有最小值，最小值是2． 根据以上阅读材料，完成下列问题： (1)下列多项式是“和美多项式”的是________； （1）；（2）；（3）． (2)已知“和美多项式”，，求的最小值． 【答案】(1)（1）（3） (2)1 【详解】（1）解：， ， （1）是和美多项式； ， ， （2）解： ， 当时， 有最小值4， 此时取得最大值7， 的最小值为1， 即的最小值为1． 【点睛】本题考查了新定义“和美多项式”，配方法，理解“和美多项式”， 能利用配方法将多项式变形进行求解是解题的关键． 1．a，b，c均为正数且，已知，求（   ） A．1 B． C．3 D．2 【答案】A 【详解】解：， ， ∴ ∴， ∵， ， 故选：A． 2．已知，，，则的值为（　　） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【详解】解：设， ∵， ∴，即， ∴， 同理得， ∴． 故选：A． 3．已知，则 ． 【答案】 【详解】解：由，可得，，，． 原式， ，可知，中负因数的个数为偶数0或2或 4个， 由可知，不可能全为正数或全为负数， 中必为两正两负，此时的值中，有两项为1，两项为， 原式， 故答案为：． 4．已知两个分式 （且a≠1），将这两个分式进行如下运算：第一次运算： 第二次运算： 第三次运算： 继续依次运算下去，通过运算，有如下结论：①；②；③ ④（n为正整数）．以上结论正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】解：， ， ， 故①错误； 同理可求出，， ∴ ∴，故②正确； 通过递推得 ，故③错误； 由递推关系 ，，得 ，与题目中的不符，故④错误。 综上，仅结论②正确，正确个数为1个， 故选：A． 5．若x取整数，则使分式的值为整数的x的值有 个． 【答案】4 【详解】解： 由题意可知，是6的整数约数， ∴，2，3，6，，，，， 解得：，，1，，，，，， 其中x的值为整数有：，1，，共4个． 故答案为：4． 6．若，则分式的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：． 7．观察以下等式：第1个等式：；第2个等2式；第3个等式；第4个等式；……按照以上规律，写出第10个等式 ． 【答案】 【详解】解：第1个等式：； 第2个等2式； 第3个等式； 第4个等式； ……， 第n个等式， 当时，． ． 8．若，，则的值等于 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， 由，可得：， 把代入②，可得：， 又∵， ∴ ． 故答案为：． 9．已知． (1)若y的值为正数，求x的取值范围； (2)若y的值为整数，求整数x的所有可能值． 【答案】(1) (2)或或或或或 【详解】（1）解：的值为正数， ， ； （2），y的值为整数， 或或或或或， 或或或或或． 10．已知，，用“”或“”连接，，有三种不同的形式：，，．请你分别计算这三种形式，并化简求值，其中． 【答案】，，． 【详解】解：； ； ； 因为， 所以设， 则， 所以，，． 11．观察下列等式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：； …… 按照以上规律，解决问题； (1)写出第5个等式：________； (2)写出第个等式（用含的式子表示，为正整数）； (3)利用上述规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：∵第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； ∴第5个等式：， 故答案为：； （2）解：根据题意，得：第个等式：； （3）解：原式 12．数学课上，老师让同学们完成课本121页第3题： 用两种方法计算． 下面是甲、乙两位同学的部分计算过程： 甲同学：原式 乙同学：原式 (1)甲同学计算的依据是________，乙同学计算的依据是________（填序号）； ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法交换律；④乘法分配律． (2)选择其中一种你喜欢的解法，写出完整的计算过程，再从中选取一个合适的整数代入求值． 【答案】(1)②，④ (2)见解析，原式；当时，原式；当时，原式 【详解】（1）解：甲同学解法的依据是分式的基本性质，乙同学解法的依据是乘法分配律， 故答案为：②，④； （2）解：若选择甲同学的解法， 原式 ； 若选择乙同学的解法， 原式 ； ∵，，， ∴，，， ∴在中，可取， ∴当时，原式； 当时，原式． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 分式的混合运算及求值 目录 典例详解 类型一、分式的求值 类型二、分式的规律题计算 类型三、分式值为整数时的求值问题 类型四、分式的混合运算压轴 类型五、分式中的最值问题 压轴专练 类型一、分式的求值 【例1】若，则（    ） A． B． C．或 D．或 【例2】已知代数式满足． (1)化简； (2)若，求代数式的值． 【变式1-1】已知，则分式的值为 ． 【变式1-2】已知，则的值为 ． 【变式1-3】阅读下面的解题过程： 已知：，求的值． 解：由知，所以，即． 所以． 故的值为． 该题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的题目： 已知：，求的值． 类型二、分式的规律题计算 【例3】已知 ， ， ，…，（n为正整数，且，），则用含t的式子表示的结果为（   ） A．1 B．t C． D． 【例4】阅读两位同学的探究交流活动过程： 小杰在做分式运算时发现如下一个等式，并对它进行了证明． ①． 小杰尝试写出了符合这个特征的其他几个等式：②； ③；④． 小杰邀请同学小俊，根据上述规律写出第⑥个等式和第个等式（用含的式子表示，为正整数）；小俊对第个等式进行了证明．请解答下列问题： (1)第⑥个等式是_______； (2)第个等式是_______； (3)请证明第个等式成立． 【变式2-1】对于正数x规定，例如：，，则 …………（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】观察以下等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式： ； (2)写出你猜想的第n个等式： (用含n的等式表示)，并说明等式的正确性． 【变式2-3】观察下列算式，第一个式子；第二个式子；第三个式子；第四个式子；…… 根据你发现的规律解决下列问题： (1)写出第n个式子：_______（n为正整数）． (2)_______（n，m为正整数且）． (3)若，试求的值． 类型三、分式值为整数时的求值问题 先明确分式有意义的前提（分母不为0），再将分式化简（如分子因式分解）； 若分子是含参数的整式、分母是常数，或反之，需让分子能被分母整除（或分母能被分子整除），列出整除关系求参数；最后检验参数是否使分母不为0，确保分式有意义。 【例5】已知：，，设时，若是正整数，求的正整数值为（   ） A．12或14 B．15或13 C．12或15 D．12或13 【例6】定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如： ； ， 则和都是“和谐分式”． (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是：________（填序号）； ①；②；③；④ (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：________； (3)当取什么整数时，“和谐分式”的值为整数？ 【变式3-1】已知分式的值是正整数，则整数的值为 ． 【变式3-2】若为正整数，且也为正整数，则的值为 ． 【变式3-3】数学活动课上，老师在黑板上写了两个代数式，，请同学们利用两个代数式提出问题，并解决问题． (1)嘉嘉：求的最小值； (2)琪琪：若的值为正整数，求整数的值． 类型四、分式的混合运算压轴 【例7】淇淇利用计算机设计了一个循环程序如下，输入一个式子经过运算后会在显示屏上显示结果，并将本次显示结果作为输入的式子再次输入程序中，已知淇淇最初输入，则第1次显示结果为，第2次显示结果为，若将第2023次显示结果记为，2024次显示结果记为，则的值为（　　） A． B．1 C． D． 【例8】定义：如果两个分式与的差为1，则称是的“最友好分式”，如分式，，，则是的“最友好分式”． (1)已知分式，，请判断是否为的“最友好分式”，并说明理由． (2)已知分式，，且是的“最友好分式”．求（用含的式子表示） 【变式4-1】若都是正实数，且，求 ． 【变式4-2】对于任意实数x，y，z，定义运算“*”为： ，且，则的值为（　　） A． B． C． D． 【变式4-3】计算 类型五、分式中的最值问题 【例9】若a为正整数，下列关于分式的值的结论正确的是（   ） A．有最大值是2 B．有最大值是 C．有最小值是1 D．有最小值，没有最大值 【例10】在学习《分式》一章后，小智同学对分式的某些变形进行了深入的研究，他发现有些分式可以转化为一个整式和一个真分式（即分子的次数小于分母的次数）的形式，例如：，而且他发现这样的变形可以优化计算． 参考小智的方法，完成下面的问题： (1)如果分式可以变形为（，为整数），求和的值； (2)求分式的最大值． 【变式5-1】【方法策略】对于分式，求它的最大值． 解：原式． ， 的最小值是2． 的最大值是2． 的最大值是4． 即分式的最大值是4． 【问题解决】根据上述方法，求分式的最大值． 【变式5-2】阅读材料，并解决问题： 我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”，分子大于或等于分母的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；再如，这样的分式就是真分式．假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式（整式与真分式的和或差）的形式． 如：． 再如：． 解决问题： (1)分式是 ；（填“真分式”或“假分式”） (2)将分式化成带分式； (3)当a为何值时，分式有最大值？最大值是多少？ 【变式5-3】若一个多项式的值恒为非负数，我们则称这个多项式为“和美多项式”．例如多项式可做如下变形： ， ， ， 即的值恒为非负数，且当时，多项式有最小值，最小值是2． 根据以上阅读材料，完成下列问题： (1)下列多项式是“和美多项式”的是________； （1）；（2）；（3）． (2)已知“和美多项式”，，求的最小值． 1．a，b，c均为正数且，已知，求（   ） A．1 B． C．3 D．2 2．已知，，，则的值为（　　） A．2 B． C．3 D． 3．已知，则 ． 4．已知两个分式 （且a≠1），将这两个分式进行如下运算：第一次运算： 第二次运算： 第三次运算： 继续依次运算下去，通过运算，有如下结论：①；②；③ ④（n为正整数）．以上结论正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．若x取整数，则使分式的值为整数的x的值有 个． 6．若，则分式的值为 ． 7．观察以下等式：第1个等式：；第2个等2式；第3个等式；第4个等式；……按照以上规律，写出第10个等式 ． 8．若，，则的值等于 ． 9．已知． (1)若y的值为正数，求x的取值范围； (2)若y的值为整数，求整数x的所有可能值． 10．已知，，用“”或“”连接，，有三种不同的形式：，，．请你分别计算这三种形式，并化简求值，其中． 11．观察下列等式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：； …… 按照以上规律，解决问题； (1)写出第5个等式：________； (2)写出第个等式（用含的式子表示，为正整数）； (3)利用上述规律计算：． 12．数学课上，老师让同学们完成课本121页第3题： 用两种方法计算． 下面是甲、乙两位同学的部分计算过程： 甲同学：原式 乙同学：原式 (1)甲同学计算的依据是________，乙同学计算的依据是________（填序号）； ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法交换律；④乘法分配律． (2)选择其中一种你喜欢的解法，写出完整的计算过程，再从中选取一个合适的整数代入求值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$