精品解析：湖南省长沙市长郡雨花外国语学校2025-2026学年九年级上学期开学考试数学试题

2025年秋季九年级数学开学检测 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 下列实数、、、、、中，无理数的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2. 2021年2月20日，党史学习教育动员大会在北京召开．习近平总书记号召全党同志要以优异成绩迎接建党一百周年．中央组织部党内统计数据显示，截至2021年6月5日，中国共产党党员总数约为95150000人．将95150000用科学记数法表示为（ ） A. 0.9515×107 B. 0.9515×108 C. 9.515×107 D. 9.515×108 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若，则下列不等式中不成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，，依次是的高、中线和角平分线，下列选项中错误的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，平分，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 关于的一元二次方程解的情况分析正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不能确定 8. 如图是古诗《登飞来峰》，如果“云”用表示，“千”用表示，那么“升”可以表示为（ ） 登 飞 来 峰 飞 来 山 上 千 寻 塔 ， 闻 说 鸡 鸣 见 日 升 ， 不 畏 浮 云 遮 望 眼 ， 自 缘 身 在 最 高 层 ． A. B. C. D. 9. 如图，抛物线的对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④的解为；⑤．正确的是（ ） A. ①②③④ B. ①③④⑤ C. ①②③⑤ D. ①②④⑤ 二、填空题（共18分） 10. 因式分解：______． 11. 已知x，y都是实数，且，则__________． 12. 若关于的一元一次不等式组有解，则的取值范围是_________． 13. 若点关于轴的对称点在第二象限，则的取值范围是 ________． 14. 用“*”表示一种新运算：对于任意正实数，都有，例如，那么__________． 15. 甲、乙两工程队分别同时开挖两条600米长的管道，所挖管道长度y（米）与挖掘时间x（天）之间的关系如图所示．则下列说法中：①甲队每天挖100米；②乙队开挖2天后，每天挖50米；③甲队比乙队提前2天完成任务；④甲、乙两队所挖管道长度相差100米时，x=6．正确的有：______． 三、解答题（共72分） 16. 计算：． 17. （1）解不等式组：． （2）解方程：． 18. 先化简：，然后从－2，－1，0，1中选一个你喜欢的x的值，代入求代数式的值． 19. 2025年中央广播电视台春节联欢晚会，作为春节申遗成功后的首届春晚，整场晚会以“已已如意，生生不息”为主题，充分展示中华优秀传统文化的隽永魅力．为了解某校九年级学生春晚观看方式（A：平板观看；B：手机观看；C：电视观看；D：其他方式或没有观看），小明随机统计了部分学生的春晚观看方式，并绘制成如下统计图． 请根据图中信息解答下列问题： （1）这次随机抽取的学生共有________人，并将条形统计图补充完整； （2）扇形统计图中“手机观看”所对应扇形的圆心角角度为________； （3）该校九年级共有学生900人，请估计这次九年级学生用电视观看春晚的学生约有多少人？ 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根为，且为正数，求的值． 21. 如图，菱形中，对角线，交于点，点是的中点，延长到点，使，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求菱形的面积． 22. 第九届亚冬会在我国冰城哈尔滨召开．其吉祥物一经开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件45元的价格购进某款亚冬会吉祥物，以每件68元的价格出售，经统计，2025年3月份的销售量为256件，2025年5月份的销售量为400件． （1）求该款吉祥物2025年3月份到5月份销售量的月平均增长率？ （2）从5月份起，商店决定采用降价促销的方式回馈顾客，经测试，发现该款吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该款吉祥物降价多少元时，月销售利润能达到8400元？ 23. 定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式的解集范围内，则称一元一次方程为一元一次不等式的“伴随方程”．如：一元一次方程的解为，而一元一次不等式的解集为，不难发现在范围内，则一元一次方程是一元一次不等式的“伴随方程” （1）在①，②，③三个一元一次方程中，是一元一次不等式的“伴随方程”的有______（填序号）； （2）若关于x的一元一次方程是关于x一元一次不等式的“伴随方程”，且一元一次方程不是关于x的一元一次不等式的“伴随方程”． ①求a的取值范围； ②直接写出代数式的最大值． 24. 已知二次函数图象的顶点是，且经过点． （1）求二次函数的解析式； （2）一次函数的图象经过点，与二次函数的图象交于A，B两点点在点的左侧），过点，分别作轴于点，轴于点． ①若点横坐标为2，求的长，并直接写出不等式的解； ②分别用，，，表示，，的面积，则的值是否为定值，若是，请求出该定值，若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季九年级数学开学检测 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 下列实数、、、、、中，无理数的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】根据无理数的定义（无理数是指无限不循环小数）得出即可． 【详解】为有理数、为无理数、为无理数、为有理数、为有理数、为无理数，其中无理数的个数为3个； 故选B． 【点睛】本题考查了无理数，能理解无理数的定义是解此题的关键． 2. 2021年2月20日，党史学习教育动员大会在北京召开．习近平总书记号召全党同志要以优异成绩迎接建党一百周年．中央组织部党内统计数据显示，截至2021年6月5日，中国共产党党员总数约为95150000人．将95150000用科学记数法表示为（ ） A. 0.9515×107 B. 0.9515×108 C. 9.515×107 D. 9.515×108 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】由题可得： 故选：C． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法与除法、幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题关键． 根据合并同类项、同底数幂的乘法与除法、幂的乘方法则逐项判断即可得． 【详解】解：A、与不是同类项，不可合并，则此项错误，不符合题意； B、，则此项错误，不符合题意； C、，则此项正确，符合题意； D、，则此项错误，不符合题意； 故选：C． 4. 若，则下列不等式中不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的性质对每一个选项进行判断，其中可以利用假设法进行判断，赋予如m、n为特定值，来判断不等式是否成立，即可求解． 【详解】解：A．∵，不等式两边同时加2，不等号方向不变，∴，故A不符合题意； B．∵，不等式两边同时乘以-2，-2＜0，不等号方向改变，∴，故B符合题意； C．∵，不等式两边同时加-2，不等号方向不变，∴，故C不符合题意； D．∵，不等式两边同时乘以，＞0，不等号方向不变，∴，故D不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查了不等式的性质，不等式的基本性质是解不等式的主要依据，必须熟练地掌握．要认真弄清不等式的基本性质与等式的基本性质的异同，特别是在不等式两边同乘以（或除以）同一个数时，不仅要考虑这个数不等于0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变． 5. 如图，，，依次是的高、中线和角平分线，下列选项中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的高、中线和角平分线的定义，根据各自的定义一一判定即可． 【详解】解：∵是中线， ∴，故A选项正确， ∵是的高， ∴，故B选项正确， ∵是角平分线， ∴，故D选项正确， ∵是中线，不是角平分线， ∴无法得出，故C选项无法得出， 故选：C 6. 如图，平分，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角平分线，角的计算．熟练掌握角平分线的定义，角的和差倍分关系，是解答本题的关键． 由角平分线的定义得，再根据，得，结合，即可得出的度数． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ， ∴． 故选：C． 7. 关于的一元二次方程解的情况分析正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式． 根据计算根的判别式即可确定解的情况． 【详解】解： ∵， ∴方程始终有两个不相等的实数根， 故选：A． 8. 如图是古诗《登飞来峰》，如果“云”用表示，“千”用表示，那么“升”可以表示为（ ） 登 飞 来 峰 飞 来 山 上 千 寻 塔 ， 闻 说 鸡 鸣 见 日 升 ， 不 畏 浮 云 遮 望 眼 ， 自 缘 身 在 最 高 层 ． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，根据升的位置相当于千向右平移2个单位长度，向下平移1个单位长度得到的进行求解即可． 【详解】解：观察可知，升的位置相当于千向右平移2个单位长度，向下平移1个单位长度得到的， ∵“千”用表示， ∴“升”可以表示为， 故选：B． 9. 如图，抛物线的对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④的解为；⑤．正确的是（ ） A. ①②③④ B. ①③④⑤ C. ①②③⑤ D. ①②④⑤ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，二次函数与坐标轴的交点问题；①利用抛物线与轴有个交点可进行判断；②根据二次函数的开口方向确定的符号，根据对称轴确定的符号，根据二次函数的图象与轴的位置确定的符号即可判断；③根据对称轴是直线即可判断；④根据抛物线与轴的交点即可判断；再根据④知抛物线与x轴的另一个交点为即可判断⑤． 【详解】解：①抛物线与轴有个交点， ，所以①正确； ②图象开口向下，得， 对称轴， ， 图象与轴的交点在轴的上方，得， ，故②正确； ③抛物线的对称轴为直线， , ，所以③正确； ④二次函数的图象过，， 方程的解是，，故④正确； ⑤由④知二次函数的图象过， 当时，，故⑤错误． 故选：A． 二、填空题（共18分） 10. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】提取公因式即可完成因式分解. 【详解】解：. 11. 已知x，y都是实数，且，则__________． 【答案】4 【解析】 【分析】利用二次根式被开方数的非负性求出x值，再代入求出y值，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 将代入， 得：， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了二次根式被开方数的非负性，熟练掌握并灵活运用二次根式被开方数的非负性是解题的关键． 12. 若关于的一元一次不等式组有解，则的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．先求出一元一次不等式组的解集，然后再根据题意列出含参数的不等式即可求解． 【详解】解：由关于的一元一次不等式组有解可得：， ∴， 故答案为：． 13. 若点关于轴的对称点在第二象限，则的取值范围是 ________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查点在平面直角系中的对称，求不等式的解集，掌握平面直角坐标系的特点，轴对称的性质是解题的关键． 根据点关于轴对称的点，横坐标变为相反数，纵坐标不变，再根据不等式的性质求解即可． 【详解】解：∵点关于轴的对称点在第二象限， ∴点， ∴且， 解得，， 故答案为：． 14. 用“*”表示一种新运算：对于任意正实数，都有，例如，那么__________． 【答案】15 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算， 根据新定义代入，先计算算术平方根，再计算加法即可． 【详解】解：∵对于任意正实数，都有， ∴， 故答案为：15 15. 甲、乙两工程队分别同时开挖两条600米长的管道，所挖管道长度y（米）与挖掘时间x（天）之间的关系如图所示．则下列说法中：①甲队每天挖100米；②乙队开挖2天后，每天挖50米；③甲队比乙队提前2天完成任务；④甲、乙两队所挖管道长度相差100米时，x=6．正确的有：______． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】通过观察图象，明确横纵坐标、起点、折点、交点、终点及每一段表示的含义，从而判断出选项是否正确． 【详解】解：横坐标为挖掘时间x（天），纵坐标为所挖管道长度y（米）， 由甲的图象知，（6，600）表示甲队挖掘6天，所挖管道长度为600米，6天完成任务，则甲队每天挖100米．①正确； 由乙的图象知，（2，300）表示乙队前2天挖了300米，（6，500）表示乙队第6天时，所挖管道长度为500米，第2-6天的4天内，共挖管道500-300=200（米），平均每天挖200÷4=50（米/天）．②正确； 乙队完成任务所用的时间=6+（100÷50）=8天，则甲队比乙队提前完成任务的天数=8-6=2（天）．③正确； 甲队第二天是所挖管道长度为200米，此时乙队所挖管道长度为300米，相差100米；由图像知，当x=6时，乙两队所挖管道长度相差100米．由此得出，甲、乙两队所挖管道长度相差100米时，x=2或6．④错误． 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查函数的图象，能从函数图象中提取有用的信息，并结合题目信息解决问题是本题的关键． 三、解答题（共72分） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，先计算乘方、负整数指数幂、零指数幂，再计算加减即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ． 17. （1）解不等式组：． （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解一元二次方程，熟练掌握运算方法是解此题的关键． （1）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可得解． 【详解】解：（1）， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为； （2）∵， ∴， ∴或， ∴，． 18. 先化简：，然后从－2，－1，0，1中选一个你喜欢的x的值，代入求代数式的值． 【答案】x+1； 当x=－2时，原式=－1． 【解析】 【分析】利用分式的运算法则化简，再代入合适的值即可求解． 【详解】 = = = x+1 ∵当x=-1，0，1时，分母为零，无意义，所以x只能取-2， 故当x=-2时，原式=-1． 【点睛】此题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟知分式的运算法则及分母不为零的情况． 19. 2025年中央广播电视台春节联欢晚会，作为春节申遗成功后的首届春晚，整场晚会以“已已如意，生生不息”为主题，充分展示中华优秀传统文化的隽永魅力．为了解某校九年级学生春晚观看方式（A：平板观看；B：手机观看；C：电视观看；D：其他方式或没有观看），小明随机统计了部分学生的春晚观看方式，并绘制成如下统计图． 请根据图中信息解答下列问题： （1）这次随机抽取的学生共有________人，并将条形统计图补充完整； （2）扇形统计图中“手机观看”所对应扇形的圆心角角度为________； （3）该校九年级共有学生900人，请估计这次九年级学生用电视观看春晚的学生约有多少人？ 【答案】（1）40， 补全条形统计图如图所示： （2） （3）225人 【解析】 【分析】（1）根据A平板观看的人数与占比即可求出本次调查的学生总人数，进而求出C电视观看的人数即可计算补全统计图； （2）先求出“手机观看”的占比再乘以即可求解； （3）根据“电视观看”的占比乘以全校九年级人数即可求解． 此题主要考查关联扇形统计图与条形统计图、用样本估计总体，利用数形结合的思想解答．解题关键是正确读懂统计图的信息以及明确题意． 【小问1详解】 这次随机抽取的学生总人数：（人）， “电视观看”的人数：（人）， 【小问2详解】 B“手机观看”所占圆心角， 故答案为：； 【小问3详解】 这次九年级学生用“电视观看”春晚的学生约有（人）， 答：这次九年级学生用“电视观看”春晚的学生为225人． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根为，且为正数，求的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根； （2） 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，一元二次方程的解，熟练掌握根的判别式与根的个数之间的关系是解题的关键： （1）求出判别式的符号，进行判断即可； （2）把代入方程，进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 把代入，得：， 解得：或； ∵为正数， ∴． 21. 如图，菱形中，对角线，交于点，点是的中点，延长到点，使，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求菱形的面积． 【答案】（1） 证明：∵点是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴，即， ∴四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定、菱形的性质、矩形的判定与性质、等腰三角形的性质、含的直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握菱形的性质和矩形的判定与性质是解答的关键． （1）先证明四边形为平行四边形，再根据菱形的性质得到，然后根据矩形的判定可证得结论； （2）根据矩形的对角线相等求得，再根据菱形的性质和勾股定理求出对角线，的长，再根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵四边形是矩形，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴四边形的面积为． 22. 第九届亚冬会在我国冰城哈尔滨召开．其吉祥物一经开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件45元的价格购进某款亚冬会吉祥物，以每件68元的价格出售，经统计，2025年3月份的销售量为256件，2025年5月份的销售量为400件． （1）求该款吉祥物2025年3月份到5月份销售量的月平均增长率？ （2）从5月份起，商店决定采用降价促销的方式回馈顾客，经测试，发现该款吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该款吉祥物降价多少元时，月销售利润能达到8400元？ 【答案】（1） （2）8元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设该款吉祥物2025年3月份到5月份销售量的月平均增长率为，根据题意建立方程，解方程即可得； （2）设当该款吉祥物降价元时，月销售利润能达到8400元，根据利润（售价降价的金额进价）月销售量建立方程，解方程即可得． 【小问1详解】 解：设该款吉祥物2025年3月份到5月份销售量的月平均增长率为， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：该款吉祥物2025年3月份到5月份销售量的月平均增长率为． 【小问2详解】 解：设当该款吉祥物降价元时，月销售利润能达到8400元， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：当该款吉祥物降价8元时，月销售利润能达到8400元． 23. 定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式的解集范围内，则称一元一次方程为一元一次不等式的“伴随方程”．如：一元一次方程的解为，而一元一次不等式的解集为，不难发现在范围内，则一元一次方程是一元一次不等式的“伴随方程” （1）在①，②，③三个一元一次方程中，是一元一次不等式的“伴随方程”的有______（填序号）； （2）若关于x的一元一次方程是关于x一元一次不等式的“伴随方程”，且一元一次方程不是关于x的一元一次不等式的“伴随方程”． ①求a的取值范围； ②直接写出代数式的最大值． 【答案】（1）②③ （2）①；②7 【解析】 【分析】（1）分别解方程和不等式，根据结果判断即可； （2）①求出各方程和不等式的解和解集，根据伴随方程和非伴随方程列出不等式组，解之即可；②根据a的范围，利用绝对值的意义，可得结果． 【小问1详解】 解：解不等式得：， 解①得：，不在范围内，故不是的“伴随方程”； ②得：，在范围内，故是的“伴随方程”； ③得：，在范围内，故是的“伴随方程”； 故答案为：②③； 【小问2详解】 ①解得：， 解得：； 解得：， 解得：， 由题意可得：， 解得：； ②表示数轴上与0和3的距离之和， ∵， ∴当时，最大，且为． 【点睛】本题考查了解一元一次方程和一元一次不等式（组），绝对值的意义，解题的关键是理解伴随方程的意义，列出相应不等式． 24. 已知二次函数图象的顶点是，且经过点． （1）求二次函数的解析式； （2）一次函数的图象经过点，与二次函数的图象交于A，B两点点在点的左侧），过点，分别作轴于点，轴于点． ①若点横坐标为2，求的长，并直接写出不等式的解； ②分别用，，，表示，，的面积，则的值是否为定值，若是，请求出该定值，若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）①；②的值为定值，且该定值为 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①首先求出一次函数的解析式为，然后和抛物线联立求出点横坐标为，得到，进而求解即可； ②设，，则，，将代入，得，求出，，然后表示出，得到，，进而求解即可． 【小问1详解】 依题意，， 解得 二次函数的解析式为． 【小问2详解】 ①依题意，即该一次函数的解析式为． 将代入，得， 即点的坐标为， 代入，得， 即一次函数的解析式为， 由， 解得点横坐标为 依题意，C，D横坐标分别与A，B横坐标相同， 所以， 由图像可知不等式解为． ②设，，则，． 将代入，得， 则， 解得， ，， 依题意得， ， ， ． 而 ． ，， ，． 故 所以，， 即的值为定值，且该定值为． 【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式，二次函数和三角形面积综合运用，解一元二次方程以及根与系数的关系等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $