周测评(十二) 平面向量的应用(含正、余弦定理)-【衡水真题密卷】2025年高考数学学科素养周测评（AX版）

2024一2025学年度学科素养周测评（十二） 数学·平面向量的应用（含正、余弦定理） (考拔时间40分钟，总分100分》 一、选择题本题共6小显，每小题6分，共36分，在每小驱给出的四个进原中，只有一项是 符合恩目要求的) 题号 2 4 5 6 答案 1,设向量a与b的夹角为0，定义a田春=am0十w,已知向量。为单位向量， =2,a十b=1,期a田= 号 且区 D23 2已知图内接四边形ABCD中，AD=2,∠ADB=于，BD是摄的直径.AC,B配=2，则 ∠ADC t) 八音 A c造 n 3如图，两根绳子花物体M吊在水平杆AB上，已日物体M的重力大小为0N,且 ∠AOM一150，在下列角度中，当8取寒个值时，绳OB承受的拉力最小 A45 且60 C90 D.120° 4点P是边长为1的正大边形A以DEF边上的诗点，财P可·P可的最大值为() A.2 B号 C.3 n只 5.如图，在平面四边形ABCD中，AB=AD-2,∠B-2∠D-120,记△AC与△ACD 的面积分别为51,5：+则S一S1的值为 A.2 我 C1 学科素养周测评（十二）数学第1页（共4页） 衡水真 6.已知平面四边形AB以D的四条边AB,议C.CD,DA的中点依次为E,F,G,H,且 AB十CD-AD+,则四边形EFGH一定为 A.正方感 R菱形 C形 D直角候形 二，法择燃（本紫共2小题，每小题6分，共12分.在每小销始出的选项中，有多项符合题目 姓名 要求全部迷对的得6分，部分选对的得部分分，有选情的得心分) 断号 8 得分 容案 ,已知△ABC内角A,B,C的对边分别为4be,0为△ABC的重心，mA一言 A0-2,期 A防-福+d BA店，A3 C△AC的面的最大值为3信 D:的最小值为25 B巴知△AC中，角AB,C的对边分路为e6c,B-层血A-C-语则《） A,△ABC为领角三角形 B.tan A-Stan C C若一7.则△AC的面为29 D若H为△AC的燕心，则6H爪+H+H元-0 三，填空题（本驱共2小题，每小题6分，共12分） 3,己知正三角形AC的边长为2，点D鑽足C市=两C可+mC.且四>0，m>0,m十 #一1，则1CD的取值范用是 10,刺绣是中国优秀的民族传统工艺之一，已经有200多年的历史，小王同学在刺娇志镶 课上，双计了一个螺能形图案一即周中的别影部分，它的设计方法是：先有一个边长 为3的正三角形A:B,C1,取正三角形A,B,C1各边的三等分点A1,B,C2阅到第一 个期影三角形A:BB4在正三角形A:B:C:中，再取各边的三等分点A,B,C,得到第 二个阴影三角形A,,::推候依此方法，直到得到图中的螺能形图案，则A,B, :附中螺旋形图案的面积为 题密在 学科素养周测浮（十二）数学第2页（共4页引 AX 四，解答通（本共2小题，共40分.解答应写出文字镜阴、证钥过理或演算步骤） 1L,(20分)已知平面四边形ACD中，4+C=180,C=支 (1D若AB=6,AD-3,CD=4,求AC, 但者∠AC=的，△AC的面积为求西边形ACD周长的取值位属 AX 学科素养周测浮（十二）数学第3页（共4页） 12.(N分)在△AC中，D为C边上一点，DC=CA=1,且△ACD的面积是△ABD的 面积的2倍， (1)若AB-2AD,求AB的长： 但求的取旗植 衡水真显密在 学科素养周测浮（十二）数学第4页（共4页1·数学· 参考答案及解析 2AC-A+号AC=-a+号b,所以A应. 因为E,0,F三点共线，所以号+}=1，解得 证-（层a+b(←a+b)-号a+ 是即花-=。 b=-号×4+×16=-0， 所以AE、4 EB-5 则A下⊥BE,即AF⊥BE (2)因为A店=A克+E第=A正+AA正=(1+ (3)解：因为A应-AC,所以E是AC的中点， A)AE,AC-AF+FC-AF+AF-(1+ B)AF, 故PA+P心-2P吃，因为2Pi+PA+P心-0， 所以2P克+2P元=0，即PB=-P元，所以P是 由1)可知，A0-2A-号A店+AC,所以 线段BE的中点。 12.解：(1)因为P元=2B驴，所以AP=Ai+B 0-告应+告， 店+}武=A店+}(B+AC)=号A店+ 因为E,0,F三点共线，所以字2+片老=1， 花 即2λ十4=3， 因为0是线段AP的中点，所以Ad-AP 所好+-侵+以++2 +a花 4 当且仅当u+1=2x,即1=4-22，=42 又因为A=号AC,设A店=zA花，则有A0 5时取等号， 正+ 所以+中的最小值为3计名 4 2024一2025学年度学科素养周测评（十二） 数学·平面向量的 应用（含正、余弦定理）】 一、选择题 结合图形，市，B筋-2×2反×号 4,∠BCD= 1.C【解析】由题意得|a十b|=√a2+2a·b+b= 90,则4-DC2=2,故|DC|=2. √12+2X1X√2cos0+(√2)2=1， 解得cos0= 号又0e0,],所以如0= 所以在R△BCD中，∠BDC=子截∠ADC-登 2 所以a⊕b= 22 2a-2b -2x1xx9}+= 2 2.C【解析】因为AC·BD=2,所以(AD+ 3.C【解析】作出示意图，设与物体M平衡的力对 D)·BD=2,易知BD=22 应的向量为ON,则1ON1=20, 3 AX 衡水真题密卷 学科素养周测评 即-1 2 4+BC-AC,得BC-AC=-2BC 4BC 4①.在△ACD中，由余弦定理得cosD= AD2+CD2-AC* 2aD:CD，即2=4+GD-AC,得 4CD M CD2-AC2=2CD-4②， 以ON为对角线作平行四边形OPNQ,则ON- 又S,=AB·BCsm120-9BC, 1 2 OP+OQ,OQ是绳OB承受的拉力大小. 由∠AOM=150°，得∠AON=30°，所以∠ONQ=30°， S,=2AD.CDsin60°-5 ON 在△ONQ中，由正孩定理得sin/OQN 所以S,-S,=5cD-5 2 BC (CD- 2 OQ 20 OQ sin/ONQ即5in(180-0sn30· BC)③， 可得10d-1800n0 20sin30°10 由②-①，得CD2-BC2=2(CD+BC),由 CD+BC>0, 结合0°<0<180°，可知当0=90°时，1O过取最小 得CD-BC=2,代入③得S2-S1=√3. 值10. 6.C【解析】由题意结合中位线定理可得HG∥ 综上所述，当0=90°时，绳OB承受的拉力最小 4,C【解析】分别取AB,DE的中点Q,R,连接 AC.HG-AC.EF//AC,EF-AC. PQ,QR, 所以HGEF,HG-EF,即四边形EFGH为平 则由题QA=2,BD2=DC2+BC2-2DC× 行四边形 因为BC=BA+AD+D元，所以AB2+CD BCXcos∠BCD=1+1-2X1X1Xcos120°= AD*+BC:=AD*+(BA+AD+DC)*= 3,即BD=V3,所以QD=√QB2+BD= AD2+BA2+AD2+DC+2BA·AD+2BA· +-厚 DC+2AD·DC 所以AD+BA·AD+BA·DC+AD.DC=0, 作图如下，由图可知当P运动到D或E时PQ 所以AD·(AD+DC)+BA·AD+DC)=0, 最大， 所以(AD+BA)·AC=0,即BD·AC=0, 即BD⊥AC, D 所以BD⊥AC,又HG∥AC,所以BD⊥HG, 同理由中位线定理可得HE∥BD,所以HE⊥ HG,故四边形EFGH为矩形 所以PA·Pi=(P戒+QA)·(P戒+Q) (PQ+QA).(PQ-QA)=PQ:-QA:= p0-a亦--3 二、选择题 所以PA·PB的最大值为3. 7.BC【解析】O是△ABC的重心，延长AO交 5.B【解析】在△ABC中，由余弦定理得cosB BC于点D,则D是BC的中点， AB2+BC2-AC2 2AB·BC, A0-号a市-号×号(+AC)=专a+ AX 4 ·数学· 参考答案及解析 号AC,故A错误： 解得sin Acos C-=3V3 7 ,cos Asin C=Y3 由A0=号A店+号AC得A店+AC=3Ad,所以 对于A,cosA>0,cosC>0,故A正确； 9AO*=(AB+AC)*=AB+AC*+2AB.AC 对于B,anA-in AcosC=6,故B错误， tan C cos Asin C 2ABIACI+2AB.AC. 对于C,由tanA十tanB十tanC 又店·AC=A1ACsA=号A1C, =tan(A+B)(1-tan Atan B)+tan C =-tan C-tan Atan B.(-tan C)++tan C= 即|AB1|AC1=5AB,AC, tan Atan Btan C, 所以2X5AB·AC+2AB·AC≤9×22，所以 将tanA=6tanC,tanB=√3代入上式，可得 AB·AC≤3，当且仅当|AB=|AC1时等号成 65tan2C-7tanC-√3=0， 立，故B正确； |A1AC=A店·A COS A ≤15，当且仅当1A1= 解得mC=侣合)成mC- 2,所以 |AC时等号成立，simA=-cosA-2 tanA=33.所以sinA 33 5 2'sin C=3 b 5am-号a花如A<号×15x2 所以c= sin Bsin C=2,a=b sin Bsin A=3,所以 3V6,故C正确； S△ABC= 2acsin B=33 1 2,故C正确； 由9Aò2=(AB+AC)2=AB2+AC+2AB. 对于D,先证明垂心的向量表达式，如图，△ABC AC得AB2+AC=36-2AB·AC=36 是锐角三角形，H是△ABC的垂心， 号a1C, m∠ABc-E. BF,an∠BAC=CF. 则ABe 'tan∠BAC 所以a2=b2十c2-2 cos A=AB+AC AF 21M1CmsA=36-号11ad≥36 ,同理m<ACB_AE tan∠BAC CE 作AMCF交BE的延长线于M,作AN∥BE 音×15-24，a≥26，当且仅当1店1=C时 交CF的延长线于N,则四边形AMHN是平行 四边形，A=HM+N. 等号成立，所以a的最小值是26，故D错误 由手行线的性质得瓜=架=一二具 tan A 成，m=是C-"C所以， tan A tan A.HA+tan B.HB+tan C.HC- D 丽-品刘+mB·脑+ tanC·HC=0. &AGD【解折】因为B-晋sim(A-C)= 14 所以 血B=血A+CO-动AasC+osA血C- 2 sin(A-C)-sin Acs C-cos Asin C5 14 若△ABC是钝角三角形，不妨设A是钝角，只要 5 AX 衡水真题密卷 学科素养周测评 注意到此时H在△ABC外面、tanA<0以及向 ⑤，是以为首项，行为公此的等比数列，故因 量的方向同理可证。 由上可知，tanA:tanB:tanC=6:2:1, 由垂心的向量表达式tanA·A十tanB·i十 1213 中阴影部分面积为 1 162 tanC·HC=0可知6HA+2HB+HC=0, 13 故D正确. 四、解答题 三、填空题 11.解：(1)在四边形ABCD中，A+C=180°，所以 9.(1,2)【解析】取AC的中点E,则CA=2C B+D=180° 又Ci=mCA+mCi=2mCE十nCB,又因为 在△ABC中，由余弦定理得cosB= 2m十n=1,故B,D,E三点共线，即，点D在中线 6+3-AC2_45-AC BE上运动： 2×6X3 36 在正三角形ABC中，BE⊥AC,文m>0,n>0, 在△ACD中，由余弦定理得cosD= 则ICE<1CD<CB|,故|CD|∈(1,2). 42+32-AC225-AC 2×4×3 24 因为B+D=180°，所以cosB十cosD=0,即 45-AC+25-AC=0. 36 24 解得AC=√33. 10.231215 3162 【解析】设正三角形A1B,C1的边 长为a1,后续各正三角形的边长依次为a2,a3,… an,设第一个阴影三角形面积为S1,后续各阴影三 角形面积为S2,S3,,S.,由题意知a1=3,an= ②已知Se-合X8XAB×受-，得 AB=6.在△ABC中，∠ABC=60°，由余弦定 √a-)广+（号a)-2xx号as60= 理得AC2=32+62-2×3×6×cos60°=27，则 3a-1,所以= AC=33.设AD=x,CD=y(x>0,y>0),在 aw-13 ,所以{an}是以3为首项， △ACD中，由余弦定理得(33)2=x2+y2- 为公比的等比数列，所以a.=3x停》厂 2 rycos120°=(x+y)2-xy,则(x+y)2= 3 y+27≤生)+27，得+≤7，所 以x+十y≤6，当且仅当x=y=3时取等号.又 所以A,B=号a,-号×（停）-25，所以 x+y>AC=33,所以四边形ABCD周长的 3 取值范围为(9+33,15]. s.=专（层）号)sm60=e 12.解：(1)设BC边上的高为AE,垂足为E,因为 18 △ACD的面积是△ABD的面积的2倍， 所以S△g 2CD·AE SAABD 专BD·AE 2→BD-→BC 所以 S 1 S-1 ,所以 号，设AB-巨AD=PAD- 2t, AX 6 ·数学· 参考答案及解析 由余弦定理可知cosC= AC*+BC2-AB* AB AD → sin∠ADB =AB 2AC·BC sin∠ADB sin B sin B D ACi+DC:-AD:1+9 211-2 6cos20+4 1 2AC·DC 2x1x号 2×1×1, 2cos 4 cos20 24+ o30,因为9e(0,）,所以cos0∈(0， 1 解得x=1或x=一1舍去，即AB=1. (2②)由(1可知BD=7,BC=子，设∠ADC=9, 10→cos20e(0,1D→1 c0s>1→24+1 s0>25 由DC=CA→∠DAC=∠ADC=0-→C=π-20 且0∈(0，).由余弦定理可得AD= 2+0 √/12+1-2×1×1·cos(π-20)=√2+2c0s20= 干是有如品0>是因此的取值 sin B √2+2(2c0s20-1)=2c0s0, 范围为+) AB+( -2X1X2·cos(-2别= 3+3c0s20 /13 +3(2cos20-1) 1 √6cos0+4·在△ABD中，由正弦定理可知 2024一2025学年度学科素养周测评（十三）数学·数列的概念、 等差数列与等比数列 一、选择题 因此ag-a1=2,a3一ag=3,…,am一am-1= 1.C【解析】因为a1=2,ag=3,当n≥2时，a+1 n(n≥2)，相加得：am-a1=2十3+4十…十n= 是am·am-1的个位数 n-1,n+2(m≥2，所以a,=n+n+2(m≥ 所以a3=6,a4=8,as=8,a6=4,a?=2,a8=8, 2 2 a=6,a10=8,a11=8,a12=4, 2),当n=1时，a1=2,符合上式，综上，an= 可知在数列{a.}中，从第3项开始有at6=am, n2+n十2 即当n≥3时，a,的值以6为周期呈周期性变化， 2 又(2023-2)÷6=336…5，故a2023=a7=2. 4.B【解析】对于等差数列{am},显然有Sm-1= 2.A【解析】设正项等比数列{an}的公比为q,q> (2m-1)(a1十a-=(2m-1)a,这说明了甲 2 0.因为一a3,a2,a4成等差数列，所以2a2= -a3十a4,所以2g=一q2十q3,解得q=2,所以 是乙的必要条件；设等差数列{an}:a1,,a-1, S2m4-a11g2e4 a4ak+1,…,a24-1,共有2k一1项，k≥2，k∈Z, 1-g =222-1,a224=a1q2a-= 我们按如下方式重新排列等差数列{an}中的数字： 22o,故S224=2a224-1. a-1…,a1aa跌-1，…，a+1,此时该数列不是等 3.B【解析】设画n条直线，将圆最多分割成4。部 差数列，但是它的前n项和依然满足S-1一 分，则a1=2,am一am-1=n(n≥2)， (2n一1)am,综上所述，甲是乙的必要不充分条件. 7 AX