周测评(十二) 平面向量的应用(含正、余弦定理)-【衡水真题密卷】2025年高考数学学科素养周测评（BX版）

2024一2025学年度学科素养周测评（十二） 数学·平面向量的应用（含正、余弦定理） (考拔时冈40分钟，惑分100分》 一、选择题本题共6小盟，每小题6分，共36分，在物小题给出的因个选项中，只有一项是 符合题日要求的 题号 答案 1,在网边形ABCD中，已知丽一a+2达，一一a一，C市一一3a-b,别四边形 AB以D的形状是 ( A,矩形 且平行四边形 C棉形 D以上宿不对 2,互相垂直且有公共原点的两条数触构或平而直角坐标系，但如果平面生标系中两条坐 标轴不垂直，刚这样的坐标系称为斜坐标系“如图，在斜皇标系中，过点P作两坐标轴 的平行线，其在x轴和y轴上的截事@，b分别作为点P的x坐标和y坐标，记 P(a,61.若斜多标系中，江箱正方向和y轴正方向的夹角为行，喇孩坐标系中M(2,2) 和N(4,1)两点可的距离为 A.2 BI C./ D. 1已知向量a-1,b-2,4,若a与b的夹角为8.期o(+） 罗 且细 c 03/o 10 学科素养周测评（十二）数学第1页（共4页） 衡水真 七.勒洛三角形是一种奥显的定览售规，以等边三角形每个顶点为阳心，以边长为率径，在 班圾 另两个度点间作一段具，三段属%围成的由边三角形就是精洛三角形.在如图所示的 杨格三角彩中，已知AB-2.P为强AC上的一点，且∠PBC-后则萨.币的值为 姓名 得分 A.4-② R4+2 C4-23 04+2w3 互在△ABC中，A一爱，BC边上的中线AD-B,期△AC积的最大值为 A.23 B./3 h 4 且记△AC的内角A,B,C的对边分别为a,be,设向量m一(e血A》,a-bh》。 若m,则B= 《》 A爱 a号 c等 n智 二，选择题（本愿共2小题，每小愿6分，共12分，在每小愿始出的选项中，有多项符合题日 :求金部进对的得6分，部分远对的得部分分，有选铺的得0分1 题号 8 容案 7,已知点A(1,2),B(3,1),C(4m十1》(m∈R),则下列说法正确的是 A.AB5 A若A百⊥，则m=一2 C若西成，测-一是 n若所C的突角为角，则0<2且m≠是 蹈密在 学科素养周测浮十二)数学第2页（共4页引 X 8已知△4BC满是sin A sin B3nC=2:3:7,且△ABC的面积5=55，则 12.(20分)如图，两射线4均与直线/垂直，渠足分制为D,E且DE-1点A在直线/ 下列命通正确的是 () 上：点B,C在射线上， A△4B的周长为5十行 (1)若F为线段BC的中太（素出），求A下·AD的最小算， B△AC的三个内角A,B.C满足关系A+B=2C (2)若△AC为等边三角形，求△MC而积的范围， C△ABC的外核辉率轻为2T 3 D△ABC的中线CD的长为 2 三，填空题{本题共2小题，每小题6分，共12分】 在△ABC中AC-1.C-行A-爱则△ABC的外接国米径为 10,已知正三角形ABC的边长为2，点D裤足C方一mC减+C豆，且m>0,t>0,2m+ 一1，则CD1的取慎意国是 四、解答题引本题共2小题，共4和分，解答惠写出文学说明，证明过程或演算步骤)】 1L.20分)记△AC的内角A,B,C的对边分别为，b,c,已知点F为线段AC上的一 点，且AF-2CF,BF-25mA+A-m4+mC sin B (1》求角B的大小： (2)求△4℃面积的最大值 HX 学科素养周测浮（十二）数学第3页（共4页} 衡水真蹈密在 学科素养周测博十二》数学第4页（共4页引·数学· 参考答案及解析 2024一2025学年度学科素养周测评（十二） 数学·平面向量的 应用（含正、余弦定理） 一、选择题 1.C【解析】由已知得AD=A+B元+C c≤3，所以△ABC面积的最大值为5. -8a-2b=2(-4a-b)=2BC,所以AD/BC, 又AB与CD不平行，所以四边形ABCD是 6C【解折】由mh得as如号-s如A,由正弦定理 梯形 得如A如号-血B如A-2如号s号mA B 2.D【解析】设与x轴方向相同的单位向量为e1, 因为△ABC中，mAsn号≠0，所以m号 B 与y轴方向相同的单位向量为e2, 则Oi=2e1+2e,ON=4e1+e2,则NM-OM -ON=-2e+e:, 是又0B<,所以号-号，即B 3 所以NM-(-2e,+e2)2=4e+e号-4e1·e2 二、选择题 7.AC【解析】因为A(1,2),B(3,1),C(4,m十1) 4+1-4Xos弩=5-2=3，所以1MN1=5. (m∈R), a·b 3.A【解析】由题意得cos0=ab 所以AB=(2,-1),BC=(1,m)(m∈R). 选项A,|AB1=√2+(-1)严=5，所以A 1×2+1×4=3,0∈[0，x], 正确： 2X√2+4√10 选项B,因为AB⊥BC,所以A店·BC=0,所以 2-m=0,所以m=2,所以B错误； 选项C,因为ABBC,所以2×m=(一1)×1，所 4.C【解析】如图所示，以B为坐标原点，直线BC 为x轴，过点B且垂直于BC的直线为y轴，建 以m=一 2,所以C正确； 立平面直角坐标系，则B(0,0),C(2,0),由 选项D,因为BA,BC的夹角为锐角，且BA- ∠PBC=,得P3,1D,所以丽=3,1)， BA·BC=-2+m>0, (-2,1),所以1≠m 解得 C=(W3-2,1),所以B驴.C币=5(3-2)+ -21 1×1=4-23. m>2,所以D错误. 8.BC【解析】因为△ABC满足sin A t sin B: sinC=2:3:√7，所以a:b:c=2:3√7， 设a=2t,b=3t,c=√7t,t>0,利用余弦定理得， cosC=a2+b2-c2_4+9r2-7E2=1 2ab 12t2 2 由于Ce0,),所以C-子 5.B【解析】AD为中线，则2AD=AB+AC,两 因为SAr=65,所以2 abin C=号×2：× 边平方得4AD-A+2A店.AC+AC, 所以4X(W3)2=62+c2+26c·cos3, 3 2 =6√3，解得t=2. 所以12=b2+c2+bc≥36c,所以bc≤4， 所以a=4,b=6,c=2√7. 当且仅当b=C时取等号，则SMc-cs血A= 对于A,△ABC的周长为a+b十c=10+2√7，故 A不正确； 3 BX 衡水真题密卷 学科素养周测评 对于B,周为C=号所以A十B=经故A十 所以3 sin Asin B+cos Asin B=sinA+ sin Acos B++cos Asin B, B=2C,故B正确： 所以W3 sin Asin B=sinA+sin Acos B. 对于C,由正孩定理得外接圃半径为R=2s如C 因为A∈(0，π)，所以sinA≠0，所以W3sinB W72√2 sin60°3 ,故C正确； cosB-1,所以2sim(B-若）-1， 对于D,如图所示，在△ABC中，利用正弦定理 得，2 sin(B-）=2因为B∈(0，x,所以B sinA,解得sinA= 7, 吾∈（晋，），所以B-晋-，所以B=子 2 又ac,所以osA-29在AACD中， (2)在△ABC中，B=子，由AF=2CF,得 利用余弦定理得，CD=AC十AD2-2AC·AD· 成=成+市=威+号花=耐+ cosA=19,解得CD=√19，故D不正确. 号BC-B=赋+号C, 即B丽-}BA+号C,所以-(}A+ 号-g+音a+2xc×号×g-4 所以c2+4a2+2ac=36≥2×cX2a+2ac= 三、填空题 6ac,即ac≤6，当且仅当c=2a,即a=3,c 9.1【解析】由已知得B=若，设三角形外接圆半径 2√3时等号成立，所以△ABC的面积S= 为R,则2R=AC-1 sin B =2,所以R=1. sin 6 c血B<x6x-3, 10.(1,2)【解析】取AC的中点E,则CA=2CE】 故当a=√3，c=2√3时，△ABC的面积取最大 又CD=mCA+nCB=2mCE十nCB,又因为 2m十n=1,故B,D,E三，点共线，即，点D在中 负为9 线BE上运动. 12.解：(1)以D为坐标原点建立如图所示的直角坐 在正三角形ABC中，BE⊥AC,又m>0,n> 标系xOy, 0,则ICE|<CD|<CB1,故|CD|∈(1,2). (O 由已知可得下点的纵坐标为，设A(0,y)∈ 四、解答题 11.解：(1)因为3sinA十cosA=sinA+sinC】 R),Fle,2）a≥0. sin B 所以，√3 sin Asin B+cos Asin B=sinA+ 则a=(,2-y),a=0,-, sin C. 因为sinC=sin(A+B), 所以应.而=y2-2=(-》广-6， BX 4 ·数学· 参考答案及解析 所以当且仅当y-}时，正，心取得最小值一 1 设威，成)=0，则9∈6，，则D成，C- (2)设正三角形ABC的边长为a,对于直线l上 2红0，D1=1, 任意一点A,不同的情况如图所示： B在D苑上的投影向量为DA,AC在D正上 的投影向量为A它，D呢=DA+A正 (Bi1osD庞+[ACos(-gD庞= D a(-2msg+血j+aeos97证- a}s0+9n0l成-aeos0-）Di, 所以aos(0-）=l,所以a= s(0-） 又因为0-吾∈[吾，引，所以号≤ cos(0-)≤1，所以1≤a≤2，所以△ABC的面积 B 1 x 2024一2025学年度学科素养周测评（十三）数学·数列的概念、 等差数列与等比数列 一、选择题 9 5,即a+a6十a6=5。-S,=ga1+a:十 1.D【解析】因为 是等差数列，所以可设 a3）, =am+b,所以S,=an2+bm, n 设数列a,}的公比为q,则q=日，解得g=2 所以{a,}为等差数列，S,=6=01十4×6= 由a2十a5=54,得a1(g十g)=54, 2 5 3(a1十as),所以a1十a6=2 即a1= + =96,所以a4=a1q3=96X 所以as十a4=2. 2.B【解析】由Sm-20a,am）=10an十ai) 8=12 2 100,可得a1o十au=10.因为a2≥a1>0,则等差数 4.D【解析】因为S,为等差数列{a.}的前n项 列{an}的公差d≥0，故an>0,a1>0,则a1oa1≤ 和，所以可设S.=An十Bn(等差数列前n项和 色“士）”=25，当且仅当a0=a=5时取等 的二级结论)，同理因为T。为等差数列{bn》的前 n项和，所以可设T。=Cn2十Dm 号，即当ao=a1n=5时，a1nan取得最大值25. 3C【偏析】在羊比列a,中，由受=号得S。 又宁”号所以十-A+B”= 又g-n-1 n(Cn+D)Cn十Dn+1' 即(An+B)(n+1)=(Cn+D)(n-1), ·5. BX