精品解析：湖南省衡南县北斗星中学2025-2026学年九年级上学期开学考试数学试题

2025年下学期衡南一中云集校区九年级开学考试试卷 数学 本试卷共2页，22题． 全卷满分100分，考试时间90分钟 一、选择题（每小题3分，10小题共30分） 1. 下列各式，，，，，中，属于分式的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式的定义，判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．找到分母含有字母的式子的个数即可． 【详解】解：，，，的分母中不含有字母，都不是分式， ，的分母中含有字母，都是分式，共2个． 故选：C． 2. 下列分式中，属于最简分式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了判断一个分式是否最简分式，最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分． 【详解】解：A、，故不是最简分式； B、，故不是最简分式； C、，故不是最简分式； D、的分子、分母都不能再分解，且不能约分，故是最简分式；   故选：D ． 3. 红细胞的平均直径约是，将数据0.000008用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数．科学记数法的形式为（），其中为小数点向右移动的位数． 【详解】解：原数是小于1的正数．将小数点从首位0后向右移动6位得到8，因此，指数为． 故用科学记数法表示为， 故选：B 4. 某校10名同学在演讲比赛活动中，成绩（单位：分）分别是86，88，89，90，90，90，92，95，97，97．这组数据的中位数和众数分别是（ ） A. 88，90 B. 90，90 C. 95，90 D. 90，92 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中位数和众数的概念：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数，众数是指一组数据中出现次数最多的那个数据．先观察题中的数据是否按照从小到大或从大到小的顺序排列，然后根据中位数和众数的概念求解即可． 【详解】解：将这10名同学的成绩按照从小到大的顺序为86，88，89，90，90，90，92，95，97，97， 所以这组数据的中位数是，90出现次数最多，则众数是90， 故选：B． 5. 已知点在轴上，则的值为（　　） A. B. 3 C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，利用轴上点的坐标特点列方程解答是解题的关键．根据轴上点的纵坐标为0， 可得方程，根据解方程，可得答案． 【详解】解：点在轴上， ，解得． 故选：B． 6. 若，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了乘方、负整数指数幂、零指数幂运算和有理数比较大小，熟练掌握运算法则是解题的关键． 计算各表达式的值，然后比较大小即可． 【详解】解：∵，，，， ∴ ，，，， ∴． 故选：B． 7. 如图，若一次函数（k，b为常数，且）的图象经过点，，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由可得函数图象在轴的下方，再根据函数图象即可得到答案． 【详解】解：一次函数（k，b为常数，且）的图象经过点，，则关于x的不等式的解集为， 故选B 【点睛】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，熟练的运用数形结合分析是解题关键． 8. 反比例函数和一次函数在同一平面直角坐标系的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由图象结合性质判断反比例函数中的k和一次函数中的k的值是否一致即可判断． 【详解】A．反比例函数图象在第一、三象限，则，一次函数图象应经过二、三、四象限，故此选项错误； B．反比例函数图象在第一、三象限，则，一次函数图象与y轴正半轴相交，且经过一、二、四象限，故此选项错误； C．反比例函数图象在第二、四象限，则，一次函数图象应经过一、二、四象限，故此选项错误； D．反比例函数图象在第一、三象限，则，一次函数图象经过一、二、四象限，故此选项正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的图象，解题时注意：系数k的符号决定直线的方向以及双曲线的位置． 9. 如图，在中，的平分线交于点E，过点C作，垂足为点F，若，，则的长为（　　） A. 16 B. 14 C. 13 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，角平分线的定义等等，先由平行四边形的性质得到，进而由平行线的性质和角平分线的定义得到，即可证明，由三线合一定理得到，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵的平分线交于点E， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 10. 已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式方程的解，解一元一次不等式，根据解分式方程的方法可以求得的取值范围，即可求解．解答本题的关键是明确解分式方程的方法． 【详解】解：， 方程两边同乘以，得 ， 移项及合并同类项，得 ， ∵分式方程的解是非负数，， ∴， 解得，且， 故选：D． 二、填空题（每小题3分，6小题共18分） 11. 要使分式有意义，则的取值应满足的条件为____________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，理解分式有意义的条件是：分母不为零是解题的关键． 根据分式有意义的条件：分母不为零，列不等式求解即可． 【详解】解：由题意可得： 解得：， 故答案为： 12. 已知：，则的值为________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．先求出，再代入计算即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：6． 13. 若关于x的分式方程有增根，则m的值是_____． 【答案】1 【解析】 【分析】先将分式方程去分母化为整式方程求出解，再根据分式方程有增根得，即可求出答案． 【详解】解：将方程去分母，得， 整理，得 ∵关于x的分式方程有增根， ∴ ∴ ∴ 故答案为：1． 【点睛】此题考查了利用分式方程的根的情况求参数，正确掌握分式方程的解法及增根的意义是解题的关键． 14. 一次函数的图象经过第一、二、三象限，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，由函数的图象经过第一、二、三象限，利用一次函数图象与系数的关系可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围． 【详解】解：∵函数的图象经过第一、二、三象限， ∴， 解得． 故答案为：． 15. 如图，点A是反比例函数y＝在第四象限上的点，AB⊥x轴，若S△AOB＝1，则k的值为____． 【答案】−2 【解析】 【分析】过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S＝|k|． 【详解】解：∵点A是反比例函数y＝y＝在第四象限内图象上的点， AB⊥x轴，垂足为点B， ∴S△AOB＝|k|＝1； 又∵函数图象位于二、四象限， ∴k＝−2， 故答案为：−2． 【点睛】本题考查了反比例函数系数的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得三角形面积为|k|，体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义． 16. 如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数（、是常数，且）与反比例函数（是常数，且）的图象相交于，两点，则不等式的解集是__． 【答案】 【解析】 【分析】观察函数图象，得出函数图象都在函数图象的下方的自变量的取值范围即可求解． 【详解】解：∵函数（、是常数，且）与反比例函数（是常数，且）的图象相交于，两点 ∴以和2为大小的分界点，时，函数图象都在函数图象的下方， ∴不等式的解集是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，数形结合是解题的关键． 三、解答题（6大题，共52分） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2），增根，分式方程无解 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程． （1）分式方程两边乘以，化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得． （2）分式方程两边乘以，化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得． 【小问1详解】 解：， 去分母得：， 解得：， 检验：当时，， ∴是原分式方程的根； 【小问2详解】 解：， 去分母得：， 解得：， 检验：当时，， ∴是增根，原分式方程无解． 18. 先化简，再从，0，3这三个数中取一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】，当时，原式 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及分式有意义的条件．先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的x的值代入计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴当时，原式． 19. 某校八（2）班组织了一次经典朗读比赛，甲、乙两队各10人的比赛成绩如下表（单位：分）： 甲 7 8 9 7 10 10 9 10 10 10 乙 10 8 7 9 8 10 10 9 10 9 （1）甲队成绩的中位数是_______分，乙队成绩的众数是________分． （2）计算乙队的平均成绩和方差． （3）已知甲队成绩的方差是1.4，则成绩较为整齐的是_______队． 【答案】（1）9.5；10 （2）分， （3）乙 【解析】 【分析】本题考查求平均数，中位数，众数和方差，熟练掌握相关数据的计算方法，是解题的关键. （1）根据中位数和众数的确定方法，进行求解即可； （2）根据平均数和方差的计算方法，进行计算即可； （3）根据方差进行判断即可． 【小问1详解】 解：将甲队数据排序后，位于中间的2个数据是9和10， ∴中位数为（分）； 乙队数据中出现次数最多的是10，故众数为10分； 故答案为：9.5；10 【小问2详解】 （分）； ； 【小问3详解】 ∵，甲队成绩的方差是1.4，； 故成绩较为整齐的是乙队； 故答案为：乙． 20. 如图，菱形的对角线、相交于点，，，与交于点． （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，，求菱形的面积． 【答案】（1） 解：四边形是矩形． 证明：， 四边形是平行四边形． 又菱形对角线交于点 ，即． 四边形是矩形． （2）96 【解析】 【分析】（1）由菱形的性质可证明，然后再证明四边形为平行四边形，从而可证明四边形是矩形； （2）根据菱形的性质和勾股定理求出，再利用三角形的面积公式解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 菱形， ， ， ， ， 的面积， 菱形的面积的面积． 【点睛】本题主要考查的是菱形的性质判定、矩形的性质和判定，熟练掌握相关图形的性质是解题的关键． 21. 如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点C（1，2），D（2，n）． （1）分别求出两个函数的表达式； （2）结合图象直接写出当时，x的取值范围． （3）连接OD，求△BOD的面积． 【答案】（1）一次函数解析式为，反比例函数解析式为；（2）或；（3）3 【解析】 【分析】（1）先根据一次函数与反比例函数的图象交于点C（1，2），D（2，n），求出，则反比例函数解析式为，由此即可得到，然后把C、D坐标代入一次函数解析式进行求解即可； （2）根据当时，即求此时一次函数图像在反比例函数图像的下方的自变量的取值范围，进行求解即可； （3）先求出B点坐标，得到OB的长，再由进行求解即可． 【详解】解：（1）∵一次函数与反比例函数的图象交于点C（1，2），D（2，n）， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∴， ∴点D的坐标为（2，1）， ∴， ∴， ∴一次函数解析式为； （2）由函数图像可知当时，即求此时一次函数图像在反比例函数图像的下方的自变量的取值范围， ∴当时，或； （3）∵B是一次函数与y轴的交点， ∴B点坐标为（0，3）， ∴OB=3， ∴． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，一次函数与坐标轴交点问题，三角形面积，解题的关键在于能够熟练掌握待定系数法求函数解析式． 22. 第31届世界大学生夏季运动会将于今年6月在成都开幕，与吉祥物“蓉宝”有关的纪念品现已上市，某商店调查发现：“蓉宝”熊猫双肩背包和“蓉宝”熊猫斜挎包这两种包深受青少年的喜爱．该商店计划购进这两种包共50个，设购进双肩背包x个，该商店销售完这两种包的总利润为y元，两种包的进价和售价如表： “蓉宝”熊猫双肩背包 “蓉宝”熊猫斜挎包 进价（元/个） 25 30 售价（元/个） 40 60 （1）求y与x之间的函数关系式； （2）已知该商店购进这两种包的总费用不超过1400元，当购进多少个双肩背包时，才能使销售完这两种包所获总利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）当购进20个双肩背包时，才能使销售完这两种包所获总利润最大，最大利润是1200元 【解析】 【分析】（1）利润=单件利润数量，分别计算两种包包利润，并相加； （2）根据商店购进这两种包的总费用不超过1400元，列出不等式，求出x的范围，在范围内看y的最大值． 【小问1详解】 由题意可得：， 即y与x之间的函数关系式为． 【小问2详解】 ∵该商店购进这两种包的总费用不超过1400元， ∴， 解得， 在中，， ∴y随x的增大而减小， ∴当时，y取最大值，最大值为， 答：当购进20个双肩背包时，才能使销售完这两种包所获总利润最大，最大利润是1200元． 【点睛】本题考查了一次函数的应用、不等式的应用，属于销售求利润问题，解决此题需要认真阅读题目，理解题意的基础上准确列出函数表达式、不等式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年下学期衡南一中云集校区九年级开学考试试卷 数学 本试卷共2页，22题． 全卷满分100分，考试时间90分钟 一、选择题（每小题3分，10小题共30分） 1. 下列各式，，，，，中，属于分式的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 2. 下列分式中，属于最简分式的是（　　） A. B. C. D. 3. 红细胞的平均直径约是，将数据0.000008用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 某校10名同学在演讲比赛活动中，成绩（单位：分）分别是86，88，89，90，90，90，92，95，97，97．这组数据的中位数和众数分别是（ ） A. 88，90 B. 90，90 C. 95，90 D. 90，92 5. 已知点在轴上，则的值为（　　） A. B. 3 C. 0 D. 6. 若，，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，若一次函数（k，b为常数，且）的图象经过点，，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 反比例函数和一次函数在同一平面直角坐标系的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，的平分线交于点E，过点C作，垂足为点F，若，，则的长为（　　） A. 16 B. 14 C. 13 D. 8 10. 已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 二、填空题（每小题3分，6小题共18分） 11. 要使分式有意义，则的取值应满足的条件为____________ ． 12. 已知：，则的值为________． 13. 若关于x的分式方程有增根，则m的值是_____． 14. 一次函数的图象经过第一、二、三象限，则的取值范围是______． 15. 如图，点A是反比例函数y＝在第四象限上的点，AB⊥x轴，若S△AOB＝1，则k的值为____． 16. 如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数（、是常数，且）与反比例函数（是常数，且）的图象相交于，两点，则不等式的解集是__． 三、解答题（6大题，共52分） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 先化简，再从，0，3这三个数中取一个合适的数作为的值代入求值． 19. 某校八（2）班组织了一次经典朗读比赛，甲、乙两队各10人的比赛成绩如下表（单位：分）： 甲 7 8 9 7 10 10 9 10 10 10 乙 10 8 7 9 8 10 10 9 10 9 （1）甲队成绩的中位数是_______分，乙队成绩的众数是________分． （2）计算乙队的平均成绩和方差． （3）已知甲队成绩的方差是1.4，则成绩较为整齐的是_______队． 20. 如图，菱形的对角线、相交于点，，，与交于点． （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，，求菱形的面积． 21. 如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点C（1，2），D（2，n）． （1）分别求出两个函数的表达式； （2）结合图象直接写出当时，x的取值范围． （3）连接OD，求△BOD的面积． 22. 第31届世界大学生夏季运动会将于今年6月在成都开幕，与吉祥物“蓉宝”有关的纪念品现已上市，某商店调查发现：“蓉宝”熊猫双肩背包和“蓉宝”熊猫斜挎包这两种包深受青少年的喜爱．该商店计划购进这两种包共50个，设购进双肩背包x个，该商店销售完这两种包的总利润为y元，两种包的进价和售价如表： “蓉宝”熊猫双肩背包 “蓉宝”熊猫斜挎包 进价（元/个） 25 30 售价（元/个） 40 60 （1）求y与x之间的函数关系式； （2）已知该商店购进这两种包的总费用不超过1400元，当购进多少个双肩背包时，才能使销售完这两种包所获总利润最大？最大利润是多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $