第一章《特殊的平行四边形》复习与小结（2）-2025-2026学年北师大版九年级数学上册

第一章 特殊的平行四边形 复习与小结（2） 考试时间:120分钟 满分150分 一、选择题（本大题共10小题，总分40分） 1．下列命题是假命题的是（　　） A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B．矩形的对角线相等且互相平分 C．菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD，AE分别是边BC上的中线和高，若AE＝2，S△ABD，则AD的长为（　　） A． B． C．1 D． 3．已知：如图，菱形ABCD对角线AC与BD相交于点O，E为BC的中点E，AD＝6cm，则OE的长为（　　） A．6cm B．4cm C．3cm D．2cm 4．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若点E是CD的中点，且，则BC的长为（　　） A． B．2 C． D．4 5．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E、F分别是BC、OB的中点，连接DE，EF．若EF＝2，则DE的长为（　　） A． B． C． D． 6．在菱形ABCD中，两条对角线AC＝6，BD＝8，则此菱形的周长为（　　） A．10 B．20 C．24 D．40 7．如图，小华剪了两条宽均为的纸条，交叉叠放在一起，且它们的夹角为60°，则它们重叠部分的面积为（　　） A． B．1 C． D．2 8．如图，已知OP平分∠AOB，∠AOB＝60°，CP∥OA，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，CP＝2，如果点M是OP的中点，则DM的长是（　　） A．2 B． C． D． 9．已知平面直角坐标系中，有两点A（a，0），B（0，b），且满足b4，P为AB上一动点（不与A，B重合），PE⊥x轴，PF⊥y轴，垂足分别为E，F，连接EF，则EF的最小值为（　　） A． B．3 C．4 D．5 10．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，点E在边BC上，连接DE，点P是DE的中点，连接OP，CP，下列结论中不正确的是（　　） A．若CP⊥DE，则 B．若△OAB是等边三角形，且点E是BC的中点，则 C．若CP平分∠BCD，OP＝2，则BC﹣CD＝4 D．若BC＝2CD＝12，点E是BC的三等分点，则CP+OP的值为7或 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AB＝5，OA＝3，则该菱形的面积是　 　 ． 12．如图，菱形ABCD中，AE垂直平分BC，垂足为E，AB＝4．那么AE的长是 　 　 ． 13．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点．若EF＝2，则AC的长为 　 　 ． 14．如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，连接DE，过点A作DE的垂线，垂足为G，交BC于点F，H为AF的中点，连接HE，BH．若HE＝1，则BH的长为 　 　 ． 15．如图，将平行四边形ABCD的边DC延长线到点E，使CE＝DC，连接AE，交BC于点F．添加一个条件，使四边形ABEC是矩形．下列四个条件：①∠DAC＝∠EAC；②AD＝AE；③∠AFC＝2∠ABC；④AB＝AD中，你认为可选择的是　 　 （填上所有满足条件的序号）． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16．如图，菱形ABCD的对角线AC长为12cm，周长为40cm，求对角线BD的长． 17．如图，四边形COED是矩形，点D的坐标是（1，3），求CE的长． 18．如图，在菱形ABCD中，延长BC到点E，连接ED并延长，交BA的延长线于点F，∠ADF＝∠CDE．求证：AF＝CE． 19．如图，在矩形ABCD中，AC为对角线，延长CD至点E，使得CE＝AC，过点E作EF⊥AC于点F．求证：EF＝CB． 20．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，延长AB到F，使BF＝DC，延长CB到E，使BE＝AD． （1）求证：四边形ACFE是菱形； （2）若AC＝10，AF＝12，求AC和EF之间的距离． 21．如图，P是正方形ABCD对角线AC上一点，连接PB、PD，点E在BC上，且PE＝PB． （1）求证：PE＝PD； （2）试判断PE与PD的位置关系，并证明你的结论． 22．如图，在矩形ABCD中，AC平分∠EAF，BE＝DF． （1）求证：四边形AECF是菱形． （2）若AB＝8，AD＝4，求四边形AECF的面积． 23．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC的平分线交BC于点D，过点B作BE∥AD交∠BAF的平分线于点E． （1）求证：四边形ADBE是矩形； （2）当∠BAC满足什么条件时，四边形ADBE是正方形． 24．如图，点E是正方形ABCD的对角线AC上一动点，EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分别为F、G，连接DE、GF，正方形ABCD的周长是40cm． （1）求证：四边形EFBG是矩形； （2）求FG的最小值． 25．如图1，在正方形ABCD中，点E是边BC上一点，且点E不与点B、C重合，点F是BA的延长线上一点，且AF＝CE． （1）求证：△DCE≌△DAF； （2）如图2，连接EF，交AD于点K，过点D作DH⊥EF，垂足为H，延长DH交BF于点G，连接HB，HC．求证：CH平分∠BHD． 参考答案 一、选择题（本大题共10小题，总分40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A C C A B D C A D 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．24． 12．2． 13．8． 14．． 15．①②③． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16．解：∵AC＝12cm，菱形ABCD的周长为40cm， ∴AB＝10cm，AOAC＝6cm， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，BD＝2BO， 在Rt△ABO中， BO8（cm）， ∴BD＝2BO＝16cm． 17．解：四边形COED是矩形，点D的坐标是（1，3），如图，连接OD，CE． ∴CE＝OD， 由勾股定理得：， ∴． 18．证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝CD，∠BAD＝∠BCD， ∴∠DAF＝∠DCE， 在△ADF与△CDE中， ∵， ∴△ADF≌△CDE（ASA）， ∴AF＝CE． 19．证明：∵四边形ABCD为矩形， ∴AB∥CD，∠ABC＝90°， ∴∠FCE＝∠BAC， ∵EF⊥AC， ∴∠CFE＝90°＝∠ABC， 在△CFE 和△ABC中， ， ∴△CFE≌△ABC（AAS）， ∴EF＝CB． 20．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝DC，AD＝BC，∠ABC＝90°（矩形的两组对边分别相等）． ∵BF＝DC，BE＝AD， ∴AB＝BF，BC＝BE， ∴四边形ACFE是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）． ∵∠ABC＝90°， ∴AF⊥EC， ∴四边形ACFE是菱形； （2）解：∵四边形ACFE是菱形， ∴，EC＝2BC，AC＝EF＝10． 在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝10， ∴， ∴EC＝2×8＝16． 设AC和EF之间的距离为h， ∵， ∴， ∴． 21．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，AC是正方形的对角线， ∴BC＝CD，∠ACB＝∠ACD， 在△PBC和△PDC中， ， ∴△PBC≌△PDC（SAS）， ∴PB＝PD， ∵PE＝PB， ∴PE＝PD； （2）解：PE⊥PD；理由如下： ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCD＝90°， 由（1）知：△PBC≌△PDC，且PE＝PB， ∴∠PBC＝∠PDC，∠PBC＝∠PEB， ∴∠PDC＝∠PEB， ∵∠PEB+∠PEC＝180°， ∴∠PDC+∠PEC＝180°， ∴∠EPD＝360°﹣（∠PDC+∠PEC）﹣∠BCD＝360°﹣180°﹣90°＝90°， ∴PE⊥PD． 22．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD， 又∵DF＝BE， ∴AB﹣BE＝CD﹣DF， ∴CF＝AE， ∵CF∥AE， ∴四边形AECF是平行四边形，∠ACF＝∠CAE， ∵AC平分∠EAF， ∴∠FAC＝∠EAC， ∴∠FAC＝∠ACF， ∴AF＝CF， ∴四边形AECF是菱形； （2）解：设菱形AECF的边长为x，则AE＝CE＝x， ∵AB＝8， ∴BE＝AB﹣AE＝8﹣x， 在Rt△BCE中，AD＝4， 由勾股定理得：CE2＝BE2+BC2，即x2＝（8﹣x）2+42， 解得：x＝5， ∴四边形AECF的面积为4×5＝20． 23．（1）证明：∵AB＝AC，AD平分∠BAC， ∴∠BAD∠BAC，AD⊥BC， ∵AE是△ABC的外角平分线， ∴∠BAE∠BAF， ∵∠BAC+∠BAF＝180°， ∴∠BAD+∠BAE＝90°，即∠DAE＝90°， ∴AD⊥AE， ∵AD⊥BC， ∴AE∥BC， 又∵BE∥AD，∠DAE＝90°， ∴四边形ADBE是矩形； （2）解：当∠BAC＝90°时，四边形ADBE是正方形．理由如下： ∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∠BAC＝90°， ∴∠ABC＝∠C＝∠BAD＝∠CAD＝45°， ∴AD＝BD， 又∵四边形ADBE是矩形， ∴矩形ADBE为正方形． 24．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠B＝90°， ∵EF⊥AB，EG⊥BC， ∴∠EFB＝90°，∠EGB＝90°， ∴四边形EFBG是矩形； （2）解：由（1）知：四边形EFBG是矩形，如图，连接BE， ∴BE＝FG； 当BE⊥AC时，BE取最小值，即FG取最小值， ∵正方形ABCD的周长是40cm， ∴AB＝BC＝10cm，∠B＝90°， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2＝AB2+BC2， ∴AC2＝102+102＝200， 解得：AC＝10， ∴， ∴， 解得：BE＝5； 即FG的最小值为． 25．证明：（1）如图1，∵四边形ABCD是正方形， ∴DC＝DA，∠C＝∠BAD＝90°， ∴∠DAF＝180°﹣∠BAD＝90°， ∴∠C＝∠DAF， 在△DCE和△DAF中， ， ∴△DCE≌△DAF（SAS）； （2）如图2，由（1）知：△DCE≌△DAF， ∴DE＝DF，∠CDE＝∠ADF， ∴∠EDF＝∠ADF+∠ADE＝∠CDE+∠ADE＝∠ADC＝90°， ∵DH⊥EF， ∴EH＝FH， ∴HDEF， ∵∠EBF＝90°， ∴HBEF， ∴HD＝HB， 在△DCH和△BCH中， ， ∴△DCH≌△BCH（SSS）， ∴∠DHC＝∠BHC， ∴CH平分∠BHD． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/9/3 7:40:29；用户：西昌市绿荫学校；邮箱：XFS-8096414564070390.42133300；学号：65378731 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$