精品解析：2024年广东省九年级学业水平数学考试

2024年广东省初中学业水平考试 数学 本试卷共4页，25小题，满分120分，考试时间120分钟． 注意事项：1．答卷前．考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号．将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答．答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案：不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一，选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列实数中，最小的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了实数的大小比较，还考查了无理数的估算．先估算实数的大小,然后即可判断大小进而可得出答案. 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴， ∴最小的数是， 故选：A． 2. 计算：（ ） A. 3 B. C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了分式乘法运算，熟练掌握分式乘法运算法则是解题的关键．根据分式乘法运算法则进行计算即可． 【详解】解：， 故选：A． 3. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，解决本题的关键是熟记不等式的性质．根据不等式的性质，即可解答． 详解】解：A、∵，∴，本选项错误，故本选项不符合题意； B、∵，∴，本选项错误，故本选项不符合题意； C、∵，∴，正确，故本选项符合题意； D、∵，∴，本选项错误，故本选项不符合题意； 故选：C． 4. 只用下列图形不能镶嵌的是（ ） A. 三角形 B. 四边形 C. 正五边形 D. 正六边形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平面镶嵌、正多边形的内角和，先求出各个正多边形每个内角的度数，再结合平面图形镶嵌的条件即可得，熟练掌握平面镶嵌的条件是解题的关键． 【详解】A、等边三角形的每个内角的度数为，且是整数，则等边三角形能实施平面镶嵌，此项不符题意； B、正方形的每个内角的度数为，且是整数，正方形能实施平面镶嵌，此项不符题意； C、正五边形的每个内角的度数为，且，不是整数，正五边形不能实施平面镶嵌，此项符合题意； D、正六边形的每个内角的度数为，且是整数，正六边形能实施平面镶嵌，则此项不符题意； 故选：C． 5. 将一副直角三角板如图所示位置摆放，使含有角的三角板的直角边和含角的三角板的直角边在同一条直线上．则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角性质，对顶角的性质，掌握“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”的性质是解题的关键．利用三角形的外角性质求出，再利用对顶角相等求解即可． 【详解】解：由题意，得，， ∴， ∴， 故选：B． 6. 下列说法错误的是（ ） A. 同一平面内，两条平行线永不相交 B. 有一个角是直角的菱形是正方形 C. 同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相同 D. 对角线相等的四边形是矩形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是两直线的位置关系、正方形的判定、矩形的判定及圆周角定理，根据两直线的位置关系、正方形的判定、矩形的判定及圆周角定理作出判断即可． 【详解】解：A、同一平面内，两条平行线永不相交，正确，故本选项不符合题意； B、有一个角是直角的菱形是正方形，正确，故本选项不符合题意； C、同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相同，正确，故本选项不符合题意； D、对角线相等的平行四边形是矩形，原说法错误，故本选项符合题意； 故选：D． 7. 如图，在中，，，平分，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，平行线的性质，解题的关键是构造相似三角形．过点作交延长线于点， 得到，由平分，，等量代换可得，得到，由平行可得，从而可得的值． 【详解】解：如图所示，过点作交延长线于点， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 即的值为． 故选：A ． 8. 如图内接于．若，，长，则的直径为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，圆周角定理，勾股定理解直角三角形等内容，作出正确的辅助线构造直角三角形是解题关键．连接、， 由三角形内角和可得出，再根据圆周角定理可得，在中，由勾股定理即可求解的长，进而可得的直径． 【详解】解：如图所示，连接、， 在中，，， ， ， 在中，，， 即，解得（负值已舍去）， 故的直径为． 故选：D． 9. 如图，在菱形中，．为边中点．将菱形沿过点的直线折叠，使点落在直线上的点处，折痕为，与交于点．有如下结论：；；；，则正确结论有（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了折叠问题，全等三角形的判定和性质，菱形的性质，直角三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．连接，根据菱形的性质得到，，推出和是等边三角形， 根据等腰三角形的性质得到，根据旋转的性质得到，求得，根据三角形的内角和定理得到，从而判断；根据三角函数的定义得到，从而判断；易得，通过线段之间的数量关系，证明，再根据全等三角形的性质得到，从而判断；过作于，求得，易证得，根据全等三角形的性质得到，求得，得到，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：如图所示，连接，交于点， 四边形是菱形， ，， 和是等边三角形， 是边的中点， ， 将菱形沿过点的直线折叠，使点落在直线上的点处， ， ， ， ，故正确； ，， ，故正确； ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故正确； 过作于， ， ，， ， ， ， ， ，， ，， ，， ， ，故错误． 故正确结论有：． 故选：B． 10. 设二次函数（常数）的图像与一次函数（，d、e为常数）的图像交于，若函数的图像与轴仅有一个交点．则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先将代入得到，求出一次函数，然后表示出，然后根据题意得到，得到，设，求出，进而　即可． 【详解】解：∵点在一次函数上， ∴， ∴， ∴一次函数， ∴， ∵函数的图像与轴仅有一个交点， ∴， ∴， ∴设， ∴ ∴ ∴ 解得， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】此题考查了一次函数和二次函数的综合应用，二次函数和x轴的交点问题，解题的关键是掌握以上知识点． 二、填空題：本大憲共7小題，每小题4分，共28分． 11. 已知都是正整数，且，则多项式的次数是___________．（结果用字母表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多项式的次数，熟知多项式的次数是指多项式中次数最高的单项式的次数是解题的关键．利用，的次数是，的次数是，的次数是0，即可解决． 【详解】解：由题得的次数是，的次数是，的次数是0， ∵都是正整数，且， ∴多项式的次数是， 故答案为：． 12. 若点与点关于点中心对称．则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了成中心对称的点的坐标特征，掌握中心对称的性质是解题的关键．根据成中心对称的两个点之间的坐标关系即可解决问题． 【详解】解：点与点关于点中心对称， ，， 解得，， ． 故答案为：． 13. 在中，，，为外一点，且，则的度数为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查圆的定义，圆周角定理，圆内接四边形的性质，以点A为圆心，长为半径作圆，可知点在圆A上，分两种情况：点D在优弧上时，和点在劣弧上时，分别计算即可． 【详解】解：以点A为圆心，长为半径作圆， ∵， ∴点在圆A上， ∵， ∵点D为形外一点， 当点D在优弧上时， ∴， 当点在劣弧上时， ∴， 故答案为：或． 14. 中国是发现、研究和运用勾股定理最古老的国家之一、三国时期赵爽创制了“勾股圆方图”（如图）．证明了勾股定理．在这幅“勾股圆方图”中，大正方形是由个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的．连接，若，，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，锐角三角函数，正方形的性质，全等三角形的性质，熟练掌握锐角三角函数是解答的关键．设，可得，在中，根据勾股定理列方程求解，进而可得的长，在中，根据勾股定理可得的长，从而根据锐角三角函数的计算公式求得的值． 【详解】解：设，则， 在中，，即， 整理得， 解得，（舍去）， ， 在中，， ． 故答案为：． 15. 如图，在四边形内中，，，点E为中点，连接、，若．则的值为___________． 【答案】##0.8 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，三角形外角的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．利用，，得出，再由，得出，则，求出，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，，点E为中点， ∴， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 16. 设为两相异实数．满足的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系及分式的化简求值，先得出是一元二次方程的两个不相等的实数根，进而得出，再将分式进行化简后代入求值即可． 【详解】解：为两相异实数．满足， 是一元二次方程的两个不相等的实数根， 一元二次方程可化为， ， ， 故答案为：． 17. 如图，在四边形中，，，，．点为四边形内一点，且．为上一点，连接，则最小值是___________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查三角形的外接圆，圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质与判定，解直角三角形，垂线段最短，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键． 作的外接圆，连接，，，在优弧上任取一点，连接，，得出为等腰直角三角形，由，求出，连接，过点作于点，则，利用，得出，过点作于点，求出，在中，，得出，由点为四边形内一点，为上一点，且位置不定，则，当且仅当、、共线，且时，取最小值，即可求解． 【详解】解：如图，作的外接圆，连接，，，在优弧上任取一点，连接，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， 连接，过点作于点， 在中，， ∵， ∴， 过点作于点， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∵点为四边形内一点，为上一点，且位置不定， ∴，当且仅当、、共线，且时，取最小值， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：10． 三、解答题（一）：本大题共3小题，第16、17、18题各6分，共18分． 18. （1）计算： （2）解不等式组 【答案】（1）；（2）无解 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，涉及立方根、特殊角的三角函数值、绝对值、负整数指数幂，还考查了解一元一次不等式组，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先利用立方根、特殊角的三角函数值、绝对值、负整数指数幂化简，再进行乘除即可； （2）分别解两个一元一次不等式，即可求解． 【详解】解：（1） ； （2）， 解不等式①，得； 解不等式②，得； ∴不等式组无解． 19. 如图，等腰中，，交于点，点是的中点，分别过、两点作线段的垂线，垂足分别为、两点． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，根据等腰三角形的性质以及直角三角形斜边上的中线，求解线段长，解题的关键根据题意找到长度相等的线段． （1）欲证明四边形为矩形，先根据中位线性质得到，再根据“垂直同一条直线的两直线平行”得到，从而证明为平行四边形，最后根据“有一内角为直角的平行四边形为矩形”即可证得； （2）先根据“直角三角形斜边上中线的性质”求得，然后在利用勾股定理得到的长度，最后结合求解即可． 【小问1详解】 证明：，， 点是的中点， 点是的中点， 是的中位线， ． ，， ， 四边形是平行四边形． 又， 四边形为矩形； 【小问2详解】 解：，点是的中点，， 在中，， 由（1）知，四边形为矩形，则． 在中，由勾股定理得：． ， ． 20. 如图，有一三角形，请按以下要求作图并回答问题． （1）作平分交与． （2）作的垂直平分线交于． （3）连接，若，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查尺规基本作图：作角平分线和作线段的垂直平分线，利用角平分线、线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理求解角的度数，熟练掌握尺规基本作图的作法是解题的关键． （1）以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于两点，再分别以这两点为圆心，大于两点间距离一半的长为半径画弧，两弧相交于一点，过与这个交点作射线交于点，即为所求； （2）分别以点、为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于两点，过这两点作直线交于即可； （3）根据角平分线的性质可得，，根据垂直平分线的性质可得，，则，再由三角形内角和定理求得的度数． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求作的角平分线； 【小问2详解】 解：如图所示，的垂直平分线及交点即为所求； 【小问3详解】 解：由（1）可知，平分， ， ， 由（2）可知，的垂直平分线交于， ， ， 在中，，即， ． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题8分，共24分． 21. 为减轻学生负担，2021年4月某某中学成立相应部门进行作业调查，随机从八年级（共800人）一共抽取10位不同班的同学了解作业情况，他们在校完成所有作业的时间（单位）分别为： （1）该数据的平均数为___________，中位数为___________． （2）2023年也开展了此类活动，调查的同样是八年级学生的作业情况，10个同学平均每天完成所有作业的时间是小时．求该校2022，2023这两年学生作业时间的平均增长的百分率． （3）该校的数学竞赛实力十分出众，即将参加2021年的区数学竞赛．比赛报名需要搭配1位男生和1位女生参赛，训练队一共有3名男生与2名女生，请用列表或树状图的方式说明随机从5人中挑选2人，刚好符合报名要求的概率． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查平均数、中位数、一元二次方程的应用、列表或树状图求概率，熟练掌握相关概念与方法是解题的关键． （1）利用平均数和中位数的计算方法即可解决； （2）设该校2022，2023这两年学生作业时间的平均增长的百分率为，由题意得，求解即可； （3）利用列表法求概率即可． 【小问1详解】 解：平均数为， 数据从小到大排列为，，，，，，，，，， 其中中间的两个数是和， 故中位数为， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：设该校2022，2023这两年学生作业时间的平均增长的百分率为, 由题意得， 解得：，（舍）， 答：该校2022，2023这两年学生作业时间的平均增长的百分率为； 【小问3详解】 解：根据题意列表为： 男1 男2 男3 女1 女2 男1 男2，男1 男3，男1 女1，男1 女2，男1 男2 男1，男2 男3，男2 女1，男2 女2，男2 男3 男1，男3 男2，男3 女1，男3 女2，男3 女1 男1，女1 男2，女1 男3，女1 女2，女1 女2 男1，女2 男2，女2 男3，女2 女1，女2 由表可知共有20种等可能的情况，其中恰好为1位男生和1位女生的有12种， 则刚好符合报名要求的概率为． 22. 如图为某游乐场电车轨道的一部分的图象．为线段，为反比例函数的一部分．已知，过轨道图象上一点分别作轴的垂线才能固定轨道，若垂线段的和（用S表示）取最小值的点称作最佳支撑点． （1）求直线的解析表达式及值． （2）求的值． （3）求轨道图象的最佳支撑点． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了运用待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式及一次函数、反比例函数的性质，（3）中对点的位置进行讨论是解题的关键． （1）设过、的直线解析式为，将、两点的坐标代入，运用待定系数法即可求出直线的解析式；将代入，即可求出的值； （2）将代入即可求解； （3）设点是轨道图象上的任意一点，其横坐标为，那么分两种情况：①点在线段上；②点在双曲线上．针对这两种情况，分别求出与的函数解析式，再根据函数的性质，求出取最小值时，自变量的值，然后比较即可得出轨道图象最佳支撑点的坐标． 小问1详解】 解：设直线的解析表达式为． 将代入， 得， 解得， ； 反比例函数经过点， ； 【小问2详解】 解：∵在反比例函数的图象上， ∴； 小问3详解】 解：分两种情况： ①设是线段上任意一点， 则，到、轴距离分别为，， ， ， 随自变量的增大而增大， 当时，取最小值，此时； ②设是曲线上任意一点，则，到、轴距离分别为，， ， 当，即时，取最小值，此时，． ， 最佳支撑点为． 23. 某某中学组织有关圆的学习活动，他们对阿基米德折弦定理进行了深入研究． 【问题呈现】 阿基米德折弦定理：如图．和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦）．，点是的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即． 同学们正在讨论如何证明该定理的正确性．他们想到用“截长法”进行证明．下面是部分证明过程．请补充完整． 证明：如图，在上截取，连接、、和． 是的中点． ___________． 又，， ______________________． ， 又， ___________． ． 即． 【变式探究】 如图，若点是的中点．【问题呈现】中的其他条件不变．判断、、之间存在怎样的数量关系？并加以证明． 【实践应用】 如图，是的直径，点是圆上一定点，点是圆上一动点，且满足．若，的半径为．求的值． 【答案】【问题呈现】；；； 【变式探究】，证明见解析 【实践应用】 的值为或 【解析】 【分析】【问题呈现】根据相等的弧所对的弦相等，全等三角形的判定，等腰三角形三线合一依次补充完整证明过程． 【变式探究】在上截取，连接、、、，由“”可证，可得，由等腰三角形的性质可得，进而利用线段之间的数量关系等量代换可得结论． 【实践应用】分点在下方和点在上方两种情况讨论，分别对应【变式探究】和【问题呈现】两种情况的结论即可求解，注意构造辅助线过点作的垂线． 【详解】解：【问题呈现】 ；；；． 【变式探究】 ． 证明：如图，在上截取，连接、、、， 点是的中点， ，， 又， ， ， ， ， 又， ， ，即； 【实践应用】 如图，当点在下方时，过点作于点，连接， 是的直径， ， 的半径为， ， 在中，， ， ， ， 点为的中点， ， ，即， 解得， ； 如图，当点在上方时，过点作于点， 同理可得，，即，解得， ， ； 综上所述：的值为或． 【点睛】本题考查的是圆的综合题，考查了圆周角定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，理解阿基米德折弦定理是解题的关键． 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题10分，共20分． 24. 如图①抛物线与轴交于点，与轴交于点，其中，． （1）求该抛物线的解析式． （2）如图②在图①的基础上，D为该抛物线的顶点，作点关于对称轴的对称点为点，若为轴上一动点，点为轴上一动点，求四边形周长的最小值． （3）如图③在图①的基础上，点为第一象限内抛物线上的动点．过点作直线轴，分别交、轴于点、，当中存在内角度数等于度数的2倍时．求点的横坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）由，，利用交点式求解即可； （2）分别求出，，作点关于轴的对称点，则，作点关于轴的对称点，则，连接，，由对称性可知，，由是定值，则四边形周长，对于，当且仅当、、、四点共线时取得最小值，求解即可； （3）先求出直线的解析式为，设，则，求出，分两种情况讨论：当时，过点作于点，利用列式求解；当时，过点作于点，利用列式求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于点，其中，， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵， ∴，对称轴为直线， 当时，， ∴， ∵点关于对称轴的对称点为点， ∴，即， 如图，作点关于轴的对称点，则， 作点关于轴的对称点，则， 连接，， 由对称性可知，， ∵， ∴四边形周长， 对于，当且仅当、、、四点共线时取得最小值， ∵，， ∴， ∴四边形周长最小值为； 【小问3详解】 解：∵设直线的解析式为， 将，代入， 得， 解得：， ∴直线的解析式为， 设， ∵轴，分别交、轴于点、， ∴， ∵，， ∴， 当时，如图，过点作于点， ∵，轴， ∴轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：； 当时，如图，过点作于点， ∵轴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∵，，， ∴， 解得：； 综上所述，或． 【点睛】本题考查二次函数综合，涉及待定系数法求二次函数，轴对称最值问题，待定系数法求一次函数，解直角三角形，等角对等边，解一元二次方程等，熟练掌握常见的二次函数与线段最值问题、二次函数与角度问题的解法是解题的关键． 25. 已知：点P在△ABC内，且满足∠APB=∠APC(如下图)，∠APB+∠BAC=180°， （1）求证：△PAB∽△PCA； （2）如果∠APB=120°，∠ABC=90°求的值； （3）当∠BAC=45°，△ABC为等腰三角形时，求tan∠PBC的值. 【答案】（1）见解析；（2）4；（3）2或或1 【解析】 【分析】（1）由已知和等量代换得∠PBA=∠PAC，再根据∠APB=∠APC可证明△PAB∽△PCA； （2）由△PAB∽△PCA可得，通过变形得到，再利用∠APB=120°，∠ABC=90°求出，则可得出的值； （3）当∠BAC=45°时，可以推出tan∠BPC=，△ABC为等腰三角形，分BA=BC，CA=CB ,AB=AC三种情况，分情况讨论即可. 【详解】（1）∵∠APB+∠PBA+∠PAB=180°，∠APB+∠BAC=180°，∠BAC=∠PAB+∠PBA， ∴∠PBA=∠PAC， ∵∠APB=∠APC， ∴△PAB∽△PCA； （2） ∵△PAB∽△PCA， ∴， ∴， ∵∠APB=120°， ∴∠BAC=60°， ∵∠ABC=90°， ∴， ∴； （3） ∵∠BAC=45°， ∴∠APB=135°=∠APC， ∴∠BPC=90°， tan∠BPC=， ∵∠BAC=45°，△ABC是等腰三角形， 当BA=BC时，由勾股定理可得 ，tan∠BPC=， 当CA=CB时，由勾股定理可得 ，tan∠BPC=， 当AB=AC 时，tan∠BPC=， 综上所述，tan∠PBC=2或或1. 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及性质，等腰三角形分情况讨论等，能够找到三角形相似的条件和分情况讨论是解题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年广东省初中学业水平考试 数学 本试卷共4页，25小题，满分120分，考试时间120分钟． 注意事项：1．答卷前．考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号．将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答．答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案：不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一，选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列实数中，最小的数是（ ） A. B. C. D. 2 计算：（ ） A. 3 B. C. D. 0 3. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 只用下列图形不能镶嵌的是（ ） A. 三角形 B. 四边形 C. 正五边形 D. 正六边形 5. 将一副直角三角板如图所示位置摆放，使含有角的三角板的直角边和含角的三角板的直角边在同一条直线上．则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法错误的是（ ） A. 同一平面内，两条平行线永不相交 B. 有一个角是直角的菱形是正方形 C. 同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相同 D. 对角线相等的四边形是矩形 7. 如图，在中，，，平分，则值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图内接于．若，，长，则的直径为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在菱形中，．为边中点．将菱形沿过点的直线折叠，使点落在直线上的点处，折痕为，与交于点．有如下结论：；；；，则正确结论有（ ） A. B. C. D. 10. 设二次函数（常数）的图像与一次函数（，d、e为常数）的图像交于，若函数的图像与轴仅有一个交点．则的值为（ ） A B. C. D. 二、填空題：本大憲共7小題，每小题4分，共28分． 11. 已知都是正整数，且，则多项式的次数是___________．（结果用字母表示） 12. 若点与点关于点中心对称．则___________． 13. 在中，，，为外一点，且，则的度数为___________． 14. 中国是发现、研究和运用勾股定理最古老的国家之一、三国时期赵爽创制了“勾股圆方图”（如图）．证明了勾股定理．在这幅“勾股圆方图”中，大正方形是由个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的．连接，若，，则的值为___________． 15. 如图，在四边形内中，，，点E为中点，连接、，若．则的值为___________． 16. 设为两相异实数．满足的值是___________． 17. 如图，在四边形中，，，，．点为四边形内一点，且．为上一点，连接，则的最小值是___________． 三、解答题（一）：本大题共3小题，第16、17、18题各6分，共18分． 18. （1）计算： （2）解不等式组 19. 如图，等腰中，，交于点，点是的中点，分别过、两点作线段的垂线，垂足分别为、两点． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，，求的长． 20. 如图，有一三角形，请按以下要求作图并回答问题． （1）作平分交与． （2）作的垂直平分线交于． （3）连接，若，，求的度数． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题8分，共24分． 21. 为减轻学生负担，2021年4月某某中学成立相应部门进行作业调查，随机从八年级（共800人）一共抽取10位不同班同学了解作业情况，他们在校完成所有作业的时间（单位）分别为： （1）该数据的平均数为___________，中位数为___________． （2）2023年也开展了此类活动，调查的同样是八年级学生的作业情况，10个同学平均每天完成所有作业的时间是小时．求该校2022，2023这两年学生作业时间的平均增长的百分率． （3）该校的数学竞赛实力十分出众，即将参加2021年的区数学竞赛．比赛报名需要搭配1位男生和1位女生参赛，训练队一共有3名男生与2名女生，请用列表或树状图的方式说明随机从5人中挑选2人，刚好符合报名要求的概率． 22. 如图为某游乐场电车轨道的一部分的图象．为线段，为反比例函数的一部分．已知，过轨道图象上一点分别作轴的垂线才能固定轨道，若垂线段的和（用S表示）取最小值的点称作最佳支撑点． （1）求直线的解析表达式及值． （2）求的值． （3）求轨道图象的最佳支撑点． 23. 某某中学组织有关圆的学习活动，他们对阿基米德折弦定理进行了深入研究． 【问题呈现】 阿基米德折弦定理：如图．和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦）．，点是的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即． 同学们正在讨论如何证明该定理的正确性．他们想到用“截长法”进行证明．下面是部分证明过程．请补充完整． 证明：如图，上截取，连接、、和． 是的中点． ___________． 又，， ______________________． ， 又， ___________． ． 即． 【变式探究】 如图，若点是的中点．【问题呈现】中的其他条件不变．判断、、之间存在怎样的数量关系？并加以证明． 【实践应用】 如图，是的直径，点是圆上一定点，点是圆上一动点，且满足．若，的半径为．求的值． 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题10分，共20分． 24. 如图①抛物线与轴交于点，与轴交于点，其中，． （1）求该抛物线的解析式． （2）如图②在图①的基础上，D为该抛物线的顶点，作点关于对称轴的对称点为点，若为轴上一动点，点为轴上一动点，求四边形周长的最小值． （3）如图③在图①的基础上，点为第一象限内抛物线上的动点．过点作直线轴，分别交、轴于点、，当中存在内角度数等于度数的2倍时．求点的横坐标． 25. 已知：点P在△ABC内，且满足∠APB=∠APC(如下图)，∠APB+∠BAC=180°， （1）求证：△PAB∽△PCA； （2）如果∠APB=120°，∠ABC=90°求的值； （3）当∠BAC=45°，△ABC为等腰三角形时，求tan∠PBC的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $