第7章 微专题十二 平行线问题常作的辅助线&证明 章末复习-【优化设计】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步测控全优设计(北师大版2024)

3平行线的证明 第1时平行线的定 基 .cB.34D 系.内销角相等，两直线平行 系匠期：因为∠1n∠2（已知） 期以A出》CD对内同角阳等，两直号71 7+115=18 所以DEF(同旁内角互补.用直线平行》： 所以AB及F(平行于同一寿直限的两条直线平行)， 7,:MC080AG 理由：：∠1=3，∠2=5，∠1=∠08A ∠3-13，.∠+∠8 革慢路 1.证期：国为BE,DE分期是∠A改C和∠ADC的平 计0， 所以∠1=∠ABC,∠=∠ADC 因为∠ABC=∠ADC, 所∠1 <2 所只∠1=∠3 所HC成AD 2过图：∠BAN=T5,∠活=7（已知）： 义，2日上4明角g), ∠AGH■75等霜代格 ∠AGH+∠CH0=75+105■L AB议CD(同旁内角互补，属直国平行引 3解：为∠ ,积累同位角和等，直线行 能可判斯 两条数平行.制，∠5与∠？是内维角∠3与∠2 是同势内角，如暴量出∠5，∠3是直角，也可以判断两 条直轮平行， 4.：州为∠1∠=46，∠1=∠4=5，期以∠5= 18 是平行的： 陈中考 4,D2C 人∠1∠4（∠2=∠4∠8十∠4=1 结索养 解：《1)∠PAD=1E,∠PAD=∠AB,∠PAD+ ∠PA+∠AE-18 ,”,AI1033T38=116 (2)BCPA,厘由：下， W'∠PAD=∠EAE,∠PAB=I-∠PD-∠RME ∠PAB1-2∠HA5 ABC- ∠ABE ∠PAB十∠ABC=30r'-P《∠BAE+∠AHE) =1得5 5.OC&PA. 第1课时平行程的性 1.B2B3.13g476 5.旺月：7 AF LAC.CD⊥C ∠A-9如”，∠C■0（重直定羹）， ∠A+∠C15知 AFCD(同务内角互补：两直规平行) 夏，”8D ,门■行精N塑平行，内情角相第) ,FBE平行公推论 A日 F=∠BED(直平行，转位角等) B时G(位角相等，两直线平万 体提鞋 ∠BFE=∠FC两直线军行，内指角相零). 1.证朝：∠1-∠4， 1C3.04,B5,D .卫w0.,,5=A 6.57,6初 R.解：)∠H6F十∠PG0=∠B十∠G十∠八 ABCD.2/- ∠AG 由如下 ∠1 ∠1，∠1∠AGE 过新点E,G分作8A E 2.(1)疑期：？∠1+∠DFE一140（半角定叉），∠1+ 由ABCD,5 ∠2=18a%已知》. AB8 EMNGH∥CD, 上∠2m∠DFE, 二FA(内角等两直线平行) 8EF+ZD∠+∠2+∠+∠-∠B+ (2解：∠A50-∠C出下 D ∠B+ ∠EFG 2∠B+ZE+2E+m+∠E=∠B+。 ∠3∠DE气离直平行：内量角相等)。 ,∠3=∠队已冠》， 量末复习 B=∠ADE等量代换) 易结专草 DE?BC同角相等，件线平行） ∠AED 例1在闲平国内：再条直线素直干同一希直风这两 ∠C两直线平行，同位角等) C4A 条直线平行 修中老 1.B2.D5D 1两个角是两条直线第三条直所得的民位角 4.证期：EN8FN,∠FE1-∠EFN 这两个具位角相等匿 ：E分 解2C BEF,FN平分∠CFE ∠BE 拓展国临 =∠FEM∠CFNm∠EFN 2 ∠FEB=∠EFC, .ABCD. 5M:廿ABCD, 拓满图等 5 ÷∠G8=∠KD=45 高桶考点提开蝶 1B1C.B4.62 5蛋明：：∠A∠EDFt已知) 国素养 :AC这DF同角用等，两直线平行) 期：C)AMHy ∠（直线平行，内蜂角型等 .A+AHyB刘 ∠ABW=18-∠A=186-4r=1 义∠C-∠F已m, 2:C分∠AP,D平分∠PBN, “,∠P=∠P等量代提)， ,“汇仪老下（内量角相等，精直线平行） ∠CBP-∠ABP,∠PBD=∠PBN: E《1”/ ,DCAB,∠1=∠MD +∠CO-∠CP+∠PD-室∠P+Y∠PBy- Y∠ABN-40 E且8AD (2)南1)得∠1-∠BAD,H0AD, (3)不变，∠APB2∠AD,理由如下 ∠MD-∠H ∠AP-∠PN,∠AD地-∠N 又：D平分∠PNN, 缓合与实戡即个城市夏天更热 ∴，∠PBN=I∠DBN, L解]为了了解这两个域市哪个夏烧 ,∠APB=2∠AD (2)43437 微专毯十二 平行线问题常作的插助线 (3)七月初A市更烤， 型由如下：七月新A电的最高夏度的平均数比B市 证：方甚1流接风 ,图D所示.AB9D, ∠CD(两直线平行，内蜡角恒等， 又，∠ABF=∠DCE,∴，∠AC-∠ABF=∠BCD 2解：《)由图可如，A地的最底气里比B地最高气 ∠DCE,即∠FC=∠E& A卷量低气和比B发量任气国量， .BF8C5(内■作相籍.圆线平行3. 做A坡的气温流动胶大，B薰气血整陆较小，但半构气 :∠FE∠FC两直线行，内情角相等 思相 2)A的4时气福单e,口)什紫为18,17.3，】7,16， 16,16.5.1,1,20.62,28.23.5,24.25,25,24.5 0.5,9:18 18 图① 图必 B地24时气塑（单位：C)分刚为20，象5,19,18,19， 统带交于成，年公断示 195,0,5,纪，225,9,2,3,5,24,24,25,22,5,22 5,22,21,5.1,2,5,0,5,39,5,0, A扇气副的平均数为元X(8+1比.5+17+一十 18.5+1B2042(七)， A燕气的方为×[(18-2说.+17.-2， 42+…+18一042门w7,76(℃h B气福的半均数为云×(+15.5计“+机等+ 2L.35(℃》. B地气的方燕为×[（的一2引.5十（积 L35)2+…+(2m-11.35)]w黑78(0, 由比可年，A,出两卷的平均气围相近，如A地气温置 动较大，昌米气围陵陆较小，与州本看法一直 综合与实践神合的加密术 1.解：(1)明文】对应的密文为】✉8《金被4整除》=a+ N-22教1除会1D3+--M, L191数4除余》++611A 2→20(20放4整常1+20十4=5→T, 下→14(4教4除余2)→14之+12=16+H 放容案为，W:ATH. 18-120×4-2-22C X-1=(2一1)×4一1=3=T, 2.0.(的-10)×4-1=1Q 故苍案为CKTQ 512(12被4整除)12÷4一1 U+77被4席象2中1+- 】B从4被4整魔)·3十4如2+W。 又目到第一个数，相据以上计算得出规伸如下 山S.EU,,W,D,VT个为-组重复出我 2024十7m289mw1 年密色论4次，雨文V对位的废文为， 容案为：S 解：（由材料可知银暴金颜为1再则4一40 4■40，2十20=20十320=64004 对鞋收字与数字对位关聚得州这我银景的出帮为·兴 域香出”，这”兴惠仁言“不符，蛟该银照是醒的 2)”用调金腰在0箱现内 5.2+30×0+3 南反字与数字对位关系安对的数字为 .2.+g2含05712 解得@士1长， 由材料写知：包目日南级 这张银颗的两位数为 银原全在0两以内， 一环张银的金是1保两 (3)答案不草一，例如，在密和中增加一个红字确定银 票金额量儿位数，数学/第七章证明 微专题十二平行线问题常作的辅助线 5.如图，AB∥CD,∠BED=63°，∠ABE的平分线与 类型一)加截线 ∠CDE的平分线交于点F,则∠DFB的度数是() 1.如图，已知AB∥CD,∠ABF=∠DCE C 求证：∠BFE=∠FEC A A A.147° B.147.5°C.148 D.148.5 6.如图所示，AB∥EF,∠B=35°，∠E=25,则∠C+ ∠D的值为 D 第6题图 第7题图 7.如图，AB∥CD,AE⊥CE,∠EAF=号∠EAB, 类型二)过“拐点”作平行线或延长构造三角形 ∠ECF=了∠ECD,则∠AFC= 2.①如图1，AB∥CD,则∠A+∠E+∠C=180°；②如 (类型三)平行线间多折点角度问题】 图2，AB∥CD,则∠E=∠A十∠C,③如图3，AB∥ 8.(1)在图1中，AB∥CD,则∠BEF+∠FGD与∠B+ CD,则∠A十∠E-∠1=180°：④如图4，AB∥CD, ∠EFG+∠D有何关系？ 则∠A=∠C+∠P,以上结论正确的个数是( (2)在图2中，若AB∥CD,又能得到什么结论？ E 图3 图4 D A.1 B.2 C.3 D.4 图1 图2 3.如图，直线41∥l2,∠1=30°，则∠2+∠3=() 2 A.150° B.180° C.210° D.240° 4.某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他 把它抽象成数学问题，如图所示，已知AB∥CD, ∠BAE=87°，∠DCE=121°，则∠E的度数是( A.28 B.349 C.46° D.56 120 章末复习。数学 章末复习 昼引知识梳理 要判断一个命题是不是直命题，仅仅依靠经验、观察、实验和猜想是不够的 证明的 必须一步一步、有根有据地进行推理，推理的过程就是证明 必要性 要想判断一个命题是否正确，常用的方法有：实验验证、举出反例、推理等 证明的步骤：证明一个命题的正确性要按“已知”“求证”“证明”的颗序和格式写出 定义：一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义的语句叫做定义 命题：判断一件事情的句子，叫做命愿，命题通常由条件和结论两部分组成 定义与命题 真命题与假命题：正确的命题叫做真命题，不正确的命题叫做假命题 反例：要判断一个命题是假命题，只要能够举出一个例子，使之具备命题的条件，而 不具备命题的结论，就可以说明这一命题是假命题，这种例子通常称为反例 公理：通过长期实践总结出来，并且被人们公认的真命题叫做公理 定理：经过证明的真命题叫做定理 推论：由一个基本事实或定理直接榴出的直命题叫做这个基本事实或定理的推论 两点确定一条直线 平行 基本事实与定理 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 的证明 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 基本事实 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 三边分别相等的两个三角形全等 同位角相等，两直线平行 判定定理 内错角相等，两直线平行 平行线的判定定理与性质定理 同旁内角互补，两直线平行 两直线平行，同位角相等 性质定理 两直线平行，内错角相等 两直线平行，同旁内角互补 B.∠BAD=∠BCD 昼|易错专练 C.∠BAD+∠ADC-180° D.∠3=∠4 易错点1)改写命题语句不通顺，区别真假命题出错 拓展训练 例1命题“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直 2.如图，下列条件：①∠1=∠2，② 线平行”的条件是 ∠3+∠4=180°，③∠5+∠6= 结论是 180°，④∠2=∠3，⑤∠7=∠2+ 拓展训练 ∠3，⑥∠7+∠4-∠1=180°.其 1.命题“两条直线被第三条直线所截，同位角相等”的条 中能判断直线a∥b的有() 件是 A.3个 B.4个 结论是 ,这是一个 命题 C.5个 D.6个 (填“真”或“假”). 易错点3平行线的判定与性质混淆 易错点2判断两直线是否平行找错平行线 例3如图，下列推理所标注的依据正确的是 例2如图，在下列条件中，能判断AB∥CD的是() (填序号) ①因为AB∥CD,所以∠1=∠D (同位角相等，两直线平行)； ②因为∠1=∠D,所以AB∥CD (两直线平行，同位角相等)： A.∠1=∠2 121 数学/第七章证明 ③因为AB∥CD,所以∠3=∠4（两直线平行，内错 4.(广西贵港中考)如图，点O,C在直线n上，OB平分 角相等)： ∠AOC,若m∥n,∠1=56°，则∠2= ④因为∠3=∠4，所以AB∥CD(两直线平行，内错 角相等). 拓展训练 3.如图，下列推理及理由都正确的是 (填 C 序号) 5.如图，已知∠A=∠EDF,∠C=∠F求证： ①若AB∥DG,则∠BAC= BC∥EF. ∠DCA,理由是内错角相等， 两直线平行： ②若AB∥DG,则∠3=∠4，理 由是两直线平行，内错角相等； ③若AE∥CF,则∠E=∠F,理由是内错角相等，两 直线平行； ①若AE∥CF,则∠3=∠4，理由是两直线平行，内 错角相等。 昼引高频考点提升练 1.下列命题是真命题的个数为( ①两条直线被第三条直线所截，内错角相等. ②三角形的内角和是180°. ③在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线 6.如图，在△ABC中，点D,F在BC边上，点E在AB 平行. 边上，点G在AC边上，EF与GD的延长线交于点 ④相等的角是对顶角。 H,∠CDG=∠B,∠1+∠FEA=180°. ⑤两点之间，线段最短。 求证：(1)EH∥AD: A.2 B.3 C.4 D.5 (2)∠BAD=∠H. 2.试证明“若∠A+∠B=180°，∠C十∠D=180°， ∠A=∠C,则∠B=∠D”是真命题.以下是排乱的 推理过程： ①因为∠A=∠C(已知)； ②因为∠A+∠B=180°，∠C+∠D=180°（已知）： ③所以∠B=180°-∠A,∠D=180°-∠C(等式的 性质)： ④所以∠B=∠D(等量代换)： ⑤所以∠B=180°-∠C(等量代换). 正确的顺序是() A.①→③→②→⑤→④B.②→③→⑤→①→④ C.②→③→①→⑤→④D.②→⑤→①+③→④ 3.(湖南常德中考)如图，已知AB∥DE,∠1=30°，∠2 35°，则∠BCE的度数为() A c< D 2> A.70° B.65 C.35 D.5 122