精品解析：湖南省衡阳市第九中学2025-2026学年八年级上学期入学考试数学试题

2025年下学期入学教育八年级数学 一、选择题 1. 下列方程是一元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 中国茶文化源远流长，在下列有关茶的标识中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如果，那么下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，点B、C、D在同一直线上，若，，，则等于（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 5. 长度分别为3，4，4，5的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形（木棒允许连接，但不允许折断），得到的三角形的最长边长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 6. 生活中常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案，下列图形中不能与正三角形铺满整个地面的是（ ） A. 正方形 B. 正五边形 C. 正六边形 D. 正十二边形 7. 《九章算术·盈不足》载，其文曰：“今有共买物，人出十一，盈八；人出九，不足十二．问人数、物价各几何?”意思为：几个人一起去买东西，如果每人出11钱，就多了8钱；如果每人出9钱，就少了12钱．问一共有多少人?这个物品的价格是多少?设共有x人，物品的价格为y钱，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，点、在边、上，沿向内折叠得到，则图中等于（ ） A. B. C. D. 9. 对于任意实数m，n，定义一种新运算，等式的右边是通常的定义一种新运算，等式的右边是通常的加减和乘法运算，例如：，请根据上述定义解决问题：若，且解集中有3个整数解，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，的边在直线上，与的平分线交于点D，的平分线交于点E．若，，，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题 11. “x的2倍与4的和不小于15”，用不等式表示______． 12. 已知，，那么________． 13. 如图，在中，，将在平面内绕点A旋转到的位置．若，则与所在直线的夹角（锐角）的度数为______． 14. 若不等式组无解，则a的取值范围是______． 15. 如图，直线，相交于点，，垂足为，若，则的度数为__________． 16. 已知，则__________． 17. 已知关于x的不等式组的最小整数解是2，则实数m的取值范围是__________． 18. 如图，已知，，点M为射线上一动点，连接，作平分交直线于点P在直线上取点N，连接，使，当时，_____________． 三、解答题 19. 解下列方程或不等式组： （1） （2） 20. 先化简，再求值：，其中． 21. （1）已知一个多边形的内角和比它的外角和的3倍还多，求这个多边形的边数； （2）已知一个多边形的每一个外角都相等，一个内角与一个外角的度数之比为，求这个多边形的边数． 22. 如图，在正方形网格中，点A、B、C均在格点上． （1）画出，使和关于直线l成轴对称； （2）把绕C点顺时针旋转，在网格中画出旋转后得到的； （3）在直线l上画出点P，使得最小． 23. 如图，点F在线段上，点E，G在线段上，． （1）求证：； （2）若于点H，平分，求的度数． 24. 甲、乙两工程队承接某段隧道挖掘工程，已知该段隧道长度为600米，甲工程队每天挖掘的长度是乙工程队每天挖掘长度的倍，甲、乙两工程队合作4天完成该工程的． （1）求甲、乙两个工程队每天分别可挖掘隧道多少米． （2）若甲工程队先单独挖掘若干天后，剩下的工程再由乙工程队单独完成，总费用刚好94万元．已知甲工程队每天的挖掘费用为5万元，乙工程队每天的挖掘费用为3万元，求甲工程队单独挖掘的天数． 25. 定义运算：，已知，． （1）直接写出：______，______； （2）若关于的不等式组无解，求的取值范围； （3）若的解集为，求不等式的解集． 26. 如图1，将一副三角板按图中所示位置摆放，点在直线上，且，与相交于点，其中，，，，． （1）求此时的度数； （2）若三角板绕点按顺时针方向旋转，当时，求此时的度数； （3）在（2）的前提下，三角板绕点按逆时针方向以每秒的速度旋转，设旋转的时间为秒，当时，在这个旋转过程中，是否还存在三角板的某一条边与平行的情况？若存在，请求出所有满足题意的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年下学期入学教育八年级数学 一、选择题 1. 下列方程是一元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键．根据一元一次方程的定义（只含有一个未知数，未知数的次数为1，且为整式方程）逐一判断选项即可． 【详解】解：A. 方程中出现，分母含未知数，不符合整式方程的要求，故排除； B. 方程含有两个未知数和，不符合“一元”条件，故排除； C. 方程中的最高次数为2，不符合“一次”条件，故排除； D. 方程仅含一个未知数，次数为1，且为整式方程，符合一元一次方程的定义； 故选D． 2. 中国茶文化源远流长，在下列有关茶的标识中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的知识，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】解：A、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故是轴对称图形，符合题意； B、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意； C、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意； D、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意； 故选：A． 3. 如果，那么下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．根据不等式的基本性质，逐一分析各选项的正确性． 【详解】解：由，两边减得，故不成立，排除A； 由，两边加2得，而，因此，故不成立，排除B； 由，两边乘以（负数），不等式方向改变，得，故C正确； 当时，，不等式不成立，因此D不一定成立，排除D． 故选：C． 4. 如图，点B、C、D在同一直线上，若，，，则等于（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题关键．由全等的性质可知，，再利用线段的和差求解即可． 【详解】解：，， ， ， ， 故选：B． 5. 长度分别为3，4，4，5的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形（木棒允许连接，但不允许折断），得到的三角形的最长边长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．根据三角形的三边关系即可得到答案． 【详解】解：根据三角形的三边关系，第三边， 故第三边， 故得到的三角形的最长边长为， 故选C． 6. 生活中常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案，下列图形中不能与正三角形铺满整个地面的是（ ） A. 正方形 B. 正五边形 C. 正六边形 D. 正十二边形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平面镶嵌，掌握平面镶嵌的条件是解题的关键．判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能． 【详解】解：A．正三角形的每个内角为，正方形的每个内角为，，故正方形与正三角形的组合能镶嵌整个平面，选项不符合题意； B．正五边形不能与正三角形进行平面镶嵌，因为正五边形的内角，的整数倍与的整数倍的和不等于，选项符合题意； C．正六边形的每个内角为，，故正六边形与正三角形的组合能镶嵌整个平面，选项不符合题意； D．正十二边形的每个内角为，，故正十二边形与正三角形的组合能镶嵌整个平面，选项不符合题意． 故选：B． 7. 《九章算术·盈不足》载，其文曰：“今有共买物，人出十一，盈八；人出九，不足十二．问人数、物价各几何?”意思为：几个人一起去买东西，如果每人出11钱，就多了8钱；如果每人出9钱，就少了12钱．问一共有多少人?这个物品的价格是多少?设共有x人，物品的价格为y钱，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．设共有x人，物品的价格为y钱，根据“每人出11钱，就多了8钱；如果每人出9钱，就少了12钱”列出二元一次方程组即可． 【详解】解：根据题意，可得． 故选：C． 8. 如图，在中，，，点、在边、上，沿向内折叠得到，则图中等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，折叠的性质，由三角形内角和定理计算得出，由折叠的性质可得，，从而得出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， ∵沿向内折叠得到， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：C． 9. 对于任意实数m，n，定义一种新运算，等式的右边是通常的定义一种新运算，等式的右边是通常的加减和乘法运算，例如：，请根据上述定义解决问题：若，且解集中有3个整数解，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查解不等式，准确理解新定义是解题的关键．根据新定义将不等式转化为关于的一元一次不等式组，求出解集后根据整数解的个数确定的范围。 【详解】解：， 即， 解得， 解集中有3个整数解， 故整数解为， 故， 解得． 故选C． 10. 如图，的边在直线上，与的平分线交于点D，的平分线交于点E．若，，，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角的性质，三角形内角和知识点，熟练运用三角形外角的性质是解题的关键；根据与的平分线交于点，的平分线交于点，设，，，可以得到，再结合，根据三角形内角和整理可以得到：． 【详解】解： 与的平分线交于点， ，， ∵的平分线交于点， ， 是的外角， ， ， 是的外角， ， ， ， ， 在中，， ， ， 故选：A． 二、填空题 11. “x的2倍与4的和不小于15”，用不等式表示______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了用不等式表示， 根据“．．．．的几倍”用乘法，“．．．的和”用加法，再根据不小于用表示可得答案． 【详解】解：根据题意，得． 故答案为：． 12. 已知，，那么________． 【答案】34 【解析】 【分析】该题主要考查了完全平方公式和代数式求值，解题的关键是对进行变形． 根据完全平方公式对进行变形，再将，代入即可求解． 【详解】解：， ∵，， ∴， 故答案为：34． 13. 如图，在中，，将在平面内绕点A旋转到的位置．若，则与所在直线的夹角（锐角）的度数为______． 【答案】##40度 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，掌握旋转的性质是解题的关键．延长交于点E，根据题意求出，由旋转的性质得：，再利用三角形内角和定理得到，推出，即可求解． 【详解】解：延长交于点E， ∵，， ∴， 由旋转的性质得：， ∵， ∴， ∴则与所在直线的夹角（锐角）的度数为， 故答案为：． 14. 若不等式组无解，则a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了已知不等式组的解集的情况求参数，正确理解不等式组的解集的确定方法：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了，是解题的关键． 由不等式组无解得到，求解即可． 【详解】解：∵不等式组无解， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，直线，相交于点，，垂足为，若，则的度数为__________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查了垂直的定义、对顶角的性质等知识点，熟练掌握对顶角相等的性质是解题的关键．根据对顶角相等得出，最后根据垂直的定义可求出的度数． 【详解】解：， ， ， ， ， 故答案为：． 16. 已知，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 原式左边利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出之间的关系，即可求解． 【详解】解： ∴， ∴， 故答案为：． 17. 已知关于x的不等式组的最小整数解是2，则实数m的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了不等式组的特殊解．分别求出每个不等式的解集，再根据不等式组的最小整数解得出关于的不等式组，即可求解． 【详解】解：解不等式得：， 解不等式，得：， ∵不等式组的最小整数解为2， ∴， 解得：， 故答案为：． 18. 如图，已知，，点M为射线上一动点，连接，作平分交直线于点P在直线上取点N，连接，使，当时，_____________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形的外角定理，解决本题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的性质． 根据点与点，点的位置分三种情况讨论，分别画出图形根据平行线的性质推导即可． 【详解】解：①当点N在点P的右侧时， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ， ， ∴， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ； ②当点N在点A的左侧时， 设， 平分， ， ， ， ， ， ， ，即：， ， ∴， ∴， 将代入上式解得：， ③当点在之间时， 设，则， ∵平分， ∴， ∴， 由已知得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，不合题意，此种情况不存在． 综上所述：的度数为或． 故答案为：或． 三、解答题 19. 解下列方程或不等式组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次方程和解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次方程和解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． （1）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程即可得； （2）分别求每一个不等式的解集，再取解集的公共部分作为不等式组的解集即可． 【小问1详解】 解：， ， ， 解得：； 【小问2详解】 解：， 由①得：； 由②得：， ∴原不等式组的解集为：． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，12 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，整式的乘法，整式的加减等运算，解题的关键是熟练掌握整式的乘法运算法则． 利用完全平方公式，单项式乘多项式，平方差公式进行化简，然后代入求值即可． 【详解】解： ； 将代入上式得， 原式． 21. （1）已知一个多边形的内角和比它的外角和的3倍还多，求这个多边形的边数； （2）已知一个多边形的每一个外角都相等，一个内角与一个外角的度数之比为，求这个多边形的边数． 【答案】（1）9（2）11 【解析】 【分析】本题主要考查了求多边形的边数，多边形内角和和外角和定理以及一元一次方程的应用． （1）设这个多边形的边数为n，利用一个多边形的内角和比它的外角和的3倍还多列一元一次方程求解即可得出答案． （2）设这个多边形一个内角的度数为，则一个外角的度数为，根据题意，列一元一次方程求解出x，再利用多边形外角为即可求出答案． 【详解】解：（1）设这个多边形的边数为n， 根据题意，得， 解得， 所以这个多边形的边数为9． （2）设这个多边形一个内角的度数为，则一个外角的度数为， 根据题意，得，解得． ∴， 所以这个多边形的边数为11． 22. 如图，在正方形网格中，点A、B、C均在格点上． （1）画出，使和关于直线l成轴对称； （2）把绕C点顺时针旋转，在网格中画出旋转后得到的； （3）在直线l上画出点P，使得最小． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2）如图所示，即为所求； （3） 如图，点P即为所求； 【解析】 【分析】（1）根据轴对称图形的特点找到A、B、C对应点的位置，然后顺次连接即可； （2）根据旋转方式找到A、B对应点的位置，然后顺次连接即可． （3）如图所示，连接交直线l于P，点P即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图所示，连接交直线l于P， ∵关于直线l对称， ∴， ∴， ∴当三点共线时，最小，即最小， ∴图中点P即为所求． 【点睛】本题主要考查了画旋转图形，画轴对称图形，轴对称最短路径问题等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 23. 如图，点F在线段上，点E，G在线段上，． （1）求证：； （2）若于点H，平分，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要查了平行线的性质和判定，直角三角形的性质． （1）根据，可得，从而得到，即可求证； （2）根据，可得，再根据角平分线的性质可得，再由直角三角形的性质，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 24. 甲、乙两工程队承接某段隧道挖掘工程，已知该段隧道长度为600米，甲工程队每天挖掘的长度是乙工程队每天挖掘长度的倍，甲、乙两工程队合作4天完成该工程的． （1）求甲、乙两个工程队每天分别可挖掘隧道多少米． （2）若甲工程队先单独挖掘若干天后，剩下的工程再由乙工程队单独完成，总费用刚好94万元．已知甲工程队每天的挖掘费用为5万元，乙工程队每天的挖掘费用为3万元，求甲工程队单独挖掘的天数． 【答案】（1）甲工程队每天可挖掘隧道30米，乙工程队每天可挖掘隧道20米 （2）8天 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是列出方程； （1）设乙工程队每天可挖掘隧道米，则甲工程队每天可挖掘隧道1.5米，根据甲、乙两工程队合作4天完成该工程的列出等式； （2）设甲工程队单独挖掘天，得出乙工程队挖掘天，再根据总费用为94万元建立等式求解． 【小问1详解】 解：设乙工程队每天可挖掘隧道米，则甲工程队每天可挖掘隧道1.5米． 由题意得，． 解得． ． 答：甲工程队每天可挖掘隧道30米，乙工程队每天可挖掘隧道20米． 【小问2详解】 解：设甲工程队单独挖掘天，则乙工程队挖掘天， 即天． 由题意得，． 解得． 答：甲工程队单独挖掘8天． 25. 定义运算：，已知，． （1）直接写出：______，______； （2）若关于的不等式组无解，求的取值范围； （3）若的解集为，求不等式的解集． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据定义的新运算，列出二元一次方程组，解方程组可求出，的值； （2）根据（1）求出的，的值和新运算列出一元一次不等式组，解不等式组并根据不等式组解集的情况可求出的取值范围； （3）根据（1）求出的，的值和新运算列出一元一次不等式，根据解集为可得出与的数量关系；再根据，的值和新运算列出一元一次不等式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得： ， 解得：， 故答案为：；； 【小问2详解】 把，代入得， ∴不等式组可转化为， 解得：， ∵关于的不等式组无解， ∴， 解得：， ∴的取值范围是； 【小问3详解】 不等式转化为， 整理，得：， ∵的解集为， ∴，解得：， ∴， ∴， ∴， 解得：， 不等式转化为， 整理，得：， ∴， ∴， ∴， ∴不等式的解集为． 【点睛】本题考查二元一次方程组的解法、一元一次不等式的解法和一元一次不等式组的解法．掌握二元一次方程组的解法、一元一次不等式组的解法是解题的关键． 26. 如图1，将一副三角板按图中所示位置摆放，点在直线上，且，与相交于点，其中，，，，． （1）求此时的度数； （2）若三角板绕点按顺时针方向旋转，当时，求此时的度数； （3）在（2）的前提下，三角板绕点按逆时针方向以每秒的速度旋转，设旋转的时间为秒，当时，在这个旋转过程中，是否还存在三角板的某一条边与平行的情况？若存在，请求出所有满足题意的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，的值为15秒或45秒或60秒 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质、一元一次方程的应用，熟练掌握平行线的性质是解此题的关键． （1）过作，由平行线的性质得出，，再由计算即可得出答案； （2）过F作．由平行线的性质得出，，再由计算即可得出答案； （3）分三种情况：当时，当时，当时，过作，分别利用平行线的性质建立方程，解方程即可得出答案． 【小问1详解】 解：如图1，过作． ∴，， ∴． ∴，， ∴． 【小问2详解】 解：如图2，过F作． ∵，， ∴． ∴，， ∴． 【小问3详解】 解：如图3，当时， ∵，， ∴， ∴． ∴， 解得：． 如图4，当时， ∵，， ∴． ∴， 解得：． 如图5，当时，过作． ∵，， ∴． ∴，． ∴， 解得：． 综上，三角板旋转的时间为15秒或45秒或60秒时，存在三角板的某一条边与平行的情况． 故答案为：15秒或45秒或60秒． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $