第1章 问题解决策略：反思&勾股定理 章末复习-【优化设计】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步测控全优设计(北师大版2024)

☆问题解决 1.小明同学进行了综合与实践活动，请根据下列信息 回答问题 【课题】在放风筝时测量风筝离地面的垂直高度AD 【模型抽象】 E (说明：点A,B,E,D在同一平面内) 【测绘数据】 步骤1：测得水平距离ED的长为15米： 步骤2：根据手中剩余线的长度，计算出风筝线AB 的长为17米； 步骤3：牵线放风筝的手到地面的距离BE的长为 1.8米 (1)求线段AD的长； (2)若想风筝沿DA方向再上升12米，则在BE,ED 长度不变的前提下，小明应该再放出多长的风 筝线？ 2.【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个 三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20cm,3cm, 2cm,A和B是一个台阶上两个相对的端点. 【探究实】 老师让同学们探究：如图①，若A点处有一只蚂蚁要 到B点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到B 点的最短路程是多少？ 20 20 图① 图② ☆向题解决策略：反思。数学 策略：反思 (1)同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将 三级台阶展开成平面图形，可得到长为20cm,宽 为15cm的长方形，连接AB,经过计算得到AB 长度为 cm,就是最短路程. 【变式探究】 (2)如图③是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周 长是30cm,高是8cm,若蚂蚁从点A出发沿着 玻璃杯的侧面爬到点B,则妈蚁爬行的最短距离 为 cm. 图③ 图④ 【拓展应用】 (3)如图④，圆柱形玻璃杯的高为9cm,底面周长为 16cm,在杯内壁离杯底4cm的点A处有一滴蜂 蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿 1cm,且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚊从外壁B 处到内壁A处所爬行的最短路程是多少？（杯壁 厚度不计) 11 数学/第一章勾股定理 章末复习 昼|知识梳理 数格子 酸证方法 人拼图法 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，如果用a,b 勾殿定理 和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2+b2=c2 直角三角形 的判定条件 如果三角形的三边长a,b,c端足a2+b2=c2, 那么这个三角形是直角三角形 求线段的长度 应用在实际生产、生活中的应用 求几何体表面上两点间的最短路径 易错点④将长方体的表面积展开时，情况考虑不全 昼引易错专练 例4有一个长方体纸盒，如图所示，小明所在的数学小 易错点1)忽视直角边与斜边的不确定性导致漏解 组要研究长方体表面上的点A到相对的点B的最短 距离，若长方体的长为12，宽为9，高为5，请你帮助 例1若直角三角形的三边分别为x,8,10,则x2= 该小组求出点A到点B的最短距离.(21.592≈466， 18.442≈340) 拓展训练 1.一直角三角形的三边分别为3,4，x,那么以x为边长 的正方形的面积为 易错点2勾股数与直角三角形的判定条件相混淆 例2下列各组数能构成勾股数的是() A.8,15,17 B.6,7,8 cg号 D.0.9,1.2,1.5 拓展训练 拓展训练 4.如图，长方体的长为5，宽为3，高为12，点B离点C 2.下列几组数中，不能作为直角三角形三边长的是( 的距离为2，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 A.5,12,13 B.3,4,5 A爬到点B,需要爬行的最短距离是 C.6,8,10 D.7,9,11 (易错点3作高构造直角三角形时，忽略纯角三角形 的情况 例3已知△ABC中，AB=17cm,AC=10cm,BC边上 的高AD=8cm,则边BC的长为() A.21 cm 昼引高频考点提升练 B.9cm或21cm C.13 cm 1.下面的三角形ABC中：①∠C=∠A一∠B:②∠A: D.13cm或21cm ∠B:∠C=112:3,③a:b:c=5:12:13:④三边 拓展训练 长分别为兮·子日·其中，直角三角形有( ) 3.已知△ABC中，AB=13,AC=20,第三边BC边上 的高AD=12,则△ABC的面积为 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 12 2.如图，在△ABC中，AB=AC=5,BC=8,D是线段 BC上的动点（不含端点B,C),若线段AD长为正整 数，则点D共有() D A.5个 B.4个C.3个 D.2个 3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，分别以各边为直径 作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底 月牙”，当AC=3,BC=4时，计算阴影部分的面积 为() A.6 B.6 C.10π D.12 4.勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书 《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载. 如左图是由边长相等的小正方形和直角三角形构成 的，可以用其面积关系验证勾股定理.右图是由左图 放人长方形内得到的，∠BAC=90°，AB=3,BC=5, 点D,E,F,G,H,I都在长方形KLMJ的边上，则长 方形KLMJ的面积为( ) A121 B.110 C.100 D.90 5.(湖南邵阳中考)公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注 《周髀算经时，创造了“赵爽弦图”.如图，设勾a=6,弦 c=10,则小正方形ABCD的面积是 股(b) 9 cm 第5题图 第6图 6.(江苏南京中考)无盖圆柱形杯子的展开图如图所 示.将一根长为20cm的细木筷斜放在该杯子内，木 筷露在杯子外面的部分至少有 cm. 7.如图，某自动感应门的正上方A 越应器单A 处装着一个感应器，离地AB= 2.5m,当人体进人感应器的感应 范围内时，感应门就会自动打开 一个身高1.6m的学生CD正对 章末复习。数学 门，缓慢走到离门1.2m的地方时(BC=1.2m),感应 门自动打开，则AD=m. 8.如图，AB为一棵大树，在树上距地面10m的D处 有两只猴子，它们同时发现地面上的C处有一筐水 果，一只猴子从D处上爬到树顶A处，利用拉在A 处的滑绳AC滑到C处，另一只猴子从D处滑到地 面B,再由B跑到C处，已知两猴子所经路程都是 15m,求树高AB. 9.一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了 勾股定理的一种新的验证方法.如图所示，火柴盒的 一个侧而ABCD倒下到AB'CD'的位置，连接CC, 设AB=a,BC=b,AC=c,请利用四边形BCCD'的 面积验证勾股定理， 10.如图，在△ABC中，BC=3,AC=4,AB=5,动点P 从点B出发沿射线BC以每秒1个单位的速度移 动，设运动的时间为t (1)求证：△ABC为直角三角形： (2)若△ABP为直角三角形，求t的值； (3)若△ABP为等腰三角形，求t的值. 13在R△EFC中，E=EC+FC 所风市=(8-EF+16 由意知M因= 有A+A一f-B'-MD+D 得P+了=(P=x+9=1P, 解得x=2,厚A制=名， 微专题二利用幻股定理解决最短路径问题 B325144D5.7 1,：(1水厂的位置如图1所 2》如2，在直角兰角月EF中，F-(D-初km BF8D+DF=3D+10=40(km: 由闲限定理，荐3■于+设到十灯k国， E-0k% 铺投及管长皮的能小模为50k, ÷铺设水管所带费用的最小丝为0×3=知（万元， 容：量低得用为15的万元 卷.：把姿魔村用A反所在的高展 开，居所常，作点A美E下 的群点A,接A,交老于点 等于线2AB.作BD⊥AF于点 D,根素题意标在数据《单位：m)妇 国所示：由女数建理，得A8一 A'D+BDF-12+5lMcn). 所以A'B=13m 养，期虹克到馁较零阳行的量短那径长为1多红 女问整解决弟路：反思 L.朝：(1)如图，过点B作BH LAD于H ED 15米HD E-1.8米 在△AH中，∠AHB=,BH=米， L书=17米. 由匀最定星，得 AD-AH+D=8+L8-9.8米 )风等指DM方再上第米后，风等的高度为 20米， 期段时风答线的长为√2+5时=25（米》， 2517=5米3 容：能位该再成出表米线 2翻：1)南的股定理.料 保有上辆交 AB-√2+1西-25(6m3,骏茶宽为政 所以高AB=10+2=12m3 (》将柱展开，短图1， 解：为四义为直角飞 因为R△MOR△ABC', 所以∠RAC-∠AC A 新∠CMC-CC+∠-∠CA+∠C-T 所以S.aw=8:十6e十8a 国1 h盘，得/AC-9-15(cm,C-8cm∠C-, 由勾最定AB√+可-1(cm 所u+-+坐，鱼无，静。+台-之 案为1 1.任：：在△A2中，+AC=子+-25， 如眉2将衰璃杯真展开作日关于E下的对称点 ',作gD⊥AE,癸AE的是长线干点D,蓬模AB, △AC为直角兰角形，∠B=, 2)解：若△ABP为直角已角形，由题意知BP ④当∠APB为直角时，如用1：点P与点C重命， H3,海3： 少当∠8AP为直角时，妇图，P=-表 2 在△ACP中，AP=MC十C严=十一3P, 由题意择 在R△AP中，A形+A甲-BP, E-BB-K(cm)AE-9-4-(cna). ++一3门=，解得1- AE+DE6(cm). 上所述，当△A”为直角三角港时一或一 ÷0-×10-m A-10(cm) ，从外B处到内A 处后走的最餐形为AB'=10m 事末复习 根据专婚 例1364161 43)解：若△ABP为等腰三角稻，由题度如BP=中 防烟销练 ①当BP=AB时，如图1，d54 1.7度5 ⊙背B=P时，如图4，：∠CB9,BP■ 例2A 2C=6,l=61 调年 ®当P=AP时，自图3，AP=B=4,CP=-3, 2.D 在R△ACP中，A严=A十， 悠上述，当△AP为等三角形时一5一4域 解：将因边后ACDF与因边B展在月 平翼上·如周①所示，连接A且， 在RL△LE中，南匀段尼理，得A旷=AE十E 112+41+546写 理，由图心得A普=AC+度C=+仔+3)-340： 出图途得A=AD伊+=《2+5)'+9-7 用黑8”20∠E3名. 所以量短距离为如国②所示线段AB的长度，先时 图4 第二章实数 】认识实数 工解：1授明影正方港的边为，由勾定得 场保祥练 1十”一4，所以阴影亚方形的面积是《也可优通过 4. 制林国得到储果)】 商顺考点线升越 (2)阴那正方形的边长不是有理数.圆为一个是数减分 1.C1C玉A4B5465T.1.5 数的平吉不国能是5，顺层前套正声形的边长不基有 象制：设AD=手m 渊A为(10十)m.AC为(I5n,C为5n (3)国为<5<积，所以阴正方形的边介子,3 银据最定程，得工十D 1 再个整数之间 3D 4.C 乐解：(1)由勾霞室深得w一1'+=10，圈阴卷泽分的到 2的十分位是1，百分位是6，千分位是名 元解：负数桌合-2，--5-，… 分数果合：（一12,1，i4.一） 非角整数集合，{4，，一4一5)-： 浅数集合，{01009001-，-号，一] k解：瑟里每最定理，得一节十1-2，Y=子十1=3 =y+4￥十1-5可y是无 数 C10,写或后 体提能 L 2.c 解：，AD=4,C1,在△ACU 由包舰定理得MC十改C=A, 所以AC=-1=16一1=15m1 因为AC分0， 相用夹竭陕可料AC导 因为3,9m>3m,所以这位同学能拿筑球 4解：能，理幽：设新台布的边长为4，写a=2, 闻得1C1,5.丙为t,>1,3,所红能住 中 1.B1B 答不一，，1,1001001（制将个【之间增 知1个D)等 4解：1)如图0中，△ABC即为所求 (2)如图②中：△A议C串为所求. (3)如图③中，△AC事为断康： 著① 善由 图心 悠素养 :《11不是，用为1C2C4,x2■2，香1122c4 四为0，所以1C2,在1向2之间不存在易外的 (2)不可像，以为任何分数的方不可能塑数 2平方根与立方根 频1藻时算术平考相 1.D2.D3D .解：(网为一144，所以14的草术平根是12， 1=12. (2)因为0，T平=043，所以0,49的算术平方根是L7, 3出为（受）广一气-5子牌位6的算术半方程品 6- 0圆为（受了-(-）了'-是，以(-)的算术 平方根是号即（一了-是