第1章 微专题1 利用勾股定理解决折叠问题&微专题2 利用勾股定理解决最路径问题-【优化设计】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步测控全优设计(北师大版2024)

微专题一 利用勾股定理解决折叠向题。数学 微专题一利用勾股定理解决折叠问题 、类型一)利用勾股定理解决三角形中的折叠问题 类型二)利用勾股定理解决四边形中的折叠问题 1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10,BC=8, 5.如图，在长方形纸片ABCD中，AD=4cm,把纸片沿 将△ABC折叠，使点B与AC的中点D重合，折痕 直线AC折叠，点B落在点E 为EF,则线段BF的长是() 处，AE交DC于点O,若OC= A号 B.2 c. 3 0.16 5cm,则CD的长为( A.6 cm B.7 cm C.8 cm D.10 cm 6.如图，长方形纸片ABCD的长AD=10cm,宽AB= 8cm,AD沿AE折叠，点D正好落在BC上的点F 处，AE是折痕. (1)图中有全等的三角形吗？如果有，请直接写 第1题图 第2题图 出来； 2.如图，在△ABC中，已知AC=3,BC=4,点D为边 (2)求线段BF的长： AB的中点，连接CD,过点A作AE⊥CD于点E,将 (3)求线段EF的长. △ACE沿直线AC翻折到△ACE的位置.若CE∥ AB,则CD= 3.如图，一张三角形纸片ABC,∠C= 90°，AC=8cm,BC=6cm,现将纸 cm 片折叠，使点A与点B重合，那么折 痕长等于cm 4.(江苏宜兴期中)小王剪了两张直角三角形纸片，进 行了如下的操作： 操作一：如图1，将Rt△ABC沿某条直线折叠，使斜 边的两个端点A与B重合，折痕为DE. (1)如果AC=6cm,AB=10cm,可求得△ACD的 周长为 cm; (2)如果∠CAD:∠BAD=1:4,可求得∠B的度数 为 7.如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其 操作二：如图2，小王拿出另一张Rt△ABC纸片，将 沿MN折叠，使点B落在CD边上的点B'处，点A 直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上， 的对应点为A',且BC=3,求AM的长. 且与AE重合，若AC=9cm,AB=15cm,请求出 CD的长 图1 图2 数学/第一章 勾股定理 微专题二利用勾股定理解决最短路径问题 类型一)利用展开图求立体图形中的最短距离 6.如图，在正方形ABCD中，AB=4, E在BC边上，BE=1,F是AC上 1.如图是一个底面为等边三角形的三棱镜，在三棱镜 一动点，则EF十BF的最小值 的侧面上，从顶点A到顶点A'镶有一圈金属丝，已 是 4 知此三棱镜的高为5cm,底面边长为4cm,则这圈 7.如图，A,B两个小镇在河流CD的同 金属丝的长度至少为( 侧，到河流的距离分别为AC=10km,BD=30km,且 A.8 cm B.13 cm CD=30km,现要在河流边修建一自来水厂分别向 C.12 cm D.15 cm 两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万元 (1)请在河流上选择水厂的位置M,使铺设水管的费 用最少.（不写作法，保留作图痕迹） (2)最低费用为多少？ 第1题图 第2题图 2.我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地 上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达 其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看 作一个圆柱，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底 面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后 其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度 是 尺 3.长方体的长、宽、高分别为8,4， 、类型三)综合利用对称解决立体图形中的最短路径问题 5,一只蚂蚁沿着长方体的表面 从点A爬到点B,若蚂蚁爬行 8.如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高 的最短路径长为n,则n2的值 为12cm,底面周长为10cm,在容器内壁离容器底 部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容 为 器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，求蚂蚁吃到 、类型二)利用平移或对称求平面图形中的最短距离 饭粒需爬行的最短路径长， 4.如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=6,BC=10,BD 是∠ABC的平分线.若P,Q分别是BD和AB上的 动点，则PA十PQ的最小值是() A. B.4 c号 D24 第4題图 第5题图 5.如图所示，在高3m,斜坡5m的楼梯表面铺地毯，地 毯的长度至少要 m 10正文参 第一章勾股定理 1探索公段定理 第」滑时视素幻餐定理 库基确 1.A2.C3.C4B56 4解：《I》在：△A风C中，由勾散定重.得十= AB,厚5+12-161=A㎡，所以AR=13, 2在R△AC中，由勾量定理，得+议=AE世，库 2十W5=,风=25一=沟.所以-15. 味视辑 .解：在△AD中，由勾定理，得 B-A+A伊-护 -,所以BD 在R△CD中 所以C-12cm 所以品四5m十5m-支X3X4十宁XX 容，国边带ACD的面积身36cn 3相：是 在△AC中，C=3m.AH=李， 则A=A甲一C=一3=1m), 闵为AC0,所以C=4n,DC4一1=(m), 为E0,所以CE-4m 所8ECE-CB-Im 3P+P-2P20 单素养 解：在△AC中：AB=L5,C-1AC=1, 设H)=,喇CD-14* 由的根定现，得AD■AB一BD=1一r, A㎡=A-C=13'-(14-)', 所以15-之=1子一《1=，厚=52， 解得xa久所以AD=2 第：课时脆短的最定理及其计算 连基福 I.D 2,解：嘴形的地丽积可以表示为2十2×时=2+b。 电道以表示为+N+×三0-+W+6, 5.1 系解：设雀杆的高AB为国，则州子AC的长为《：+ m. 在民△AHC中AB+B=AQ, 十甲(x+1)',解料x■12， 所民A8=12m 容：腹肝约高度为2m 授鲜 1.解：数次编写，D,过点B作D5动上的高眼，嘴 BF一8十w十-十十 2一定是直角三角形吗 考答案 越落的 LA1B3C4D5.Bs.C.848图 ++uk-Tu+I+Irik-al. 中当4-10时-0-2×10-20小-10-1-9 1解：(1)在△A中由段控理， A留-十A=十8=10043)：所AH 14c十1，其中为大于1的自然 0G间 由析叠加∠ACD=0矿，BC=C=4m.CD=CD 《+1=+2+1,所+=2 侧A0C=A8-=10-6=40), 王解：△AD是直角三角形.莲由如下， 设CD=xm,则CD=gm,AD=(-小m 在R:△改D中，曲句段定灌，得 在R△ACD中，南假定重，得A十CD-AD B0=C+CD*4'+-5.测BD-5, A△A80中，BD■5，AB13:AD量l2: CD-3 微以D+BD=1+=16的=13子=AB 南AP+=A,所△AD是直角三角形 解：如图所示，生接AC 中考 3(1使：因为∠ACB一0 在ACD中 AD+AC -2+32-M=Cr, 国为BD1nAE⊥m 断以∠DAC=四 所以2CD8w90”.A5C0 又晖为AB=C m以∠AE+∠CAE=90.所以∠CAE-∠CD. 所以∠RAC=∠ACB45 在△A:和△CDB中 所以∠DAB-∠DAC+∠BAC=0+45=135 ∠AC●B=的 然净考 ∠CAE-∠BCD, 101.H3 A 4解：试，A 《-1+(2=2-2十1十4 所限△AE△CDBCAAS,EC=BD 2+1=4+1=17 5时B=十1-37， 放答案为7,7， 为m一m+品m十5w一+叶 年表秀 解：1山，第二条动长为(2a+描， + .第三条边长为04-《24+)=(2别=0 所g2+ab+-略+.所似+W-之， (2)当年=7时，过也长分月为7,6,7， 角子7+JC16,质联不能胸成角形， 放角三角形两条直角边的早方和等于斜边的早方， 雪第一条边能不需为7如 素养 (3)在2》的条件下，意到■为前数，所以￥只取5 幅(1)@如果直角三角形的条直角边分为e6,斜 或4， =5时.角形的三边长分刚为5,12.1由5十 流者：在直角三角形中，两直输造的平方和等于斜 a51 分为6,14,0由6+ 明，在1中，大正方无的积等于个全等岭直 角三角形的宝积与中料小正方形度积岭程 除上所连，能因境情足条杵的小周是直角三角题意欢， 它们的三边长分捌为5田，12m,甘 甲2=6x4十®一，北前得十-， 3幻服定理的应用 在周2中，大正方带的面积等于国个全等的直角圆角 越基隔 围的图积与中间个正方息到积的礼， 1A1口 a+P=十之b×,化授到g'+一 A解：在民L△O汇D中，由勾澄定乘，特 CD=C-00=1-0,6=36m 在丽名中，保形的面积等干世个直角三角形的面国 断1)=u4a1 的和 C日0.6+t.3a2. m>2.5m 此高度上有，n的余，卡车能看过工程的 (2D 论，5，+S一5 任明“5+云-（号）+：（倍）+品 126+4-30n/》-1gkmh>70km/h 所以试候小汽车超流了， () 临是能 15 六5+8=gm+#-小+s 工解：限没粹离生岭测虞用AB剪开并纳开，周AA'日B 为长尼，如唐所示 图AB=A'-5m ,AA'-=12m-∠M= ∠A'B'B-∠8 所但帮A建棉子最首材料 在R△AA'中 CA=AA'+AB)-1m -AC,过△AC为直角 三角题，且 由延题，可知BD⊥AC于点D,所以可人 民领海的最辽距离为CD 由S=一言A·C一言AC·BD,4即-6×8+ 10=4.8(将量). 在：△DH中，一A海集，H山一4，s海鞋，由勾餐 所D=4,4里 可元最从在点人我国的区城。 1A10AC来器系2 临素养 解：如周，走援CD.并件成限CD的康直早分线，与AB 相安干或E,点E即为两建土特产农购站的地点 DE,CE,AE,BE=0一k 在△ADE中，D=DA+AB,÷D-=m+2。 在R△常中，-C护+ “数售站￡到A菇的肥肉为丝k取 微专题一利用幻殷定平解决折问 2240 14》,所以C-2m, 里据折叠性爱，得AE-AC一9n, 因为AB415m,所以BE=AB-AE6Mm. 度CD=主am.则BD■〔12-x)n, 以+ 得=45，所以D=56m 解：1)有，△ADE△AFE (2)因月△ADE2△MFE, 所以AD=F=10m:DE=EF. 在AA腰中，P=A一A里=10间-64=36)， 德装0-m-m 所以FC=4 在R△EFC中，E=EC+FC 所风市=(8-EF+16 由意知M因= 有A+A一f-B'-MD+D 得P+了=(P=x+9=1P, 解得x=2,厚A制=名， 微专题二利用幻股定理解决最短路径问题 B325144D5.7 1,：(1水厂的位置如图1所 2》如2，在直角兰角月EF中，F-(D-初km BF8D+DF=3D+10=40(km: 由闲限定理，荐3■于+设到十灯k国， E-0k% 铺投及管长皮的能小模为50k, ÷铺设水管所带费用的最小丝为0×3=知（万元， 容：量低得用为15的万元 卷.：把姿魔村用A反所在的高展 开，居所常，作点A美E下 的群点A,接A,交老于点 等于线2AB.作BD⊥AF于点 D,根素题意标在数据《单位：m)妇 国所示：由女数建理，得A8一 A'D+BDF-12+5lMcn). 所以A'B=13m 养，期虹克到馁较零阳行的量短那径长为1多红 女问整解决弟路：反思 L.朝：(1)如图，过点B作BH LAD于H ED 15米HD E-1.8米 在△AH中，∠AHB=,BH=米， L书=17米. 由匀最定星，得 AD-AH+D=8+L8-9.8米 )风等指DM方再上第米后，风等的高度为 20米， 期段时风答线的长为√2+5时=25（米》， 2517=5米3 容：能位该再成出表米线 2翻：1)南的股定理.料 保有上辆交 AB-√2+1西-25(6m3,骏茶宽为政 所以高AB=10+2=12m3 (》将柱展开，短图1， 解：为四义为直角飞 因为R△MOR△ABC', 所以∠RAC-∠AC A 新∠CMC-CC+∠-∠CA+∠C-T 所以S.aw=8:十6e十8a 国1 h盘，得/AC-9-15(cm,C-8cm∠C-, 由勾最定AB√+可-1(cm 所u+-+坐，鱼无，静。+台-之 案为1 1.任：：在△A2中，+AC=子+-25， 如眉2将衰璃杯真展开作日关于E下的对称点 ',作gD⊥AE,癸AE的是长线干点D,蓬模AB, △AC为直角兰角形，∠B=, 2)解：若△ABP为直角已角形，由题意知BP ④当∠APB为直角时，如用1：点P与点C重命， H3,海3： 少当∠8AP为直角时，妇图，P=-表 2 在△ACP中，AP=MC十C严=十一3P, 由题意择 在R△AP中，A形+A甲-BP, E-BB-K(cm)AE-9-4-(cna). ++一3门=，解得1- AE+DE6(cm). 上所述，当△A”为直角三角港时一或一 ÷0-×10-m A-10(cm) ，从外B处到内A 处后走的最餐形为AB'=10m 事末复习 根据专婚 例1364161 43)解：若△ABP为等腰三角稻，由题度如BP=中 防烟销练 ①当BP=AB时，如图1，d54 1.7度5 ⊙背B=P时，如图4，：∠CB9,BP■ 例2A 2C=6,l=61 调年 ®当P=AP时，自图3，AP=B=4,CP=-3, 2.D 在R△ACP中，A严=A十， 悠上述，当△AP为等三角形时一5一4域 解：将因边后ACDF与因边B展在月 平翼上·如周①所示，连接A且， 在RL△LE中，南匀段尼理，得A旷=AE十E 112+41+546写 理，由图心得A普=AC+度C=+仔+3)-340： 出图途得A=AD伊+=《2+5)'+9-7 用黑8”20∠E3名. 所以量短距离为如国②所示线段AB的长度，先时 图4 第二章实数 】认识实数 工解：1授明影正方港的边为，由勾定得 场保祥练 1十”一4，所以阴影亚方形的面积是《也可优通过 4. 制林国得到储果)】 商顺考点线升越 (2)阴那正方形的边长不是有理数.圆为一个是数减分 1.C1C玉A4B5465T.1.5 数的平吉不国能是5，顺层前套正声形的边长不基有 象制：设AD=手m 渊A为(10十)m.AC为(I5n,C为5n (3)国为<5<积，所以阴正方形的边介子,3 银据最定程，得工十D 1 再个整数之间 3D 4.C 乐解：(1)由勾霞室深得w一1'+=10，圈阴卷泽分的到 2的十分位是1，百分位是6，千分位是名 元解：负数桌合-2，--5-，… 分数果合：（一12,1，i4.一） 非角整数集合，{4，，一4一5)-： 浅数集合，{01009001-，-号，一] k解：瑟里每最定理，得一节十1-2，Y=子十1=3 =y+4￥十1-5可y是无 数 C10,写或后 体提能 L 2.c 解：，AD=4,C1,在△ACU 由包舰定理得MC十改C=A, 所以AC=-1=16一1=15m1 因为AC分0， 相用夹竭陕可料AC导 因为3,9m>3m,所以这位同学能拿筑球 4解：能，理幽：设新台布的边长为4，写a=2, 闻得1C1,5.丙为t,>1,3,所红能住 中 1.B1B 答不一，，1,1001001（制将个【之间增 知1个D)等 4解：1)如图0中，△ABC即为所求 (2)如图②中：△A议C串为所求. (3)如图③中，△AC事为断康： 著① 善由 图心 悠素养 :《11不是，用为1C2C4,x2■2，香1122c4 四为0，所以1C2,在1向2之间不存在易外的 (2)不可像，以为任何分数的方不可能塑数 2平方根与立方根 频1藻时算术平考相 1.D2.D3D .解：(网为一144，所以14的草术平根是12， 1=12. (2)因为0，T平=043，所以0,49的算术平方根是L7, 3出为（受）广一气-5子牌位6的算术半方程品 6- 0圆为（受了-(-）了'-是，以(-)的算术 平方根是号即（一了-是