第1章 3 勾股定理的应用-【优化设计】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步测控全优设计(北师大版2024)

勾股定 3 恩|练基础 千里之行始于足下 (知识点一)勾股定理的简单应用 1.如图所示，工人师傅砌墙安门时，常用木条EF固定长 方形门框ABCD,使其不变形，若CF=120cm,CE 50cm,那么选取的木条EF的长度至少为() A.130 cm B.150 cm C.170 cm D.200 cm 24 第1题图 第2题图 2.如图所示，有一块边长为24m的正方形绿地，在绿 地旁边B处有健身器材，由于居住在A处的居民践 踏了绿地，小明想在A处竖立一个标牌“少走◇米， 踏之何忍？”请你计算后帮小明在标牌的“◇”处填上 适当的数字，应为() A.3 m B.4 m C.5 m D.6m 知识点二勾股定理的实际应用 3.一辆装满货物的卡车，其外形高2.5m,宽1.6m,要 开进厂门形状如图中的某工厂，问这辆卡车能否通 过该工厂的厂门？ 2.31 H -2 m 3勾股定理的应用。数学 理的应用 4.《中华人民共和国交通安全法》规定：小汽车在城市 街路上行驶速度不得超过70km/h.如图，一辆小汽 车在一条城市衡路上直通行驶到车速检测仪A的正 前方50mC处，过了4s后行驶到B处，此时测得小 汽车与车速检测仪A之间距离为130m,这辆小汽 车超速了吗？ B 观测点 |练提能 百尺竿头更进一步 拓展点一)生活中的最短路线问题 1.如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意 图，该U型池可以看成是一个长方体去掉一个“半圆 柱“而成，中间可供滑行都分的截面是直径为只m 的半圆，其边缘AB=CD=20m,点E在CD上， CE=5m,一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行 的最短距离约为m.(边缘部分的厚度忽略不计) 20 2.有一圆柱形油罐，如图所示，已知油罐的底面周长是 12m,高AB=5m,要以A点环绕油罐建梯子，正好 到点A的正上方B点，问梯子最短需多少米？ 7 数学/第一章勾股定理 4.(江苏扬州中考)《九章算术》是中国传统数学的重要 拓展点二勾股定理及其直角三角形判别条件的综合应用 著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架.如图所 3.如图所示，南北方向的领海线PQ以东为我国领海 示是其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈， 区域，以西为公海.某日22点30分，我边防反偷渡 末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”意是：一根竹 巡逻艇A发现其正西方向有一可疑船只C向我国的 子原高一丈(1丈=10尺)，中部有一处折断，竹梢触 领海靠近，便立即通知正处于PQ上的巡逻艇B注 地面处离竹根三尺，试问折断处离地面多高？答：折 意其动向.经观测，发现A艇与可疑船只C之间的距 断处离地面 尺高， 离为10海里，A,B两艇之间的距离为6海里，B艇 与可疑船只C之间的距离为8海里，若该可疑船只 的航行速度为12.8海里/时，则它最早可在何时进 人我国的领海区域？ 第4题图 第5题图 5.(湖北黄冈中考)我国古代数学著作？九章算术》中有这 样一个问题：“今有池方一丈，葭(jā)生其中央，出水 一尺.引葭赴岸，适与岸齐.问水深几何？”（注：丈、尺是 长度单位，1丈-10尺)这段话翻译成现代汉语，即为： 雙|练中考感受中考挑战自我 如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形， 在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这 1.校园内有两棵树，相距8m,一棵树高13m,另一棵 根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边 树高7m,一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的 的水面，则水池里水的深度是 尺 顶端，小鸟至少要飞( A.10mB.11m C.12m D.13m 引练素养 探究创新发展素养 2.如图是一个台阶示意图，每一 层台阶的高都是20cm,宽都是 铁路上A,B两站（视为直线上的两点）相距50km,C, 50cm,长都是40cm,一只蚂蚁 D为两村庄（视为两个点），DA LAB于点A,CB⊥AB 20 沿台阶从A点出发到B点，其 50 于点B(如图).已知DA=20km,CB=10km,现在要 爬行的最短路线的长度是() 在铁路AB上建一个土特产收购站E,使得C,D两村 庄到收购站E的直线距离相等，请你设计出收购站的 A.100 cm B.120 cm C.130 cm D.150 cm 位置，并计算出收购站E到A站的距离。 3.(广西北部湾中考)《九章算术》是古代东方数学代表 D 作，书中记载：“今有开门去画（读kǔ，门槛的意思） 一尺，不合二寸，问门广儿何？”题目大意是：如图1,2 (图2为图1的平面示意图)，推开双门，双门间隙 CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为 1尺(1尺=10寸)，则AB的长是( 2寸 1尺、DC 门槛 图1 图2 A.50.5寸B.52寸 C.101寸 D.104寸正文参 第一章勾股定理 1探索公段定理 第」滑时视素幻餐定理 库基确 1.A2.C3.C4B56 4解：《I》在：△A风C中，由勾散定重.得十= AB,厚5+12-161=A㎡，所以AR=13, 2在R△AC中，由勾量定理，得+议=AE世，库 2十W5=,风=25一=沟.所以-15. 味视辑 .解：在△AD中，由勾定理，得 B-A+A伊-护 -,所以BD 在R△CD中 所以C-12cm 所以品四5m十5m-支X3X4十宁XX 容，国边带ACD的面积身36cn 3相：是 在△AC中，C=3m.AH=李， 则A=A甲一C=一3=1m), 闵为AC0,所以C=4n,DC4一1=(m), 为E0,所以CE-4m 所8ECE-CB-Im 3P+P-2P20 单素养 解：在△AC中：AB=L5,C-1AC=1, 设H)=,喇CD-14* 由的根定现，得AD■AB一BD=1一r, A㎡=A-C=13'-(14-)', 所以15-之=1子一《1=，厚=52， 解得xa久所以AD=2 第：课时脆短的最定理及其计算 连基福 I.D 2,解：嘴形的地丽积可以表示为2十2×时=2+b。 电道以表示为+N+×三0-+W+6, 5.1 系解：设雀杆的高AB为国，则州子AC的长为《：+ m. 在民△AHC中AB+B=AQ, 十甲(x+1)',解料x■12， 所民A8=12m 容：腹肝约高度为2m 授鲜 1.解：数次编写，D,过点B作D5动上的高眼，嘴 BF一8十w十-十十 2一定是直角三角形吗 考答案 越落的 LA1B3C4D5.Bs.C.848图 ++uk-Tu+I+Irik-al. 中当4-10时-0-2×10-20小-10-1-9 1解：(1)在△A中由段控理， A留-十A=十8=10043)：所AH 14c十1，其中为大于1的自然 0G间 由析叠加∠ACD=0矿，BC=C=4m.CD=CD 《+1=+2+1,所+=2 侧A0C=A8-=10-6=40), 王解：△AD是直角三角形.莲由如下， 设CD=xm,则CD=gm,AD=(-小m 在R:△改D中，曲句段定灌，得 在R△ACD中，南假定重，得A十CD-AD B0=C+CD*4'+-5.测BD-5, A△A80中，BD■5，AB13:AD量l2: CD-3 微以D+BD=1+=16的=13子=AB 南AP+=A,所△AD是直角三角形 解：如图所示，生接AC 中考 3(1使：因为∠ACB一0 在ACD中 AD+AC -2+32-M=Cr, 国为BD1nAE⊥m 断以∠DAC=四 所以2CD8w90”.A5C0 又晖为AB=C m以∠AE+∠CAE=90.所以∠CAE-∠CD. 所以∠RAC=∠ACB45 在△A:和△CDB中 所以∠DAB-∠DAC+∠BAC=0+45=135 ∠AC●B=的 然净考 ∠CAE-∠BCD, 101.H3 A 4解：试，A 《-1+(2=2-2十1十4 所限△AE△CDBCAAS,EC=BD 2+1=4+1=17 5时B=十1-37， 放答案为7,7， 为m一m+品m十5w一+叶 年表秀 解：1山，第二条动长为(2a+描， + .第三条边长为04-《24+)=(2别=0 所g2+ab+-略+.所似+W-之， (2)当年=7时，过也长分月为7,6,7， 角子7+JC16,质联不能胸成角形， 放角三角形两条直角边的早方和等于斜边的早方， 雪第一条边能不需为7如 素养 (3)在2》的条件下，意到■为前数，所以￥只取5 幅(1)@如果直角三角形的条直角边分为e6,斜 或4， =5时.角形的三边长分刚为5,12.1由5十 流者：在直角三角形中，两直输造的平方和等于斜 a51 分为6,14,0由6+ 明，在1中，大正方无的积等于个全等岭直 角三角形的宝积与中料小正方形度积岭程 除上所连，能因境情足条杵的小周是直角三角题意欢， 它们的三边长分捌为5田，12m,甘 甲2=6x4十®一，北前得十-， 3幻服定理的应用 在周2中，大正方带的面积等于国个全等的直角圆角 越基隔 围的图积与中间个正方息到积的礼， 1A1口 a+P=十之b×,化授到g'+一 A解：在民L△O汇D中，由勾澄定乘，特 CD=C-00=1-0,6=36m 在丽名中，保形的面积等干世个直角三角形的面国 断1)=u4a1 的和 C日0.6+t.3a2. m>2.5m 此高度上有，n的余，卡车能看过工程的 (2D 论，5，+S一5 任明“5+云-（号）+：（倍）+品 126+4-30n/》-1gkmh>70km/h 所以试候小汽车超流了， () 临是能 15 六5+8=gm+#-小+s 工解：限没粹离生岭测虞用AB剪开并纳开，周AA'日B 为长尼，如唐所示 图AB=A'-5m ,AA'-=12m-∠M= ∠A'B'B-∠8 所但帮A建棉子最首材料 在R△AA'中 CA=AA'+AB)-1m -AC,过△AC为直角 三角题，且 由延题，可知BD⊥AC于点D,所以可人 民领海的最辽距离为CD 由S=一言A·C一言AC·BD,4即-6×8+ 10=4.8(将量). 在：△DH中，一A海集，H山一4，s海鞋，由勾餐 所D=4,4里 可元最从在点人我国的区城。 1A10AC来器系2 临素养 解：如周，走援CD.并件成限CD的康直早分线，与AB 相安干或E,点E即为两建土特产农购站的地点 DE,CE,AE,BE=0一k 在△ADE中，D=DA+AB,÷D-=m+2。 在R△常中，-C护+ “数售站￡到A菇的肥肉为丝k取 微专题一利用幻殷定平解决折问 2240 14》,所以C-2m, 里据折叠性爱，得AE-AC一9n, 因为AB415m,所以BE=AB-AE6Mm. 度CD=主am.则BD■〔12-x)n, 以+ 得=45，所以D=56m 解：1)有，△ADE△AFE (2)因月△ADE2△MFE, 所以AD=F=10m:DE=EF. 在AA腰中，P=A一A里=10间-64=36)， 德装0-m-m 所以FC=4