第1章 1 第2课时 验证勾股定理及其计算-【优化设计】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步测控全优设计(北师大版2024)

正文参 第一章勾股定理 1探索公段定理 第」滑时视素幻餐定理 库基确 1.A2.C3.C4B56 4解：《I》在：△A风C中，由勾散定重.得十= AB,厚5+12-161=A㎡，所以AR=13, 2在R△AC中，由勾量定理，得+议=AE世，库 2十W5=,风=25一=沟.所以-15. 味视辑 .解：在△AD中，由勾定理，得 B-A+A伊-护 -,所以BD 在R△CD中 所以C-12cm 所以品四5m十5m-支X3X4十宁XX 容，国边带ACD的面积身36cn 3相：是 在△AC中，C=3m.AH=李， 则A=A甲一C=一3=1m), 闵为AC0,所以C=4n,DC4一1=(m), 为E0,所以CE-4m 所8ECE-CB-Im 3P+P-2P20 单素养 解：在△AC中：AB=L5,C-1AC=1, 设H)=,喇CD-14* 由的根定现，得AD■AB一BD=1一r, A㎡=A-C=13'-(14-)', 所以15-之=1子一《1=，厚=52， 解得xa久所以AD=2 第：课时脆短的最定理及其计算 连基福 I.D 2,解：嘴形的地丽积可以表示为2十2×时=2+b。 电道以表示为+N+×三0-+W+6, 5.1 系解：设雀杆的高AB为国，则州子AC的长为《：+ m. 在民△AHC中AB+B=AQ, 十甲(x+1)',解料x■12， 所民A8=12m 容：腹肝约高度为2m 授鲜 1.解：数次编写，D,过点B作D5动上的高眼，嘴 BF一8十w十-十十 2一定是直角三角形吗 考答案 越落的 LA1B3C4D5.Bs.C.848图 ++uk-Tu+I+Irik-al. 中当4-10时-0-2×10-20小-10-1-9 1解：(1)在△A中由段控理， A留-十A=十8=10043)：所AH 14c十1，其中为大于1的自然 0G间 由析叠加∠ACD=0矿，BC=C=4m.CD=CD 《+1=+2+1,所+=2 侧A0C=A8-=10-6=40), 王解：△AD是直角三角形.莲由如下， 设CD=xm,则CD=gm,AD=(-小m 在R:△改D中，曲句段定灌，得 在R△ACD中，南假定重，得A十CD-AD B0=C+CD*4'+-5.测BD-5, A△A80中，BD■5，AB13:AD量l2: CD-3 微以D+BD=1+=16的=13子=AB 南AP+=A,所△AD是直角三角形 解：如图所示，生接AC 中考 3(1使：因为∠ACB一0 在ACD中 AD+AC -2+32-M=Cr, 国为BD1nAE⊥m 断以∠DAC=四 所以2CD8w90”.A5C0 又晖为AB=C m以∠AE+∠CAE=90.所以∠CAE-∠CD. 所以∠RAC=∠ACB45 在△A:和△CDB中 所以∠DAB-∠DAC+∠BAC=0+45=135 ∠AC●B=的 然净考 ∠CAE-∠BCD, 101.H3 A 4解：试，A 《-1+(2=2-2十1十4 所限△AE△CDBCAAS,EC=BD 2+1=4+1=17 5时B=十1-37， 放答案为7,7， 为m一m+品m十5w一+叶 年表秀 解：1山，第二条动长为(2a+描， + .第三条边长为04-《24+)=(2别=0 所g2+ab+-略+.所似+W-之， (2)当年=7时，过也长分月为7,6,7， 角子7+JC16,质联不能胸成角形， 放角三角形两条直角边的早方和等于斜边的早方， 雪第一条边能不需为7如 素养 (3)在2》的条件下，意到■为前数，所以￥只取5 幅(1)@如果直角三角形的条直角边分为e6,斜 或4， =5时.角形的三边长分刚为5,12.1由5十 流者：在直角三角形中，两直输造的平方和等于斜 a51 分为6,14,0由6+ 明，在1中，大正方无的积等于个全等岭直 角三角形的宝积与中料小正方形度积岭程 除上所连，能因境情足条杵的小周是直角三角题意欢， 它们的三边长分捌为5田，12m,甘 甲2=6x4十®一，北前得十-， 3幻服定理的应用 在周2中，大正方带的面积等于国个全等的直角圆角 越基隔 围的图积与中间个正方息到积的礼， 1A1口 a+P=十之b×,化授到g'+一 A解：在民L△O汇D中，由勾澄定乘，特 CD=C-00=1-0,6=36m 在丽名中，保形的面积等干世个直角三角形的面国 断1)=u4a1 的和 C日0.6+t.3a2. m>2.5m 此高度上有，n的余，卡车能看过工程的 (2D 论，5，+S一5 任明“5+云-（号）+：（倍）+品 126+4-30n/》-1gkmh>70km/h 所以试候小汽车超流了， () 临是能 15 六5+8=gm+#-小+s 工解：限没粹离生岭测虞用AB剪开并纳开，周AA'日B 为长尼，如唐所示 图AB=A'-5m ,AA'-=12m-∠M= ∠A'B'B-∠8 所但帮A建棉子最首材料 在R△AA'中 CA=AA'+AB)-1m -AC,过△AC为直角 三角题，且 由延题，可知BD⊥AC于点D,所以可人 民领海的最辽距离为CD 由S=一言A·C一言AC·BD,4即-6×8+ 10=4.8(将量). 在：△DH中，一A海集，H山一4，s海鞋，由勾餐 所D=4,4里 可元最从在点人我国的区城。 1A10AC来器系2 临素养 解：如周，走援CD.并件成限CD的康直早分线，与AB 相安干或E,点E即为两建土特产农购站的地点 DE,CE,AE,BE=0一k 在△ADE中，D=DA+AB,÷D-=m+2。 在R△常中，-C护+ “数售站￡到A菇的肥肉为丝k取 微专题一利用幻殷定平解决折问 2240 14》,所以C-2m, 里据折叠性爱，得AE-AC一9n, 因为AB415m,所以BE=AB-AE6Mm. 度CD=主am.则BD■〔12-x)n, 以+ 得=45，所以D=56m 解：1)有，△ADE△AFE (2)因月△ADE2△MFE, 所以AD=F=10m:DE=EF. 在AA腰中，P=A一A里=10间-64=36)， 德装0-m-m 所以FC=4第2课时 验证名 恩|练基础 千里之行始于足下 知识点一 勾股定理的验证 1.下列选项中，不能用来验证勾股定理的是( A B D 2.四个全等的直角三角形的直角边 分别为a,b,斜边为c.现把它们 适当拼合，可以得到如图的图形。 利用这个图形可以验证勾股定 理，你能说明其中的道理吗？请 试一试 知识点三应用勾股定理进行计算 3.在Rt△ABC中，斜边AB=2,则AB十AC十BC 等于() A.2 B.4 C.8 D.16 4.如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图， 根据图中的尺寸（单位：mm),计算两圆孔中心间的 距离为 mm. 60 150 180 第4题图 第5题图 5.如图，直线1上有三个正方形a,b,c,若a,c的面积分 别为5和11，则b的面积为 1探术勾股定理。数学 的股定理及其计算 6.学完勾股定理之后，同学们想利用升旗的绳子，卷尺 测算出学校旗杆的高度.小明发现旗杆上的绳子垂 到地面还多了1m,当他把绳子的下端拉开5m后， 发现下端刚好接触地面，请你帮小明求出旗杆的 高度 ☑练提能 百尺竿头更进一地 拓展点)勾股定理的验证方法 1.勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不 同，其中的“面积法”给了小聪以灵感.他惊喜地发 现：当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时， 都可以用“面积法”来证明.下面是小聪利用图1证 明勾股定理的过程： 将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中 ∠DAB=90°，求证：a2+b=c2 图1 图2 证明：连接DB,过点D作BC边上的高DF,DF= EC=b-a. SmamCA-S+Someab SnaweS+Sucaa) ∴28+7b=20+7ab-a.∴d2+8=6 请参照上述证法，利用图2完成下面的证明。 将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中 ∠DAB=90. 求证：a2十=c2. 证明：连接 ,SK边形ACBED一 又"，S五边形MED一 ∴.a2+6=c2. 3 数学/第一章勾股定理 拓展点二利用勾股定理构建方程解决折叠问题 2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm,AC=8cm, 按图中所示方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在 AB边上的点C处，求△ADC的面积. 练中考 感受中考挑战自我 1.下列长度的三条线段能组成锐角三角形的是( A.2,3,4B.2,3,5 C.3,4,4 D.3,4,5 2.(江苏苏州中考)如图，在△ABC中， 已知AB=2,AD⊥BC,垂足为D, BD=2CD.若E是AD的中点，则 EC- 3.(四川巴中中考)如图，等腰直角 三角板如图放置，直角顶点C在直线m上，分别过点 A,B作AE⊥直线m于点E,BD⊥直线m于点D, (1)求证：EC=BD. (2)若设△AEC三边分别为a,b,c,利用此图证明勾 股定理. 三引练素养探究创新发展素养 (湖北随州中考)勾股定理是人类最伟大的十个科学 发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理.在我国 古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记 载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了 一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传 至今 (1)①请叙述勾股定理： ②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方 法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种 来证明该定理：（以下图形均满足证明勾股定 理所需的条件) 图1 图2 图3 (2)①如图4,5,6，以直角三角形的三边为边或直径，分 别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图 形中面积关系满足S,十S=S的有 个： S2 图4 图5 图6 ②如图7所示，分别以直角 三角形三边为直径作半 圆，设图中两个月形图案 (图中阴影部分)的面积 S 分别为S,S,直角三角 图7 形面积为S,请判断S, S2,S的关系并证明； (3)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再 以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形， 重复这一过程就可以得到如图8所示的“勾股 树”.在如图9所示的“勾股树”的某部分图形中， 设大正方形M的边长为定值m,四个小正方形 A,B,C,D的边长分别为a,b,c,d,已知∠1= ∠2=∠3=∠a,则当∠a变化时，回答下列问题： (结果可用含m的式子表示) ①a2+62+c2+d= ②b与c的关系为 ,a与d的关系为 M 图8 图9