精品解析：安徽省临泉第二中学2025-2026学年高二上学期开学摸底检测数学试题

高二开学摸底检测 数学 分值：150分 时间：120分钟 考查范围：高中数学必修一、二+选修一第一、二章 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法运算即可求得复数z，进而求得结果. 【详解】，故，所以的虚部为. 故选：B 2. 已知集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由对数函数单调性解不等式，结合对数函数定义域得到，利用交集概念进行求解. 【详解】由题意得，解得， 故， 所以. 故选：B 3. 若，，，则实数（ ） A. 6 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知可得，再根据垂直的坐标公式即可得出答案. 【详解】把两边平方得：， 所以. 故选：B 4. 已知点分别为圆与圆的任意一点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先判定两圆的位置关系为相离的关系，然后利用几何方法得到的取值范围. 【详解】的圆心为,半径， 的圆心为,半径， 圆心距， ∴两圆相离， ∴， 故选：B. 5. 某商户收集并整理了2023年1月到8月线上和线下收入（单位：万元）的数据，并绘制出如图所示的折线图，则下列结论错误的是（ ） A. 该商户这8个月中，收入最高的是7月 B. 该商户这8个月的线上总收入低于线下总收入 C. 该商户这8个月中，线上、线下收入相差最小的是7月 D. 该商户这8个月中，月收入不少于17万元的频率是 【答案】B 【解析】 【分析】依次计算收入得到A正确，计算线下线上收入知B错误，根据图像知C正确，月收入不少于17万元的有4个月，D正确，得到答案. 【详解】对于选项A：该商户1月到8月的收入依次为16万元、13.5万元、16万元、17万元、17万元、16万元、20万元、17.5万元，A正确； 对于选项B：该商户这8个月的线上总收入为72万元，线下总收入为61万元，B错误； 对于选项C：根据折线图可知，该商户这8个月中，线上、线下收入相差最小的是7月，C正确； 对于选项D：该商户这8个月中，月收入不少于17万元的有4个月，频率为，D正确． 故选：B 6. 已知函数的定义域为，且为奇函数，当时，，则的所有零点之和为（ ） A. B. C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】先由为奇函数，推出关于对称，则，进而求出解析式，则的解析式可求，解出根即可. 【详解】因为为奇函数，所以关于对称， 则关于对称，即， 当时，， 当时，， 则， 所以， 则， 因为，则或， 解得或，所以. 故选：A 7. 已知正三棱台的体积为，，，则与平面ABC所成角的正切值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】解法一：根据台体的体积公式可得三棱台的高，做辅助线，结合正三棱台的结构特征求得，进而根据线面夹角的定义分析求解；解法二：将正三棱台补成正三棱锥，与平面ABC所成角即为与平面ABC所成角，根据比例关系可得，进而可求正三棱锥的高，即可得结果. 【详解】解法一：分别取的中点，则， 可知， 设正三棱台的为， 则，解得， 如图，分别过作底面垂线，垂足为，设， 则，， 可得， 结合等腰梯形可得, 即，解得， 所以与平面ABC所成角的正切值为； 解法二：将正三棱台补成正三棱锥， 则与平面ABC所成角即为与平面ABC所成角， 因为，则， 可知，则， 设正三棱锥的高为，则，解得， 取底面ABC的中心为，则底面ABC，且， 所以与平面ABC所成角正切值. 故选：B. 8. 已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图象的两条对称轴，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数性质，整体代入正弦函数求出函数解析式，计算即可. 【详解】因为函数在区间单调递增，所以直线和直线为函数的两条相邻的对称轴， 所以，，所以，即，则或. 而，即或， 所以或，，即或，， 所以或， 所以或. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. （多选）函数，其中且，则下列结论正确的是（ ） A. 函数是奇函数 B. 方程在上有解 C. 函数的图象过定点 D. 当时，函数在其定义域上为增函数 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据函数单调性的性质，结合奇函数的定义、指数的运算法则、指数函数的单调性逐一判断即可. 【详解】对于A，的定义域为，且，故为奇函数，A正确； 对于BC，，故方程0在上有解，B正确，C错误； 对于D，当时，函数在上单调递增，在上单调递减，故在上单调递增，D正确． 故选：ABD 10. 设A，B为两个随机事件，以下命题正确的为（ ） A. 若A，B是互斥事件，，则 B. 若A，B是对立事件，则 C. 若A，B是独立事件，，则 D. 若，且，则A，B是独立事件 【答案】BC 【解析】 【分析】利用互斥事件与相互独立事件的性质逐一判断即可 【详解】对于A：若，是互斥事件，，，则，故A错误； 对于B：若，是对立事件，则，故B正确； 对于C：若，是独立事件，，，则，也是独立事件，则，故C正确； 对于D：若，则且，则，不是独立事件，故，也不是独立事件，故D错误； 故选：BC 11. 已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 函数最小正周期为 B. 直线是图象的一条对称轴 C. 点是图象的一个对称中心 D. 点是图象的一个对称中心 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，由图可得，从而可求出周期，对于B，由周期求出，将代入解析式中可求出，从而可求出，然后将代入验证即可，对于C，将代入验证，对于D，将代入验证即可. 【详解】设的最小正周期为，由题中图象可知，解得，故A正确． 因为，所以，解得．由题图可知，故． 将点的坐标代入解析式化简得， 因为，所以，解得，故． 当时，，则点是函数图象的对称中心， 则直线不是图象的对称轴，故B错误． 当时，，则点是函数图象的对称中心，故C正确． 当时，，则点不是函数图象的对称中心，故D错误． 故选：AC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 我国火力发电厂大气污染物排放标准规定：排放废气中二氧化硫最高允许浓度为.已知我国某火力发电厂排放废气中二氧化硫的初始浓度为，现通过某种工艺对排放废气进行过滤处理，处理后废气中剩余二氧化硫的浓度（单位：）与处理时间（单位：分钟）满足关系式：，那么从现在起至少经过______分钟才能达到排放标准.（参考数据：，结果取整数） 【答案】16 【解析】 【分析】由题意得到不等式，两边取对数，得到，代入，求出答案. 【详解】由题意得， 即， 故， 因为， 所以， 故， 所以从现在起至少经过16分钟，才能达到排放标准. 故答案为：16 13. 在长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成角的余弦值. 【详解】解答：解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系， ∵在长方体中，， ，， 设异面直线与所成角为， 则， ∴异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为：. 【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查运算求解能力，是基础题. 14. 在如下图的的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有1个方格被选中，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最小值是_____. 8 27 32 62 3 23 37 63 6 27 38 66 5 26 39 66 【答案】126 【解析】 【分析】先按列分析，可知十位数是固定，利用列举法写出所有个位数的可能结果，即可求解. 【详解】先按列分析，每列必选出一个数，所选4个数的十位数字分别为0，2，3，6， 若选中方格中的4个数之和的最小值，则需要个位数之和最小， 每种选法可标记为，分别表示第一、二、三、四列的个位数字， 则所有的可能结果为： ， ， ， ， 此时最小为， 所以选中的方格中，的4个数之和最小，为. 故答案为：126. 【点睛】关键点点睛：关解决本题的关键是先确定十位数，再确定个位数，利用列举法写出所有的可能结果. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 一个大风车的半径为8米，风车按逆时针方向匀速旋转，并且12分钟旋转一周，它的最低点离地面2米，设风车开始旋转时其翼片的一个端点在风车的最低点，求： （1）点离地面距离（米与时间（分钟）之间的函数关系式； （2）在第一圈的什么时间段点离地面的高度超过14米？ 【答案】（1），；（2）． 【解析】 【分析】（1）设，由题意求得各参数值，得解析式； （2）解不等式可得． 【详解】（1）设， 由题意得：，，； 则，当时，，即； 因此，； 因此，，； （2）由题意：，即：； 则：； 又因为， 所以． 16. 已知为的三内角，且其对边分别为，若. （1）求； （2）若，，求的面积. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得，由于，可求的值，结合，可求A的值. （2）由已知利用余弦定理可求bc的值，进而根据三角形的面积公式即可得解. 【详解】解：（1）∵， ∴由正弦定理可得：， 整理得， 即：， 所以， ∵，∴， ∵，∴. （2）由，，由余弦定理得， ∴，即有， ∴， ∴的面积为. 【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题.解题的过程中注意以下公式的灵活应用：、、. 17. 为了深入学习领会党的二十大精神，某高级中学全体学生参加了《二十大知识竞赛》，试卷满分为100分，所有学生成绩均在区间分内，已知该校高一､高二､高三年级的学生人数分别为800､1000､1200现用分层抽样的方法抽取了300名学生的答题成绩，绘制了如下样本频率分布直方图. 年级 样本平均数 样本方差 高一 60 75 高二 63 高三 55 （1）根据样本频率分布直方图估计该校全体学生成绩的众数､平均数､第71百分位数； （2）已知所抽取各年级答题成绩的平均数､方差的数据如下表，且根据频率分布直方图估计出总成绩的方差为140，求高三年级学生成绩的平均数，和高二年级学生成绩的方差. 【答案】（1）；；； （2），. 【解析】 【分析】（1）根据给定的频率分布直方图，利用频率分布直方图估计众数、平均数、百分位数的方法求解作答. （2）根据表中数据，利用分层抽样结合平均数、方差的定义计算作答. 【小问1详解】 由频率分布直方图知，学生成绩在内的频率分别为： ，显然学生成绩在内频率最大， 所以估计该校全体学生成绩的众数为； 平均数； 显然第71百分位数，由，解得， 所以第71百分位数为. 【小问2详解】 显然样本中高一、高二、高三年分别抽取了人、人、人， 记样本中高一学生的成绩为，高二学生的成绩为， 高三学生的成绩为， 于是，，， 因此，解得， 样本中三个年级成绩的方差， 高一、高二、高三年级学生成绩的平均数分别为，方差分别为， 则有，， ， 同理，， 因此 ，解得， 所以估计高三年级学生成绩的平均数，高二年级学生成绩的方差. 18. 已知为偶函数，为奇函数，且满足． （1）求，； （2）若，且方程有三个解，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】（1）结合函数奇偶性将代入条件中可得答案； （2）转化为、共有三个解求的取值范围，结合图象可得答案. 【小问1详解】 因为为偶函数，为奇函数，所以，， 由①， 得即②， ①②可得， ①②可得； 【小问2详解】 由（1）， 方程， 可得或， 即或， 当时，由下图可得与的图象有两个交点， 所以要使方程有三个解， 只需有一解即可， 即与的图象只有一个交点即可， 由图象可得或， 解得或. 综上，实数的取值范围为或． 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键点是转化为，有三个解求的取值范围，结合图象求答案. 19. 如图，在直三棱柱中，，，，点在线段上. （1）若为的中点. （ⅰ）求证：平面； （ⅱ）求点到平面的距离. （2）若，的延长线与直线相交于点，证明：平面平面，并求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）； （2）. 【解析】 【分析】（ⅰ）作出辅助线，得到，故平面； （ⅱ）得到平面，利用等体积法求解点B到平面的距离； （2）证明出平面，所以，因为，所以平面，所以平面平面，利用三角形相似和勾股定理得到，又点E到平面的距离为，从而求出线面角的正弦值. 【小问1详解】 （ⅰ）如图，连接，与相交于点D，则D为的中点，连接DP， 因为P为的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面. （ⅱ）因为P为的中点， 所以点B到平面的距离与点到平面的距离相等，设为h. 因为三棱柱为直三棱柱，所以， 又，，平面，所以平面， 所以点P到平面的距离为， 所以， 又，，， 所以等腰的面积为， 所以，由，得，解得. 所以，点B到平面的距离为. 【小问2详解】 如图，易得，， 因为，，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，且，，平面， 所以平面. 因为平面，所以平面平面. 因为，所以， 因为，所以， 又，所以， 所以，即，得， 所以， 又点E到平面的距离为， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二开学摸底检测 数学 分值：150分 时间：120分钟 考查范围：高中数学必修一、二+选修一第一、二章 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 3. 若，，，则实数（ ） A. 6 B. C. 3 D. 4. 已知点分别为圆与圆的任意一点，则的取值范围是（ ） A B. C. D. 5. 某商户收集并整理了2023年1月到8月线上和线下收入（单位：万元）的数据，并绘制出如图所示的折线图，则下列结论错误的是（ ） A. 该商户这8个月中，收入最高的是7月 B. 该商户这8个月的线上总收入低于线下总收入 C. 该商户这8个月中，线上、线下收入相差最小的是7月 D. 该商户这8个月中，月收入不少于17万元的频率是 6. 已知函数的定义域为，且为奇函数，当时，，则的所有零点之和为（ ） A. B. C. D. 0 7. 已知正三棱台的体积为，，，则与平面ABC所成角的正切值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 8. 已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图象的两条对称轴，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. （多选）函数，其中且，则下列结论正确的是（ ） A. 函数是奇函数 B. 方程在上有解 C. 函数的图象过定点 D. 当时，函数在其定义域上为增函数 10. 设A，B为两个随机事件，以下命题正确的为（ ） A. 若A，B是互斥事件，，则 B. 若A，B是对立事件，则 C. 若A，B独立事件，，则 D. 若，且，则A，B是独立事件 11. 已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 直线是图象的一条对称轴 C. 点是图象的一个对称中心 D. 点是图象的一个对称中心 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 我国火力发电厂大气污染物排放标准规定：排放废气中二氧化硫最高允许浓度为.已知我国某火力发电厂排放废气中二氧化硫的初始浓度为，现通过某种工艺对排放废气进行过滤处理，处理后废气中剩余二氧化硫的浓度（单位：）与处理时间（单位：分钟）满足关系式：，那么从现在起至少经过______分钟才能达到排放标准.（参考数据：，结果取整数） 13. 在长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为__________. 14. 在如下图的的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有1个方格被选中，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最小值是_____. 8 27 32 62 3 23 37 63 6 27 38 66 5 26 39 66 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 一个大风车半径为8米，风车按逆时针方向匀速旋转，并且12分钟旋转一周，它的最低点离地面2米，设风车开始旋转时其翼片的一个端点在风车的最低点，求： （1）点离地面距离（米与时间（分钟）之间的函数关系式； （2）在第一圈的什么时间段点离地面的高度超过14米？ 16. 已知为的三内角，且其对边分别为，若. （1）求； （2）若，，求的面积. 17. 为了深入学习领会党的二十大精神，某高级中学全体学生参加了《二十大知识竞赛》，试卷满分为100分，所有学生成绩均在区间分内，已知该校高一､高二､高三年级的学生人数分别为800､1000､1200现用分层抽样的方法抽取了300名学生的答题成绩，绘制了如下样本频率分布直方图. 年级 样本平均数 样本方差 高一 60 75 高二 63 高三 55 （1）根据样本频率分布直方图估计该校全体学生成绩的众数､平均数､第71百分位数； （2）已知所抽取各年级答题成绩的平均数､方差的数据如下表，且根据频率分布直方图估计出总成绩的方差为140，求高三年级学生成绩的平均数，和高二年级学生成绩的方差. 18. 已知偶函数，为奇函数，且满足． （1）求，； （2）若，且方程有三个解，求实数的取值范围． 19. 如图，在直三棱柱中，，，，点在线段上. （1）若为中点. （ⅰ）求证：平面； （ⅱ）求点到平面的距离. （2）若，的延长线与直线相交于点，证明：平面平面，并求直线与平面所成角的正弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$