精品解析：山东省德州市2025-2026学年高三上学期开学考试数学试题

★优高联考 高三数学试题 2025.9 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1—2页，第Ⅱ卷3—4页，共150分，测试时间120分钟． 注意事项： 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在测试卷上． 第Ⅰ卷 选择题（共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的4个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知向量，，若，则（ ）． A. B. C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由向量共线的坐标表示可得. 【详解】，， 由可得，解得. 故选：B. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知求指数函数的值域，再应用集合的交运算求结果. 【详解】因为，所以，则. 故选：C 3. 已知复数（其中i为虚数单位），则（ ） A B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的除法运算和乘方运算计算得解. 【详解】因为， 所以. 故选：D 4. 在的展开式中，常数项为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】写出二项展开式通项，令的指数为零，求出参数的值，代入通项后即可得解. 【详解】的展开式通项为， 令，解得，所以，展开式中的常数项为. 故选：D. 5. 某工厂生产了500件产品，质检人员测量其长度 (单位: 厘米)，将测量数据分成6组， 整理得到如图所示的频率分布直方图. 如果要让 90% 的产品长度不超过厘米，根据直方图估计，下列最接近的数是（ ） A. 93.5 B. 94.1 C. 94.7 D. 95.5 【答案】C 【解析】 【详解】根据给定的频率分布直方图，结合第90百分位数求出. 【解答】观察频率分布直方图，得， 则，，所以，与最接近的数为. 故选：C 6. 某圆锥母线长为，其侧面积与轴截面面积的比值为，则该圆锥体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，求出圆锥的高及底面半径，进而求出体积. 【详解】设该圆锥的高为，底面半径为，则， 由圆锥侧面积与轴截面面积比值为，得，解得， 所以该圆锥体积为. 故选：B 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为，以为圆心的圆经过点，且与轴正半轴交于点，若线段的中点在上，则的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由对称性，得，设线段的中点为得，由椭圆的定义即可求解. 【详解】设，由题知圆的半径为，且，得为等边三角形， 则，设线段的中点为，则，且， 因为点在上，所以得， 即，即的离心率为. 故选：A. 8. 甲箱中有2个白球和4个黑球，乙箱中有4个白球和2个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，以，分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论错误的是（ ） A. ，互斥 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件概率、全概率公式、互斥事件的概念等知识，逐一分析选项，即可得答案. 【详解】因为每次只取一球，故，是互斥的事件，故A正确； 由题意得，，，， ，故B，D均正确； 因为，故C错误. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求；全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为2 B. 的定义域是 C. 的图象关于点对称 D. 在区间上单调递增 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用正切函数图象与性质一一判定选项即可. 【详解】对于A，由可知其最小正周期，故A正确； 对于B，由可知，故B错误； 对于C，令，，可得，， 所以函数的对称中心为，， 又，，所以的图象关于点对称，故C正确； 对于D，由可知， 又在上递增，故D正确. 故选：ACD 10. 在正方体中，为棱上的动点（不包括两个端点），过点作平面，使得平面，则（ ） A. 平面 B. ∥平面 C. 平面平面 D. 平面∥平面 【答案】BC 【解析】 【分析】利用反证法可判断A、D；由题设得到，再根据，结合线面平行的判定即可判断B；由面面垂直的判断即可判断C. 【详解】对于A，若，因为，所以，因为，所以，矛盾，所以A错误； 对于B，因为平面，所以，因为，且，所以，所以B正确； 对于C，因为平面，且，所以平面，所以C正确； 对于D，若平面，因为，所以平面，又平面，矛盾，所以D错误． 故选：BC 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与在第一、四象限的交点分别为，与轴的交点为，，则（ ） A. 直线的斜率为 B. 的离心率为2 C. 到上最近点的距离为 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用三角形全等来计算点坐标，从而可判断A；通过点坐标代入双曲线方程求离心率，从而可判断B；通过点到直线的距离可判断C；通过联立方程组，利用坐标运算可判断D. 【详解】对于A，记双曲线的焦距为，则，， 由，，根据勾股定理得， 如图过点作轴的垂线，垂足为， 由，可得， 因此，，，即， 所以，选项A正确； 对于B，将代入双曲线方程可得，即， 再将代入得，即， 解得，所以的离心率为，选项B正确； 对于C，由可知，且双曲线的渐近线方程为， 则点到双曲线的渐近线的距离为， 所以点到上最近点的距离大于，选项C错误； 对于D，由得， 且双曲线的方程可转化为， 由，得， 将与联立并消去得：， 记，则，解得， 所以，选项D正确. 故选：ABD. 第Ⅱ卷 非选择题（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的图象在点处的切线的斜率为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数的几何意义可求出所求切线的斜率. 【详解】因为，则， 故函数的图象在点处的切线的斜率为. 故答案为：. 13. 已知，函数，若，则________． 【答案】1 【解析】 【分析】令有求参数m，再由求得，再验证所得参数是否满足，即可得结果. 【详解】令，可得，所以， 所以，又， 所以，则，即， 因为，所以，，经验证满足题设， 所以． 故答案为：1 14. 有三个袋子，每个袋子都装有个球，球上分别标有数字.现从每个袋子里任摸一个球，用分别表示从第一，第二，第三个袋子中摸出的球上所标记的数，则事件“”的概率为______. 【答案】 【解析】 【分析】归纳求出满足的情况种数，根据古典概型的概率公式求解. 【详解】由题意，从三个袋子中摸出的球上所标记的数的总的情况为种， 满足，则， 当时，对应的情况有，1种； 当时，对应的情况有，2种； 当时，对应的情况有，3种； 当时，对应的情况有，种； 所以满足的情况有种， 故所求事件的概率为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程与演算步骤． 15. 已知等差数列满足，． （1）求； （2）求数列的前2n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，由条件结合等差数列通项公式列方程求，，代入等差数列通项公式可得结论， （2）由（1）可得，利用裂项相消法求结论. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，则， 因为，， 所以，， 所以，， 所以，， 所以， 【小问2详解】 由（1）， 所以数列的前2n项和， 所以， 所以数列的前2n项和. 16. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 （1）求； （2）若的面积为，且∠BAC的平分线交边BC于点D，求AD的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边角转化后结合余弦定理可得，即可得； （2）利用三角形面积公式，结合基本不等式求解. 【小问1详解】 在中，由正弦定理得. 因为，所以. 整理得. 故. 又，故 【小问2详解】 由的面积为，得，解得， ∵为内角的角平分线，∴， 由，得， 因此， ，当且仅当时取等号. 所以线段长的最大值为. 17. 已知函数. （1）求的单调区间； （2）若关于的方程有两个不相等的实数根，记较小的实数根为，求证：. 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出的定义域和导函数，再对分类讨论，利用导数与单调性的关系即可求解； （2）由（1）可知当时，才有两个不相等的实根，即可得到，根据函数的单调性与零点存在性定理可得在上有唯一零点，即可得到，从而得到，则要证，即证，再根据（1）的结论即可得证； 【小问1详解】 解：的定义域为，， 当时，，在上单调递增； 当时，令，可得，令，可得， 所以在上单调递减，在上单调递增． 综上可得：当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增． 【小问2详解】 解：由（1）可知： ①当时，在上单调递增. 所以至多有一个实根，不符合题意. ②当时，在上单调递减，在上单调递增. 所以的最小值为. 若，则， 所以至多有一个实根，不符合题意 若，即，得. 又，且在上单调递减， 所以在上有唯一零点. 因为方程有两个不相等的实数根，且较小的实数根为， 所以在上的唯一零点就是. 所以. 所以. 所以“”等价于“”，即. 由（1）可知当时，的最小值为. 又因为，所以. 所以. 18. 如图，在直三棱柱中，为边长为2的正三角形，，为的中点，点在棱上，，． （1）当时，求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值的最大值，并求取得最大值时的值． 【答案】（1）证明见解析 （2）1； 【解析】 【分析】（1）连接，利用勾股定理证明，然后利用等边三角形和直三棱柱的性质证明，即可得出结论； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量将直线与平面所成角的正弦值表示成关于的函数，然后分析函数最值即可. 【小问1详解】 直三棱柱中，平面，所以是矩形， 又当时，，， 所以，，． 因为为的中点，连接， 所以，，． 所以，所以． 因为平面，平面，所以， 又因为是正三角形边的中点，所以， 又，平面， 所以平面，又平面，所以， 因为，，平面， 所以平面． 【小问2详解】 取的中点，以为正交基底，建立空间直角坐标系． 因为，，，，，，，设为平面的一个法向量， 则，所以 取，，设与平面所成角为， 所以． 令， ． 因为，所以． 所以当，即时，取到最大值，最大值为1． 19. 过点作抛物线：的两条切线，切点分别为． （1）若，求； （2）求证：直线过定点（与的取值无关）； （3）记的焦点为，求证：． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先求出抛物线的导数，得到切线斜率，再根据两切线垂直其斜率之积为来求解； （2）设出切点坐标，求出切线方程，进而得到直线的方程，分析其过定点情况； （3）通过向量的数量积来证明，从而证明. 【小问1详解】 设过点的切线为， 与联立方程组并消去，得． 所以判别式，整理得． 因为， 所以．所以． 【小问2详解】 由抛物线，有，所以，得过点切线斜率为． 又，所以过点的切线方程为，即． 由点在直线上，所以．整理得． 设，同理可得． 所以是方程的两个根，得，． 所以直线的斜率． 直线的方程为，即．所以． 所以直线的方程为，过定点． 【小问3详解】 由（2）知，． 因为抛物线的焦点， 所以，． 所以． 又因为， 所以． 同理可得． 所以．所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ ★优高联考 高三数学试题 2025.9 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1—2页，第Ⅱ卷3—4页，共150分，测试时间120分钟． 注意事项： 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在测试卷上． 第Ⅰ卷 选择题（共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的4个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知向量，，若，则（ ）． A. B. C. 2 D. 4 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知复数（其中i虚数单位），则（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 在的展开式中，常数项为（ ） A. B. C. D. 5. 某工厂生产了500件产品，质检人员测量其长度 (单位: 厘米)，将测量数据分成6组， 整理得到如图所示的频率分布直方图. 如果要让 90% 的产品长度不超过厘米，根据直方图估计，下列最接近的数是（ ） A. 93.5 B. 94.1 C. 94.7 D. 95.5 6. 某圆锥母线长为，其侧面积与轴截面面积的比值为，则该圆锥体积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为，以为圆心的圆经过点，且与轴正半轴交于点，若线段的中点在上，则的离心率是（ ） A B. C. D. 8. 甲箱中有2个白球和4个黑球，乙箱中有4个白球和2个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，以，分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论错误的是（ ） A ，互斥 B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求；全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为2 B. 的定义域是 C. 的图象关于点对称 D. 在区间上单调递增 10. 在正方体中，为棱上的动点（不包括两个端点），过点作平面，使得平面，则（ ） A. 平面 B. ∥平面 C. 平面平面 D. 平面∥平面 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与在第一、四象限的交点分别为，与轴的交点为，，则（ ） A. 直线的斜率为 B. 的离心率为2 C. 到上最近点的距离为 D. 第Ⅱ卷 非选择题（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的图象在点处的切线的斜率为______． 13. 已知，函数，若，则________． 14. 有三个袋子，每个袋子都装有个球，球上分别标有数字.现从每个袋子里任摸一个球，用分别表示从第一，第二，第三个袋子中摸出的球上所标记的数，则事件“”的概率为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程与演算步骤． 15. 已知等差数列满足，． （1）求； （2）求数列的前2n项和． 16. 已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 （1）求； （2）若的面积为，且∠BAC的平分线交边BC于点D，求AD的最大值． 17. 已知函数. （1）求的单调区间； （2）若关于的方程有两个不相等的实数根，记较小的实数根为，求证：. 18. 如图，在直三棱柱中，为边长为2的正三角形，，为的中点，点在棱上，，． （1）当时，求证：平面； （2）求直线与平面所成角正弦值的最大值，并求取得最大值时的值． 19. 过点作抛物线：的两条切线，切点分别为． （1）若，求； （2）求证：直线过定点（与的取值无关）； （3）记的焦点为，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $