精品解析：2024年广东省梅州市兴宁市宋声学校九年级中考数学模拟试卷

2024年中考兴宁市宋声学校九年级数学模拟试卷 说明：1．全卷共8页，满分120分，考试时间为120分钟． 2．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号、姓名、考场号、座位号，用2B铅笔把对应该号码的标号涂黑． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上． 4．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效． 5．考生务必保持答题卡的整洁．考试结束时，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确答案对应的字母填入相应的括号里内． 1. 给出四个数0，，，2024，其中最小的是（ ） A. 0 B. C. D. 3 2. 剪纸是中国优秀的传统文化．下列剪纸图案中，是轴对称图形的是（ ）． A. B. C D. 3. 下列计算正确的是（ ）. A. B. C. D. 4. 如图所示，直线，，，则度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，和是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段上，若，则和的周长之比为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是的两条直径，E是的中点，连接，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在矩形中，对角线与相交于点O，，，垂足为点E，F是的中点，连接，若，则矩形的周长是（ ） A. B. C. D. 8. 有甲、乙两个不透明袋子，甲袋装有四个小球，分别标有数字1，2，3，4，乙袋装有三个小球，分别标有数字1，2，3，这些小球除数字不同外其余都相同，现从甲、乙两袋中各随机摸出一个小球，则“摸到的两个数字之和为偶数”的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 在平面直角坐标系中，一个动点按如图所示方向移动，即，按此规律，记为第个点，则第个点的坐标为（ ） A B. C. D. 10. 二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②方程：必有一个根大于2且小于3；③若是抛物线上的两点，那么；④；⑤对于任意实数，都有，其中正确结论的是（ ） A. ②④ B. ①②④ C. ②④⑤ D. ②③④ 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）请将各题的正确答案填写在相应的横线上． 11. 分解因式：2x2﹣8=_______ 12. 某青年排球队有名队员，年龄的情况如下表：则这名队员年龄的中位数是_____岁． 年龄/岁 人数 3 5 2 1 1 13. 如图，直线与双曲线在第一象限内的交点，与轴、轴的交点分别为、，过作轴，为垂足，若与的面积相等，则的值是______ 14. 如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转后得到，点经过的路径为，将线段绕点顺时针旋转后，点恰好落在上的点处，点经过的路径为，则图中阴影部分的面积是______（结果保留） 15. 如图，在矩形中，，点P为边上一动点，连接交对角线于点E，过点E作，交于点F，连接交于点G，在点P的运动过程中，面积的最小值为__________． 三、解答题 （一） （共3个小题， 第16题10分， 第17、18题7分， 满分24分） 16. （）解方程： （）先化简，再求值：，其中． 17. 如图，在中，． （1）实践与操作：过点作三角形边上的高（要求：尺规作图并保留痕迹，不写作法，标明字母）． （2）计算：在（1）的条件下，若，，求的长 18. 为树文化自信，做时代新人，某校举行了“德孝故事我来讲”思政宣讲比赛活动．将该校八年级参加比赛的学生的成绩统计后，绘制成如图所示的统计图表（不完整）． 成绩频数分布统计表 组别 成绩x（分） 人数 A 6 B m C 18 D 4 成绩扇形统计图 请观察上面的图表，解答下列问题： （1）填空：______，_______，扇形统计图中D组所对的圆心角是______度； （2）已知D组的4名学生中，有2名男生和2名女生，若从D组随机抽取2名学生参加区“思政微讲坛”现场展示活动，请你用画树状图法或列表法，求恰好是1名男生和1名女生被抽取参加现场展示活动的概率． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. “绿水青山，就是金山银山”．某旅游景区为了保护环境，需购买A、B两种型号的垃圾处理设备，已知3台A型设备和2台B型设备日处理能力一共为54吨；5台A型设备和1台B型设备日处理能力一共为62吨． （1）求1台A型设备、1台B型设备日处理能力各多少吨？ （2）若购买A、B两种型号的垃圾处理设备共20台（A、B两种型号均购买），并且它们的日处理能力不低于235吨．请你为该景区设计购买A、B两种设备的方案； （3）已知每台A型设备价格为5万元，每台B型设备价格为7万元．厂家为了促销产品，规定货款不低于137万元时，则按9.5折优惠；问：采用（2）中设计的哪种方案，使购买费用最少，并说明理由． 20. 如图，是的切线，切点为B，点A在⊙O上，且，连接并延长交于点C，交直线于点D，连接． （1）证明：是的切线； （2）证明：； （3）若，，求线段的长． 21. 已知：如图，在四边形和中，，，点在 上，，，，延长交于点．点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为．过点作于点，交于点．设运动时间为．解答下列问题： （1）当为何值时，点在线段的垂直平分线上？ （2）连接，作于点，当四边形为矩形时，求的值； （3）连接，，设四边形的面积为，求与的函数关系式； （4）点在运动过程中，是否存在某一时刻，使点在的平分线上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 22. 阅读情境：在综合实践课上，同学们探究“全等的等腰直角三角形图形变化问题”如图1，，其中，此时，点与点重合， 操作探究1：（1）勤奋小组将图1中的两个全等的和按图2方式摆放，点落在上，所在直线交所在直线于点， 连结， 求证： 操作探究2：（2）智慧小组将图1中的绕点按逆时针方向旋转角度，然后，分别延长，，它们相交于点．如图3，在操作中，该小组同学提出如下问题， 请你解答： ①当时，．（直接回答即可） ②时， 求证：为等边三角形； 操作探究3：（3）创新小组将图1中的绕点按顺时针方向旋转角度，线段和相交于点，在操作中，该小组同学提出如下问题，请你解答： ①如图4， 当时，求出线段的长． ②如图5，当旋转到点是边中点时，直接写出线段的长． 23. 【综合运用】如图，在平面直角坐标系中，抛物线 的图象与轴分别交于点 ，， 顶点为． 其对称轴与轴交于点， 连接， ． 点 是线段上一动点， 点在外角的平分线上， 连接， ， ， ， 其中． （1）求点 ， 的坐标； （2）求的大小； （3）当线段 的长度最小时， 求此时 的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年中考兴宁市宋声学校九年级数学模拟试卷 说明：1．全卷共8页，满分120分，考试时间为120分钟． 2．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号、姓名、考场号、座位号，用2B铅笔把对应该号码的标号涂黑． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上． 4．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效． 5．考生务必保持答题卡的整洁．考试结束时，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确答案对应的字母填入相应的括号里内． 1. 给出四个数0，，，2024，其中最小的是（ ） A. 0 B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数比较大小，根据正数大于0，0大于负数，两个负数比较大小，绝对值越大其值越小进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴四个数中最小数为， 故选：C． 2. 剪纸是中国优秀的传统文化．下列剪纸图案中，是轴对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可，轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形． 【详解】解：选项A、C、D均不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以不是轴对称图形； 选项B能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以是轴对称图形； 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 3. 下列计算正确的是（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂相乘、积的乘方，合并同类项，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、不是同类项，不能合并，故该选项是错误的； B、，故该选项是错误的； C、，故该选项是错误的； D、，故该选项是正确的； 故选：D． 4. 如图所示，直线，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形外角的性质，平行线的性质，熟练掌握和运用这些性质是解题关键．根据三角形外角的性质求出，再利用两直线平行内错角相等即可求出． 详解】解：，， ， 直线， ． 故选：C． 5. 如图，和是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段上，若，则和的周长之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了位似的概念和性质，根据题意求出，根据相似三角形的性质求出即可求解，掌握位似图形的对应边互相平行是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵和是以点O为位似中心的位似图形， ∴，， ∴， ∴， ∴和的周长之比为， 故选：． 6. 如图，是的两条直径，E是的中点，连接，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理等知识，连接，根据圆周角定理求出，根据直角三角形的性质求出，再根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， 故选：B． 7. 如图，在矩形中，对角线与相交于点O，，，垂足为点E，F是的中点，连接，若，则矩形的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形的性质得出，即可求证为等边三角形，进而得出点E为中点，根据中位线定理得出，易得，求出，即可得出矩形的周长． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∵， ∴点E中点， ∵F是的中点，若， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴矩形的周长， 故选：D． 【点睛】矩形主要考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，中位线定理，解直角三角形，解题的关键是掌握矩形的对角线相等，等边三角形三线合一，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，以及解直角三角形的方法和步骤． 8. 有甲、乙两个不透明袋子，甲袋装有四个小球，分别标有数字1，2，3，4，乙袋装有三个小球，分别标有数字1，2，3，这些小球除数字不同外其余都相同，现从甲、乙两袋中各随机摸出一个小球，则“摸到的两个数字之和为偶数”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到“摸到的两个数字之和为偶数”的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图可知，一共有12种等可能性的结果数，其中“摸到的两个数字之和为偶数”的结果数有6种， ∴“摸到的两个数字之和为偶数”的概率为， 故选：B． 9. 在平面直角坐标系中，一个动点按如图所示的方向移动，即，按此规律，记为第个点，则第个点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了坐标规律的探究，先由题意写出前几个点的坐标，观察发现并归纳：横坐标与纵坐标相等且为奇数的点的坐标特点，从而可得答案，解题的关键是仔细观察坐标变化规律，掌握从具体到一般的探究方法． 【详解】解：∵， ∴观察发现，每三个点为一组，每组最后一个点的坐标为， ∵， ∴第个点的坐标为第五组最后一个点的坐标， ∴第个点的坐标为， 故选：． 10. 二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②方程：必有一个根大于2且小于3；③若是抛物线上的两点，那么；④；⑤对于任意实数，都有，其中正确结论的是（ ） A. ②④ B. ①②④ C. ②④⑤ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数的性质，由图象可得，，由抛物线的对称轴得出，即，即可判断①；根据图象可得一个交点，关于直线对称，得出另一个交点，即可判断②；根据，即可判断③；令，，进而得出，结合即可判断④；由函数图象得出对于任意实数，都有，即可判断⑤；采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图象可得：，， 对称轴是直线， ，即， ， ，故①错误，不符合题意； 方程，即为二次函数与轴的交点， 根据图象可得一个交点，关于直线对称， 另一个交点， 方程必有一个根大于2且小于3，故②正确，符合题意； 对称轴是直线，， ，故③错误，不符合题意； ， ， 令，， ， ， ，故④正确，符合题意； 对于任意实数，都有， 对于任意实数，都有，故⑤正确，符合题意； 综上所述，正确的是②④⑤， 故选：C． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）请将各题的正确答案填写在相应的横线上． 11. 分解因式：2x2﹣8=_______ 【答案】2（x+2）（x﹣2） 【解析】 【分析】先提公因式，再运用平方差公式． 【详解】2x2﹣8， =2（x2﹣4）， =2（x+2）（x﹣2）． 【点睛】考核知识点：因式分解.掌握基本方法是关键． 12. 某青年排球队有名队员，年龄的情况如下表：则这名队员年龄的中位数是_____岁． 年龄/岁 人数 3 5 2 1 1 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查中位数的计算方法，根据中位数的计算方法求解即可．把数据按顺序正确排列是解决问题的关键． 【详解】将表格中的数据从小到大排列为： ∴中间的两个数为 ∴中位数为． 故答案为：． 13. 如图，直线与双曲线在第一象限内的交点，与轴、轴的交点分别为、，过作轴，为垂足，若与的面积相等，则的值是______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，反比例函数与一次函数交点问题．由直线解析式求得点，点，根据得出，由与的面积相等，得出，继而得出，代入反比例数解析式即可求解． 【详解】解：∵， ∴当时，， 当时，，解得， ∴点，点， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵与的面积相等， ∴与的相似比为，即， ∴，， ∴点， ∵双曲线经过点， ∴，即， 解得(舍去)． 故答案为． 14. 如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转后得到，点经过的路径为，将线段绕点顺时针旋转后，点恰好落在上的点处，点经过的路径为，则图中阴影部分的面积是______（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查扇形的面积公式，旋转变换等知识，含角的直角三角形特征，勾股定理，根据计算即可，解题的关键是学会用分割法求阴影部分的面积． 【详解】解：∵旋转， ∴， ，，， ， ， ， ， 故答案为：． 15. 如图，在矩形中，，点P为边上一动点，连接交对角线于点E，过点E作，交于点F，连接交于点G，在点P的运动过程中，面积的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由勾股定理得，，由，可知四点共圆，则，如图，作的外接圆 ，过作于，过作于，连接，由，可求，由，可得，则，，设，则，，由勾股定理得，，由，可得，可求，则，根据，求解作答即可． 【详解】解：∵矩形， ∴，， 由勾股定理得，， ∵， ∴， ∴四点共圆， ∴， 如图，作的外接圆 ，过作于，过作于，连接， ∴，即， 解得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则，， 由勾股定理得，， ∵， ∴， 解得，， ∴， ∴， ∴在点P的运动过程中，面积的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，四点共圆，同弧所对的圆周角相等，外接圆，圆周角定理，垂径定理，正切等知识．熟练掌握矩形的性质，勾股定理，四点共圆，同弧所对的圆周角相等，外接圆，圆周角定理，垂径定理，正切是解题的关键． 三、解答题 （一） （共3个小题， 第16题10分， 第17、18题7分， 满分24分） 16. （）解方程： （）先化简，再求值：，其中． 【答案】（），；（），． 【解析】 分析】（）利用因式分解法解答即可求解； （）根据分式的运算法则先对分式进行化简，再把代入到化简后的结果中计算即可求解； 本题考查了解一元二次方程，分式的化简求值，掌握解一元二次方程的方法和分式的运算法则是解题的关键． 【详解】（）解：， ， 或， ∴，； （）解： ， ， ， 当时，原式． 17. 如图，在中，． （1）实践与操作：过点作三角形边上的高（要求：尺规作图并保留痕迹，不写作法，标明字母）． （2）计算：在（1）的条件下，若，，求的长 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，含的直角三角形的性质，勾股定理，掌握对的直角边是斜边的一半是解题的关键； （1）根据尺规作图作垂线的方法作图即可； （2）由含的直角三角形的性质，可求出，再由勾股定理求出，再由含的直角三角形的性质求解即可； 【小问1详解】 如图所示，即为所求， 【小问2详解】 ，，， ， 在中，． 是边上的高， ， ， 18. 为树文化自信，做时代新人，某校举行了“德孝故事我来讲”思政宣讲比赛活动．将该校八年级参加比赛的学生的成绩统计后，绘制成如图所示的统计图表（不完整）． 成绩频数分布统计表 组别 成绩x（分） 人数 A 6 B m C 18 D 4 成绩扇形统计图 请观察上面的图表，解答下列问题： （1）填空：______，_______，扇形统计图中D组所对的圆心角是______度； （2）已知D组的4名学生中，有2名男生和2名女生，若从D组随机抽取2名学生参加区“思政微讲坛”现场展示活动，请你用画树状图法或列表法，求恰好是1名男生和1名女生被抽取参加现场展示活动的概率． 【答案】（1）12，45，36 （2） 【解析】 【分析】本题是统计表与统计图的综合，考查了频数分布表与扇形统计图相关的内容，用树状图或列表法求概率． （1）先求得总人数，用总人数减去其它组别的人数即可求得B组成绩的人数m，从而可求得n及D组的圆心角的度数； （2）根据题意画出树状图，由概率计算公式即可求得． 【小问1详解】 解：A组的圆心角是， A组成绩的人数占比为， A组的人数是6人， 被调查的总人数为， ， ， D组的圆心角是， 故答案为：12，45，36； 【小问2详解】 解：画树状图如图所示． 恰好是1名男生和1名女生被抽取参加现场展示活动的概率为． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. “绿水青山，就是金山银山”．某旅游景区为了保护环境，需购买A、B两种型号的垃圾处理设备，已知3台A型设备和2台B型设备日处理能力一共为54吨；5台A型设备和1台B型设备日处理能力一共为62吨． （1）求1台A型设备、1台B型设备日处理能力各多少吨？ （2）若购买A、B两种型号的垃圾处理设备共20台（A、B两种型号均购买），并且它们的日处理能力不低于235吨．请你为该景区设计购买A、B两种设备的方案； （3）已知每台A型设备价格为5万元，每台B型设备价格为7万元．厂家为了促销产品，规定货款不低于137万元时，则按9.5折优惠；问：采用（2）中设计的哪种方案，使购买费用最少，并说明理由． 【答案】（1）A设备处理能力为一天10吨，B设备一天12吨； （2）方案①买A设备1台，B设备19台；方案②买A设备2台，B设备18台； （3）方案①最省钱． 【解析】 【分析】（1）设1台A设备日处理能力为x吨，1台B设备日处理能力为y吨，根据题意列出方程组，解之即可； （2）设购买A设备m台，根据日处理能力不低于235吨，列出不等式，求出整数解，从而可得方案； （3）分别计算出三种方案对应的费用，再比较即可． 【小问1详解】 解：设1台A设备日处理能力为x吨，1台B设备日处理能力为y吨， 由题意可得：， 解得：， ∴A设备处理能力为一天10吨，B设备一天12吨； 【小问2详解】 解：设购买A设备m台，则B设备台， ∴， 解得：， ∵m为正数， ∴或2，则一共有2种方案： 方案①买A设备1台，B设备19台； 方案②买A设备2台，B设备18台； 【小问3详解】 解：方案①：， 则实际付款：（万元）； 方案②：， 则实际付款136万元； ， ∴方案①最省钱． 【点睛】本题考查了二元一次方程组，一元一次不等式实际应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系和不等关系，列出方程组和不等式． 20. 如图，是的切线，切点为B，点A在⊙O上，且，连接并延长交于点C，交直线于点D，连接． （1）证明：是的切线； （2）证明：； （3）若，，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）连接，判定，从而得到，即可得证； （2）连接，根据弦切角等于所夹弧所对的圆周角推出判定的条件，判定相似后根据相似三角形的性质即可推出结论； （3）先解直角三角形，求出，再根据锐角三角函数的定义和已知条件求出的长，再根据勾股定理即可求出． 【小问1详解】 证明：如图1，连接， ∵是的切线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 又∵点A在上， ∴是的切线； 【小问2详解】 证明：如图2，连接，, ∴ ∴ ∵是的切线， ∴即 ∵是的直径， ∴ ∴ ∴ ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：在中，， 设，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，． 【点睛】本题主要考查圆的切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形等知识点，深入理解题意解决问题的关键． 21. 已知：如图，在四边形和中，，，点在 上，，，，延长交于点．点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为．过点作于点，交于点．设运动时间为．解答下列问题： （1）当为何值时，点在线段的垂直平分线上？ （2）连接，作于点，当四边形为矩形时，求的值； （3）连接，，设四边形的面积为，求与的函数关系式； （4）点在运动过程中，是否存在某一时刻，使点在的平分线上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）时，四边形为矩形 （3） （4）存在， 【解析】 【分析】(1)由相似三角形的性质，可得，求的长，由线段垂直平分线的性质可得，即可求解； (2)利用锐角三角函数分别求出，，由矩形的性质可求解； (3)利用面积的和差关系可得，即可求解； (4) 连接，延长交于，由“”可证，可得，可证，由面积法可求的长，由角平分线的性质可求解． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， 点在线段的垂直平分线上， ， ， ； 【小问2详解】 如图1，过点作于点， ，，， ，， ，， ， ， ， ， ， 同理可求， 四边形是矩形， ， ， ， 当时，四边形为矩形； 【小问3详解】 如图2，过点作于点， 由（2）可知， ， ， ， ， 四边形的面积为， 【小问4详解】 存在，理由如下：如图3，连接，延长交于， ，，， ， ， 又， ， ， ， 平分，，， ， ， ， 当时，使点在的平分线上． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 22. 阅读情境：在综合实践课上，同学们探究“全等的等腰直角三角形图形变化问题”如图1，，其中，此时，点与点重合， 操作探究1：（1）勤奋小组将图1中的两个全等的和按图2方式摆放，点落在上，所在直线交所在直线于点， 连结， 求证： 操作探究2：（2）智慧小组将图1中的绕点按逆时针方向旋转角度，然后，分别延长，，它们相交于点．如图3，在操作中，该小组同学提出如下问题， 请你解答： ①当时，．（直接回答即可） ②时， 求证：为等边三角形； 操作探究3：（3）创新小组将图1中的绕点按顺时针方向旋转角度，线段和相交于点，在操作中，该小组同学提出如下问题，请你解答： ①如图4， 当时，求出线段的长． ②如图5，当旋转到点是边的中点时，直接写出线段的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）①；②证明见解析；（3）①；② 【解析】 【分析】（1）即可解决问题； （2）①根据平行线的判定定理即可解决问题； ②证明即可解决问题； （3）①连接，证明是等边三角形，利用勾股定理求出即可解决问题； ②如图5中，连接，交于点，证明，再证明，利用面积法求出即可解决问题． 【详解】证明：如图2中， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）①解：如图3中， ∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴当时，， 故答案为：； ②证明：∵将绕点按逆时针方向旋转角度，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （3）①解：如图4，连接， ∵绕点按顺时针方向旋转角度，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ②解：如图5中，连接，交于点， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点是边的中点时，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴垂直平分线段， ∴， 在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴线段的长为． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，垂直平分线的判定和性质，三角形的面积等知识，掌握旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理及全等三角形的判定和性质是解题的关键． 23. 【综合运用】如图，在平面直角坐标系中，抛物线 的图象与轴分别交于点 ，， 顶点为． 其对称轴与轴交于点， 连接， ． 点 是线段上一动点， 点在外角的平分线上， 连接， ， ， ， 其中． （1）求点 ， 的坐标； （2）求的大小； （3）当线段 的长度最小时， 求此时 的面积． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的性质得到顶点的坐标为，解方程得到 ； （2）过点作，交于点，得到抛物线对称轴为，即．根据勾股定理得到＝，＝，根据等边三角形的判定得到是等边三角形，得到，根据平行线的性质得到，，根据角平分线的定义得到＝，根据全等三角形的性质，根据等边三角形的性质得到； （3）过点作于点，得到时，线段最短，求得线段最小值为，根据相似三角形的性质得到，根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【小问1详解】 解： ∴顶点为 令 解得或， ． 【小问2详解】 解： 过点作， 交于点， 抛物线对称轴为， 即． ， ， ， ． 是等边三角形，． ， ． ． ． 即． ， ， ， ． ， ． ，平分， 在和中 ． ． ， 是等边三角形． ． 【小问3详解】 过点 作于点 ， ， 点在射线 上运动， 时， 线段 最短． 线段最小值为 ， ， ． ． ， 是等边三角形， ． 【点睛】本题考查了二次函数综合应用，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的性质和定理，相似三角形的判定和性质，三角形的面积公式，正确地作出辅助线的是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$