精品解析：广东省广州大学附属中学2023-2024学年九年级下学期月考数学试题

2023—2024学年九年级4月质量检查数学 考试时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 在，，，四个数中，最大的数是（ ） A. 3 B. C. 0 D. 2. 由六块相同的小正方体搭成的几何体如图所示，则它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 某公司5名员工在一次义务募捐中的捐款额为（单位：元）：30，50，50，60，60．若捐款最少的员工又多捐了20元，则分析这5名员工捐款额的数据时，不受影响的统计量是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的两张送给好朋友小乐，小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 关于x的函数和在同一坐标系中的图象大致是( ) A. B. C. D. 9. 《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求两匹马的速度．设慢马的速度为x里/天，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数（为常数），若，记，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．） 11. 某种颗粒的半径约为米，用科学记数法表示这个数为________米． 12. 分解因式：________． 13. 从喷水池喷头喷出的水珠，在空中形成一条抛物线，如图所示，在抛物线各个位置上，水珠的竖直高度（单位：）与它距离喷头的水平距离（单位：）之间满足函数关系式，喷出水珠的最大高度是______． 14. 在中，，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F；再分别以点E，F为圈心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点D．则与的数量关系是____． 15. 如图，是的直径，点在圆上．将沿翻折与交于点．若的度数为，则____________． 16. 如图，平分等边的面积，折叠得到分别与相交于两点．若，用含的式子表示的长是________． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解方程： 18. 如图，，，直线与，的延长线分别交于点，．求证：． 19. 先化简，再求值：，其中满足 20. 为了解某地区九年级学生的视力情况，从该地区九年级学生中抽查了部分学生，根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解决下列问题： （1）此次调查的样本容量为 ； （2）扇形统计图中对应圆心角的度数为 °； （3）请补全条形统计图； （4）若该地区九年级学生共有人，请估计其中视力正常的人数． 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数和的图象相于点A，反比例函数的图象经过点A． （1）求反比例函数表达式； （2）设一次函数的图象与反比例函数y＝的图象的另一个交点为B，连接，求的面积； （3）根据图象直接写出关于x的不等式的解集． 22. 某玩具商店计划购进“汽车”玩具模型和“飞机”玩具模型，同样花费元，“汽车”模型的数量比“飞机”模型多个且每个“汽车”模型成本比每个“飞机”模型成本少． （1）“汽车”和“飞机”模型的成本各多少元？ （2）该航模店计划购买两种模型共个，且每个“飞机”模型的售价为元，“汽车”模型的售价为元．设购买“飞机”模型个，售卖这两种模型可获得的利润为元， ①求与函数关系式(不要求写出a的取值范围)； ②若购进“飞机”模型的数量不超过“汽车”模型数量的一半，则购进“飞机”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？ 23. 如图，已知，点M是上一个定点． （1）尺规作图：请在图1中作，使得与射线相切于点M，同时与相切，切点记N； （2）在（1）的条件下，若，则所作的的劣弧与所围成图形的面积是_________． 24. 定义：平面直角坐标系中，点，点，若，，其中为常数，且，则称点是点的“级变换点”．例如，点是点的“级变换点”． （1）函数图象上是否存在点的“级变换点”?若存在，求出的值；若不存在，说明理由； （2）点与其“级变换点” 分别在直线，上，在，上分别取点，．若，求证：； （3）关于x的二次函数的图象上恰有两个点，这两个点的“1级变换点”都在直线上，求n的取值范围． 25. 如图1，在中，，点分别为边的中点，连接． 初步尝试：（1）与的数量关系是_________，与的位置关系是_________． 特例研讨：（2）如图2，若，先将绕点顺时针旋转（为锐角），得到，当点在同一直线上时，与相交于点，连接． （1）求的度数； （2）求的长． 深入探究：（3）若，将绕点顺时针旋转，得到，连接，．当旋转角满足，点在同一直线上时，利用所提供的备用图探究与的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年九年级4月质量检查数学 考试时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 在，，，四个数中，最大的数是（ ） A. 3 B. C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可． 【详解】解：根据有理数比较大小的方法，可得 ， ∴最大的数是：3； 故选：A． 【点睛】此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小． 2. 由六块相同的小正方体搭成的几何体如图所示，则它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中． 【详解】观察图形可知，该几何体的俯视图如下： ． 故选：D． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图． 3. 某公司5名员工在一次义务募捐中的捐款额为（单位：元）：30，50，50，60，60．若捐款最少的员工又多捐了20元，则分析这5名员工捐款额的数据时，不受影响的统计量是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】B 【解析】 【分析】根据捐款最少的员工又多捐了20元，则从小到大的顺序不变，即中位数不变，即可解答． 【详解】解：根据题意，可得，即捐款额为：50，50，50，60，60，此时中位数不变，平均数，众数，方差都会受到影响， 故选：B． 【点睛】本题考查了中位数，众数，方差，平均数，熟知以上概念是解题的关键． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别根据同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方，完全平方公式逐一分析判断即可． 【详解】解：，故A不符合题意， ，故B不符合题意； ，故C符合题意； ，故D不符合题意； 故选C 【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方运算，完全平方公式的应用，熟记运算法则是解本题的关键． 5. 不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， 故选A． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，正确求出每个不等式的解集是解题的关键． 6. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数为（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平行线的性质及三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质等知识，掌握这两个知识点是关键． 7. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的两张送给好朋友小乐，小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．理解和掌握树状图的画法和概率的公式是解题的关键．根据题意，可以画出相应的树状图，从而可以得到小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率． 【详解】解：设立春用表示，立夏用表示，秋分用表示，大寒用表示，树状图如下， 由上可得，一共有种可能性，其中小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的可能性种， ∴小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是． 故选：A． 8. 关于x的函数和在同一坐标系中的图象大致是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学思想和数形结合的思想解答． 根据题意和函数图象的特点，利用分类讨论的数学思想解答本题． 【详解】解：当时，函数的图象在第一、三、四象限，反比例函数的图象在第一、三象限； 当时，函数的图象在第一、二、四象限，反比例函数的图象在第二、四象限； 结合选项可得出C选项正确． 故选C． 9. 《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求两匹马的速度．设慢马的速度为x里/天，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系． 设慢马的速度为里天，则快马的速度为里天，根据规定时间相等可得方程． 【详解】解：设慢马的速度为里天，则快马的速度为里天， 根据题意，得． 故选：D． 10. 已知二次函数（为常数），若，记，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得，从而得到，再根据可得，由此即可得到答案． 详解】解：∵二次函数，， ∴，是方程的两个根， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，正确得到是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．） 11. 某种颗粒的半径约为米，用科学记数法表示这个数为________米． 【答案】 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】 故答案为：． 12. 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【分析】直接提取公因式即可得出答案． 【详解】 故答案： 【点睛】本题考查提公因式法分解因式，解题的关键是找准公因式． 13. 从喷水池喷头喷出的水珠，在空中形成一条抛物线，如图所示，在抛物线各个位置上，水珠的竖直高度（单位：）与它距离喷头的水平距离（单位：）之间满足函数关系式，喷出水珠的最大高度是______． 【答案】3 【解析】 【分析】把二次函数化为顶点式，进而即可求解． 【详解】解：∵， ∴当x=1时，， 故答案是：3． 【点睛】本题主要考查二次函数的图像和性质，掌握二次函数的顶点式，是解题的关键． 14. 在中，，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F；再分别以点E，F为圈心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点D．则与的数量关系是____． 【答案】 【解析】 【分析】先根据直角三角形的性质可得，再根据角平分线的尺规作图可知平分，从而可得，然后根据等腰三角形的定义可得，最后根据直角三角形的性质可得，由此即可得出答案． 【详解】解：在中，，， ， 由角平分线的尺规作图可知，平分， ， ， ， 在中，，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的尺规作图、等腰三角形的定义、含角的直角三角形，熟练掌握角平分线的尺规作图是解题关键． 15. 如图，是的直径，点在圆上．将沿翻折与交于点．若的度数为，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】如图：作D关于的对称点E，连接,则，然后再根据的度数为可知，然后再根据圆周角定理、邻补角性质可得，最后运用弧长公式即可解答． 【详解】解：如图：作D关于的对称点E，连接,则， ∵的度数为， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴的长度为， ∴的长度为． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、弧长公式等知识点，求得的度数是解答本题的关键． 16. 如图，平分等边的面积，折叠得到分别与相交于两点．若，用含的式子表示的长是________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据折叠的性质可得，，从而可得，再根据相似三角形的判定可证，根据相似三角形的性质可得，，然后将两个等式相加即可得． 【详解】解：是等边三角形， ， ∵折叠得到， ， ，， 平分等边的面积， ， ， 又， ， ，， ， ， 解得或（不符合题意，舍去）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解方程： 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程配方法：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程． 【详解】解： ， ， ， ，． 18. 如图，，，直线与，的延长线分别交于点，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据已知条件，，得到，从而得到，即可证明． 【详解】证明：∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 【点睛】本题考查平行线的性质和判定．平行线的性质：两直线平行，内错角相等．平行线的判定：同位角相等，两直线平行． 19. 先化简，再求值：，其中满足 【答案】，． 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值，先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再约分得到原式，然后根据，得，最后把代入计算即可求解，解题的关键是对相应的运算法则的掌握，注意整体代入的应用． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式． 20. 为了解某地区九年级学生的视力情况，从该地区九年级学生中抽查了部分学生，根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解决下列问题： （1）此次调查的样本容量为 ； （2）扇形统计图中对应圆心角的度数为 °； （3）请补全条形统计图； （4）若该地区九年级学生共有人，请估计其中视力正常的人数． 【答案】（1）450 （2） （3）见解析 （4）人 【解析】 【分析】（1）根据的人数是人，所占的比例是，据此即可求得此次调查的样本容量； （2）用类学生数除以，再乘以即可得解； （3）利用总人数减去、、三类的人数即可求得的人数，从而补全直方图； （4）利用总人数乘以对应的百分比即可求得． 【小问1详解】 解：， 答：此次调查的样本容量为是， 故答案为． 【小问2详解】 解：， 故答案为； 【小问3详解】 解： 补全图形如下： 【小问4详解】 解：（人） 答：九年级学生共有人，请估计其中视力正常的人数共有人． 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数和的图象相于点A，反比例函数的图象经过点A． （1）求反比例函数的表达式； （2）设一次函数的图象与反比例函数y＝的图象的另一个交点为B，连接，求的面积； （3）根据图象直接写出关于x的不等式的解集． 【答案】（1）反比例函数的表达式为． （2） （3）或． 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点、三角形的面积以及函数与不等式的关系等知识点，掌握方程思想和数形结合是解题的关键． （1）联立求得A的坐标，然后运用待定系数法求解即可； （2）求得B、C的坐标，利用求得即可； （3）根据图象即可求解． 【小问1详解】 解：联立，解得， ∴A点坐标为． 将代入，得． ∴． ∴反比例函数的表达式为． 【小问2详解】 如图， 联立，解得：或． ∴． 在中，令，得． 故直线与x轴的交点为． 如图，过A、B两点分别作x轴的垂线，交x轴于M、N两点， 则． 【小问3详解】 由图象可得： 关于x的不等式的解集为或． 22. 某玩具商店计划购进“汽车”玩具模型和“飞机”玩具模型，同样花费元，“汽车”模型的数量比“飞机”模型多个且每个“汽车”模型成本比每个“飞机”模型成本少． （1）“汽车”和“飞机”模型的成本各多少元？ （2）该航模店计划购买两种模型共个，且每个“飞机”模型的售价为元，“汽车”模型的售价为元．设购买“飞机”模型个，售卖这两种模型可获得的利润为元， ①求与的函数关系式(不要求写出a的取值范围)； ②若购进“飞机”模型数量不超过“汽车”模型数量的一半，则购进“飞机”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1）“飞机”模型成本为每个元，“汽车”模型成本为每个元 （2）①与的函数关系式为；②购进“飞机”模型个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润是元 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用和分式方程的应用， （1）设“飞机”模型成本为每个元，则“汽车”模型成本为每个元，根据同样花费元，购进“汽车”模型的数量比“飞机”模型多个．列出方程，解方程即可，注意验根； （2）①设购买“飞机”模型个，则购买“汽车”模型个，根据总利润两种模型利润之和列出函数解析式即可； ②根据购进“飞机”模型的数量不超过“汽车”模型数量的一半求出的取值范围，由函数的性质求最值即可． 【小问1详解】 解：设“飞机”模型成本为每个元，则“汽车”模型成本为每个元， 根据题意得： 解得， 经检验，是原方程的解，且符合实际意义， 元， 答：“飞机”模型成本为每个元，“汽车”模型成本为每个元； 【小问2详解】 ①设购买“飞机”模型个，则购买“汽车”模型个， 则， 与的函数关系式为； ②∵购进“飞机”模型的数量不超过“汽车”模型数量的一半， ， 解得， ，，是正整数， 当时，最大，最大值为， 答：购进“飞机”模型个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润元． 23. 如图，已知，点M是上的一个定点． （1）尺规作图：请在图1中作，使得与射线相切于点M，同时与相切，切点记为N； （2）在（1）的条件下，若，则所作的的劣弧与所围成图形的面积是_________． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先作的平分线，再过M点作的垂线交于点O，接着过O点作于N点，然后以O点为圆心，为半径作圆，则满足条件； （2）先利用切线的性质得到，，根据切线长定理得到，则，再利用含30度角的直角三角形三边的关系计算出，然后根据扇形的面积公式，利用的劣弧与所围成图形的面积进行计算． 【小问1详解】 解：如图，为所作； ； 【小问2详解】 解：∵和为的切线， ∴，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴的劣弧与所围成图形的面积 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了切线的判定与性质、扇形的面积计算． 24. 定义：平面直角坐标系中，点，点，若，，其中为常数，且，则称点是点的“级变换点”．例如，点是点的“级变换点”． （1）函数的图象上是否存在点的“级变换点”?若存在，求出的值；若不存在，说明理由； （2）点与其“级变换点” 分别在直线，上，在，上分别取点，．若，求证：； （3）关于x的二次函数的图象上恰有两个点，这两个点的“1级变换点”都在直线上，求n的取值范围． 【答案】（1）存在， （2）见解析 （3）n的取值范围为且 【解析】 【分析】（1）根据“级变换点”定义求解即可； （2）求出点的坐标为，得到直线，的解析式分别为和，根据进行证明． （3）由题意得，二次函数的图象上的点的“1级变换点”都在函数的图象上，得到函数的图象与直线必有公共点．分当时和当，时分类讨论即可． 【小问1详解】 解：函数的图象上存在点的“级变换点” 根据“级变换点”定义，点的“级变换点”为， 把点代入中， 得，解得． 【小问2详解】 证明：点为点的“级变换点”， 点的坐标为． 直线，的解析式分别为和． 当时，． ， ． ， ． ． 【小问3详解】 解：由题意得，二次函数的图象上的点的 “1级变换点”都在函数的图象上． 由，整理得． ， 函数的图象与直线必有公共点． 由得该公共点为． ①当时，由得． 又得， 且． ②当，时，两图象仅有一个公共点，不合题意，舍去． 综上，n的取值范围为且． 【点睛】本题考查解一元一次不等式，根据题意理解新定义是解题的关键． 25. 如图1，在中，，点分别为边的中点，连接． 初步尝试：（1）与的数量关系是_________，与的位置关系是_________． 特例研讨：（2）如图2，若，先将绕点顺时针旋转（为锐角），得到，当点在同一直线上时，与相交于点，连接． （1）求的度数； （2）求的长． 深入探究：（3）若，将绕点顺时针旋转，得到，连接，．当旋转角满足，点在同一直线上时，利用所提供的备用图探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】初步尝试：（1）；；（2）特例研讨：（1）；（2）；（3）或 【解析】 【分析】（1），点分别为边的中点，则是的中位线，即可得出结论； （2）特例研讨：（1）连接，，证明是等边三角形，是等边三角形，得出；（2）连接，证明，则，设，则，在中，，则，在中，，勾股定理求得，则； （3）当点在同一直线上时，且点在上时，设，则，得出，则在同一个圆上，进而根据圆周角定理得出，表示与，即可求解；当在上时，可得在同一个圆上，设，则，设，则，则，表示与，即可求解． 【详解】初步尝试：（1）∵，点分别为边的中点， ∴是的中位线， ∴；； 故答案是：； （2）特例研讨：（1）如图所示，连接，， ∵是的中位线， ∴， ∴ ∵将绕点顺时针旋转（为锐角），得到， ∴； ∵点在同一直线上时， ∴ 又∵在中，是斜边的中点， ∴ ∴ ∴是等边三角形， ∴，即旋转角 ∴ ∴是等边三角形， 又∵， ∴, ∴, ∴, ∴, （2）如图所示，连接， ∵，， ∴，, ∵, ∴, ∴, 设，则， 在中，，则， 在中，, ∴, 解得：或（舍去） ∴, （3）如图所示，当点在同一直线上时，且点在上时， ∵， ∴， 设，则， ∵是的中位线， ∴ ∴， ∵将绕点顺时针旋转，得到， ∴，， ∴ ∴， ∵点在同一直线上， ∴ ∴， ∴在同一个圆上， ∴ ∴ ∵， ∴； 如图所示，当在上时， ∵ ∴在同一个圆上， 设，则， 将绕点顺时针旋转，得到， 设，则，则， ∴， ∵, ∴， ∵ ∴ ∴ 综上所述，或 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形对角互补，相似三角形的性质与判定，旋转的性质，中位线的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$