第05讲-圆的周长和面积-六年级数学课外延伸培优训练

第5讲 圆的周长和面积 【课前热身】 1、身高1.8米的大卫在公园里观赏一尊雕像时，想知道雕像的高度。他灵机一动，站到雕像旁边拍了一张合影，然后量得照片上的他高3厘米，雕像高8厘米。因此很快算出了雕像的高度。你知道雕像的实际高度是多少米吗？ 2、甲、乙两校参加“希望杯”全国数学邀请赛的学生人数之比是，获奖人数之比是，两校各有320人未获奖，那么两校参赛的学生共有多少人？ 3、甲、乙、丙三人从昆明同坐一辆出租车回家．当行到全程的时，甲下了车；当行到全程的时，乙下了车；丙到终点才下车．他们三人共付车费290元．甲、乙、丙三人按路程的远近各付款多少元？ 【学习目标】 1、进一步学习圆的周长计算； 2、进一步学习圆的面积计算。 【知识梳理】 1、周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。公式：C=πd或 C=2πd 2、面积：圆所占面积的大小叫圆的面积。公式：Ｓ＝ｒ² 3、半圆的周长公式：Ｃ＝d2＋d　或　Ｃ＝r＋2r 圆周长的一半=r 4、半圆的面积：公式为：Ｓ＝ｒ²2（半圆面积＝圆的面积2） 5、圆环的面积：S=R²－ｒ²　或　S=（R²－ｒ²）（其中R＝r＋环的宽度）。 6、扇形弧长：扇形中的曲线部分线条的长度，用L表示弧长，L=。 扇形面积：扇形的面积S=（n是扇形圆心角的度数）。 【典例精析】 【例1】如图是由4个半圆组成的圆形，甲、乙两只蚂蚁同时从A点出发前往D点，甲蚂蚁沿着最大半圆的弧线走，乙蚂蚁沿着较小的3个半圆的弧线走。如果它们用同样的速度一直走，（ ）同时到达D点。 【趁热打铁-1】已知线段AB=30dm,求图中各圆的周长之和。 【例2】用金属带把4根直径为1分米的管子扎在一起（如图），这根金属带至少需要( )分米。（不计接口处长度） 【趁热打铁-2】有七根直径5厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它们勒紧成一捆(如图)，此时橡皮筋的长度是( ）厘米.(π取3) 【例3】将半径分别为4厘米和3厘米的两个半圆如下图放置，则阴影部分的周长是（ ）。 【趁热打铁-3】下图中，每个小圆的半径是1厘米，则阴影部分的周长是( )厘米。（圆周率取3.14） 【例4】如图，有一个半径为1厘米的小圆环，沿着边长是4.71厘米的正方形外侧作无滑动移动．当小圆环绕正方形滚动一周后，回到原来的位置时，小圆环自转的圈数是____圈． 【趁热打铁-4】一个电动玩具他有一个8.28×5.14的长方形盘（单位：厘米）和一个半径为1厘米的小圆盘（圆盘中画有娃娃脸），它们的连接点为A,E，如果小圆盘沿着长方形内壁从A点出发，不停的滚动，最后回到原来位置，请你计算一下小圆盘在B、C、D的位置是怎样的？并画出示意图，小圆盘共自转了几圈？ 【例5】如下图，一个运动场两端是半圆形，中间是长方形。静静和欢欢进行跑步比赛，沿跑道线跑一圈，最后都回到同一终点。每条跑道宽1m,为了比赛公平，静静和欢欢的起跑线应相差多少米？（π取3.14） 【趁热打铁-5】下面是某小学新建成的400米塑胶跑道，直跑道长85.96米，第一条半圆形跑道的直径为72.6米，每条跑道宽1.2米。进行800米比赛时，如果全程不变道，那么在设置起点时，每一道的起跑线比前一道提前（ ）米。进行200米比赛时，第四道的起跑线比第一道提前（ ）米。 【例6】把一个圆等分成若干个小扇形后拼成一个近似的长方形，周长比原来增加了12cm，这个圆的面积是( )cm²，拼成的长方形的周长是( )cm。 【趁热打铁-6】在推导圆的面积公式时，将圆等分成若干份，拼成一个近似的长方形。已知长方形的长比宽多64.2厘米，圆的面积是( )平方厘米。 【例7】如图，小正方形ABCD的边长为2厘米，依次以A，B，C，D四个顶点为圆心，以AD、BE、CF、DG为半径画出扇形，得到图中涂色部分。求涂色部分的面积。 【趁热打铁-7】草场中央有一间长方形的牧人屋子，屋子长6m，宽3m。牧人用4m长的绳子把羊拴在墙角（如图A点处），则羊吃草的面积有（ ）平方米。 【例8】如下图，大正方形内有一个最大的圆，圆内有一个最大的正方形。那么，大正方形面积是与小正方形面积的比是（ ）。 【趁热打铁-8】如图中，正方形的面积是40平方厘米，正方形内的小圆面积是( )平方厘米。正方形外的大圆面积是( )平方厘米。 【例9】如图，直角三角形AOB的面积是5平方分米，求圆的面积。 【趁热打铁-9】下图中阴影部分的面积是3cm² ，圆环的面积是多少平方厘米？ 【过关精炼】 1、求下面图形中涂色部分的周长。 2、如图，有三根直径都是2分米的圆柱形木材，想用一根绳子把它们捆成一捆，捆三圈最短需要　 　分米长的绳子．（打结处绳长不计，π取3.14） 3、标准的400米跑道，每道的宽度为1.25m，则外道比相邻内道的起跑线要提前 米． 4、把一张圆形纸片经过剪拼以后转化成一个近似的长方形（如图），这个近似长方形的周长是24.84cm，则圆形纸片的面积是　 　cm2。 5、如图，在一个面积是20平方厘米的正方形内画一个最大的圆，圆的面积是　 平方厘米，继续在这个圆内画一个最大的正方形，画出的正方形的面积是　 平方厘米． 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第5讲 圆的周长和面积 【课前热身】 1、身高1.8米的大卫在公园里观赏一尊雕像时，想知道雕像的高度。他灵机一动，站到雕像旁边拍了一张合影，然后量得照片上的他高3厘米，雕像高8厘米。因此很快算出了雕像的高度。你知道雕像的实际高度是多少米吗？ 解：设雕像的实际高度是米。 答：雕像的实际高度是4.8米。 2、甲、乙两校参加“希望杯”全国数学邀请赛的学生人数之比是，获奖人数之比是，两校各有320人未获奖，那么两校参赛的学生共有多少人？ 解：设甲校参赛的学生有人，乙校参赛的学生有人。 （人 答：两校参赛的学生共有960人。 3、甲、乙、丙三人从昆明同坐一辆出租车回家．当行到全程的时，甲下了车；当行到全程的时，乙下了车；丙到终点才下车．他们三人共付车费290元．甲、乙、丙三人按路程的远近各付款多少元？ 解：甲、乙、丙的路程的比为，， 甲：（元； 乙：（元； 丙：（元； 答：甲付款58元，乙付款87元，丙付款145元． 【学习目标】 1、进一步学习圆的周长计算； 2、进一步学习圆的面积计算。 【知识梳理】 1、周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。公式：C=πd或 C=2πd 2、面积：圆所占面积的大小叫圆的面积。公式：Ｓ＝ｒ² 3、半圆的周长公式：Ｃ＝d2＋d　或　Ｃ＝r＋2r 圆周长的一半=r 4、半圆的面积：公式为：Ｓ＝ｒ²2（半圆面积＝圆的面积2） 5、圆环的面积：S=R²－ｒ²　或　S=（R²－ｒ²）（其中R＝r＋环的宽度）。 6、扇形弧长：扇形中的曲线部分线条的长度，用L表示弧长，L=。 扇形面积：扇形的面积S=（n是扇形圆心角的度数）。 【典例精析】 【例1】如图是由4个半圆组成的圆形，甲、乙两只蚂蚁同时从A点出发前往D点，甲蚂蚁沿着最大半圆的弧线走，乙蚂蚁沿着较小的3个半圆的弧线走。如果它们用同样的速度一直走，（ 能 ）同时到达D点。 C大半圆=π×(d1+d2+d3)÷2=π(d1+d2+d3) C小半圆和=πd1÷2+πd2÷2+πd3÷2=π(d1+d2+d3)=C大半圆 【趁热打铁-1】已知线段AB=30dm,求图中各圆的周长之和。 π×30=94.2（dm） 【例2】用金属带把4根直径为1分米的管子扎在一起（如图），这根金属带至少需要( )分米。（不计接口处长度） 圆的半径：1÷2=0.5（分米） 捆一圈的长度：2r×4+2×3.14×r=14.28r=7.14（分米） 【趁热打铁-2】有七根直径5厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它们勒紧成一捆(如图)，此时橡皮筋的长度是( 45 ）厘米.(π取3) 橡皮筋：5×6+15=45（厘米） 【例3】将半径分别为4厘米和3厘米的两个半圆如下图放置，则阴影部分的周长是（27.98cm）。 周长：12.56+9.42+2+4=27.98（厘米） 【趁热打铁-3】下图中，每个小圆的半径是1厘米，则阴影部分的周长是(62.8)厘米。（圆周率取3.14） 阴影部分周长：6π＋14π=20π=62.8（厘米） 【例4】如图，有一个半径为1厘米的小圆环，沿着边长是4.71厘米的正方形外侧作无滑动移动．当小圆环绕正方形滚动一周后，回到原来的位置时，小圆环自转的圈数是__3__圈． 滚动一周的路程：4.71×4=18.84（厘米） 圆环的周长：2×3.14×1=6.28（厘米） 自转的圈数：18.84÷6.28=3（圈） 【趁热打铁-4】一个电动玩具他有一个8.28×5.14的长方形盘（单位：厘米）和一个半径为1厘米的小圆盘（圆盘中画有娃娃脸），它们的连接点为A,E，如果小圆盘沿着长方形内壁从A点出发，不停的滚动，最后回到原来位置，请你计算一下小圆盘在B、C、D的位置是怎样的？并画出示意图，小圆盘共自转了（ 3 ）圈。 【例5】如下图，一个运动场两端是半圆形，中间是长方形。静静和欢欢进行跑步比赛，沿跑道线跑一圈，最后都回到同一终点。每条跑道宽1m,为了比赛公平，静静和欢欢的起跑线应相差多少米？（π取3.14） 相差：66π－64π=2π=6.28（米） 【趁热打铁-5】下面是某小学新建成的400米塑胶跑道，直跑道长85.96米，第一条半圆形跑道的直径为72.6米，每条跑道宽1.2米。进行800米比赛时，如果全程不变道，那么在设置起点时，每一道的起跑线比前一道提前（15.072）米。进行200米比赛时，第四道的起跑线比第一道提前（11.304）米。 相邻两根弯道差：3.14×37.5－3.14×36.3＝3.768（米） 800米时相邻两跑道应提前：3.768×4=15.072（米） 200米时跑道④比跑道①应提前： 3.14×39.9-3.14×36.3=11.304（米） 【例6】把一个圆等分成若干个小扇形后拼成一个近似的长方形，周长比原来增加了12cm，这个圆的面积是(113.04)cm²，拼成的长方形的周长是( 49.68)cm。 【趁热打铁-6】在推导圆的面积公式时，将圆等分成若干份，拼成一个近似的长方形。已知长方形的长比宽多64.2厘米，圆的面积是( 2826 )平方厘米。 【例7】如图，小正方形ABCD的边长为2厘米，依次以A，B，C，D四个顶点为圆心，以AD、BE、CF、DG为半径画出扇形，得到图中涂色部分。求涂色部分的面积。 S阴=π+4π+9π+16π =30π=94.2（平方厘米） 【趁热打铁-7】草场中央有一间长方形的牧人屋子，屋子长6m，宽3m。牧人用4m长的绳子把羊拴在墙角（如图A点处），则羊吃草的面积有（38.465 ）平方米。 S草的面积=12π＋0.25π=12.25π=38.465（平方米） 【例8】如下图，大正方形内有一个最大的圆，圆内有一个最大的正方形。那么，大正方形面积是与小正方形面积的比是（2:1）。 【趁热打铁-8】如图中，正方形的面积是40平方厘米，正方形内的小圆面积是(31.4)平方厘米。正方形外的大圆面积是(62.8)平方厘米。 【例9】如图，直角三角形AOB的面积是5平方分米，求圆的面积。 3.14×10＝31.4（平方分米） 【趁热打铁-9】下图中阴影部分的面积是3cm² ，圆环的面积是多少平方厘米？ 3.14×6＝18.84（平方厘米） 【过关精炼】 1、求下面图形中涂色部分的周长。 3.14×6＝18.84（厘米） 答：涂色部分的周长是18.84厘米。 2、如图，有三根直径都是2分米的圆柱形木材，想用一根绳子把它们捆成一捆，捆三圈最短需要 　36.84　分米长的绳子．（打结处绳长不计，π取3.14） 解：3.14×2+2×3＝6.28+6＝12.28（分米） 12.28×3＝36.84（分米） 3、标准的400米跑道，每道的宽度为1.25m，则外道比相邻内道的起跑线要提前　3.925　米． 解：设第一跑道弯道部分的半径为r，第二跑道弯道部分的半径为R， 则3.14×（R﹣r）＝3.14×1.25＝3.925（米）； 4、把一张圆形纸片经过剪拼以后转化成一个近似的长方形（如图），这个近似长方形的周长是24.84cm，则圆形纸片的面积是 　28.26　cm2。 解：设圆的半径为r厘米，由题意得： 2×3.14×r+2r＝24.84 6.28r+2r＝24.84 8.28r＝24.84 r＝3 3.14×32＝28.26（平方厘米） 5、如图，在一个面积是20平方厘米的正方形内画一个最大的圆，圆的面积是　15.7　平方厘米，继续在这个圆内画一个最大的正方形，画出的正方形的面积是　10　平方厘米． 解：（1）设正方形的边长为a，圆的半径为， 则a2＝20平方厘米， 圆的面积＝3.14× ＝3.14× ＝3.14×5 ＝15.7（平方厘米）； （2）因为a2＝20平方厘米， 则小正方形的面积是20÷2＝10（平方厘米）． 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $$