3.4 方差（预习讲义）2025-2026学年苏科版数学九年级上册

2025-2026学年数学苏科版九年级上册 第3章 数据的集中趋势和离散程度 3.4 方差 （预习讲义） 思维导图 学习目标 1. 理解方差的意义，知道方差是用来描述一组数据离散程度（波动大小）的统计量。 2. 掌握方差的计算公式，并会利用公式计算一组数据的方差。 3. 能根据方差的大小，比较两组数据的波动情况，方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小。 知识点梳理 1. 方差的意义： · 在实际生活中，我们除了关心数据的集中趋势（如平均数、中位数、众数）外，还常常需要了解数据的离散程度，即数据相对于平均数的波动大小。 · 方差就是用来描述一组数据离散程度（波动大小）的统计量。 2. 方差的计算公式： · 设一组数据为 ，它们的平均数为 （读作“x拔”）。 · 则这组数据的方差 计算公式为： · 公式解读： · 分别表示每个数据与这组数据的平均数的差的平方。 · 这些平方数的平均数就是这组数据的方差。 3. 方差的计算步骤（以数据 为例）： · 第一步：求平均数 ： · 第二步：求差：计算每个数据与平均数的差，即 。 · 第三步：求平方：将上一步得到的每个差进行平方，即 。 · 第四步：求平均数：将上一步得到的所有平方数相加，再除以数据的个数 ，就得到了方差 。 4. 方差的作用： · 方差是衡量一组数据波动大小的量。 · 方差越大，说明这组数据偏离平均数的程度越大，即数据的波动越大，数据越不稳定。 · 方差越小，说明这组数据偏离平均数的程度越小，即数据的波动越小，数据越稳定。 知识点总结 · 核心概念： 方差是描述数据离散程度（波动大小）的统计量。 · 计算公式： ，其中 是数据的平均数， 是数据的个数。 · 计算关键： 先求平均数，再求差，然后平方，最后求这些平方数的平均数。 · 数据波动与方差关系： · 方差越大 → 数据波动越大 → 数据越不稳定。 · 方差越小 → 数据波动越小 → 数据越稳定。 · 方差的单位： 方差的单位是原数据单位的平方。 · 方差的非负性： 由于方差是平方项的平均数，所以方差的值总是非负数，即 。当且仅当一组数据中的所有数据都相等时，方差为 0。 巩固练习 一、选择题 1．下列说法错误的是（　　） A．必然事件的概率为1 B．数据1、2、2、3的平均数是2 C．数据5、2、﹣3、0的极差是8 D．如果某种游戏活动的中奖率为40%，那么参加这种活动10次必有4次中奖 2．甲、乙两名同学在6次数学测验中，他们的平均成绩和方差分别为分，分，，，则下列说法正确的是（　　） A．两人发挥一样稳定 B．甲发挥更稳定 C．乙发挥更稳定 D．无法确定谁发挥更稳定 3．一组数据，若去掉数据11，下列会发生变化的是（　　） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．极差 4．六位同学的年龄分别是、、、、、岁，关于这组数据，正确说法是(　　) A．平均数是 B．中位数是 C．方差是 D．众数是 5．已知、、、、是按从小到大顺序排列的5个连续整数，若将这组数据变为、、、、，则这组新数据与原来相比（　　） A．平均数变大 B．中位数变小 C．极差变大 D．方差变小 6．将一组数据中每个数据的值都减去同一个常数，那么下列结论成立的是（　　） A．平均数不变 B．方差和标准差都不变 C．方差改变 D．方差不变但标准差改变 7．下列命题中，正确命题的个数为（　　） ①若样本数据3、6、a、4、2的平均数是4，则其方差为2 ②“相等的角是对顶角”的逆命题 ③对角线互相垂直的四边形是菱形 ④若抛物线上有点，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 8．已知一组数据的方差为4，这组数据的标准差是　 　. 9．样本5，4，3，2，1的方差是　 　；标准差是　 　；中位数是　 　。 10．已知一组数据：3、0、、5，则这组数据的极差为　 　． 11．一组数据1、1、x、3、4的平均数为3，则x表示的数为　 　，这组数据的极差为　 　． 12．某学习小组共20人，他们的一次数学考试成绩如下表： 分数 60 70 79 80 85 90 95 100 人数 1 1 2 5 2 7 1 1 这20人成绩的中位数是　 　分，众数是　 　分，极差是　 　分． 13．在植树节当天，某校一个班同学分成10个小组参加植树造林活动，10个小组植树的株数见下表： 植树株数（株） 5 6 7 小组个数 3 4 3 则这10个小组植树株数的方差是． 14．甲，乙两人在相同条件下各射击10次，两人的成绩（单位：环）如图所示，现有以下三个推断： ①甲的成绩更稳定； ②乙的平均成绩更高； ③每人再射击一次，乙的成绩一定比甲高．其中正确的是　 　．（填序号） 三、解答题 15．某班50名同学进行科普知识竞赛，根据50名同学的成绩绘成如图所示的统计图． （1）求这50名同学的平均成绩； （2）甲同学在竞赛前练习的5次成绩分别为：60，60，90，70，70（单位：分），求这5个数据的方差． 16．一次期中考试中，A、B、C、D、E五位同学的数学、英语成绩有如下信息： 　 A B C D E 平均分 标准差 数学 71 72 69 68 70 　 英语 88 82 94 85 76 85 　 （1）求这五位同学在本次考试中数学成绩的平均分和英语成绩的标准差； （2）为了比较不同学科考试成绩的好与差，采用标准分是一个合理的选择，标准分的计算公式：标准分＝个人成绩﹣平均成绩）÷成绩标准差. 从标准分看，标准分高的考试成绩更好，请问A同学在本次考试中，数学、英语哪个学科考得更好？ 17．甲、乙两位同学5次数学选拔赛的成绩统计如表，他们5次考试的总成绩相同，请同学们完成下列问题： 　 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲成绩 80 40 70 50 60 乙成绩 70 50 70 a 70 （1）统计表中，a＝　 　，甲同学成绩的极差为　 　； （2）小颖计算了甲同学的成绩平均数为60，方差是S甲2＝ [（80﹣60）2+（40﹣60）2+（70﹣60）2+（50﹣60）2+（60﹣60）2]＝200.请你求出乙同学成绩的平均数和方差； （3）从平均数和方差的角度分析，甲、乙两位同学谁的成绩更稳定. 参考答案 1．D 2．C 3．B 4．D 5．D 6．B 7．C 8．2 9．2；；3 10．7 11．6；5 12．85；90；40 13．0.6． 14．①② 15．（1）解：根据题意得： 这50名同学的平均成绩为：（分）； （2）解：根据题意得：这5个数据的平均数为：， 这5个数据的方差为：． 16．（1）解： ， 标准差==6， ∴这五位同学数学成绩平均分为70，英语成绩的标准差为6. （2）解：设A同学数学考试成绩标准分为P数学，英语考试成绩的标准分为P英语，则 P数学=， P英语=， ∵P数学>P英语， ∴ 从标准分看，在本次考试中，A同学数学比英语考得更好. 17．（1）40；40 （2）解：乙同学的成绩平均数为 ×（70+50+70+40+70）＝60， 方差S乙2＝ [（70﹣60）2+（50﹣60）2+（70﹣60）2+（40﹣60）2+（70﹣60）2]＝160； （3）解：因为甲乙两位同学的平均数相同，S甲2＞S乙2，所以乙同学的成绩更稳定. 学科网（北京）股份有限公司 $$