2.2 用配方法求解一元二次方程 同步练习 2025--2026学年北师大版九年级数学上册

北师大版九年级上册第二章2.3用公式法解一元二次方程 一、选择题 1．一元二次方程 配方后可化为（　　） A． B． C． D． 2．用配方法解方程 时，配方结果正确的是（　　）． A． B． C． D． 3．要使方程左边能成完全平方式应该在方程的两边都加上（ ） A． B． C． D． 4．将一元二次方程化成（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（　　） A． B． C．4，21 D． 5．用配方法解方程，配方正确的是（　　） A． B． C． D． 6．用配方法解方程x2＋1=8x，变形后的结果正确的是(　　) A．(x＋4)2=15 B．(x＋4)2=17 C．(x－4)2=15 D．(x－4)2=17 7．用配方法解一元二次方程时，若原方程变形为，则的值为（　　） A． B． C． D． 8．设M=x2-8x+22，N=-x2+6x-3，那么M与N的大小关系（　　） A．M＞N B．M=N C．M＜N D．无法确定 二、填空题 9．一元二次方程配方化为，则的值为　 　． 10．当x取何值时，多项式有　 　（填最大值或最小值），其最大值或最小值是　 　． 11．代数式的最小值是　 　． 12．已知x为全体实数，则的最大值为　 　． 13．对于两个不相等的实数．我们规定符号表示中的较大值，如：．按照这个规定，若，则的值是　 　． 三、计算题 14．用配方法解方程： 15．用配方法解方程：2x2﹣4x﹣1=0． 四、解答题 16．发现与探索． 小丽的思考：代数式（a﹣3）2+4无论a取何值（a﹣3）2都大于等于0，再加上4，则代数式（a﹣3）2+4大于等于4．根据小丽的思考解决下列问题： （1）说明：代数式a2﹣12a+20的最小值为﹣16． （2）请仿照小丽的思考求代数式﹣a2+10a﹣8的最大值． 17．老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解： ∵ ∴ 当时，的值最小，最小值是1， ∴的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题： （1）直接写出；的最小值为______． （2）求出代数式的最小值______． 18．阅读材料：教科书中提到和这样的式子叫做完全平方式．有些多项式不是完全平方式，我们可以通过添加项，凑成完全平方式，再减去这个添加项，使整个式子的值不变，这样也可以将多项式进行分解，并解决一些最值问题． 例如：求代数式的最小值． ， 当时，代数式有最小值． 结合以上材料解决下面的问题： （1）如果（　　）是一个完全平方式，则括号内的常数应为______． （2）当x为何值时，多项式有最小值，最小值是多少？ （3）当a，b为何值时，多项式有最小值，最小值是多少？ 19．【阅读材料】 配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式，这种方法称之为配方法．例如，将．配方的目的不仅可以简化计算，还能利用完全平方的非负特性，解决一些数学问题．配方变形可以用来解我们第4章要学习的一元二次方程，还可以用来求第章二次函数的“最值”问题．例如：求代数式的最值． 解：因为 （分离常数项） （提二次项系数） （配方） 所以当时，代数式取得最小值3． 再如：求代数式的最值． 解：因为 所以当时，代数式取得最大值． 【材料理解】 时，代数式的最 （“大”或“小”）值为 ． 【迁移应用】 如图，有一块锐角三角形余料，它的边厘米，高厘米．现要用它裁出一个矩形工件，使矩形的一边在上，其余的两个顶点分别在、上． 设厘米，试用含的代数式表示矩形工件的面积； 运用“配方法”求的最大值． 20．我们知道，配方法是解一元二次方程的一种方法，其实质就是将一元二次方程由一般式化成，然后利用直接开平方法求一元二次方程的解的过程，公式法中用到的求根公式也可由此方法得到．配方法是把一个代数式变成一个完全平方式或含有完全平方式的代数式的形式，这种变化的手段在解决初中数学问题时有着广泛的应用． 【探究方法】 已知a，b为任意实数， 即对于任意实数a，b，总有，且当时代数式取得最小值为2ab，仿照上面的方法，对于正数a，b，试比较和的大小关系（写出过程）． 【类比应用】 运用上面的结论，完成填空： （1）___________，此时代数式：有最___________值为___________． （2）当时，___________，此时代数式有最___________值为___________． （3）当时，代数式有最___________值为___________． 【问题解决】 若一个矩形的面积固定为n，它的周长是否会有最值呢？若有，求出周长的最值及此时矩形的长和宽，若没有，请说明理由．由此你能得到怎样的结论？ 21．古代丝绸之路上的花剌子模地区曾经诞生过一位伟大的数学家－“代数学之父”阿尔·花拉子米.在研究一元二次方程解法的过程中，他觉得“有必要用几何学方式来证明曾用数字解释过的问题的符合题意性”. 以 为例，花拉子米的几何解法如下： 如图，在边长为 的正方形的两个相邻边上作边长分别为 和5的矩形，再补上一个边长为5的小正方形，最终把图形补成一个大正方形. 通过不同的方式来表达大正方形的面积，可以将原方程化为（x+ 　 　）2=39+ 　 　，从而得到此方程的正根是　 　 . 22．阅读材料，回答下列问题： 利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式最大值、最小值问题． 【初步思考】观察下列式子： （1） ∵ ∴ ∴代数式的最小值为； （2） ∵ ∴ ∴代数式的最大值为7． 【尝试应用】阅读上述材料并完成下列问题： （1）代数式的最小值为______； （2）已知；，请比较与的大小，并说明理由； 【拓展提高】 （3）薛城区某学校打算把长的篱笆围成长方形形状的生物园来饲养小兔，怎样围可使小兔的活动范围较大？请尝试用以上方法求出长方形生物园的最大面积． 23．阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式x2+bx+c变形为（x+m）2+n的形式，然后由（x+m）2≥0就可求出多项式x2+bx+c的最小值． 例题：求多项式x2﹣4x+5的最小值． 解：x2﹣4x+5＝x2﹣4x+4+1＝（x﹣2）2+1， 因为（x﹣2）2≥0，所以（x﹣2）2+1≥1． 当x＝2时，（x﹣2）2+1＝1．因此（x﹣2）2+1有最小值，最小值为1，即x2﹣4x+5的最小值为1． 通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题： （1）【理解探究】 已知代数式A＝x2+10x+20，则A的最小值为 　 　； （2）【类比应用】 张大爷家有甲、乙两块长方形菜地，已知甲菜地的两边长分别是（3a+2）米、（2a+5）米，乙菜地的两边长分别是5a米、（a+5）米，试比较这两块菜地的面积S甲和S乙的大小，并说明理由； （3）【拓展升华】 如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝5cm，BC＝10cm，点M、N分别是线段AC和BC上的动点，点M从A点出发以1cm/s的速度向C点运动；同时点N从C点出发以2cm/s的速度向B点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t，则当t的值为多少时，△MCN的面积最大，最大值为多少？ 24． 阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值． 例题：求的最小值． 解：． 因为不论取何值，总是非负数，即． 所以． 所以当时，有最小值，最小值是． 根据上述材料，解答下列问题： （1）填空：　 　　 　． （2）将变形为的形式，并求出的最小值． （3）如图所示的第一个长方形边长分别是、，面积为；如图所示的第二个长方形边长分别是、，面积为试比较与的大小，并说明理由． 25．阅读材料：若 ，求m、n的值. 解： ， ， ， . 根据你的观察，探究下面的问题： （1）已知 ，求 的值. （2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足 ，求边c的最大值. （3）若已知 ，求 的值. 26．阅读下面的材料： 若 ，求 ， 的值． 解： ． ． ． ， ． ， ． 根据你的观察，探究下列问题： （1）已知等腰三角形 的两边长 ， ，都是正整数，且满足 ，求 的周长； （2）已知 ， ，求 的值． 答案 1．【答案】D 2．【答案】D 3．【答案】B 4．【答案】A 5．【答案】A 6．【答案】C 7．【答案】A 8．【答案】A 9．【答案】4 10．【答案】最大值； 11．【答案】4 12．【答案】 13．【答案】或 14．【答案】， 15．【答案】解：2x2﹣4x﹣1=0， 2x2﹣4x=1， x2﹣2x=， 配方得：x2﹣2x+1=+1， （x﹣1）2=， 开方得：x﹣1=， 解得：x1=，x2=． 16．【答案】（1）解：原式 ， 无论 取何值， ， ， 则 的最小值为 ； （2）解： ，即 ， 原式 ， 则 的最大值为17． 17．【答案】（1） （2）8 18．【答案】（1）9 （2）当为4时，多项式有最小值，最小值是 （3）当时，多项式有最小值，最小值是2 19．【答案】材料理解：，大，； 迁移应用：； 最大面积为平方厘米． 20．【答案】类比应用：（1）2；小；2；（2）6；小；6；（3）小；3；问题解决：若一个矩形的面积固定为n，它的周长有最小值，周长的最小值为，此时矩形的长和宽均为． 21．【答案】5；25；3 22．【答案】解：（1）； （2），理由如下： ， 又对于任意的都有， ． ． （3）由题意，设，长方形的面积为， ． 当时，即时围可使小兔的活动范围较大，最大面积为． 答：当长方形的长和宽均为时，长方形的面积最大为． 23．【答案】（1）-5 （2）解：S甲＞S乙，理由如下： ∵，， ∴， ∵（a﹣3）2≥0， ∴（a﹣3）2+1＞0， ∴S甲＞S乙； （3）解：由题意得：AM＝t，CN＝2t， ∴MC＝5﹣t， ∴S△MCN＝×2t•（5﹣t）＝﹣t2+5t＝﹣（t2﹣5t+）+＝﹣（t﹣）2+， ∴当 时，△MCN的面积最大，且最大面积为cm2． 24．【答案】（1）； （2）解：， 的最小值为； （3）解：， ， ， ， ． 25．【答案】（1）解：∵x2+2xy+2y2+2y+1=0 ∴（x2+2xy+y2）+（y2+2y+1）=0 ∴（x+y）2+（y+1）2=0 ∴x+y=0 y+1=0 解得：x=1，y=﹣1 ∴x﹣y=2 （2）解：∵a2+b2﹣6a﹣8b+25=0 ∴（a2﹣6a+9）+（b2﹣8b+16）=0 ∴（a﹣3）2+（b﹣4）2=0 ∴a﹣3=0，b﹣4=0 解得：a=3，b=4 ∵三角形两边之和＞第三边 ∴c＜a+b，c＜3+4，∴c＜7．又∵c是正整数，∴△ABC的最大边c的值为4，5，6，∴c的最大值为6 （3）解：∵a﹣b=4，即a=b+4，代入得：（b+4）b+c2﹣6c+13=0，整理得：（b2+4b+4）+（c2﹣6c+9）=（b+2）2+（c﹣3）2=0，∴b+2=0，且c﹣3=0，即b=﹣2，c=3，a=2，则a﹣b+c=2﹣（﹣2）+3=7． 故答案为7 26．【答案】（1）解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵等腰三角形 的两边长 ， ，都是正整数， ∴当 为腰，则 为底，满足三角形三边关系，故 的周长为5+5+6=16； 当 为腰，则 为底，满足三角形三边关系，故 的周长为5+6+6=17； （2）解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$